第55屆--民國104年

設n是整數, 且滿足n≥2, 一個排列σ : {1,2,...,n} → {1,2,...,n}可以表示成包含坐標平面上n個點的集合Pσ = {(k ,σ(k )):1≤k ≤n}, 在一個以(1,1),(1,n),(n,1),(n,n)四個頂點所圍成的正方形, 其四邊皆與座標軸平行, 這個集合Pσ有最少2個點, 最多4個點在正方形的邊界上, 我們求出恰有m個點落在正方形的邊上的種類與方法數如下 當m=2時, 方法數為2(n-2)! 且n≧2 當m=3時, 方法數為 (n-3)!*4(n-2)2=4(n-2)(n-2)! 且n≧3 當m=4時, 方法數 (n-2)(n-3)(n-2)! 且n≧4 之後再推廣至三維空間: 設n是整數, 且滿足n≥2, 一個排列σ : {1,2,...,n} → {1,2,...,n}, 另一個排列τ: {1,2,...,n} → {1,2,...,n}, 可以表示成包含三維坐標平面上n個點的集合 Pτ= {(k ,σ(k ), τ(k ) ):1≤k ≤n}, 在一個由邊長為(n-1)所構成的正方體, 其十二個邊皆與座標軸平行, 我們求出恰有m個點在他們正方體邊界上的種類與方法數如下 m=0時{a6=6, a7=30, a3=90 an+1=an+n2-9n2+26n-24, n≧6 m=1時{a4=4, a5=30, a6=96 an+1=an+9n2-41n+46, n≧4 m=2時{a2=1, a3=7, a4=28 an+1=an+15n-24, n≧2 m=3時{a3=2, a4=4, a5=6 an+1=an+2, n≧3

水有三態變化，液態、氣態及固態。平常我們常食用的冰品會因為溫度升高而溶化，由固體轉變為液體，難道只有溫度會影響冰的溶化及掉落嗎？還是有什麼不同的因素會影響冰的溶化及掉落呢？因此本研究設計了不同的實驗，來探討冰在各種不同的變因之下(冰棒棍刻紋、原料溶液、濃度、風速、風溫、水溫、容器中、冷劑添加物等)觀察冰的溶化及掉落情形。

本文探究由一人獨自進行的遊戲，探討最後是否能將兩堆石頭移動形成數量相等的狀態，稱之為「穩定狀態」。探索過程中，我們利用數對(x, y)來表示兩堆石頭分別有x, y顆的情況，利用輾轉相除法的形式來記錄移動過程，而因為遊戲進行中，兩堆石頭的總數不變，因而以此總數進行分類觀察，我們發現並非任意數對(x, y)皆能形成穩定狀態。 藉由列表觀察後，我們猜測當x+y=2k時，任意數對(x, y)皆能形成穩定狀態，我們用二進位制驗證，並進一步得到定理1： 定理1：數對(2k－p×2m, p×2m))形成穩定狀態所需的次數為k－1－m次。 另外，因為數對(qa, qb)和(a, b)的移動方式類似，得知定理3及4如下： 定理3：數對(q2k－pq×2m, pq×2m)形成穩定狀態所需的次數為k－1－m次。 定理4：若x+y=q×2k , q≠1, 且x, y的最大公因數為r×2m，q≠r時(x,y)無法形成穩定狀態。 由以上定理1、3、4，可歸納為定理5如下： 定理5：若x+y=q2k(q為奇數), 且x, y的最大公因數為r×2m，則 1.q=r時，數對(x, y)形成穩定狀態的次數為k－1－m次。 2.q≠r時，數對(x, y)無法形成穩定狀態。

我們藉由紅光雷射通過石墨懸濁液的透光率變化，探討沉澱過程中濃度和時間的關係。我們首先測量紅光雷射通過不同配製濃度石墨懸濁液的透光率，建立「透光率-標定濃度」對照表。接著，我們測定雷射長時間(12小時以上)通過石墨懸濁液的透光率變化，發現其濃度變化率隨沉澱遽減，並在標定濃度0.04~0.06kg/m3達近似穩定態。理論部分，我們藉由史托克定律建立不考慮擴散效應的沉澱模型，與實驗結果對照，分析擴散效應對於沉澱的影響。我們推斷3微米以上的粒子擴散效應不明顯，而0.6微米以下粒子的擴散與重力造成的運動達成近似平衡。同時我們比較了石墨粉末在食鹽水中沉澱的特徵，探討介質對粒子沉澱的影響。

