第48屆--民國97年

在“漫談卡特蘭數”這篇文章中，提到一個關於卡特蘭數的問題：「考慮在n×n的格子上從(0，0)點走到(n，n)點，不經過直線y=x之下的點有多少種方法？」而本篇研究除了將其規律找出、導出公式之外，並用一套有系統的鏡射方法將其推廣到直線x-y=n時的規律。此外，還可利用圖形切割、重疊的方式進而討論雙邊振盪。

有一個電路網絡，其中含有N 個相同的電路元件，因為每個電路元件皆是相同的，所以會使得兩個電路網絡不相等的唯一原因，僅在於元件的排列和組合方式。一個電路元件有兩端點可以與其它的元件串聯或並聯。 其中所串聯的數個元件，是可以改變串聯的次序是不影響該電路網絡的運作的，改變並聯次序時亦同。因此若兩個電路網絡A, B，A 可以由調換串聯或並聯次序後跟B 相等，則稱此兩個電路網絡是等價的；不等價的電路網絡，稱為相異的。 本文最後給出了一個方法以求得：給n 個相同的電路元件，可以造出幾種相異的電路網絡的個數。 最後推得：有n 個電路元件的相異電路網絡個數，n=1 時為1；當n>1 時為2an，其中數列{an }的遞迴關係為：

我們以探詢柯子湖溪的長臂蝦為序幕，展開對溪蝦的研究。首先了解柯子湖溪現有溪蝦的種類及特性，進而探討溪蝦族群的生活方式、成長過程、生態環境，以及它在不同環境因素下的活動和適應情形。我們拿水營養量、酸鹼值、溶氧量、水流速度等來做研究，進而探討、陽光、河床、植物等環境因素對長臂蝦族群的影響。希望從這些研究基礎上，找出讓溪蝦增產的機制。靜如處子，動如脫兔的長臂蝦，舞動長螯，有著武士的威猛、又能忍飢耐餓，有著紳士的矜持。牠們豐富了河川的生態，也是水中重度污染的指標。我們希望透過這篇研究，提供教師教學、政府及有關單位進行河川保育工作的參考。

台灣四面環海，但我們在學習的過程中與海的接觸卻很少，因此希望藉藻類相的研究實際接觸海洋。選擇藻類為研究題材是因為海藻在此生態系扮演重要生產者角色。研究紀錄了墾丁萬里桐及台南黃金海岸一、四、七、十月的藻類分布、生物量、覆蓋率、優勢種光合作用效率及各項水文資料，並分別計算出各採樣點的生物歧異度以利分析。經過一年的採樣，發現沙岸的黃金海岸全年生物歧異度均為0，而礁岸的萬里桐則有豐富的藻類生物歧異度。且藻類有明顯的季節消長〈四月生物量最多、七月遞減〉各藻種也有消長情形〈優勢種一月綠藻、四月褐藻、七、十月紅藻〉，經環境資料分析後，與水中pH值、溶氧、葉綠素含量無太大關聯，卻與溫度、紫外線及颱風侵台有關。

以顯示命中靶位位置與得分分數之方式，使射擊者在射擊練習時即時發現且修正缺點，以提高命中準確度，此即為研究並欲解決問題之動機與目的。作品內容整合電子資訊科技的實際應用，軟體方面，結合微電腦單晶片組合語言與VisualBasic程式語言、在硬體上，則聯結PC與單晶片控制電路。以VisualBasic介面之個人電腦為系統核心，透過印表機埠擷取外部電路的資料做轉換及處理，特色如下：一、於射擊位置及PC上即時顯示命中靶位位置。二、於射擊位置及PC上顯示個別分數。三、能隨即清除計分並重新計分。四、PC可顯示並發聲報出靶位命中位置與分數。五、PC可監看多個靶位射擊情況。六、PC能顯示各個靶位命中位置分布情形。七、PC能將射擊練習取得成績或資料建檔和利用。

