2008 年環球數學競賽秋季賽有一道題目如下所示：在無窮數列{a(n)}，a(0)=0，若n 的最大奇因數除以4 餘數為1，則a(n)=a(n-1)+1，若n 的最大奇因數除以4 餘數為3，則a(n)=a(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。(a) 證明在此數列中，1 將出現無窮多次(b) 證明在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。因a（2k-1-1）=1。數列{a(n)}定義2k-1≦n≦2k-1 為第k 區間。網路上有第k 區間a(n)=k 的存在性證明。本研究特色在於二進位法找出a(n)表示法，證明第k 區間a(n)=k 唯一性。為了延伸研究，定義數列{dp(n)}，討論質數p 為情況下，猜測數列{dp(n)}第k區間極值、比較出現次數分佈對稱性、數列{d2(n)}降階關係。為了定義統一，本研究從前言起，以數列{d2(n)}代替競賽題目提到的數列{a(n)}。

將二維(2k×2k－1) 殘缺棋盤的完全覆蓋性質，推廣至三維( 2k×2k×2k－1)殘缺方塊，再推廣至四維(2k×2k×2k×2k－1)殘缺數對集合及n維( 2k×2k×…×2k－1)殘缺數對集合。

經常會看到前方的路面像有一灘積水在那兒，但近走過去看時卻發現什麼都沒有。我們查看物理方面的教課書籍及上網搜尋資料，發現這種現象是由於地面上的空氣因溫度變化，導致光線在空氣中的行進方向偏折而產生的全反射現象，其原理與沙漠中的海市蜃樓成因是ㄧ樣的。 我們發現了高中組科展的得獎作品中，居然得到與上述完全不同的結論，就是：炎熱路面的一灘積水是由於地面的單向反射造成，並非為空氣的折射現象。這也就引發我們做此次科展的強烈動機。 從尋找地面海市蜃樓在何處，與不斷改善觀察工具開始做起，接著再與師長同學討論，將光折射的證據從1.改變觀察者位置的高低、2.溫差的影響、3.地面性質等三方面逐步探索，並以雷射光徑說明：白天地面的海市蜃樓是光折射所造成。

市售的天然清潔劑成份多含有檸檬烯，根據一些研究資料，我們得知檸檬烯除了可當溶劑外，對於油脂亦具有清潔效果。在本研究中我們以家庭中常見的溶劑：酒精及水來萃取橘子皮，藉由GC/MS的鑑定來確定橘子皮萃取液是存在檸檬烯。而本研究對橘子皮萃取液及檸檬烯的標準品做了一連串的實驗，可推測檸檬烯用來除去油污的原因；在研究過程中，我們使用自組式透光儀觀察清潔劑對油脂形成油胞的程度，並設計一套清洗油污的流程，藉由油脂的氧化還原作用來測量殘油程度。因此，藉由本研究可將廢棄橘子皮製作成家用天然清潔劑，達到省錢環保的目的。

本研究是從數學講義上的一個考題出發，恰巧擴展了前年全國科展最佳教材獎「正多邊形母子面積比」，他們只研究正多邊形且每邊切割的比例相同，我們採取截然不同的研究方法，而且更進一步探索任意多邊形每邊切割的比例任意不同時，其子母面積比值的發展。而隨著邊數的增加，所得圖形儼然一個鳥巢狀，故名「巢狀切割」。我們從三角形做起，經歷四、六、八邊形，一直到五邊形、七邊形，並藉助GSP繪圖軟體幫忙檢驗，最後得到了通用於任意邊數且任意比例切割的子母面積比值公式，並設計Microsoft Excel運算表，只要輸入邊數與比例，可立即算出子母面積的比值！

民俗技藝─扯鈴有一種稱之為「跳鈴」的團體招式，是讓同一條繩子上有兩個扯鈴作相向運動，並在表演者的手部振動下，使兩個扯鈴以不同的高度跳躍，並互相交換位置後，再回到繩子上各自繼續前進。本研究便是要提出跳鈴的假設，並設計一套模擬裝置來驗證假設，期待能找出跳鈴的秘密，並且可以運用在實際的扯鈴活動中。

本研究探討蘋果是否含有螢光物質，進而自製暗箱觀測螢光強度，並找出萃取螢光物質的最佳條件及影響螢光強度的外在因素。最後發現，蘋果含有天然的螢光物質，必須用紫外光燈源照射，才能放出黃綠色螢光。在實驗過程中氧化及陽光照射都會破壞蘋果中的螢光物質。而萃取蘋果螢光物質的最佳條件──將蘋果不去皮，磨成泥(200ml)，加入沙拉油(50ml)並用酒精燈加熱10 分鐘（不停的攪拌），之後靜置一天。.蘋果泥添加酸性的醋酸水溶液及浸泡在飽和食鹽水中，都不影響螢光強度。但添加鹼性的小蘇打水溶液，則會造成螢光強度減弱。最後利用蘋果螢光彩繪圖案，更增添天然螢光的趣味性。

在日常生活中除了腳踏車，汽機車對於我們是最基本的交通工具，在一次偶然的情況下搭乘父母的汽車從家中開往學校的途中，途經鄉間小路突然有一輛對面來車疾駛呼嘯而過，由於對方會車時開遠燈而且道路狹窄，造成父親來不及反應而擦撞到右側的電線桿，當時大家都嚇了一大跳，慶幸當時沒有人受到傷害！當下心裡突然有了靈感，因次我們嘗試去設計一個能自動切換遠近燈的電路，並且將變數分為八種情況：白天、晚上、雨天、晴天、會車、不會車、行駛以及停止，根據上述變數共有十六種排列組合，再經由邏輯電路設計遠近燈的狀態，最終完成我們所預設的動作情形！且會車有效距離可長達二十二公尺（請參閱實地攝影檔）。

一、 尋找一種新的發電裝置。二、 設計翹翹板，及真空錐形瓶裝置，利用水位的上升、下降產生位能，作為發電的動力。三、 由實驗結果可得知，聚光裝置可將黑色沙子錐形瓶加熱至77.8℃，此溫度可使真空錐形瓶內的丙酮上升。

實驗發現蜚蠊跑步時的狀態與影響速度之因素：(1)蜚蠊跑步時會抬高頭或腹部，以利跨步前進。(2)蜚蠊行進時利用觸角探索地面及路線。(3)蜚蠊主要利用中足腿節撐住身體重量，中足腿節及跨步時跗節角度則因蜚蠊棲息環境差異而不同，以利承受身體重量。(4)蜚蠊前足向前伸長(＜50o)跨出，以利跗節抓地向前。(5)蜚蠊後足跗節(＞100o)向後推出以利身體向前，後足脛節越長，身體推進更遠，速度就越快。(6)蜚蠊後足第五跗節較長時力臂較大，較能顯現出力量，而第一跗節連爪，當第一跗節愈短時則更能機動抓地推進身體而增進其速度。(7)各節跗節末端褥盤分泌液有利蜚蠊在較光滑或垂直的環境中爬行與跑步。