第50屆--民國99年

圖(一)中，在半徑r的圓形披薩上選一個任意點P，過此點畫四條線將披薩切成八份，要求這四條線中，任兩相鄰的線必須夾45?，圖中四塊黃色披薩與四塊白色披薩的面積相等，這就是有名的披薩定理。 這是台灣師大數學系教授許志農在「龍騰數亦優」中所撰寫的，但其處理的手法涉及微積分，本文將以更初等的數學方法加以證明，並推廣出下列結果： 一、 在圖(二)中，半徑r的圓形披薩內任一點P，過此點畫四條直線，四塊黃色披薩的夾角皆為θ，四塊白色披薩的夾角皆為90?-θ，則四塊黃色披薩的面積為r2(2θ) 二、 在橢圓形披薩，正2n邊形的披薩及球體，我們亦有相似的結果 另一部份，我們將用組合的手法，證明並推廣一個古典問題：「一個西瓜切n刀最多可以切多少塊，其中有幾塊不含西瓜皮」。

鹿角溪人工溼地是一個為淨化生活汙水而改造河川高灘地所建立的仿自然汙水處理廠。在去年98年9月小小河川巡守隊活動時，我們發現了鄰近大漢溪畔的草澤區出現了一個大峽谷。 為了確實測量並描繪大峽谷的範圍，我們使用了行動式繪製法、方塊製圖法、穿越線調查法與制高點觀察法等方式來測量，持續改進測量的方式，終於初窺大峽谷的面貌。 大峽谷是怎麼形成的？我們實作草澤區模型進行各種試驗，發現水流緩急、水流是否停滯、停滯時間的長短、草澤區本身的土質與暴雨侵襲交互影響下，均會產生大峽谷的現象。另外還透過實地勘查，蒐集當時雨量紀錄與洩洪資訊，來推論大峽谷可能形成的原因。希望藉由此次的莫拉克大峽谷初探，能對人工溼地邊坡的維護有更進一步的了解，也讓民眾思索人與河流和諧共存之道。

主題一：由平行光入射拋物面鏡及球面鏡的實驗探討其聚焦的效果，並發現球面鏡的聚焦效果較差，有焦散成「３」形狀的特殊圖紋，其尖嘴部分往兩側折疊延伸。接著由此進一步探討光源打在中空圓柱中，經由圓柱內側面反射形成的焦散曲線，並利用黑紙遮蔽圓柱體內不同位置以了解焦散曲線的形成。再加以改變光源的位置、角度以及種類來探討二維的焦散曲線圖形。 主題二：深入焦散現象進而研究以雷射光入射水珠，探討其投射焦散的圖紋有規律性，經由立水珠的良好控制，研究外凸弧面及內凹弧面曲線，並由實驗圖片統整歸納出基本圖形，再以其為基礎分析複雜的實驗圖片。

本次研究主要探討：將一三角形底邊固定，而改變頂點的位置之後，觀察其重心、外心、垂心、內心、旁心及尤拉線的變動情形。 其次探討：若以三角形三邊為邊，各自向外作正三角形，並連接此三個三角形的重心，得一新三角形，觀察其是否為正三角形？並試著討論將原三角形底邊固定，而改變頂點位置後，其新正三角形的重心變動情形。

這一篇作品是來自於2009年國際數學奧林匹克競賽第六題。 本研究先由直觀觀察思考後利用數學歸納法假設 n≦k 成立再分成三種情形 證明 n=k+1可以成立。 本研究除了證明競賽題目存在性並討論其對稱性及其極端現象，同時對於地雷遞增和地雷遞減提出討論，最後再利用1對1且映成的對應關係說明網路上ai=i和2009年國際數學奧林匹克競賽第六題所設條件相異ai是相同思考結構。

本研究以荷蘭籍的藝術家M.C. Escher繪製的密鋪圖樣作為出發點，接著研究以正三角形、正方形和正六邊形為基本單位的磁磚設計方法。首先利用4種等量變換(Isometry)推論出三種基本形狀分別有4、5、7種邊作用方式，再利用「群」(Group)表示邊作用，進一步窮舉出可密鋪的設計方法分別為3、10、4種。配合上述理論，找出一套演算法判定磁磚之密鋪性以及密鋪類型。再者，探討將邊封閉而形成有限平面的「窗框」系列磁磚密鋪的特性；接著延伸到有限曲面上，如：環面、圓柱曲面及著名的莫比紙圈，並找出製圖方法；再拓展到空間中，對正多面體，以及利用正立方體為單位，進行立體的密鋪；再透過程式構築一個更為簡易的分析平台。利用上述的結論，學習者可以輕鬆製作新圖樣。

大漢溪兩岸具有豐富的河階地形，是桃園縣山區景點的一大特色。本研究運用「Google 地球」軟體，截取大溪橋至復興鄉羅浮間河階衛星照片，進行階地判識，並經由野外考察實地驗證，描繪大漢溪流域河階地形的分佈情形；經由實驗證明與實地考察，發現坡度、水流量變化及地殼變動是河階地形的形成原因。此外，河階的開墾應注意地形的特性，避免在地勢低的低位河階開墾，以減少洪泛所造成的損失。

利用水波槽與沉澱物模擬材質模擬潮間帶海底沙紋之存在，探究水面水波影響水波槽底 模擬材質的沉澱情形，發現起波器振幅越大、水深度越小水底紋路產生所需的時間越短，並 發現木屑與芝麻粉會受到水面駐波影響，沉澱會有集中在節線處的情形，而形成紋路。可推 論潮間帶的海底沙紋應與海浪有關。

本研究以常出現在田野的倒地鈴為觀察對象，主要針對其形態與構造、莖與果實顏色變化的原因、果實與種子顏色變化之關係，及倒地鈴與動物的關係進行實驗觀察。 觀察探討後發現，倒地鈴開花的分枝上具對稱捲曲的細莖，能捲附在其他物體上，讓植物體能往高處攀爬生長。成熟果實果皮的綠色部分會轉變為黃綠色或黃色。果實顏色經實驗證實是酸鹼值改變造成的。顯微鏡觀察果皮得知，呈紅色的細胞愈多則果皮愈顯深紅。此外，莖及果實的顏色與光照有關。光照實驗也證實，綠色莖和果實進行遮光試驗，遮光部位因缺光照而無法轉變為紅色。 研究過程中，與倒地鈴關係最為密切的動物是小紅姬緣椿象，其以倒地鈴為食，並在此交配繁殖。

本實驗係架設風洞製造穩氣流，將平板和機翼模型置於風洞前，改變其攻角，並調整移動地面來觀察兩模型在風扇開啟前後於電子秤所顯示出的數值變化，再算出所受升力，以探討「地面效應（Ground effect）」發生的高度，並且和無地面效應時之升力比較。 實驗發現，在靠近地面時，機翼及平板模型升力皆增大，平板及機翼模型發生地面效應的高度相近，而且在機翼攻角愈小，愈接近地面時，相對升力就愈大。 另一方面，實驗結果也表明：在地面效應發生的情況下，平板模型所受升力，會超過無地面效應時的機翼模型，顯示出地面效應驚人的效果，未來若能應用於日常的交通工具上，便可提高能源使用的效益，而達到節能的目的。