第47屆--民國96年

在 n 維空間中，若已知 m 個向量的坐標表示法，則可輕易地計算出這些向量兩兩之間的內積並寫成 m 階內積方陣。但反過來說，若已知一個 m 階的內積方陣，該如何建構其所對應之 m 個 n 維空間向量呢？本文將利用 m 階對稱行列式的特殊降階展開之方式，擬定其元素與若干子行列式間的恆等關係，並利用此恆等關係與內積方陣之特性，完整模擬其所對應之各向量。

在利用植物纖維製成手抄紙的過程中，我們做了幾個簡單的變化，增減輔助劑的量時發現，添加輔助劑可以改變紙張的觸感跟外觀，也同樣可以增加紙張的韌性，但過多的輔助劑並不會增加紙張的韌性；製程中纖維的長短也會影響紙張的外觀與韌性，長纖維所製出的紙張較粗操及有韌性，反之，短纖維的紙張則較為柔細與易斷；添加合成紙可以使手抄紙張變得堅硬有韌性；若纖維浸泡過漂白水所形成的抄紙外觀與手感與韌性均有改變，浸泡時間愈長，對上述的影響也愈大。

本研究的工具是光敏電阻、數位電表及電源供應器以及一個暗箱所組成的「自製濃度觀測工具」。利用珍珠奶茶的大吸管內裝有色離子溶液，放置於冰櫃中冷凍。冷凍完成後取出，以線鋸鋸開吸管當中的冰塊(每 5 公分一段)，待其熔化成水溶液，以自製工具觀測其濃度。操縱變因是吸管水平或垂直擺放、全部同時冷凍或分段冷凍、冷卻速率、溶液的濃度、冷凍的溫差、以及吸管的長度。結果可以清楚得知最初結成的冰濃度幾乎為零。冷卻速率愈慢，對低濃度的溶液驅趕離子效應愈明顯。吸管愈長，末端離子濃度幾乎不變。改變冷卻的溫差更能夠將溶質粒子推擠到吸管的末端。垂直擺放下方較濃，並證實水結冰的推力非常的小，並不足以改變地心引力所產生的濃度梯度。

學校旁的公園正在整修，一堆堆沙土整齊的排放在公園裡，像一座座小山一樣，每座沙土的堆積層坡面與水平面之夾角(我們稱之為斜坡角度)，看起來似乎都一樣，令我們很好奇，爬上沙堆，用腳尖踢一踢，凹進去的洞又被斜坡上的沙土給填滿，所形成的角度好像還是一樣，這個有趣的現象，讓我們想了解每座沙堆形成的斜坡是否都固定同樣的角度？我們選擇比較容易取得的材質－鹽巴，在固定的高度下灑落數次，發現形成的斜坡角度大約 40°，但因為鹽巴容易潮濕，所以改用細貓砂做實驗，發現貓砂所形成的斜坡角度大約是 35°，又由不同的高度，不同斜面實驗去比較斜坡角度，結果也約為 35°，於是再進一步選擇不同材質的顆粒，例如：細砂糖，西米露，魚飼料，綠豆，黑豆做實驗。最後我們發現同一材質的顆粒會形成差不多的斜坡角度同一材質的顆粒會形成差不多的斜坡角度，而且決定斜坡角度的主要因素與材質本身相關。

談到畢氏定理時，大家都會想到：如果一個直角三角形的2股為a和b，斜邊為c，則這3個邊長具有a2＋b2＝c2的關係；而且，以這3個邊為邊長，所畫出來的3個正方形，斜邊上的正方形面積等於2股上的正方形面積之和。然而，不只正方形如此而已，有很多形狀的幾何圖形，也都具有這樣的性質：以直角三角形的3個邊長為其中一邊或直徑（半徑），在其斜邊和2股上所畫出來的3個相似幾何圖形，斜邊上的圖形面積也會等於2股上的圖形面積之和，就如同以直角三角形為中心，開出了千變萬化不同的花瓣一樣。

在方格紙上的方格點是否可連成正三角形是一道蠻有趣的問題;這個問題藉由兩種正三角形面積的算式，可以很清楚看出答案是否定的，幾何上的直觀不見得代表其正確性，更須以客觀精準的數據來輔助；除此之外，我們將正三角形條件放寬，以代數的基礎逐一探討各種可能的情況。

這篇作品源自學校模擬考的題目，題目中所探討的是如何將正多邊形兩兩相鄰排列，圍繞在一圓上且每個正多邊形和圓恰好有一個接觸點（相切），我們除透了過排列和計算的方式找出這一題的圖形，也試著針對其他的正多邊形與圓相切，還有圓與圓相切找出彼此間的關係。並且我們發現正多邊形圍繞圓形的一般化結果：即 4/n+2/m=1 ，其中ｎ為正多邊形的邊數，m 為環繞的該正多邊形個數！！

本研究是以台南市安平海水浴場的濱海植物為研究對象，觀測的季節為秋冬兩季。在研究過程中，我們發現濱海植物，主要以馬鞍籐、濱馬齒、鐵線草、蘆葦、牛筋草等為主。在研究結果中，馬鞍籐蔓莖的延長性最長，數量最多，其蔓莖生長的方向主要以東北邊為主，並且是海岸滿潮線以上最先出現的先驅者。在定沙力道方面，以蘆葦的定沙力道最強，其次為牛筋草。而定沙力道的強弱與植物的根系有關：主根越深、鬚根越多與沙粒的膠結面積越大，其定沙力道就會越強大，具有良好的固沙作用。對於人工消波塊的功用，雖然可以削弱海浪侵蝕的能量，但是對於沙土的固定作用是比較缺乏的，因此建議可以在海岸的邊坡地區，種植鐵線草來協助固沙，這樣應用自然界的力量來解決大自然的問題，才是對地球的永續經營。

光，我們到處都看得到，但是他是什麼樣子呢？我們在過馬路上時，也曾看到轉角有利用凸面鏡做成防止車子相撞的鏡子。上自然課時，有上到折射、反射，而我們也的確有看到反射的光和折射的現象。但是，我們所看到的都只是一個光的點，如果能看到一整條光一定能更清楚了解到光的性質、能呈現出一整條光線、能做出光性質的裝置，那一定能讓人更清楚的了解光的性質，而我們的實驗就很有很進展的空間。

本研究旨在探討磁鐵的特性，從實驗中，我們得知磁鐵兩端的磁力最強；斷裂後的磁鐵，磁極在兩端的磁鐵可以接回去，但是磁極在兩面的磁鐵則不行；大部分的材質板都不能隔絕磁力，但我們卻意外發現高炭鋼材料板的書架卻可以阻隔磁力；高溫和撞擊都會使磁鐵的磁力變小，而且將鐵釘高溫燒灼，置於一個磁場冷卻後，鐵釘就漸漸帶有磁性了。