第56屆--民國105年

本研究主題是探討在三角形和四邊形中尋找出唯一的正方形，使此正方形的頂點分別落在三角形和四邊形各邊向外或向內作之半圓上。我們探討其存在性之幾何作圖法並證明之，同時試著從中求出此外框或內嵌正方形面積的一般式。我們發現凝聚三角形只要作出垂直且等長於其最長或第二長的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，也證明了任意三角形都可以作出內嵌正方形。至於凝聚四邊形，則可以作出垂直且等長於對角線的線段，即可以逐步找到外框正方形的頂點，而任意四邊形都可以作出內嵌正方形。研究過程中亦發現對任意三角形或四邊形，若正方形的頂點可以選擇落在各邊內或外之半圓上，那麼，這種正方形也是存在的。

本研究首先發現在n×n棋盤的所有和平排列(每行每列各放一個棋子)中，皆可找到不包含棋子的k×k正方形，同時得到n和k的關係：k的最大值為⌊√(n-1)⌋。 接著延伸這個題目，從找k×k正方形變成找(k×k-m×m)的缺角正方形。並在程式的輔助下，除了得到fa(k,m)和fb(k,m)的值，也可以知道n=fa(k,m)和fb(k,m)時放不下缺角正方形的和平排列，而基本上，報告的整體架構就分為兩個部分，證明每個(n+1)×(n+1)的和平排列都找的到，以及構造n×n的和平排列找不到(缺角)正方形。 f(k,0)=k2 fα (k,1)=k2–k fβ (k,1)=k2-1 fβ (k,k-1)=2k-1 fα (k,k/2)=k2/2

蛞蝓是菜園常見害蟲，我們探討蛞蝓防治方法，進行6個菜園調查，發現有皺足蛞蝓和花點皺足蛞蝓。蛞蝓夜間活動頻繁，會刮食幼苗、菜葉、嫩莖，讓菜葉坑洞有黏液，作物無法順利生長。天黑開始活動；白天在菜園藍桶子下及塑膠地墊下找到較多蛞蝓棲息。實驗發現蛞蝓在黑色塑膠袋下棲息比例最高；喜歡較低溫度；沒有明顯痕跡跟隨及回巢行為；會攝食多種蔬果，但莖葉有刺或細毛的不吃；防禦行為有隱蔽性、不動性、混淆色、結群、逃脫及分泌黏液。濕度與溫度影響蛞蝓的活動，選擇棲息環境因素有陰暗、潮濕、縫隙、涼爽及附近有食物等，喜歡棲息於塑膠材質。建議在蔬菜旁鋪黑色塑膠袋，形成陰暗涼爽不通風的縫隙，是誘捕蛞蝓簡便有效且無害的防治方法。

食用藍色色素靛胭脂的氧化還原反應有綠、紅和黃色變化，故稱紅綠燈反應。為研究此反應，本實驗自製簡易光度計與搖動機器人控制搖動溶液的幅度，降低手搖的誤差，並將兩者裝置組合以利量測反應時間、減少誤差。實驗結果可知葡萄糖與氫氧化鈉濃度越大反應越快，兩者混合後為使每次循環變色時間差異小，需先靜置約10分鐘，以形成足夠的葡萄糖酸。當我們更改還原劑種類，發現果糖的烯醇化速率比半乳糖及葡萄糖快，故變色時間最短。最後我們希望藉由減少化學試劑用量保護環境，嘗試以維生素C作為還原劑、小蘇打取代對環境較為傷害的氫氧化鈉，成功綠化使靛胭脂還原，但限於溶液pH值而僅能出現藍色轉變為黃綠色，若要出現中間態紅色則需要提高pH值。

格子圖形是具代數特性的幾何圖形，是解析幾何中一環。首先研究發現格子直線數與法里數列及尤拉函數有關，透過遞迴關係導出其一般式。其次探討形成格子圖形的充要條件，得到 (1) 坐標平面上有格子正n邊形的充要條件為n=4 (2) 坐標空間中有格子正n邊形的充要條件為n=3,4或6 (3) 恰有三種格子柏拉圖 最後的主軸是找出五心與九點圓圓心皆為格子點的充分條件，成果如下： (1)畢氏三角形內心及旁心皆為格子點；而Heron三角形在某條件下，內心及旁心也是格子點 (2)畢氏三角形與Heron三角形三邊長滿足在某條件下，五心與九點圓圓心皆為格子點 (3)三角形三邊長為整數比，經伸縮變換後可使五心與九點圓圓心皆為格子點