本研究討論一條線和兩條線打成死結或活結的原因，再探討有寬度的線段（?帶）翻轉不同度數後黏合的情形，與由橡皮筋衍伸出的各種圖形有哪些規律與特色，最後我們也探討了一些和拓樸有關的遊戲並研究發明其他遊戲或魔術。從這次的研究中，我們發現生活中不起眼的繩子、紙帶與橡皮筋，竟然也隱含了數學的拓樸原理，而且從簡單的拓樸性質-物體或圖形在不割裂、破壞孔洞下，可任意伸縮及變形，就可以衍伸出許多神奇有趣的遊戲。

有機蔬菜，強調生機飲食的概念，一直是現代人追求健康的目標。「有機」真的就比較健康嗎？為了追求與驗證這樣的論述，我們試著以有機蔬菜的施肥為探討重點，嘗試比較校園中栽種的有機蔬菜，與同學家中種植的有機蔬菜，參與市場上所販賣的蔬菜做分析討論。許多蔬菜因施氮肥過量，致蔬菜體內含高濃度的硝酸鹽，吃進我們身體，經消化系統，變成亞硝酸，這是醫學界證明會引起癌症的物質。而一般的化學肥料的使用正是造成氮肥過量的主因。我們藉由硝酸鹽試劑，來測試不同種植施肥方式的蔬菜中，所含硝酸鹽的含量，嘗試說明「有機蔬菜」的健康概念。讓校園有機蔬菜的種植更具「生活性」與「教育性」。

大、小尺度的流道，可影響流動的重要驅動力不甚相同，大流道靠重力，小流道則可利用毛細現象的驅動力，或利用微流道的動電效應來推動。利用適當的驅動力，可使油水產生油切現象，改變油相與水相溶液速率，則可改變切割體積大小，此可應用在藥錠的製造上、由適當分支流道，則能利用油切現象同步產生多種體積的切割，加速生產速度。而微流道則能利用電壓驅動，使帶電流體改變流速，生技上則能用以進行帶電粒子的分離與檢測。而微小流道的毛細現象可應用在醫事上的檢體檢測，製成微流道檢驗晶片，則可達到節省檢體、時間卻能同步處理多項檢驗的優點。

在平面上，行數為 n 列數為m(表成n ×m )的長方形網格中若有一由單位長水平或垂直線段連接所有相鄰格子點的折線，同時不重複經過任一格子點，這樣的折線稱之為n ×m網格中的漢彌頓路徑，簡稱路徑。 我們研究了當m = 4,5時，在n ×m網格中，所有從左下角(1,1)出發，右下角(n,1)結束的路徑總數T(n,m)以及從左上角(1,m)出發，右下角(n,1)結束的路徑總數U(n,m)。在過程中我們也計算了n×3、n×4的網格中由左下角出發，左上角結束的路徑，分別以M(n,3), M(n,4)表示總數。 我們得到下列的結果：

在一次邂逅裡，我們碰到了一個三角形旁切拋物線的題目，我們經過代數、向量、幾何作圖方法，得到了一個完美的結果：△ABC 旁切拋物線的正焦弦長 = （其中F 是焦點，R是△ABC 的外接圓半徑），以這個結果為基礎，我們推導出︰當其對稱軸為△ABC 中的角平分線時，三個旁切拋物線的正焦弦長與三角形間的關係式，更對這三個正焦弦長做了關係的討論。 令人意想不到的是，這個對稱點的作圖（Simson 定理推廣），亦適用於三角形旁切橢圓及旁切雙曲線，並進一步得到△ABC 旁切橢圓（雙曲線）的長軸長（貫軸長）= ，短軸長（共軛軸長）的平方 = ，（其中d 是焦點F 到△ABC 外接圓圓心的距離，F1 ,F2 ,F3 分別為F 到
ABC 三邊的垂足），因而其正焦弦長 = 。