第43屆--民國92年

參考書上的一題：「質量 M 之光滑半球碗以等速度在光滑水平面上運動，今將一質量 m 的小球輕放於碗底，試求小球第一次滑回碗底時，碗與小球之速度各為何？」其解答過程，視球在碗內為純滑動（因無摩擦力）。今把問題複雜化，設球與碗面間有靜摩擦力，致使球作純滾動時，則所求答案應如何改變？我們先引用高二物理課程中所學過的：靜摩擦、相對運動、力學能守恆、動量守恆、迎面彈性碰撞、圓弧面的純滾動及轉動力學等原理來推演公式，再設計實驗以驗證所推得的公式，最後並試做實驗誤差的分析與討論。

本文主要探討的問題是「以多種不同錢幣來支付 n 元的方法數」。研究方式多半先以觀察與考察特例為主，再思考、証明並推廣至一般的情況。主要所涉及的數學概念與技巧是數列遞迴的概念與消去法，在化簡的過程中亦常會遭預到高斯函數與相關性質。

最近在九章出版社的趣味幾何學看到了一道有趣的數學題目，使我聯想到多年以前的一部電影－「終極警探」，布魯斯威利在電影中利用可裝3公升水的容器，由已裝滿水的5公升容器中，把4公升水分出來，利用此重量而免除一場爆炸案，解決美國市中心所面臨空前絕後的災難。 \r 但如果遇到的情形如下述，又該如何解決呢？或許是我們都想當英雄吧!不過確實激起了我們高度的研究興趣與求知慾望。 \r

對於平面上Q個圓，我們研究了下列三個有趣的課題：(一)各圓之間相交關係的結構性並作分類。(二)各圓相互交會成另一新圖形時，如何設置使各圓上的交點數相同。(三)若(二)中的圖形存在，如何在各交點上放入數字，使每個圓上的數字和皆相等。對這三個課題的探討我們獲得一些初步的結果。

阿瑪斯號貨輪油汙事件，當時帶給台灣一陣不小的震撼，對我們來說更是記憶猶新。當時這艘貨輪因失去動力，擱淺於屏東恆春外海，1100 頓燃料油明顯外洩，又加上海象惡劣，無法立刻清除油汙，因此造成了嚴重影響大自然海洋生態環境的污染事件。因此我們幾位同學試著藉由一些科學實驗，去觀察、了解油的密度、混合、揮發、黏度及擴張等特性，想瞭解這些特性是不是和浮油有關，也進行了油體擴張速度的實驗，並且探尋嘗試各種可能清除、減緩及吸收油汙的物質，於是我們用了鐵沙、石灰、木削、紙削、樹葉、菜瓜布、草……等物質去做實驗，實驗的結果發現，鐵沙的吸油效果最好，木削其次。由於經過這一連串的實驗觀察與討論結果，我們決定做一件更有趣的事 — 設計一艘磁鐵吸油船。

2002 年10 月至2003 年4 月，我們就鸕鶿族群在金門最大的夜棲地－慈湖，調查其離巢與歸巢等移棲行為，發現該夜棲地的鸕鶿族群數最多的季節為 2 月，達 7750 隻。牠們每天早上約 10 時前離巢至沿海覓食，到傍晚約 6 時前回巢，其離巢與歸巢時間與遷移狀態有關；至於離巢與歸巢的方位，則與風向有密切關係有關係。牠們每天群出群歸，清晨以震撼之姿飛過天空，傍晚則又分隊，以不同的變換隊形歸巢，是金門鳥類重要的生態奇觀之一。

