第47屆--民國96年

教室的月曆一個月一個月的抽換，代表時間流逝，對甫上國中童心未泯的我們，激起了對數學的好奇！撕下的月曆是否有特別的玩法？月曆上的數字配上新學到的一元一次方程式，激起了數個遊戲的火花。在遊戲一中，月曆上圈出任何十字型的五個數字和有何規則。遊戲二中，在月曆上隨意選出一個 4×4 的區塊，在從這個 4×4 的區塊依序選一數後便將和此數字同行同列的數字刪除，直到 4×4 的表格僅留下四個數字，尋找留下的數字總和有何規律。遊戲三中，找出一個 4×4 的區塊中，並在表格上方及左方填入 4 個數，將遊戲二的規則運用到此表格中，尋找留下的數字總和有何規律。

台灣有沒有會唱歌的砂丘呢？砂子怎麼唱歌?唱什麼歌?這些引起了我們的興趣。先做石頭摩擦或撞擊實驗，再用旋轉盤模擬自然界的流砂現象，接著進行南台灣野外調查，發現只要是相同地點的聲音頻譜圖，不論用甚麼方法都類似，如同指紋可發展成鑑定砂子來源的工具。白沙灣聲音像小提琴而南灣像大提琴。白沙灣聲音頻率最高，推砂法有三、四百赫茲，追蹤原因是顆粒較大且集中(0.25~1mm)，表面圓潤、光滑。可能因沒有夠大的共鳴體，南台灣沒有自己會唱歌的沙丘。綜合刮砂、搓砂、落砂等方法驗證沙子發聲機制混合有顆粒越小頻率越高的振動、縫隙理論及顆粒越大頻率越高的摩擦共三種理論。也進一步探討影響砂子唱歌的因素。

我們利用公式解來求出通過任意點的直線Ｌ，使其將三角形分割成任意要求的比例，我們將任意比例設為Ｋ：Ｓ，其中Ｋ為較小的部份，Ｓ為較大的部份。我們在計算過程中，將三角形的其中一銳角放置在Ｏ點，以Ｘ軸為邊，則三角形將會有三種情況，分別為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，我們將各個三角形再分為三種情況。我們將任意點設為 P，座標設為(u，v)，設直線 L 通過 x 軸的點為 Q，且 Q 要在 O 點與 A 點之間。通過三角形的左邊的點設為 R，通過右邊的點設為 T，且 R點要在 B 點與 O 點間，T 點要在 B 點與 A 點之間。則我們可以求出過任意點將任意三角形分割成任意比例的直線方程式公式。

在平面上，三角形有重心、外心、內心，若將討論的範圍提升到空間中，三角錐也有同樣的性質，我們利用了紙筆證明以及動態繪圖軟體 GSP 來呈現，來說明空間中的三角錐確實也有重心、外心、內心，而且其幾何性質，與我們所學平面上三角形的三心有極相似之處。

本研究由「有 n 個磚塊，每個磚塊的高度 1 或 2，要搭建兩根等高的門柱，其中高度 1的磚塊必須在高度 2 的磚塊之上，共有多少個構造方法？」開始，擴展到磚塊高度 a 和 b。其中 a＜b 且 a，b 互質。接著再找出 1，2 上下不限制時，n 個磚塊的排列方法數，也提出不重複的搭建方式。