第61屆--民國110年

近年關於垂足多邊形的研究，都著重在垂足「三角形」。本研究不限定於三角形: 給定任意正整數 n≥3，以及平面上的一個 n 邊形，從平面上一點 P 對該多邊形的 n 個邊(的延長線)作垂足，可得一個「垂足 n 邊形」。我們創新利用三腳架手法，證明: 給定三角形 A、B，必定存在一點 P，使得 P 對 A 的垂足三角形與 B 相似。再將三腳架手法推廣到任意 n 邊形，發現 n 腳架結構中，內、外 n 邊形面積的性質；並將上述結果推回三角形，研究內、外三角形定向關係，以及找出 n 腳架結構中，內 n 邊形面積極小時刻的特殊性質。最後，我們利用垂足性質定義特殊的等價關係，將 n 邊形分類。

本作品結合兩道題目，給出有趣且新的結果。 第一題：硬幣兩面分別為「H」和「T」，有n個硬幣排成一列，若恰有k枚H朝上，便 翻動左起數來第k個硬幣──H朝上的硬幣數量，決定左起第幾個硬幣要翻動。試證明持續操作下去，能在有限次內操作至停止，並求出操作次數的平均值。 另一題為講座中提出的：有n個燈排成一圈，按一盞燈，不是由亮變暗就是由暗變亮，而且它左右兩盞燈會隨之變換當前的明暗狀態，試求使其由全滅變成全亮的方法和最少操作次數。 它們都屬於離散動態系統，本研究除了解決競賽題外，創意在於結合上述兩題的條件，形成一道新題目，給出可以操作至停止的必要條件、以及操作次數平均值的猜想。

本研究起始於參觀風力發電機後的突發異想，想要藉由仿生學的靈感設計出可以因應颱風損害的摺翅風力發電機，進而找出理想的摺翅風力發電機原型。實驗選定了瓢蟲和隱翅蟲兩種昆蟲翅膀進行模擬，利用可摺疊的昆蟲翅膀作為扇葉，配上不同砝碼，探討了不同風速、不同尺寸、開、闔翅膀對轉動及發電效率有何影響，研究詳細記錄了摺翅風扇的表現並探討各項變因對轉動效應的影響，最後討論出理想的摺翅風力發電扇葉。本研究認為摺翅風力發電機是相當可行的做法，希望未來能實際應用於風機發電，並推廣仿生學在科學科技的妙用。

本研究在探討各小組成員最多n(n≥1)人，且符合分組條件的情況下，所構成班上學生人數之最大值及計數方法，藉由觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，進而發現各小組成員最多n人時所構成學生人數最大值之計數方法，其解法可分成唯一解、多重解，並發展出計數公式與應用如下： 一、在n×n(2≤n≤6)的方格表，只有5×5有多重解法，其他都為唯一解。 二、在n×n(n>6)的方格表，都有多重解法。 三、學生人數最大值之計數公式為，將(n的平方)減掉(n除以每一列(x)所得之餘數)，並分別求出當n為偶數(2k)與n為奇數(2k+1)之公式。 四、辦活動分組時，可藉由本研究所發現對參與學生的快速編碼法，以確定活動參與人數的最大值，進而用來準確預估最多可報名人數。

為了消耗地震時帶給建築物的巨大能量、並提升結構物抗震能力 ，解決地震帶來的困擾，因此我們探討建築物的共振現象、與裝設阻尼器及配置方式對減震效能之影響。本研究利用加速規-Palert、加速度測量APP-AccelView 、與振動平台等工具，量測自製之建築結構模型的受震反應與分析其共振現象，再加裝消能型阻尼器，並找出最有效之阻尼器配置方式。 本研究發現：(1) 振動平台的實測震度(gal)較理論值大，推測應是振動平台之滑軌平整度不完美所造成；(2)使用針筒作為消能型阻尼器安裝於樓層之間，減震效果顯著，而平均分布在結構立面的配置方式優於集中安排在低樓層，集中安排在高樓層者效果最差。因此，本研究建議採平均分布方式，可達最佳耐震效果。

