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第44屆--民國93年

選擇性擴散現象之研究

本研究主要探討在不同莫耳濃度的溶液中水分子擴散速率。本研究中,我們設計一種簡單的容器裝置,能左右分別注入兩液體並能於其中夾入一半透膜。我們首先利用此裝置探討在水和不同莫耳濃度的葡萄糖溶液中水分子的擴散速率,我們發現葡萄糖溶液的水柱初始上升速率趨近於線性,且上升斜率隨著葡萄糖濃度的增加而增加。但時間一久,隨著大量水分子的擴散,造成兩邊溶液的濃度差趨近於零,上升斜率的幅度變小而趨近平衡狀態。我們也發現如果兩邊都是葡萄糖溶液,且莫耳濃度差為一定值,所產生的水柱上升斜率會與一邊是水,另一邊容器注入此一差值的莫耳濃度葡萄糖溶液的情況相同。另一方面,如果我們使用一種莫耳濃度的硫酸銅溶液和水兩種溶液,在硫酸銅溶液容器邊所產生的液面上升斜率和兩倍於這種莫耳濃度葡萄糖溶液與水所產生的水柱上升斜率是相同的。之後,我們以理論推導出水分子在溶液中初始狀態的擴散速率。我們在本研究中,有三個重要創舉與貢獻:一、自行設計一種便於拆裝的兩個相接容器之實驗裝置,沒有漏水現象,且具再現性的實驗結果,提高實驗精確度。二、首創以「液面高度造成的壓力及水分子熱運動的碰撞」與「兩邊溶劑水分子數差異造成的擴散運動」的理論,推導出水分子在溶液中初始狀態的擴散速率。三、本研究中真正擴散通過半透膜者為「溶劑水分子」,所以針對溶劑濃度討論更能貼合實際應用。

曲率的奧秘

本次研究的主題為曲率,且以高中所學的函數為主。雖然大學已有曲率公式,但我們將其表示成高中生較易了解的型式,並且以f(x)的方式呈現。我們在函數曲線上取不共線三點,構成一個三角形,並求出此三角形的外接圓半徑。再將所取三點逼近,所求之半徑即為特定點的密切圓,也就是曲率半徑。而此曲率半徑的倒數,就是所求的曲率,同時我們將公式帶入高中各常見函數,以導出函數上各點曲率。

文明的產物-噪音

噪音一直是生活上嚴重問題,影響生活情緒、工作品質,甚至使聽覺能力受損。普通的家庭其實無法達到很好的隔音效果,所以我們試著利用窗戶和聲音的共振頻率關係,來改善這樣的問題。

利用雙雷射精密測定準靜物的極微小變位

準靜物如橋樑、火山,由於平常不輕易移動,只有在特殊情況下(如洪水、地震)時,才會發生位移的現象。因此,其微小變位如何測量,一向是科學界較少探討的題目。於是,先由光學槓桿原理著手,經過一番思考、探討,決定採用雷射光作為光源,並作了第一個實驗--找生活中具極微小變位的東西,如轉動中的電扇、引擎發動的摩托車、被搖動的樹木等,先測試其放大效果。接著就試圖用控制變因的方法,找出平面鏡旋轉角度和光點平移量的放大關係和公式。至於物體微小的平移量之測量,則是利用柱面鏡作為反射,來探討反射點的位移與本來的平移量之放大關係。然而,柱面鏡的反射光點成像並不理想,於是用一種特製的塑膠集光鏡,又稱Fresnel Lens,將光點集中以利觀測,並且找出準靜物之微小平移量及反射光點的位移量的函數圖形。最後,嘗試建立一套光學槓桿式的「橋梁預警系統」。

整邊正三角形的整邊二分割

本文主要探討:由邊長為正整數的正三角形,分割成兩個較小的正整數邊長三角形時,分割前後各邊長之間的關係、一般式表示法及其適用範圍。首先利用正三角形的高找出分割後三角形的三個邊長之間的關係式;再利用比例式推演出分割前後各三角形各邊長的一般式表示法及其適用範圍。並找出有一夾角為60°的不等邊整邊三角形成立的條件,接著又發現邊長為2n , n≧3,n?N的整邊正三角形可以二分割但奇質數乘方的整邊正三角形卻無法二分割成兩個邊長皆為整數的三角形,並加以證明。

摺出排列的奧妙-摺紙的規則與探討

紙條是一個日常生活都會隨處可得的東西,在這裡我們討論他們的性質,一方面是想要看看一個直線組成的圖形是否有任何的組合關係,當我們把一些數字化的資料整理過了以後,這個題目也已經有些成果了。

猜心數

本次為了要解這個圖表,用了許多方法,如參考書籍、實驗、討論、請教老師等……,我和其他組員參考了國小四年級下學期的數學課本。最後決定做成圖表來實驗,但是還是無法了解圖表的排法,接下來就分析圖表的數字排列方式,還是無法了解圖表的排法,最後用推論的方式並對照所查的資料,終於找出圖表的排法;並利用這個數字排法搭配百家姓,終於破解算命仙為何能猜出算命者的姓。

亂石堆

生活中的各種小東西中都隱藏著一些規律的數型關係。有一天,我們在偶然的巧合下\r 看到小學MPM 上的一個九九乘法表,仔細一看,發覺裡面各數字間的排列有規律性,\r 和我們之前學的數型關係及現在學的等差等比數列很有關係,於是激發了我們的好奇\r 心,在數學老師的指引下,開始研究有關「級數」的東西。

「繞」的徹底研究

兩年前的一次下棋比賽,在討論下棋之餘,我們訂定了棋子進行的規則-「二一四二,逢陰補陽」,而有了『環遊世界一大圈』的作品。而這次的研究則是兩年前研究的加深加廣。「二一四二,逢陰補陽」這個規則是這樣的,「二一四二」說明第一步座標在(2,1)則下一步在(4,2),(6,3)…一此類推,「逢陰補陽」是因為棋盤沒那麼大,所以碰到棋盤的最右邊就跳回到第一排,碰到棋盤的最上邊就跳回到第一列。二年前,我們找出了所有可能環遊一大圈的棋盤,以及該棋盤中每一步環遊一圈的步數;今年我們再研究不能環遊一大圈的情形,也把每一步環遊一圈的步數找出。最後,更進一步利用統寄的方法,找出同一個格子數的所有棋盤,他們步數的相同點與相異處。

最後的審判

研究動機小遊戲,大啟示。你知道如何判斷該不該「猜」來決定下一不嗎?答案在「最後的審判」!一個遊戲的勝負,取決於遊戲技巧及關鍵性的運氣。但運氣不是永遠的,所以我們致力於找尋如何改善技巧。從幾次的遊戲之中,發現從數字排列的情形及相鄰二數的和差關係來判斷地雷的所在處是較可行的方法;從數字的排列中,我們發現許多可快速判斷的規則,例如長蛇陣、L形、方陣形及數字和差與地雷分布的關係等;某些有多種分布情況的陣形,就算出各格可能有的地雷機率,以致於不得已要猜時,做出較安全(地雷)的判斷。