第43屆--民國92年

題目:美國的特種部隊，必須在伊拉克橫越一片完全沒有食物及水的沙漠，到沙漠的另一頭進行機密任務，橫越沙漠要花五天。一個人只能帶足夠三天的乾糧及水，可以多人幫忙進行，請問至少要多少人，才能使一個人橫越沙漠完成任務？ 如果橫越沙漠要花六天，至少要多少人，才能完成任務？註1：不能有人餓肚子或餓死。註2：乾糧和水可以放在沙漠等需要的人取用，不會變壞。結論得到兩個數字關係（一）增加的人數順序1、3、9、27 2＝1＋1 5＝2＋3 14＝5＋9 41＝14＋27（七天任務人數）122＝41＋81（八天任務人數）（二）N 天人數＝3 倍N－1 天人數－1 2＝3×1－1 5＝3×2－1 14＝3×5－1 41＝3×14－1（七天任務人數） 122＝3×41－1（八天任務人數） （三）依次類推，我們得到任務完成的數字關係式。

在一次的數學專題中，老師提出了以下的題目：「有一隻若干人的軍隊，在戰敗中決定集體自殺，此軍隊圍成一圓圈依序從1號開始自盡，接著跳過2號由3號自殺?一直到全部的人都死光為止。此時，若有一人欲獨活，則他應位於何處？」在老師的深入淺出的講解之下，我們很容易用數學歸納法尋求並證明出其結果。但我在參加去年的全國網路數學競試時，發現有一題目竟與此題目相似，不同處是前兩人自盡，跳過下一人?依序下去。這便引起了我的極大的興趣，便想了解其中條件的變化對其結果有什麼關聯性，便深入的探討此題目。

一種可在膨脹狀態及未膨脹狀態間轉換的膨脹收縮瓶塞，為了簡化零件同時符合一般人的使用習慣，本設計之瓶塞包含：一彈性橡膠之塞座及一剛性塑膠之旋轉控座，其中該塞座之一控孔內具有一般設有螺旋導溝且具有孔徑變化的螺導段而該螺轉控座上具有一可在螺段內旋轉的螺轉頭，上述螺轉桿上徑向突出數條可在螺旋導溝內移動的螺旋突條。當螺轉控座之螺轉頭對應塞座之控孔內的一容置部時，該瓶塞在未膨脹狀態，可將瓶塞放置於瓶口內，而當螺轉頭轉到控孔上一假想孔徑小於容置部之膨脹時，受到螺轉頭的頂撐，該瓶座之一塞壁會徑向外擴，而使瓶塞由未膨脹狀態轉換到膨脹狀態，將瓶子密封。使用者之習慣即將瓶塞逆時針方向旋轉約本設計有兩種形式一種可重複使用之二段式瓶塞使用右旋螺紋，一種為不可重複使用之三段式瓶塞使用左旋螺紋，塞座之控孔內有一段無螺紋導溝的容置部。

選取能生吃的菜葉，並以日常生活可食用的十種為“標的”。將十種菜葉，分別以生的、燙的、炒的、回鍋炒的四種不同烹調方法，又分別搗成汁液，以橫向比較不同變化，再以縱向尋找共同現象。它們的共通點是“葉綠素被包在一種液體內”。我們將這液體，命名為───生物液。從“縱向”、“橫向”所發現的共通現象，以圖解來研判葉綠素的變化規律和性質，再以毛細現象來驗證。本研究供烹調時參考，以個人需要，採用不同的烹調方法來吸收最多的葉綠素。

在高二生命科學課程裡，我們學到了有關植物氣孔開閉的機制。光與保衛細胞內離子累積改變滲透勢為兩項要素，而一些有關植物方面的書籍對於CO2濃度、植物的水勢、溫度、ABA（離層酸）、pH梯度、ATP、內生節律、化學物質等因素會影響氣孔的開闔也有著墨，但究竟那一種因素對於氣孔的開閉影響較鉅？或是彼此間有連帶的關係存在？\r 於是我們便想針對不同的因素，來觀察氣孔在不同的變因下，受影響的程度與各個影響因子與保衛細胞開闔間的關係，並確認出各個因子對於氣孔的調節機制，以及對氣孔張開的模式與變因有通盤之瞭解。

