第48屆--民國97年

在一次邂逅裡，我們碰到了一個三角形旁切拋物線的題目，我們經過代數、向量、幾何作圖方法，得到了一個完美的結果：△ABC 旁切拋物線的正焦弦長 = （其中F 是焦點，R是△ABC 的外接圓半徑），以這個結果為基礎，我們推導出︰當其對稱軸為△ABC 中的角平分線時，三個旁切拋物線的正焦弦長與三角形間的關係式，更對這三個正焦弦長做了關係的討論。 令人意想不到的是，這個對稱點的作圖（Simson 定理推廣），亦適用於三角形旁切橢圓及旁切雙曲線，並進一步得到△ABC 旁切橢圓（雙曲線）的長軸長（貫軸長）= ，短軸長（共軛軸長）的平方 = ，（其中d 是焦點F 到△ABC 外接圓圓心的距離，F1 ,F2 ,F3 分別為F 到
ABC 三邊的垂足），因而其正焦弦長 = 。

藉由樂器發音原理的探究，了解頻率與發音體形狀的關係。我們發現鋼琴基頻和泛音整數倍頻關係的特性並不適用於鐵琴與圓形鋁棒上。敲擊鐵琴所產生的頻譜會有三~五個鋒值，即共三~五個不成整數倍的頻率所組成。而對圓形鋁棒而言，越細越長的鋁棒敲擊所產生的頻譜會越複雜。而我們利用Excel 分析鐵琴頻率與長度關係為乘冪關係，並使用同樣方法求出 15mm 圓型鋁棒長度與發音頻率的乘冪關係為y=867x-0.5109，而15mm 不鏽鋼管的乘冪關係式為y=1113.3x-0.5202，其中y 為長度、x 為頻率。利用這兩個關係是我們順利製造出第六個八度音階的鋁材質調音風鈴，與具有C5 到C7 兩個八度音的不鏽鋼材質風鈴，可懸掛於門後做為迎賓風鈴也可彈奏簡單的樂曲。

本專題係主要利用無線射頻辨識系統（RadioFrequencyIdentification）之特性來達到停車管理與認證之目的。此種非接觸式感應裝置是目前市場上之潮流，雖只有一張小卡片，卻結合了方便與認證之自動化停車管理機制。當車主進場停車前，將卡片貼近讀卡機，隨即可辨識是否為本車場認可之車輛。一但通過認證將自動開啟停車柵門給予車輛合法駛入，否則停車柵門將不予開啟。此輔助裝置之特點在於合法車輛之車主可自行持卡感應進入，一但停車日期停效，車場柵門將不予開啟，車主將無法進場停車。有別於傳統以搖控器開啟柵門之方式，傳統方式之缺點在於無法辨識此車是否為本停車場所認可之車輛，也無法自動控管讓車輛僅在有效期內進場停車，徒增車場管理上之安全漏洞與不便。

移位遊戲是相當熱門的科展主題，不論是調整棋子的數量、變化棋子的顏色、或是改變棋盤的樣式，都能讓研究者有不同的發現。在這次的研究中，我們嘗試自己設計棋盤樣式，並應用原有直線移位遊戲的策略來解決我們所遇到的問題，在遊戲的操作過程中，整理歸納我們所設計出的眼鏡棋的規律，這對我們來說，是很有意義的經驗，也讓我們很希望有機會將我們的研究成果介紹給大家。

兩透明片Ａ和Ｂ分別印著同心圓系，Ａ的半徑依序為：λ1,2λ1,3λ1...Ｂ為λ2,2λ2,3λ2...。當兩透明片重疊時，會形成干涉圖樣，兩圓重疊處，形成加強性干涉，相當於水波槽實驗中波峰和波峰重疊形成腹點。此種干涉圖樣的最大特色為：移動其中的一片透明片，就會形成極大的圖樣變化。 本作品推導出一個四次極座標方程式，這個四次方程式滿足兩透明片重疊時所顯現的所有圖樣。我們證明： 1.若λ1 = λ2 則干涉圖形為雙曲線或橢圓。 2.若λ1 ≠ λ2 且Ａ和Ｂ兩圓心的距離 = 0時，形成新的同心圓。 3.若λ1 ≠ λ2 且Ａ和Ｂ兩圓心的距離 ≠ 0 時，形成類似心臟線或蚶線，我們證明在離圓心較遠處為蚶線或心臟線。

