數學科

本研究旨在利用組合數來分析第二類斯特靈數在模質數下的性質。研究分為五階段：第一階段我們參考O-Yeat Chan等人的論文，並改良了其證明過程，得到一個同餘組合數。第二階段利用第一階段的奇偶性定理發現(3n n)與𝑆(2𝑛,𝑛)同餘mod2並改良論文證明，使得證明更易推廣。第三階段我們更推廣到更一般的結論：滿足𝑆(𝑝𝑛, 𝑛)≡(p'n n)(𝑚𝑜𝑑2)時，p與p'是線性關係。第四階段與第五階段繪製熱圖時，我們發現圖中存在謝爾賓斯基三角形，對此進行了研究，並成功證明斯特靈數三角形在模2與模3下具有碎形結構與謝爾賓斯基三角形，這是文獻中都沒有探討過的。

本研究旨在探討「帕隆多悖論」，將兩個容易賠錢的賽局遊戲A與B遊戲合在一起進行，卻能變成容易賺錢的賽局(遊戲C)，這是違反常人直覺的現象，因此我們想探究其中的機制、原因和成立條件。 我們以「執行遊戲A和B之特殊組合」、「執行遊戲A和B之機率」和「遊戲A和B的賺錢機率」為實驗變項，應用Excel和Scratch模擬各情況之期望值，來探討帕隆多悖論成立的條件。最後，將研究發現結合專家訪談，找出在市場機制中的實際案例。 發現遊戲執行組合的影響最為關鍵，而且在執行遊戲A的機率為41%時會有最高的期望值。最後，我們找出帕隆多悖論在三種以上賽局成立的情形與必要條件，也歸納出各變項對於獲利影響程度 差異 及賺錢的關鍵週期 。

我們將三浦摺疊運用在紙管上，發現能摺出「單位管」的條件為：8個全等平行四邊形（內角不為90度）相拼成V字形；邊長為1、內角為60度的平行四邊形拼成單位管，我們求出其最大體積約為1.5；而改變平行四邊形邊長與角度之間的關係，當單位管側面沿摺痕壓平摺疊後，能摺出3種不同樣貌。將N個相同的單位管洞連接起來，形成「N-單位管」2個相同的N-單位管共有4種拼組方式，拼組後能正面與側面壓平摺疊；我們用數個N-單位管相拼，發現能做出負重點朝上和洞朝上的負重結構，分別最少需用4個2-單位管垂直相拼和8個N-單位管水平相拼；若數個N-單位管拼組後只能側面壓平摺疊，則只需3個N-單位管水平相拼，就能做出洞朝上的負重結構。

鳥巢裡有n隻小喜鵲與1隻小斑鳩。小喜鵲分別編號1~n，小斑鳩編號0，這n+1隻小鳥圍成一圈，等待喜鵲媽媽的餵食。喜鵲媽媽餵食過程會遵守以下規則：當餵食完編號X的小鳥後，會順時針往下X個位置餵食下一隻，而餵食過程中若餵到小斑鳩，小斑鳩會將食物吃光。 本研究除了找出原題的三個答案外，並探討以下五個問題。 一、1隻小斑鳩和n隻小喜鵲按照0、1、2、3……順時針圍成一圈時，從哪一隻開始餵食，會讓最多的小喜鵲吃到食物？ 二、承一，吃最多份食物的小喜鵲，吃了幾份食物？ 三、重新安排小喜鵲的位置，使得每隻小喜鵲都能吃到食物。 四、承三，將小斑鳩的數量增加到m隻。 五、將研究結果運用於--值日生的安排、小組報告的順序……。

本研究最初將兩正方形重疊，使其面積重疊處形成一八邊形，將此八邊形的八個邊分成兩組，發現此兩組邊長有1次方和相等、2次方和相等的性質。 而後我們將正方形推廣至正n邊形，討論什麼條件之下，可以使兩正n邊形重疊處為2n邊形。探討其中一正n邊形對另一正n邊形平移範圍的限制。再證明重疊部分2n邊形的兩組邊長之1～n-1次方和相等，最後再討論兩組邊長n次方和相等的條件。 除此之外，我們將正n邊形推廣到其他多邊形。發現有兩條互相垂直對稱軸的圖形與等角多邊形，也會具有兩組邊長1次方和相等、2次方和相等的性質。

