給定一 m×n 點方陣或一 a×b×c 點方塊，若兩點間的距離為1，則定義此兩點相鄰。於方陣或方塊內，一筆畫出一個由相鄰兩點連接之線段所組成之圖形，且路徑不重複，使得經過之路徑長最大。路徑長最大的圖形可能有多種。本次研究的主題，是探討點方陣與點方塊的一筆畫圖形之最長路徑，以及探討特定狀況下，圖形完成最長路徑之走法數。

本篇文章主要討論平面上三角形一個幾何定性性質的推廣，我們考慮的原始問題如『引理一』所述，即『一個三角ABC內部有一定點P，連接直線AP、BP與CP分別交BC、CA與AB三邊於P1、P2與P3三點，則PP1/AP1+PP2/BP2+PP3/CP3=1成立。』我們發現此結果在正2n邊形與正2n-1(n≥2 )邊形中也有相對應的推論，只是定值不再是1，而是會隨著邊數的不同而有所改變，我們可以表示出數個比值相加後之定值的一般化公式。此外，我們亦考慮非正多邊形的情形，但我們發現任意多邊形內的一點P並不再完全保有這個性質，僅有部分的P點可以維持這樣的性質。另外，我們亦將『引理一』推論到空間中的『任意四面體』、『正六面體』與『正八面體』，至於『正十二面體』與『正二十面體』上的推論尚在努力中，而任意多邊形內具有這些性質的所有P點所形成的軌跡也是我們接下來想要探討的問題。

給定S為{1,2,3,...,n2}的一個子集合，並預先將S中的數字填入一個n階方陣。若能將剩餘自然數{1,2,3,...,n2}-S全部填入此方陣中尚未被S所佔據的格子，滿足『相鄰的數字需填入方陣中相鄰的區域』且『填入數字的方法是唯一的』，則稱S為n階方陣的一個『確定集』。由於子集合S的『元素個數』與『預先填入的位置』為此問題的重要條件，在本作品裡，我們探討確定集S所需的『最少元素個數』以及『填入n階方陣中的策略』，使得若刪除S中任何一個元素，則剩餘自然數填入方陣的方法皆不唯一。我們研究的手法是透過定義『連續對應函數』，並觀察低階方陣的特例，找出最小確定集的條件並加以推廣到一般情形。我們也觀察了填入路線，與路線轉折次數所造成的影響，並得出一些有趣的數學性質。

近年來流行的轉珠遊戲大同小異[1]，其玩法是可以從任一顆珠子來移動，所以能自由移動的方式相當多，找出最短移動路徑也相對的複雜。起初先從數字拼圖開始[2]研究起，若起手之珠子看成是空格的話，移動珠子等同於數字拼圖的數字移動至空格處，別於數字拼圖的固定位置擺放，轉珠遊戲以這個架構延伸變化，本篇試著先從3X3所有的盤面中找出最佳的移動方式，然後將所有5X6分割成若干個3X3中的盤面，而從每個部份的最佳路徑，找出整個5X6的最短步數，進而希望找出解出m x m路徑的規則。

本文的主要研究目標是動態追逐問題，在經典的追逐問題中，質點的瞬時速度無時無刻指向其目標點，因此必須處理微分方程；而我們所定義的追逐方式是質點的位移無時無刻指向其目標點，換言之，出發點、質點及目標點三點恆在一直線上，這樣的追逐方式使得我們可以引進位移的觀念，並利用解析幾何、向量、三角函數、畢式定理、正弦定理以及參數式而得到下列結果。 1.質點做正n邊形動態追逐的軌跡方程式及路徑長 2.質點做正n邊形動態追逐時質點間的相對軌跡 3.質點做n邊形動態追逐的軌跡方程式 4.質點做單向追逐的軌跡方程式 5.質點做圓形追逐的軌跡方程式 並將我們的結果與經典的動態追逐做比較。 最後希望能將動態追逐推廣至三維空間，並將所有問題推廣發展成另一類新的追逐問題。