本研究主要是針對消波柱的形狀、排列方式及消波柱與橋墩距離，探討消波柱對於減緩水流衝擊力的影響，進一步尋找減緩水流衝擊力最佳模式。在消波柱的形狀實驗中，實驗結果呈現以消波柱尖角正對水流方向擺設，最能減緩水流對模擬橋墩的衝擊力，等腰三角柱體之效果以300 ﹥600 ﹥900 ﹥1200 ﹥1500 ﹔進一步實驗，我們調整消波柱的排距、間距，由實驗結果發現，當排距為5cm，消波柱間距為2cm，消波柱放置於模擬橋墩距離30cm～40cm的效果最佳。綜合以上實驗結果，有效減緩水流對橋墩的衝擊力不能只是阻擋，必須使用部分阻擋、部分緩衝方式更能達到緩衝水流效果，最佳模型建議為消波柱間距2cm、排距5cm、距離橋墩30cm～40cm，對水流的衝擊力能降到最低。

以2007~2015年規模大於5.5的地震，配合國家通訊傳播委員會電離層觀測站的電離層圖與頻率特性圖找出電子濃度異常時段，觀察地震規模、地震深度與震前10日之間的關係，並觀察造成電子濃度異常的震前天數、震源與測站間距離、地震的規模與地震深度的相互關聯。 影響 到電離層的旺盛期位於震前3～5天，震前一天為寧靜期 ，與規模大小無明顯關係。 台灣東部太平洋海域小規模地震較不易影響到電離層，推測地震規模小釋放出的電子也少，可能被海水 吸收 。地震前兆電子釋放所在位置 的岩質剛性越大 ，較容易影響到電離層 。 震源離測站距越遠，若要能影響電層 E層，則地震的規模就需要越大。地震前兆影響電離層 E層範圍半徑 R與地震規模 M的關係模型 為： R=100.65M

當兩金屬相接後置於電解質溶液中，經由測量兩端氫氣產生量，分析(1)僅一端金屬可與電解液反應時，電子的流動狀況。及(2)兩端金屬皆可與電解液反應，電子的流動狀況。藉此探討金屬還原力及反應速率對於電子流動的影響。 為進行定量分析，經過不斷嘗試錯誤，成功自製安全方便的排水集氣實驗裝置(圖7-1)進行研究。

網路上提及旋輪線的性質許多都與物理相關，較少有數學方面的深入探討。我們先利用繪圖軟體試著繪製出旋輪線，然後以旋輪線的基本性質為出發點，進一步拓展到外旋輪線及內旋輪線，探討它們之間的相互關係，並試著找出各種不同變形間的規律與性質。

本研究以新竹縣竹東軟橋地區原生的圓葉挖耳草為研究對象，研究結果如下： 圓葉挖耳草分佈於濕潤、pH值4～6的岩壁上。無根，走莖發達，植株約2~3cm；單葉圓形或匙形；花粉紅或紫紅色，花柄高1~2cm，有花距；果實為乳白色蒙古包狀；種子橢圓，表面布滿倒刺。捕蟲囊為圓形囊袋狀，觸角狀毛為二分岔錐狀，無觸發毛，但能黏住小生物；植株生長受水分多寡影響。捕蟲囊從囊瓣出現到發育成熟約需9-11天。 圓葉挖耳草為雜食性，50％的捕蟲囊中有藻類，37.5%為小蟲，以搖蚊幼蟲和線蟲為主。59％的捕蟲囊囊口含花青素，多呈紫紅色、紫色或藍色。花青素的顏色變化與食物種類、消化時間及外在環境的酸鹼值有關，亦可能有預防強光突然照射與引蟲入袋的功能。

為了開發以太陽能晶片做為感知器的紫外線即時監控自動防護系統，我們研究了兩種太陽能晶片發現，使用多晶矽Multicrystalline)型太陽能晶片即可利用太陽輻射強度與紫外線強度強烈的相關性達成紫外線偵測的目的。 若使用III-V族三接面太陽能電池(GaInP/GaAs/Ge)特有之物理特性，磷化銦鎵(GaInP)吸光層更可針對太陽光譜中紫外線成分(波長<400 nm)作偵測。實驗證實電池之電流輸出將受限於磷化銦鎵(GaInP)吸光層。利用上述太陽能晶片特有之物理特性，配合簡單電流檢知電路設計，即可設計出即時偵測太陽光譜中紫外線強弱的裝置。 本裝置另外加入以紫外線強度作為參數控制的伺服馬達，可以自動啟閉遮陽罩，以達成即時偵測紫外線，與室內紫外線防護自動化的目的。