本研究討論一條線和兩條線打成死結或活結的原因，再探討有寬度的線段（?帶）翻轉不同度數後黏合的情形，與由橡皮筋衍伸出的各種圖形有哪些規律與特色，最後我們也探討了一些和拓樸有關的遊戲並研究發明其他遊戲或魔術。從這次的研究中，我們發現生活中不起眼的繩子、紙帶與橡皮筋，竟然也隱含了數學的拓樸原理，而且從簡單的拓樸性質-物體或圖形在不割裂、破壞孔洞下，可任意伸縮及變形，就可以衍伸出許多神奇有趣的遊戲。

本研究源自於某數學問題「王家珠寶盒」，內容為將1~169個數字排列成一個正六邊形的\r 形狀，排列完後有數個有趣的規律：169為13的平方，圖中每六個數字圍成小灰色六邊形，\r 數字和是13的倍數；黑色部分的數字是13的倍數，灰色六邊形外圍的12個數字圍成較大的\r 白色六邊形，這12個數字數字和也是13的倍數；六邊形的數字以對角來看154+15=169、\r 161+8=169為169……等，所有的規律都圍繞著13的倍數。因此研究主軸放在找出各項性質\r 的原因為何？排列方式為何？是否有其他的數字可排列成此種六邊形？經過分析後，利用\r excel計算1~2000000的數字，找出6個數符合1、169、32761、6355441、1232922769、\r 239180661721，但尚未能證明是否只有這6個數，故未來研究方向應置於證明是否還有其他的\r 解亦或只有這六個解成立。

植物吸收亞磷酸(H3PO3)後，可產生植物抗禦素、酚化合物等抗病物質，對疫病 (phytophthora spp.)有可以肉眼觀察的防治效果。我們想要觀察抗病物質是否能在植株內跨組織的流通，為避免結果被亞磷酸的流通影響，設計實驗如下： 將不同品種的葫蘆科植物施用亞磷酸，選出產生抗病物質較多(稱反應較強者：苦瓜 (Momordica charantia))，及較少者(稱反應較弱者：扁蒲(Lagenaria siceraria))，將兩者嫁接，故可排除亞磷酸對反應較弱者之影響。觀察接種疫病後的發病情形，與未嫁接、同種嫁接等進行討論，得知抗病物質在植株間的流通情形。數據分析，發現： (一)苦瓜與扁蒲皆可產生抗病物質及負向影響物質，且苦瓜之抗病物質比例、及扁蒲之負向物質比例較高，且皆可於嫁接植株間流通而互相影響。 (二)亞磷酸之下行性、抗病物質之上行性、負向物質之下行性較佳。

在平面上，行數為 n 列數為m(表成n ×m )的長方形網格中若有一由單位長水平或垂直線段連接所有相鄰格子點的折線，同時不重複經過任一格子點，這樣的折線稱之為n ×m網格中的漢彌頓路徑，簡稱路徑。 我們研究了當m = 4,5時，在n ×m網格中，所有從左下角(1,1)出發，右下角(n,1)結束的路徑總數T(n,m)以及從左上角(1,m)出發，右下角(n,1)結束的路徑總數U(n,m)。在過程中我們也計算了n×3、n×4的網格中由左下角出發，左上角結束的路徑，分別以M(n,3), M(n,4)表示總數。 我們得到下列的結果：

風力發電的原理是利用風力吹動風車的葉片，將風能轉變為機械能，產生的動力可以\r 轉動旋轉式發電機輸出電能。我們依據風速與發電電壓的關係數據，製作一個簡易的風速\r 計，作為各項實驗，測量風速的工具。首先，利用生活用品製作的環保可攜式風力發電機\r ，對2 個1800mAh 3 號鎳氫電池充電，將電能儲存起來，結果是可行的。這是我們研究設\r 計風力發電機系統的入門。經過檢討，選用適合風力發電的軸向磁通發電機，以此做了風\r 車葉片半徑、角度、材質對發電機轉速、輸出功率之影響的各項研究。再依研究結果製作\r 了一組最有效率的葉片。並與發電機等組件，組裝了一台理想的小型風力發電機，連接充\r 電控制及監測系統，對12V 7AH 的鉛酸電池充電。最後再測試、評估它的發電效率。