本研究源於一道常見的正方形內接三角形的動態幾何問題。我們考慮對角線，先刻劃出兩個動態的△𝐴𝐸𝐹與△𝐴𝑀𝑁之面積比值恆為定值，並且巧妙構造輔助線，利用純幾何方式證明共圓的動態四邊形 𝐸𝐹𝑀𝑁 的圓心軌跡為等軸雙曲線。為了一般化推廣，我們依序設定了等長、半角等條件去探討，實驗了長方形、菱形、直角箏形等，有趣的是，我們發現其兩個三角形面積比為定值的幾何結構是兩組四點共圓，並非等長或半角。值得一提的是，為了刻劃一般化的箏形中的圓心軌跡，我們先建立了菱形的模型，再給出箏形與菱形的對應模型，成功證明其圓心軌跡也是雙曲線。本研究將常見的幾何問題循序漸進地深化，刻劃出內在結構且給出獨特且有趣的成果。

本研究目的為在相同的等腰直角三角形密鋪而成的矩形中，若從右上角頂點分別往左與往下移動數格，及左下角頂點分別往右與往上移動數格，再分別從左下往右上連接2條直線，並將這2條直線拓寬成一個封閉區域，則此對角封閉區域T會經過幾個三角格呢？先從左下角至右上角的對角線會經過的三角格開始觀察，發現經過的三角格數量與矩形長邊、矩形長、寬邊的最大公因數有關。接著將對角線有規律的拓寬成不同的封閉區域，並將經過的三角格用相異的顏色區分，用逆向思考的方式，把矩形中的三角格總數減去2直線經過的三角格數量，順利找出計算公式。最後我們也用相似的概念順利找出另一方向對角封閉區域H的計算公式，讓整個研究更為完整。

本研究由一題三角形內心與其旁心三角形頂點連線交外接圓所構成三角形面積問題出發，藉由相似形的觀察發現可透過連接頂點與內心作中垂線作圖而成，以此為靈感開始定義點心中垂三角形，創新探究其他形心所構造的點心中垂三角形性質以及與原三角形的面積比，過程中發現三角形五心之間心與心互換的關係，讓我們聯想到如果繼續疊作中垂線，三角形有外、內、垂心共點與共線性質，接著我們延伸至四邊形與多邊形，發現層層之間的圖形有彼此相似與對應邊 平行…等共點、共線性質存在。

此研究主要探討將利樂棒填入不同之矩形及阿茲特克鑽石網格圖形，研究重點放在以二棒、三棒、四棒的單一或任取兩種元件分別探討不同比例的組合，可成功覆蓋圖形格線的情形，研究發現，不同元件可透過擺放位置及棒數計算，利用著色法、窮舉法、遞迴式及數學歸納法等不同方法，分析成功覆蓋及無解原因，加以歸納說明，並將其可擴展之矩形邊長及鑽石階數以一般式呈現。

2023年9月數學雜誌《Crux Mathematicorum》刊登有趣的三角形內心的幾何問題，我們先證明了原命題的長度性質，再創新刻劃出有趣的面積不變量。隨後將內心推廣到旁心、垂心與外心的建構，並且證明僅此四心的建構下才有長度與面積不變量。值得一提的是，除了前述的定量項目外，我們也發現四種建構下的三線共點之定性性質，同時刻劃四種建構的關聯性是漂亮的等角結構，這是本研究亮點。推廣到多邊形，我們發現本質的幾何結構為截線的角平分線性質（內心與旁心的結合），從而將此問題轉換成一般性問題，並給出了豐富的等長、等角、等面積之性質，以及連線多邊形恆為圓外切多邊形。