互補集合─從黃金分割比值及平方開始
威索夫( wy thoff )遊戲是一個兩人輪流取兩堆火柴的遊戲,遊戲規則每人取火柴時,需依下列三種取法之一: (I)從第一堆任取若干支火柴;(II)從第二堆任取若干支火柴;(III)從兩堆中各取相同數目的火柴,能取最後一支火柴者獲勝。我們研究威索夫遊戲時,發現遊戲的致勝關鍵在於黃金分割比值( G )及其平方( G2 )若干倍數後的整數部份所構成的兩個數列,此乃因這兩個數列存在的奇妙關係─互補關係。我們由黃金分割比值及其平方兩數所構成的數列以及一些關於互補關係的性質,找出另外兩數所構成的兩個數列也具有互補關係,並歸納得到凡兩數構成具有互補關係的數列,此兩數必備的條件。我們將具有互補關係的數列推廣也改變威索夫遊戲,在所有具有互補關係的數列中找出致勝關鍵數列。我們更廣泛地繼續討論任意兩個具有互補關係的數列,找出它們之間的關係,並以此關係舉出一個有趣的應用。