我們從網路發現超音波居然能讓保麗龍粒懸浮在空中！對聲懸浮產生興趣後，我們自製能調整高度的檢測裝置，進行聲懸浮變因和移動的探討。 我們歸納最適合MiniLev聲懸浮裝置的換能器是上T下R頻率40 kHz、直徑16mm、開放型、收發分體，最佳懸浮高度為15mm，第二節點承載效果最佳。當高度改變，新節點是以「上下交替」方式增加，造成保麗龍粒上升距離為拉高高度的一半。 我們發現焦距15cm凹透鏡適合當反射板，防水且懸浮效果更佳，可取代不防水的換能器R。薄片適合當懸浮物，懸浮穩定且因「下大上小的順時針螺旋形力道」造成自動旋轉效果。色紙經手工或雷射雕刻機設計與切割，能製作可懸浮與旋轉的美麗造型，藉由控制高度還能改變轉速，是值得推廣的科普活動！

藍晒的基本原理是檸檬酸鐵銨加赤血鹽的水溶液，日照後形成普魯士藍的沉澱。本實驗則透過穩定可控的光源─單槍投影機，來做為主要的光源，除了可避免天氣因素的影響外，也可投射出各種圖案，我們透過操作感光液的比例、照射時間的長短、投影的顏色，試圖找出光雕投影的最佳模式，此外，也嘗試找出適合藍晒的定色液，以延續產品的壽命。由於開放場域的環境光可能影響結果，我們設計了”迷你電影院”以提升成功率。 結果發現，以比例5:4(赤血鹽溶液:檸檬酸鐵銨溶液)的感光液表現最好，投影的時間則是50分鐘就可以讓感光液充分反應顯色，而利用顏色的操作便可同時完成深淺不同的藍色，最後，以食用醋做為定色液的效果最好，作品既顯色又耐洗。

本篇作品旨在探討已知平面上 個點，分別落在正 邊形的各邊上，能否藉由這 個點找出正 邊形？而找出的正 邊形是否唯一呢？我們利用數學繪圖軟體Geogebra結合國中所學的幾何尺規作圖觀念作圖，從正三角形開始探討，進而延伸到正方形、正五邊形、…、正八邊形，最後探討至正 邊形。 作圖探討後我們發現當邊數較小的時候，可以透過平行或是邊長相等的概念畫出正多邊形；但邊數較大的時候，就需要透過圓內接多邊形的性質才能畫出正多邊形。我們透過圖形也發現平面上只要給定 個點，即可畫出正 邊形，且除了正三角形畫出來的不只一個，其餘的正多邊形都只能畫出唯一一個，最後我們利用三角形的全等及圓內接多邊形的性質證明之。

為了瞭解銀腹蜘蛛屬蜘蛛結網角度為何常與地面成一角度且角度變異極大，我們以此屬的常見種類西里銀腹蛛為對象，針對野外族群測量結網角度、結網面積、蜘蛛體長、結網高度及結網方位，結果顯示結網角度可從9度到70度，以46 – 50度最常見，而且結網角度與結網面積、蜘蛛體長、結網高度及結網方位均無明顯相關性。 我們從結網角度與受風面及捕蟲率的關係來思考，結果發現，在結網角度與地面垂直時之捕蟲率比起水平時明顯來的高，但結網角度越大即越垂直於地面，受風面越大，故必須織出較強的絲，需花費較多能量；所以西里銀腹蛛可能需在花費較多能量編織強度較強的蜘蛛絲與捕蟲率上取得平衡，因此結網角度才會有如此大的差異。

從科學研習月刊中「森棚教官的數學題」的一道數論問題： 「你可以找到多少組正整數對(a,b)，讓 的平方減5是b的倍數，b的平方減5是a的倍數？」 觀察到盧卡斯數列相鄰奇數項滿足原問題的解，也發現某數列與原問題的解間滿足充分條件，於是延伸問題改為數列恆等式，推廣更一般情形，即 階整係數齊次線性遞迴數列，簡稱 階線性遞迴數列。本作品建構兩種k階線性遞迴數列來探討，其兩數列分別是由盧卡斯數列及費氏數列類推而得。 第一種數列是利用特徵複數根性質來探討，而第二種數列是配合k階Cassini恆等式來求其解。最後利用兩個恆等式或不等式來描述上述兩種數列，是由Vandermonde行列式來論證。