第57屆--民國106年

本研究主要探討將多塊長、寬不同的矩形拼成一塊大的正方形的情形。在圖形結構為 5 塊矩形時，我們分別討論了用等差數列、等比數列、費氏數列作為五塊矩形的長、寬的情況。在討論完圖形結構為 5 塊矩形的情形後，繼續去探討圖形結構為 1~4 塊矩形以及圖形結構為 6 塊矩形甚至是結構為 7 塊和 8 塊矩形的情形。

一、 我可以從K值判斷完成狀態的首卡奇偶性及是否可解，也可以判斷從某種牌卡 狀態能否經過有限次移動變成另一種牌卡狀態。當牌卡狀態的K值奇偶性相同，則可經有限次移動完成變換，若奇偶性不同，則需改變首卡奇偶性才能完成。 二、 我找到三階段(偶數張牌卡)及二階段(奇數張牌卡)標準解題流程(以6張卡為例)可將任何牌卡排成完成狀態。 三、 利用號碼平移的方式，在找到一組牌卡的移動最少步數後，一併找出其他組的最少步數，簡化牌卡情形。 四、 5張卡及6張卡的操作過程可作為奇數張牌卡及偶數張牌卡的基本模型，隨著牌卡數增加，只要不斷增加首卡連號數量即可，此兩 種牌卡數之餘卡則固定為3張及4張。

市售抽油煙機多以過濾集油的方式處理，我們嘗試將皂化反應引入油煙處理過程，使油煙轉成肥皂，避免後續汙油處理及空氣汙染。裝置設計著重在集中油煙，加速皂化，組裝偵測儀器。第一代裝置，以寶特瓶為淨化桶，再以抽氣降低桶內壓力，使油煙流入氫氧化鈉溶液)，偵測透光度改變，證明概念可行。改良裝置，以全罩油煙管、漸縮管、強化風扇組合，使油煙有效流入淨化桶；在淨化溶液中加入界面活性劑，放置靜電板吸附油煙，再加裝電子攪拌器及二次淨化桶，提高反應淨化效率。為解決風扇馬達過熱，以虹吸原理加裝冷卻水管。第四代裝置為例，依光度分析及煙霧微粒檢測，得知二次淨化處理後，可達百分之九十以上淨化率，接近空氣背景值。

我們觀察到桐花落下的旋轉情形，設計實驗來分析旋轉的因素。吾以樂高機器人製作發射器，高2.8公尺，進行各種模型落下的實驗，發現： 1. 平面模型落下會亂飄，無法形成旋轉。 2. 利用花瓣彎曲或增加花萼重量(重量為花瓣總重量2倍以上)，讓模型穩定落下，形成氣流壓力差，成為旋轉的動力。 3. 發現花瓣越長，越易旋轉；三角形花瓣也優於長方形。 4. 花瓣俯視為右上左下重疊是順時針方向，左上右下是逆時針方向，我們也用氣流的分力來分析轉動因素。 5. 利用電扇，製作旋轉模擬器，以雷射光與光學感應器來記錄桐花模型旋轉的歷程，分析出3片花瓣的模型不易啟動，但轉動的末速度最快。 我們摘取櫻花、杜鵑花、雞蛋花、小雛菊，也發現它們都有順時針旋轉狀況。

本文先證明任意n邊形從平面上一定點對各邊連續外翻n次後，所得最後n邊形和原n邊形必相似，但不一定有相似中心。假設那個定點又恰好是兩者的相似中心，本文稱此點為一個自守點。若外翻n次後要保持成為相似中心，則同側分角和需為(n-2)×90°。在一般△中，文中用尺規作圖找出22個自守點，透過這22點可大約勾勒出此△的自守點軌跡。緊接著利用相似中心的特性求出軌跡方程式，並畫出軌跡。n邊形的自守點曲線有n條，對稱軸必為其中一條。 在正n邊多邊形上，本文利用對應邊長比值函數式畫出邊長比值曲線，並求出最大比值倍數，文中發現n≥4的正多邊形都在中心點產生最大比值，但△例外，它是在外部且比值最大為3倍。

