第50屆--民國99年

在高中教科書中，均介紹毛細管鉛直插入水中後水柱上升的高度公式為h=2γcosα/pgr。經實驗觀察，我們發現毛細管傾斜前後管內水柱高度會有改變，為了解水柱高度改變的原因，於是展開了研究。研究結果： 1.經與毛細管傾斜時的管內水柱總長作比較，發現水柱的增高與管壁潤濕程度有關。 2.傾斜時，因管壁正向力的支撐，可使管內水柱長增加，但水柱液面處表面張力的總拉抬力量沒有改變。 3.各出版社的教科書中，均指液體的表面張力為定值，因此我們原以為毛細管傾斜前後，因管壁潤濕使接觸角減小，而使毛細管傾斜回正後的水柱高度增加。但由我們的實驗結果分析，發現接觸角幾乎不變，因此改為考慮是表面張力或水的密度值的改變。 4.另外，我們有個意外收穫：在許多書籍、文獻或我們參考的歷屆科展研究報告中，大家均指將毛細管壁充分潤濕可使接觸角為0°，但由我們的實驗結果可發現，這是不可能的。

利用水波槽與沉澱物模擬材質模擬潮間帶海底沙紋之存在，探究水面水波影響水波槽底 模擬材質的沉澱情形，發現起波器振幅越大、水深度越小水底紋路產生所需的時間越短，並 發現木屑與芝麻粉會受到水面駐波影響，沉澱會有集中在節線處的情形，而形成紋路。可推 論潮間帶的海底沙紋應與海浪有關。

本研究以常出現在田野的倒地鈴為觀察對象，主要針對其形態與構造、莖與果實顏色變化的原因、果實與種子顏色變化之關係，及倒地鈴與動物的關係進行實驗觀察。 觀察探討後發現，倒地鈴開花的分枝上具對稱捲曲的細莖，能捲附在其他物體上，讓植物體能往高處攀爬生長。成熟果實果皮的綠色部分會轉變為黃綠色或黃色。果實顏色經實驗證實是酸鹼值改變造成的。顯微鏡觀察果皮得知，呈紅色的細胞愈多則果皮愈顯深紅。此外，莖及果實的顏色與光照有關。光照實驗也證實，綠色莖和果實進行遮光試驗，遮光部位因缺光照而無法轉變為紅色。 研究過程中，與倒地鈴關係最為密切的動物是小紅姬緣椿象，其以倒地鈴為食，並在此交配繁殖。

主題一：由平行光入射拋物面鏡及球面鏡的實驗探討其聚焦的效果，並發現球面鏡的聚焦效果較差，有焦散成「３」形狀的特殊圖紋，其尖嘴部分往兩側折疊延伸。接著由此進一步探討光源打在中空圓柱中，經由圓柱內側面反射形成的焦散曲線，並利用黑紙遮蔽圓柱體內不同位置以了解焦散曲線的形成。再加以改變光源的位置、角度以及種類來探討二維的焦散曲線圖形。 主題二：深入焦散現象進而研究以雷射光入射水珠，探討其投射焦散的圖紋有規律性，經由立水珠的良好控制，研究外凸弧面及內凹弧面曲線，並由實驗圖片統整歸納出基本圖形，再以其為基礎分析複雜的實驗圖片。

圖(一)中，在半徑r的圓形披薩上選一個任意點P，過此點畫四條線將披薩切成八份，要求這四條線中，任兩相鄰的線必須夾45?，圖中四塊黃色披薩與四塊白色披薩的面積相等，這就是有名的披薩定理。 這是台灣師大數學系教授許志農在「龍騰數亦優」中所撰寫的，但其處理的手法涉及微積分，本文將以更初等的數學方法加以證明，並推廣出下列結果： 一、 在圖(二)中，半徑r的圓形披薩內任一點P，過此點畫四條直線，四塊黃色披薩的夾角皆為θ，四塊白色披薩的夾角皆為90?-θ，則四塊黃色披薩的面積為r2(2θ) 二、 在橢圓形披薩，正2n邊形的披薩及球體，我們亦有相似的結果 另一部份，我們將用組合的手法，證明並推廣一個古典問題：「一個西瓜切n刀最多可以切多少塊，其中有幾塊不含西瓜皮」。

在2n×2n（n?N）的方陣中，刪除任何一個位置的方格，剩餘的方格皆能被填滿，則其規律性為何？如果在m×m（m N，m＞1）的方陣中，刪除任一格方格，剩餘方格是否也皆能被填滿？本篇研究主要是利用實際操作的過程中來找尋規律，再將發現的結果做歸納分析並深入探討，找出其規則，同時也找到L型方格能被填滿的方式，有助於我們尋找快速的方法來填滿方陣。

這一篇作品是來自於2009年國際數學奧林匹克競賽第六題。 本研究先由直觀觀察思考後利用數學歸納法假設 n≦k 成立再分成三種情形 證明 n=k+1可以成立。 本研究除了證明競賽題目存在性並討論其對稱性及其極端現象，同時對於地雷遞增和地雷遞減提出討論，最後再利用1對1且映成的對應關係說明網路上ai=i和2009年國際數學奧林匹克競賽第六題所設條件相異ai是相同思考結構。

本研究以荷蘭籍的藝術家M.C. Escher繪製的密鋪圖樣作為出發點，接著研究以正三角形、正方形和正六邊形為基本單位的磁磚設計方法。首先利用4種等量變換(Isometry)推論出三種基本形狀分別有4、5、7種邊作用方式，再利用「群」(Group)表示邊作用，進一步窮舉出可密鋪的設計方法分別為3、10、4種。配合上述理論，找出一套演算法判定磁磚之密鋪性以及密鋪類型。再者，探討將邊封閉而形成有限平面的「窗框」系列磁磚密鋪的特性；接著延伸到有限曲面上，如：環面、圓柱曲面及著名的莫比紙圈，並找出製圖方法；再拓展到空間中，對正多面體，以及利用正立方體為單位，進行立體的密鋪；再透過程式構築一個更為簡易的分析平台。利用上述的結論，學習者可以輕鬆製作新圖樣。

本文籍由人工智慧理論中的模糊理論方法，設計出一套對DNA序列的分類方式，並做生物數值理論分析，再以雜交過後的拖鞋蘭當作樣本，進行生物試驗檢定。 在此我們以不同原生種的拖鞋蘭分別作為學習樣本，再以雜交之後的雜交種拖鞋蘭來檢視，是否我們的方法具有實際臨床實驗的正確性及價值，本方法主要以人工智慧中的模糊理論來進行，將所有胺基酸序列進行分類，在量化分析之前必須先將電泳儀分析出非ATCG的字元做前置處理，然後利用歐式距離，來對雜交種的胺基酸資料進行檢核，發現可以分辨出相互的親緣關係，驗證了有效提高植物DNA種屬鑑定分類的正確性。

表面增強拉曼散射(Surface Enhanced Raman Scattering，常縮寫為SERS)可以廣泛應用於生物、醫藥、電化學、環境工程等多種方面偵測分子。利用粗糙金屬表面如奈米粒子，可以放大拉曼訊號，其中奈米銀可以將吸附在它表面的分子的拉曼光譜訊號放大為106~1014倍之多。本研究利用乙二醇還原銀離子，並加入保護劑PVP，成功合成奈米銀粒子，並利用自製銀奈米粒子，應用SERS偵測10-5M的?啶溶液，其訊號值為31345，較市售銀奈米粒子所偵測的2791強上11.23倍，預計可以進一步分析出10-6M、10-7M 甚至更低濃度的?啶溶液，顯示出極佳的拉曼增顯效果。