奈米時代中半導體?業的關鍵薄膜技術是國家經濟命脈之一大要素，本研究希望藉由觀察烷類薄膜在水上的整個動態過程入手，深究其力學原理，亦即烷類液滴在水面上擴散時，薄膜的受力情形及前緣運動狀態並加以推廣，探討不同液量及混合溶液時，對擴散運動之影響；進而分析水道及廣域水面之間之差異，而能推廣瞭解薄膜動態分佈之物理機制。研究發現：造成薄膜擴張的因素，是烷類對水的附著力以及烷類本身重力與水之表面張力所造成的壓力差，會使薄膜向外擠壓擴張。又因?薄膜厚度的改變，使薄膜表層與水面之間的夾角變小，進而能增大薄膜前緣的內聚力的合力，以平衡水分子對其之附著力；也因?夾角的不同，所受到來自水的附著力之方向就不一樣，因此使得加速度值?生變化。本實驗使用之烷類－－正己烷及正庚烷，滴在水面後的瞬間就立刻向外擴張，原有類似汽油的色澤亮帶隨即消失，依據薄膜干涉原理－－得知薄膜在短時間（0.5~1.5 秒）內，其厚度降至 20000 nm 以下，但正辛烷因無擴張，其厚度太厚無色階之出現。未來將更進一步探討不同粉末、水溫、氣溫及水道材質對擴散的影響。應用於工業上，能使薄膜覆蓋之技術更臻精確完美。于日常中，亦可用於汽油品質之檢定。

上課中曾聽過老師舉了一個有趣的題目：「將二位數28的二個位數中，由大到小排列與由小到大排列的差，得一新數。新數的二個位數中，由大到小排列與由小到大排列的差，會再得一新數，??以此類推，可得到一個數列，且最後一定落在一組循環數或“終結”於某一數中。」好奇妙哦！此點論述，引起我們幾位莫大的好奇，因此我們就利用閒暇之餘,著手探討二位數最後會落在於何處呢？而三位數、四位數、??、至p位數又如何呢？

在一個 m×n 的方格棋盤中，用手將一顆邊長與棋盤一小格邊長相同的正立方體骰子，從棋盤左下角以骰子的一條稜為軸，沿著棋盤向右或向上翻入相鄰方格而滾動到棋盤的右上角。在每一次操作過程中，把骰子和棋盤接合那面的點數記錄下來並算其總和，求這些操作所得總和的最大值及最小值，並探討當發生最大值或最小值時，骰子位於起點的最初擺放面向為何。

參考書上的一題：「質量 M 之光滑半球碗以等速度在光滑水平面上運動，今將一質量 m 的小球輕放於碗底，試求小球第一次滑回碗底時，碗與小球之速度各為何？」其解答過程，視球在碗內為純滑動（因無摩擦力）。今把問題複雜化，設球與碗面間有靜摩擦力，致使球作純滾動時，則所求答案應如何改變？我們先引用高二物理課程中所學過的：靜摩擦、相對運動、力學能守恆、動量守恆、迎面彈性碰撞、圓弧面的純滾動及轉動力學等原理來推演公式，再設計實驗以驗證所推得的公式，最後並試做實驗誤差的分析與討論。

在一次展覽中，擁有了台灣菸酒公賣局所贈送的【彩虹六角拼圖】，引發我們對色卡的濃厚興趣，於是我們開始了一連串的研究。我們從三色卡開始著手，因為排三色卡很簡單，很快就完成了，接著我們就展開四色卡的研究。我們先定義了 A、B、C、D、E、F 六種樣式，A 和 F，B 和 D，C 和 E 互為三組搭檔。取 8 張相同的樣式加上另 1 其他的樣式，我們發現只有四個角落有解，這四個角落跟往後的研究有很大的關係。剛開始我們都很快地找出了規則；不過，取 4 張相同加上另 5 張其他樣式的情況裡，情況太多了，因此我們另尋思路。我們將九宮格看成四個田字型，中間的位置要正放，定義出右上、右下、左上、左下四個田字型，我們找出了田字無解的規則。雖未能找出有解的規則，但是我們利用整理出來的田字表格去分析，任給九張牌是否有解？最後我們發現了一個類似拉丁方陣的表格，分析出共有 47808 種不同的解答。