第62屆--民國111年

在坐標平面上， 坐標均為整數的點稱為格子點，本文的研究是探討有心錐線(含圓、橢圓、雙曲線)上的格子點問題。 首先探討科學研習月刊中的一道數論問題：「你可以找到多少組正整數對 ，讓 的平方減5是 的倍數， 的平方減5是 的倍數？」，特別感興趣於滿足上述條件的生成下一組解，此解可由盧卡斯數列的相鄰奇數項觀察出來，於是我們嘗試推廣至一般齊次線性遞迴數列的情形。進一步探討生成下一組解的遞迴關係、建構有心錐線方程式、此方程式有解的數論性質及計數格子點的個數。若由上述方式推導橢圓，在判斷數論性質上有難度，最後我們利用二次剩餘及歐拉-費馬定理來克服橢圓上的格子點問題。

本研究主題是在n×n陣列中，甲乙雙方輪流填入三種海蟲的遊戲探討。我們得到下列結果： 一、探究海蟲形狀與數量，我們利用「頭部的連接方向」和「頭尾的連接方式」，找出所有的海蟲圖形，並利用六連塊檢驗，確認所有的海蟲個數共是71種。 二、將陣列邊長點數n分成6k-3、6k-2、6k-1、6k、6k+1、6k+2等6個類型討論，找出n×n陣列可擺放海蟲個數的最大值。 三、探討只使用一種海蟲排入陣列的遊戲玩法，得到結果如下: 1. 6×6陣列遊戲結果必是甲乙兩方都放3隻海蟲，雙方平手。 2. 7×7陣列遊戲最佳結果必是先手甲方4隻、乙方3隻，由甲方勝1隻。

在m×n的矩形方格街道加上二元一次不等式的邊界條件，若甲從左下到右上，乙從右上到左下，各自沿格線走捷徑前進，探討兩人相遇的機率。過程中發現碰撞次數會影響機率，而碰撞次數則與卡塔蘭數的乘積有關，透過生成函數的卷積將此乘積記為c(n,k)，經由文獻探討找到計算的方法。為了容易看出碰撞次數，我們將c(n,k)透過變數變換定義T(n,k)，創建斧頭定理並就邊界是否通過原點及終點是否在邊界上分項討論，以表列方式呈現定理，大幅簡化機率的計算。最後將實際問題以分區概念應用上述定理，成功解決矩形的邊界問題。為了探討斜率大於1的邊界問題，我們找到L(n,r,k)的文獻，發現在r=1時與c(n,k)、T(n,k)有關，進而推廣至整數r>1的斧頭定理。而Fuss-Catalan numbers也與L(n,r,k)公式相似，可得相同推論。

台灣手搖飲料從 1990 年代發展，至今已超過 30 年。2010 年代更由台灣流行至東亞、歐洲、美國及中東各國。 在這飲料店滿街都是的時代，幾乎人人都喝過飲料，飲料剛出爐的時候，為了第一時間讓飲料降溫且快速交到客人手中，通常大多數的飲店家都會加入冰塊。但有些不肖業者會為了減少成本而使用沒有經過消毒的不衛生冰塊，我們覺得如果在飲品裡加入這些來路不明的冰塊會不衛生，而冷凍製冰機所製造出來的冰塊雖然衛生，可是沒有達到完全節能減碳的效果，而受到溫度的影響在杯中融化的冰塊，融於飲品中的冰塊會影響飲品的口感且越喝越淡，為了避免這些問題，我們測試了多種的研究方法，最後選擇用大氣壓力瞬間洩壓產生壓差達到瞬間降溫的效果。

疫情讓生活型態改變，易有腦霧現象。提供中醫養生心智圖的資料查詢，選出木、火、土、金、水行人相對應的中藥材，運用索氏萃取法提取中藥多醣，再進行苯酚硫酸法測其總含糖量，製成五種五行軟糖。因咀嚼肌活動可刺激腦神經間的突觸增加，掌控記憶、學習與思考。故透過金屬桿架、3D列印、馬達及程序控制器，連接具有Arduino程式化的電子秤，自製「模擬口腔咀嚼之物性測定儀」，進行軟糖咀嚼性之量測。實驗測得皆有多醣及咀嚼性，以金行人提供的薏仁軟糖，薏仁總含糖量為0.655g/g、咀嚼性為759.85gw，得知薏仁多醣及咀嚼性皆較高。依不同體質分別提供「五行軟糖」當養生零食，可活化腦部機能、改善腦霧，活出健康與自信。