數學科

我用前兩年研究的結論延伸探究在凹凸形狀的蜂巢中擺放灰色六邊形透過有系統的堆砌方式及策略應用，兼以「一筆畫」方式檢驗是否為最佳化組合並依據模組間的相互關係值，求得K值包圍的白色六邊形總數計算公式 。 在P值相同的條件下我得到幾個結果： 1.凹角一種和凸角二種皆能有系統的堆砌及排列規則。 2.經由模組相互間衍伸出的關係值所有個別模組的W值總和、角對角數量(A值)，共用格數量 (S值)可找出較佳的堆砌組合，並求出包圍的白色六邊形總數(K值)。 3.透過「一筆畫」方式，能找出最少路徑數(K值），以檢驗每種堆砌組合是否為最佳化組合。 4.得出的結論延伸應用於課室的分組座位安排，以縮短課堂巡視的路徑數(K值)。

本研究旨在探討圓外切多邊形中從每個頂點沿相交邊延伸特定距離所形成新端點的共圓性質，作為康威圓定理的一項推廣。研究同時考察了從圓外切多邊形的每個頂點處沿其相鄰邊及其反方向延伸特定距離形成的端點是否亦共圓。研究結果顯示，多組端點呈現共圓的現象。特別是在三角形的案例中，相較於邊數四或以上的多邊形，每組在共圓點的數量上多出兩個。進一步的探討揭示了三角形經過此操作後，三條公弦的延長線相交於一點，竟恰好是三角形的奈格爾點 (Nagel point)，本研究對這一發現也進行了討論和論證。

此研究主要探討將利樂棒填入不同之矩形及阿茲特克鑽石網格圖形，研究重點放在以二棒、三棒、四棒的單一或任取兩種元件分別探討不同比例的組合，可成功覆蓋圖形格線的情形，研究發現，不同元件可透過擺放位置及棒數計算，利用著色法、窮舉法、遞迴式及數學歸納法等不同方法，分析成功覆蓋及無解原因，加以歸納說明，並將其可擴展之矩形邊長及鑽石階數以一般式呈現。

科學研習月刊上有一道數學問題，將編號1至5的鵲與1隻鳩(編號0)任意排成一圈，鵲媽媽由k號鵲開始餵，下一次順時針數k隻鳥後，餵第二隻r號鵲，再順時針數r隻鳥後餵第三隻，依此類推且鳩吃不到食物，我們成功找出原題不讓鳩吃到食物的解。但隨著鵲與鳩的增加，直接討論餵食順序與位置關係越趨困難，所以用鵲(n隻)不重複餵食進行討論得出成功餵食順序，也推出鵲鳩圍成一圈的排列位置。因此，我們證明出n鵲m鳩成功餵食的有解條件，並用排列組合與對稱性算出成功餵食順序的方法數。最後，我們也改變餵食方法，採餵食後跳過不數的方式，發現成功餵食順序的方法數不會隨著鳩數增加而改變，皆為編號1至n的鵲的直線排列數n!。

本研究源於一道常見的正方形內接三角形的動態幾何問題。我們考慮對角線，先刻劃出兩個動態的△𝐴𝐸𝐹與△𝐴𝑀𝑁之面積比值恆為定值，並且巧妙構造輔助線，利用純幾何方式證明共圓的動態四邊形 𝐸𝐹𝑀𝑁 的圓心軌跡為等軸雙曲線。為了一般化推廣，我們依序設定了等長、半角等條件去探討，實驗了長方形、菱形、直角箏形等，有趣的是，我們發現其兩個三角形面積比為定值的幾何結構是兩組四點共圓，並非等長或半角。值得一提的是，為了刻劃一般化的箏形中的圓心軌跡，我們先建立了菱形的模型，再給出箏形與菱形的對應模型，成功證明其圓心軌跡也是雙曲線。本研究將常見的幾何問題循序漸進地深化，刻劃出內在結構且給出獨特且有趣的成果。

