第47屆--民國96年

經過一次天文研習營，我們對月球產生很大的興趣，進而展開一連串研究月球的過程。首先，我們利用天文望遠鏡和相機拍下月球表面圖，算出隕石坑的直徑深度比。接著模擬各種隕石撞擊月面的情形，包括不同的沙子大小，隕石大小，入射角度，入射速率及地下層結構，並量出模擬隕石坑的直徑深度比。最後將月球表面圖上所選取的隕石坑的直徑深度比和模擬撞擊實驗的比值比做比較，找出較吻合的情況，來研究月球的結構。根據比較的結果我們推測月球以前內部可能有類似地球軟流圈的構造，也可能是有些空洞，或都是硬的岩石。模擬撞擊是輔助我們了解月球結構的方法，但受限於月球的歷史很長，無法推斷隕石撞擊的時間及隕石坑的風化速率，因此誤差在所難免。

在 n 維空間中，若已知 m 個向量的坐標表示法，則可輕易地計算出這些向量兩兩之間的內積並寫成 m 階內積方陣。但反過來說，若已知一個 m 階的內積方陣，該如何建構其所對應之 m 個 n 維空間向量呢？本文將利用 m 階對稱行列式的特殊降階展開之方式，擬定其元素與若干子行列式間的恆等關係，並利用此恆等關係與內積方陣之特性，完整模擬其所對應之各向量。

談到畢氏定理時，大家都會想到：如果一個直角三角形的2股為a和b，斜邊為c，則這3個邊長具有a2＋b2＝c2的關係；而且，以這3個邊為邊長，所畫出來的3個正方形，斜邊上的正方形面積等於2股上的正方形面積之和。然而，不只正方形如此而已，有很多形狀的幾何圖形，也都具有這樣的性質：以直角三角形的3個邊長為其中一邊或直徑（半徑），在其斜邊和2股上所畫出來的3個相似幾何圖形，斜邊上的圖形面積也會等於2股上的圖形面積之和，就如同以直角三角形為中心，開出了千變萬化不同的花瓣一樣。

學校旁的公園正在整修，一堆堆沙土整齊的排放在公園裡，像一座座小山一樣，每座沙土的堆積層坡面與水平面之夾角(我們稱之為斜坡角度)，看起來似乎都一樣，令我們很好奇，爬上沙堆，用腳尖踢一踢，凹進去的洞又被斜坡上的沙土給填滿，所形成的角度好像還是一樣，這個有趣的現象，讓我們想了解每座沙堆形成的斜坡是否都固定同樣的角度？我們選擇比較容易取得的材質－鹽巴，在固定的高度下灑落數次，發現形成的斜坡角度大約 40°，但因為鹽巴容易潮濕，所以改用細貓砂做實驗，發現貓砂所形成的斜坡角度大約是 35°，又由不同的高度，不同斜面實驗去比較斜坡角度，結果也約為 35°，於是再進一步選擇不同材質的顆粒，例如：細砂糖，西米露，魚飼料，綠豆，黑豆做實驗。最後我們發現同一材質的顆粒會形成差不多的斜坡角度同一材質的顆粒會形成差不多的斜坡角度，而且決定斜坡角度的主要因素與材質本身相關。

在利用植物纖維製成手抄紙的過程中，我們做了幾個簡單的變化，增減輔助劑的量時發現，添加輔助劑可以改變紙張的觸感跟外觀，也同樣可以增加紙張的韌性，但過多的輔助劑並不會增加紙張的韌性；製程中纖維的長短也會影響紙張的外觀與韌性，長纖維所製出的紙張較粗操及有韌性，反之，短纖維的紙張則較為柔細與易斷；添加合成紙可以使手抄紙張變得堅硬有韌性；若纖維浸泡過漂白水所形成的抄紙外觀與手感與韌性均有改變，浸泡時間愈長，對上述的影響也愈大。