本實驗的目標：比較不同種類及不同添加量的膠體溶液與重金屬離子混合後的差異，以尋求最佳的重金屬離子去除條件。從本實驗中可以得知：對Pb2+而言 ，以養樂多的去除效果最佳；對於Ni2+，則以低脂牛奶效果最佳。 由於不同的重金屬離子所對應的最佳螯合劑不同，所以不同膠體溶液吸附不同重金屬離子的程度也隨之不同，也因此我們可以推測出膠體溶液即為天然的螯合劑。 然而根據本實驗亦可發現動物性蛋白與植物性蛋白間的差異，這可能是造成豆漿與乳製品之間吸附能力差異的原因。 希望藉由本實驗發展出的系統，應用於其他重金屬離子去除率檢測的實驗，並且加深加廣，能普遍用於各種重金屬離子的檢測。

本篇研究主題為給一定角∠XOY，在定角內某一定點P，則任意通過P之直線L分別交直線OX, OY於A, B兩點，我們想研究當通過P直線L開始變動，則三角形△OAB外心OOAB 、內心I、重心G、垂心H、第一費馬點F1、第二費馬點F2軌跡圖形為何？特別當∠XOY=π/2時可利用解析幾何的方法，證明外心OABO 、重心G軌跡均是雙曲線，內心I軌跡是一條在x-y=0及x+y=0上的線段，垂心H就是頂點O，第一、二費馬點F1、F2軌跡分別為圓。即六心在此情形下均屬於圓錐曲線，事實上當∠XOY為一般角度時，利用純幾何證明發現，重心G、垂心H、外心OABO軌跡均為雙曲線，第一、二費馬點F1、F2軌跡也均為圓，之後將問題推廣到三維空間四面體O-ABC，若考慮給定空間中四面O-ABC，且平面ABC恆通過定點P，研究此四面體O-ABC 外接球心O1、重心G、內切球心I軌跡圖形為何，發現與平面狀況類似結果。

本研究主要探討在一正方形土地內設置的商家數目與最佳擺放位置間的關聯。我們定正方形邊長為1並將其坐標化，假設客源均勻分布在正方形中。以點表示商店的位置，以該點為圓心畫出的圓表示此商店擁有的腹地，且設每一商店擁有相同的腹地大小。首先，以較少圓數(1~3)覆蓋此正方形求其最小半徑，並從圖形觀察得到「整齊放法」的概念。接著，證明當各列圓數越相近時所得半徑越小，經計算發現當圓數n值介於(k－1)×k與k×(k+1)間時，以k列「整齊放法」所排出的圖形可得最小半徑，續以較多圓數(5~12)繪圖檢驗其正確性，且推廣證明「整齊放法」亦可用於任意圓數n。最後比較多邊形放法與整齊放法所得半徑之大小。

中質量黑洞在研究超大質量黑洞的演化進程上扮演重要的角色，目前只能透過黑洞吸積過程中輻射出的光源來推測他們的存在。宇宙中有一些異常明亮的X光源，稱為星系核外超強X光源(off-nuclear ULXs)，他們的亮度超過恆星質量黑洞等級的天體所能達到，即為中質量黑洞極佳的存在證據。 本研究使用了錢德拉深景南半球探測(Chandra Deep Field South Survey 4 Ms, CDFS 4Ms )資料，搭配可見光影像疊圖，篩選出符合條件的X光(off-nuclear ULXs)，探討這些X光與其宿主星系的性質。 在這些中質量黑洞候選者當中，有許多具有高紅移的特性，他們的特別之處在於能反映宇宙早期的情況。目前我發現可以透過宿主星系的型態推測得出數個中質量黑洞候選者的性質，即中質量黑洞候選者具有高恆星形成率與低硬度比的特性。

為驗證「酒精燈燃燒速率與環境熱阻成反比」之理論，本實驗仿參考文獻【一】作法並重現其實驗系統，做法為補強數據點並使用更多比對方式，實驗結果顯示該理論符合實驗再現性。 為實踐理論之應用性，設計縮小比例之「具有煙囪房屋」模擬對流系統，並使酒精燈芯蕊於爐火中心燃燒，透過設計、改變環境熱阻之變因，觀察酒精燈燃燒速率及煙霧走向，藉以了解環境熱阻及氣流如何變化。 本實驗根據模擬屋實驗結果設計對流風管系統，最後發現透過控制轉速及風洞開口大小可使火爐燃燒速率制控於「燃燒速率最大值為最小值之5倍」。