排隊站好
本篇科展主要從一道古老的數學題目開始,"正整數中,被4整除或被4除餘1的數刪去,新數列{an}={2,3,6,7,10,11,……},求[√(S1 )]+[√(S2 )]+[√(S3 )]+...+[√(S2014 )]=?([ ]為高斯符號)",直接延伸原題探討"當A={a,aϵN & a≡2 or 3(mod 4)}, Sm1 為A中的第m個元素,Sm2=Σi=1mSi1 ,為何[√(Sm2 )]=m?",進而加以推廣探討" 當 A={a ,a∈N & a≡k1 or k2 or … …or kp (mod x)},Sm1 為A中的第m個元素,Smn+1=Σi=1mSin 時,則A應滿足什麼條件,才能對所有的n和m,都有[n√Smn)]=m的結果?"
蜜蜂路徑-找回失落的數字
給定S為{1,2,3,...,n2}的一個子集合,並預先將S中的數字填入一個n階方陣。若能將剩餘自然數{1,2,3,...,n2}-S全部填入此方陣中尚未被S所佔據的格子,滿足『相鄰的數字需填入方陣中相鄰的區域』且『填入數字的方法是唯一的』,則稱S為n階方陣的一個『確定集』。由於子集合S的『元素個數』與『預先填入的位置』為此問題的重要條件,在本作品裡,我們探討確定集S所需的『最少元素個數』以及『填入n階方陣中的策略』,使得若刪除S中任何一個元素,則剩餘自然數填入方陣的方法皆不唯一。我們研究的手法是透過定義『連續對應函數』,並觀察低階方陣的特例,找出最小確定集的條件並加以推廣到一般情形。我們也觀察了填入路線,與路線轉折次數所造成的影響,並得出一些有趣的數學性質。