本文是應用我們在國中所學的許多幾何知識，先討論並解決：一、模糊角的分角線作圖；二、模糊角內部一點指向模糊角頂點的直線作圖。然後藉著以上兩種基本作圖，設法直接在模糊三角形上作出如一般三角形的內接或內切幾何圖形。而已知條件設定為：儘管每個模糊三角形的模糊程度不一，但是等待完成的密室並未觸及模糊地帶。由以上的說明，我們瞭解到最簡單的作圖法不一定就是有效的解決方法，也就是說，我們的研究內容必須要找出更多的基本作圖法以及更富彈性的密室作圖方法。我們集思廣益想出許多種模糊角的分角線作圖法以及模糊角內部一點指向模糊角頂點的直線作圖法。對於國中數學問題中較為常見的三角形內接(或內切)圖形，我們發現：運用相似密室的「關鍵點作圖法」是一種實作較為簡易的密室作圖法；而以關鍵密室內部為作圖根據地的「關鍵密室作圖法」是一種可以有效迴避模糊地帶的密室作圖法，若延伸以上這些作圖法的觀念並靈活運用，則會成為一種高成功率的密室作圖法。

因雨中的閒聊，而展開此次的研究。首先我們找一個詩情畫意的雨天，利用保利龍板及碼錶測出雨滴終端速度約為 9.07 公尺/秒，接著為了模擬雨滴落下的情形，我們在校內最高的建築物上做水滴的實驗，因雨滴有大小之分，故我們使用不同口徑的滴管來模擬雨滴的情形，由大樓樓層中滴下水滴，測雨滴的終端速度，但受風的影響很大，故再移至室內測量，再利用紙張測雨滴的大小，為了了解雨滴的大小與終端速度的關係，我們展開辛苦之旅，在幾乎放棄之下，製作二組光電計時器，而為了使保麗龍球準確通過光電計時器的感應處，以便感應計時，更是備受挫折。但也終於找到球的終端速度，再進一步探討球的表面性質及密度與終端速度的關係，最後我們利用風洞測出風阻大小，以進一步了解終端速度產生的原因。

在現實生活中，經常有許多隱私，小從兩人之間的通訊，大到國家之間的戰爭機密，都是不能讓其他不相干的人知道的；一般資料的保密，皆是妥善保存重要資料，諸如鎖在保險箱內；即使是如此，還是有被偷的可能。因此，就需要第二道關卡：將資料保密。這時，就要藉助加密的動作了。這樣一來，即使資料被偷了，別人所得到的，也只是一堆亂碼而已。由此可見密碼學的重要。 \r 寒假中，無意接觸到「數學小魔女」這本書，於是對密碼學產生濃厚的興趣。因此決定做篇有關密碼學的專題報告。 \r 我同時對書中的文字加密運算過程（參考資料）感到很大的興趣，認為此法的難度和安全性仍可再向上提升，所以想用簡單的數學計算來讓文字保密。 \r 在許多書中，有關密碼的記載，皆是以英文加密為主。幾乎沒有以中文加密的範例或方法的記載（就目前而言，我尚未找到。）因此，想研究如何用中文來進行加密的動作，讓加密時，不必再翻成英文，進行加密。這樣一來，當對方要破解密碼時，必需先考慮到我方是用中文或英文來加密，在安全性上，自然比原先糸統高出許多。 \r

本文進行最佳全翻位的研究。所謂「全翻位」係指 N 枚正面朝上的硬幣，每次將其中 M枚翻面（M≦N），若干次後，使所有 N 枚正面朝上的硬幣，全部反面朝上。本文的目的除了作全翻位的研究，亦企圖找到如何以最少次達成全翻位，亦即進行「最佳全翻位」的研究。更有進者，我們最終完成「包含所有狀況」（即針對任何 N 值及 M 值）的最佳全翻位研究。在我們的研究中，作者針對最佳全翻位，將所有狀況歸納成 5 種模式，並詳列各種模式的使用時機及操作模式，並且推導出 5 個最佳全翻位的公式，分別對應 5 種模式 7 種使用時機。研究的過程雖曾遭遇不少難題，然而能完成這份完整的報告，委實令人感到興奮，也期望對數學教育有些許貢獻。