高中組

從此次的科展中，您將看到不同於以往圓及橢圓的作圖法，以及由新的作圖法衍生出一套有系統可推廣的數學架構，並能應用到實際生活上，例如：安全系統、防護罩、遠距傳聲。

布朗運動，在人最常接觸的空氣與水中都會發生，卻很少人注意到，偶然的機會下我們開始探討其現象。對於亞佛加厥數好奇嗎?在物理與化學中，這是個非常重要的常數，卻不知道它如何而來。為了證明其正確性，我們找到了愛因斯坦推導出的公式並藉由布朗運動，以創新的方法、便宜的儀器，觀察與測量並導入公式內，求出其值到1023的科學尺度。現階段，測量濃度極小的溶液是相當不容易的，需要昂貴儀器、特定的限制。實驗觀察的同時，我們發現有趣的現象：不同的濃度下，微小粒子在溶液中運動方式竟然不同！於是對此現象加以探討，經由多次測量與計算，我們僅藉著實驗室中簡單的儀器：攝影機、電腦、顯微鏡，便能推測離子溶液的濃度。

在高中實驗課程中，研究氣體分子擴散速率及距離對密度的關係，僅能在同溫、同壓下，控制長度一項變因，所以在課餘時間集合同學探討課本中有關影響擴散速率的因素，自行構想設計，並改良實驗裝置，以期達到我們求知的慾望。

本研究針對利吉惡地進行探討,研究此區之泥岩含水量、有機質含量、pH值、比重、可溶性陽離子含量、滲水特性和該區之植物種類，並探討坡度、水量對沖蝕率、山脊密度和勾痕形成之影響。研究結果發現：(一)表層泥岩含水率較高，深層泥岩最低。中層泥岩之有機質含量較高，表層與深層泥岩較低。各層泥岩pH值約8.1；無植被採樣點之pH較高，有植被採樣點偏中性。有植被採樣點，其Ca2+含量較高。(二)此區共發現十九種植物，其中銀合歡、相思樹屬優勢種。(三)坡度增加時，沖蝕率亦增加；水量增加時，沖蝕率、溝痕寬度也隨之增加，兩者呈高度正相關。第一區坡度較緩，山脊密度較大，第二區坡度較陡，山脊密度小，表面較平坦，溝痕較淺。

沉澱於液體底部的溶質擴散後，在鉛直面上會呈現濃度不均的現象。本研究利用雷射光折射後的偏移量特性，來觀察溶液經擴散後濃度對高度的關係。我們觀察30天內六種溶質在不同擴散條件的濃度分布。實驗結果顯示：(1)不同溶質間存在著類似的擴散模式；(2)擴散模式劃分為兩類。為探討上述兩種擴散模式，我們修正擴散理論並用以比對實驗結果，發現公式中溶質的擴散係數亦分為有無離子團兩類，有離子團的溶質擴散係數較小，無離子團的溶質擴散係數較大。因此我們進而提出分群理論，以解釋為何擴散係數分兩種。最後，為了得到更長時間的濃度分佈情形，我們利用擴散理論的推論結果和實驗測得的擴散係數做數值模擬，得到千萬年以後的濃度分佈，並發現其最終態為波茲曼分佈。

大氣擾動會使得我們觀測到的雙星影像產生變形，造成許多雙星無法藉由光學攝影得知，而是間接由光譜位移得知是否為雙星。然而透過散斑天文干涉技術，我們可以測量出雙星系統的角距和方向角。本研究中使用的CCD，為商用等級的DMK 31AF03，並架設於口徑十四英吋（C-14）的望遠鏡進行觀測。目前總共觀測了七個雙星系統，而其中有六個雙星系統被本系統分辨出來。這些雙星的角距介在0.54到2.05角秒之間，主星的亮度介在2.43星等到3.74星等之間。本觀測結果顯示商業等級之CCD可以用來進行散斑觀測，達到小型或中型望遠鏡的繞射極限。然後，利用Hipparcos衛星以視差法測得的距離，以雙星互繞的軌道周期和半軸長的訊息估計出雙星系統的總和質量，似乎都略大於光譜測量的質量。而從O-C圖還可以發現，累積1970年代迄今的天文干涉觀測數據後，足夠修正早期以傳統光學觀測所求出的軌道參數，應可提高質量的估算。

首先，由代數觀點切入，藉由n =2， n =3， n =4，……，到n =10 的解題過程中，尋求S1 ，S 2 ，S3 ，……，S 10 之間的規律，進而找出一般情形Sn ：當底層為n個一字排開且緊密外切的酒瓶時所有往上堆疊酒瓶的情形。過程中，透由Excel 的表格，尋求Sn 的規則，由這些規則我們去推導，竟然發現S n 與Catalan number 的第n 項C n有關，欲解釋彼此的關聯時，又發現Sn 與n 階鋸齒狀捷徑走法能形成1?1且onto 的對應關係，讓人覺得在數學的世界中，代數與幾何之間神秘又充滿驚奇的關連！

近期，新聞提及醣類可以抑制癌症，以及擁有其他醫療效用，醣化學話題因而盛行。 「那些可以抑制癌症的糖是像我們平常說的葡萄糖嗎？」、「既然不是，那它的結構又是怎樣的呢？」、「那麼複雜的結構是怎麼合成出來的呀？」等，許許多多的問題使我們抱著好奇心，開始進行醣化學研究。 進入了醣化學領域，大多研究都是各種類似物的合成、探討與比較。因而我們開啟了「有機合成木通苯乙醇苷A類似物」的研究，進而希望能為醫療做出一些貢獻。

本研究的主要目的是探討瓢蟲在空間中行走的軌跡是否存在著某些性質。我們定義瓢蟲分別繞y軸和z軸旋轉θ和 Φ，我們發現當旋轉次數n→∞ ，各收斂點P均位於球面S:(x-1/1-r2)2+y2+z2=(r/1-r2)2 上。接著我們探討當瓢蟲的仰角θ=cos-1r與-cos-1r時，不論轉向角Φ為幾度，瓢蟲分別收斂於固定點A(1, 0, r√1-r2/1-r2) 與B(1, 0, -r√1-r2/1-r2)。透過幾何證明，我們發現直線AB與y軸恰為球面S的配極直線。透過基底變換後，每個轉向點均位於一圓錐面x2+y2=a2(c-z/c)2 上，且繞行的原點O及轉向點Pn均位在一等角螺線G上，G:{x=artcostα y=artsintα(t∈R) z=c(1-rt) 。從高觀點來看，各轉向點是經過一個收縮的仿射變換而來，而收斂點 就是瓢蟲行走軌跡的點吸子(attractor)。最後，我們將軌跡呈現的圖形與自然現象連結。

本文是從都市更新的新聞聯想出來的數學問題，在兩條互相垂直的道路中，如何找出過道路的東、西、南、北各一個點的矩形，而矩形的最大面積為何？透過動態模擬，成功解決這個問題並研究一些有趣的結果。