平方數列
本研究探討的主題是:給定正整數n,是否存在1~n的重排數列,使得「相鄰兩項之和都是平方數」。對於滿足上述條件的數列,我們稱其為平方數列,我們探討哪些n使得1~n可排成平方數列。對於某類的正整數n,我們已找到構造平方數列的方法: 1.若正整數a, b, c及k=0, 1, 2, 4滿足a>b,a2+b2-k2=c2且(a2-k, b2-k)=1,則1~a2-1可排成平方數列。 2.若正整數a, b, c, α, β滿足a>c>b,b2+c2=α2,a2+c2=β2且(a2-b2, c2)=1,則1~a2-1可排成平方數列。再者,我們可以證明n=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、18、19、20、21、22、24時,1~n無法排成平方數列;藉由有效率的程式運算,我們得知n=15、16、17、23及n=25、26、...、144時,1~n可排成平方數列。若平方數列的首尾兩項相加也是完全平方數時,我們將其定義為平方項鍊。我們造出1~32的平方項鍊,進而可知 1~32排成平方數列的方法至少有32種。對於特定的n,我們可將1~n排成平方項鍊;而我們更證明出,n=32是可將1~n排成平方項鍊的最小正整數。