按壓瓶是生活中用來裝乘液體的常見容器，但我們往往會在被丟棄的瓶子裡發現殘餘液體，實在浪費。故本研究主要是想了解有哪些因素會影響按壓瓶最後剩餘的液體量，並透過比較與改善，做出實用的按壓瓶應用在生活中。我們嘗試從瓶內吸管的種類、口徑大小、長度、切口角度以及瓶底的傾斜情形等方面來探討它們與瓶內剩餘液體量之間的關係。研究結果顯示，軟式吸管最適合用來當作按壓瓶內的吸管種類，當吸管的口徑越小、切面呈現平口且長度大於壓頭到瓶底距離時，瓶內剩餘的液體量會最少。此外，我們也發現瓶底越傾斜，有助於吸管吸取液體，能降低瓶內液體的剩餘比率。因此，只要能在按壓瓶的結構上略作改變，就能有效利用資源、避免浪費。

我們利用小玻璃瓶自製電解質檢測燈，並逐步改良成僅兩個電極外露，其餘部分完全密封，可以直接放置水溶液檢測燈，並用以檢測不同的水溶液，探討導電度的大小與燈泡亮度之間的關係。在第一部分市售飲料的實驗，結果發現使用導電度計無法測量出的差異，而使用自製的電解質檢測燈，用照度大小來推測出其導電度之大小，也就是隨著亮度的變化之大小，可輕易地辨別出導電度值的高低，這種方便攜帶又不昂貴的自製檢測燈，很適合用來作國中理化的教材。 第二部分的天然果汁導電實驗，雖然柳橙、檸檬、大、小番茄的導電度在導電計上都呈現無限大，但自製的電解質檢測燈的照度實驗卻可以輕易的辨別出來，反而是小番茄的照度是五種水果中最大的。

本作品針對機械手臂運作時，因相同的負載與馬達移動時，具有不同移動路徑而產生最大負載量，窮舉不同搬動方式所呈現的整體效能差異。本研究設計一台3軸機器手臂，以第一顆馬達為球心，將最遠之第三顆馬達的載重，從赤道移至北極為例，紀錄研究各種載重、各種路徑的時間和效能，期冀發現同時具有節能和省時之手臂移動方式。透過實驗，從耗電、載重和時間三方面探討其效能，在兩種實驗中，實驗一（不同轉動方法所需電量）節電比率最高達30%。實驗二（相同轉動方法，多步驟同步所需電量與時間）節電比率最高答42%，省時比率最高達60%，為我們節省大量時間及電能。文末，再透過藍芽技術，以手機輸入目標物位置，使機械手臂以最高效能舉至終點。

本研究是從正多面體的點線面出發，探尋由二種或兩種以上的多邊形所組的多面立體模型。首先，認識五個正多面體的模型架構，並從正多面體的點線面個數找到了關係式，這就是有名的尤拉公式。 嘗試將正多面體經過重複性截角平切的操作，推演出一個新的多面體，進而演算建立半正多面體的推算模組。在兩次截角的過程中，共產生了21個由兩種或兩種以上的多邊形所組的多面體。其中有十一個柏拉圖截角後的新多面體與阿基米德立體很相似。 從操作中觀察討論，歸納出大截角時，因頂點相鄰有三面，故會形成一個三角形，且原來的面的形狀不變；小截角時，其原來的面邊數會增為兩倍。進而推測出簡單且容易了解的多面體模組，從而認識到各種多面體的組成形式。

本研究第一部分從尋找牌組設計法出發，以不同的數學結構製造出牌組，再分析牌組結構中變數的關係，並寫下其關係式及特性。 第二部分進一步改變規則，研究在不同規則下牌組變數的關係及特性。 第三部份引入區組設計理論，將牌組的設計矩陣化後，可以透過定理來檢驗任一牌組是否符合哆寶規則，還能再將矩陣擴張，得到旋轉法的一般化設計法。另外也可以透過0、1之間的互換，得到新的設計方法以及適用條件。