本研究主要在探討費馬點在正方形四頂點具有加權的狀況時，尋找隨著加權情況變化而移動的費馬點位置。我們從原費馬點研究三角形一般加權情況開始發想，將費馬點研究推廣至由正方形加權情況下的特殊化結果，利用加權的對稱性，來解得不同加權情況下的費馬點位置，也利用偏微分和物理觀點證明了一般正加權情況下的唯一性。最後，我們將研究推廣至負加權的情況，並找出特定加權條件下，存在費馬點的條件。

本研究針對在圓形棋盤上玩三子連線棋進行探討，發現棋盤必須平分成偶數等分，且最少要八等分才能進行遊戲。當在八等分單圈圓形棋盤上玩三子連線棋，玩家選擇雙活路型、包圍型、遠水型等3種布棋策略，可以贏棋。 根據樹狀圖的路徑分析，發現最快只要進行三回合，玩家就能分出勝負。整體來說，八等分單圈圓形棋盤三子連線棋遊戲對先手較有利；第1步先手要選擇不往圓心、改往旁邊移動，才是對先手較有利的贏棋方式，這和玩井字棋時要先佔據中央交叉位置的策略不同。 當更動棋子最初的擺放位置、增加平分單圈圓形棋盤的等分數、更改棋盤為雙圓圈形式都會增加遊戲的變化性，值得日後進一步探討。

在探究騎士過城堡的棋盤格遊戲中，我們發現棋盤設計巧妙，玩家可以從任意棋盤格出發，利用西洋棋中騎士的L形走法，跳過棋盤上的每一格且僅能跳一次，最終返回起始點以通過城堡。本研究的目的是在4x4棋盤格中，找出符合遊戲規則的棋格圖形。首先探討3x3棋盤中任意兩格與其路徑圖形之間的關係，發現了路徑與圖形間的相對關係，將此發現應用於4x4棋盤，並以「路徑探戡法」通過Python程式分析生成棋盤格圖形的路徑，刪除不符合遊戲規則的圖形，合併重複、對稱和旋轉對稱圖形。最後篩選出的棋盤格圖形，依棋盤格子數量分類：8格的有1個、10格的有8個、12格的有9個、14格的有1個，總共19個符合遊戲條件的棋盤格圖形。

2021年Todor Zaharinov在數學雜誌上提供了一道幾何證明題，題目為「給定任意三角形𝐴𝐵𝐶與動點𝑃，以𝑃點和三角形邊（或其延長線）上的點，構造三個旁接三角形，並使得𝐴、𝐵、𝐶點分別為其重心，再取旁接三角形的頂點構造兩個 衍伸三角形，證明衍伸三角形恆面積相同」。 我們的研究在原題構造中發現了新性質，並創新將其中的「重心」更換為其他形心構造與剖析，並關心衍伸三角形的面積關係，更探討滿足特殊條件時，動點 𝑃 在平面上的軌跡。 值得一提的是，當以三頂點為旁接三角形的「垂心」時，滿足衍伸三角形的有向面積的和與差為0的𝑃點，其軌跡構成外接圓及著名的Kiepert雙曲線，這是一大亮點。

從《虛數：從零開始徹底搞懂虛數 少年伽利略1》中的問題作為出發點，主要探討如何透過簡單的方式證明當給定樹的位置後，絞刑臺的位置不影響樁所形成的寶藏位置。在過程中，發現並證明了旋轉角度改變時，樁所形成的寶藏位置之移動軌跡為圓形。其中不論樹的數量和位置如何改變，皆能利用三角形全等和向量的概念證明樁的所形成的寶藏位置不受絞刑臺位置影響。後來我改變旋轉的程序，在n 棵樹的位置任意與旋轉角度任意的條件下，推得寶藏的位置形成兩個正n 邊形，可用於對寶藏位置進行加密與解密。