一、階梯算法 更改庫恩植物栽培法的限制，使方程式的根形如走階梯般向上攀升，且不下降。 二、牛頓算法的限制 1. 牛頓算法一次只能算一個根，算出多項方程式f(z)=0的一個根ζ以後，用(x-ζ)除原來的多項式，得到一個階數降１的多項式，再用牛頓算法求這個新的多項式根，這樣一次一次降階，可以把全部的根算出來。 2.牛頓算法有時很難控制，且計算是否成功，是沒有保證的。要使牛頓算法成功，重要的是找到一個足夠好的迭代出發點z0。 三、比較各個求解方法，結合牛頓算法與階梯算法 階梯算法的優點是保證成功，牛頓算法的長處是進入快速收斂區後收斂極快；將兩種算法的長處結合起來：先使用階梯算法把迅速收斂區域的位置確定，再改用牛頓算法迅速向方程式的根靠近。

本研究利用石墨烯高導電、高表面積等特性製成碳布電極，並研發出具高電子轉換效率的EDTA˙Fe3+作為觸媒，成功開發出新型微生物燃料電池。將自製的石墨烯以Polypyrrole固定修飾在碳布表面，取五片此修飾碳布作為陽極電極，陰極則為兩片未經修飾之碳布。利用食品級酵母菌在陽極槽對葡萄糖行厭氧氧化反應，產生的電子經外部導線抵達陰極，利用陰極槽EDTA˙Fe3+與EDTA˙Fe2+間快速轉換，提升電流值。 實驗結果顯示單顆電池電壓即可高達0.7 V，電流則達323μA，電池續航力高達兩小時，較傳統的微生物燃料電池電壓0.35~0.5V高出許多，且具有低汙染及低成本等特性，另外我們研發出的無毒陰極修飾劑EDTA˙Fe3+更符合綠色能源的概念，可望未來能將本實驗微生物燃料電池應用於農牧業的燈具。

市面上常看到琳瑯滿目的棋類遊戲，嚮往著自己也能夠創造出一個嶄新的可行遊戲，我們決定開始行動。 新遊戲規則: 1.使用使用四種不同形狀棋子，以不同排序來進行遊戲。 2.遊戲雙方各佔棋盤上的左右或上下方，盤中佈滿6×6個正六邊形，雙方輪流下一次棋子，誰先完成連接左右或上下方，就贏得此遊戲。 3.輪到的一方無法落棋即輸。 根據我們實驗結果，新遊戲有24種不同之變化排列，我們認為任何棋子排序皆能適用四種提升勝率的法則---預留法、空洞法、雙通道法、關鍵點法，不管是先手或後手在此遊戲規則下都是「公平條件」做競爭，每回的遊戲時間不冗長，讓不懂數學概念的人也可以輕鬆上手，所以我們認為這個新遊戲的創造是成功的。

將兩片太陽能板同極對接並改變光照條件，以產生不對稱的光線後，便能在太陽能板之間產生拉鋸性的電流，設計追日旋轉系統： 1.利用斜口遮罩外觀配合光栅板的疏密與長度，便能與光線強度產生幾何的關係 2.四片兩組(前+後、左+右)光電板，可產生拉鋸電流來控制二維立體的追蹤馬達 3.以雙向指針電表作為追蹤控制的切換開關，靈敏度遠優於微型馬達的啟動電阻 4.電表開關可控制外部電源啟動追蹤馬達，或切換將光電板發電回充至外部電源 以上組合設計，產生高靈敏度的追蹤效果可適用在平行光(太陽光)與非平行光(散射光)。實測發現：在日照10000Lux以上，光線偏斜10°以內就能感應產生追蹤效果且誤差在±3°以內，相當靈敏且精確。

本研究主要在探討影響圓筒滑翔機飛行距離的因素。我們將影響因素分為環境、操作和本質因素等三方面：為了控制好環境因素，我們選定了室內的多功能教室作為實驗地點。此外，為了避免人為操作的差異，我們以自製的發射器作為實驗工具，以控制發射時的「力道大小」和「發射角度」。針對圓筒滑翔機的本質因素，本研究進行了「內摺次數」、「不同紙質」和「紙張磅數」等實驗。研究結果發現，用影印紙所摺出來的圓筒滑翔機，適合用 200 gw 的力道，並以10度的發射角度進行施放，飛行狀況能較穩定又遠。手邊常見的紙質中，以粉彩紙較適合用來摺圓筒滑翔機。此外，以200磅的西卡紙所摺出來的圓筒滑翔機，其飛行距離會較佳。