這篇作品源自學校模擬考的題目，題目中所探討的是如何將正多邊形兩兩相鄰排列，圍繞在一圓上且每個正多邊形和圓恰好有一個接觸點（相切），我們除透了過排列和計算的方式找出這一題的圖形，也試著針對其他的正多邊形與圓相切，還有圓與圓相切找出彼此間的關係。並且我們發現正多邊形圍繞圓形的一般化結果：即 4/n+2/m=1 ，其中ｎ為正多邊形的邊數，m 為環繞的該正多邊形個數！！

在方格紙上的方格點是否可連成正三角形是一道蠻有趣的問題;這個問題藉由兩種正三角形面積的算式，可以很清楚看出答案是否定的，幾何上的直觀不見得代表其正確性，更須以客觀精準的數據來輔助；除此之外，我們將正三角形條件放寬，以代數的基礎逐一探討各種可能的情況。

設Γ為一平面曲線而 P 為一定點 ， 自 P 向γ所有的切線作對稱點，則所有對稱點所成的圖形Γ1 稱為曲線Γ對定點 P 的切線對稱作圖 ， Γ1 對定點 P 的切線對稱作圖 Γ2 稱為曲線Γ對定點P的2-th 切線對稱作圖 ， Γ2對定點 P的切線對稱作圖 Γ3稱為曲線Γ對定點 P的 3-th切線對稱作圖 ，…… 。以下是本文主要的結果：結論 A：當Γ為一圓形而 P 為圓上一點時 ， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。結論 B：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為任意一點時 ， Γ的切線對稱作圖的切線 性質。結論 C：當Γ為任意平滑的參數曲線而 P 為(0，0)時， 計算其 nth 切線對稱作圖 的方程式。英文摘要：Given a plane curve Γand a fixed point P ,the locus of the reflection of P about the tangent to the curveΓis called the reflection to tangent line of Γwith respect to P.We denote Γ1 as the reflection to tangent line of Γwith respect to P, Γ2 as the reflection to tangent line of Γ1 with respect to P , Γ3 as the reflection to tangent line of Γ2 with respect to P ,and so on , we call Γn the n-th reflection to tangent line of Γwith respect to P. If Γ is a circle, and P is a point on the circle, we got the parametric equation of the nth reflection to tangent line of Γ with respect to P. And, for any parametric plane curve Γ; we got the method to draw the tangent of the reflection to tangent line of Γ.

元宵節路邊攤販，叫賣一種『滿天繁星』的小型手電筒，光源前面接著一串細細長長、顏色不一的透明塑膠「光纖」，把電池開關打開，細線頂端就會發亮！作者群首先意外發現光纖斷裂與轉折處，可透露建築物內部結構受損的訊息與方位；續而在應用雷射筆作全反射的實驗裡，再進一步發現「光纖雙向傳輸」及「光線槓桿原理」，可以用來偵測建築物的位移。「光纖」和「雷射光」相加乘，在生活中可發揮無遠弗屆的應用功能，值得大家來關注。在整個實驗過程中，對光纖導光特質有更進一步的了解；並且經由文獻的探討：鐳射偵測準靜物的位移等，變因的操控、觀測、分析，學到了網路資源蒐尋與擷取、數位相機、放大量測等方法、收穫良多。

在做透鏡成像的實驗中，意外發現除了課本所提到的成像外，還有其它的成像。為了進一步探討這些多出的成像的成因，而做了這次科展的實驗。推測這些多出的成像是來自於透鏡表面的反射，因為光線從一個介質進入另一個介質會在介質的交界面，發生折射和反射兩種現象，所以可以將透鏡的表面視為面鏡，由於面鏡的成像而多出其它的成像。為了確切地了解這些像的成因，藉用光學的高斯公式，以物距和像距的關係判定成像的原因。實驗結果證明之前的推測是正確的。除了課本提到的成像是由於透鏡的折射造成，透鏡的表面可視為面鏡，由面鏡反射成像，例如凸透鏡靠近蠟燭的曲面可視為凸面鏡。此外，還有光線先經透鏡折射再經面鏡反射最後再經透鏡折射而成像，例如光線經凸?透鏡靠近蠟燭的曲面折射，再經過可視為凹面鏡的另一曲面反射，最後再經靠近蠟燭的曲面折射而成像。同樣的情況，也適用在凹透鏡成像。