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第42屆--民國91年

我變、我變、我變變變 -炫風卡的秘密

在一次班上校外教學到海洋生物博物館,在參觀的出口附近,我們看到一面很大、很有趣的牆,牆上的海豚會隨著我們移動而移動且有動作的變化。這令我們想到和一種餅乾所附贈的「炫風卡」有著類似的現象,當轉動「卡片」時會有圖案和顏色的變化。對於「卡片」圖案變化的秘密我們感到相當好奇,於是興致勃勃跑去找老師討論,並利用六年級上學期所學過的第四單元「簡單的生活工具」中的齒輪,製作一個簡易的燈架來從事一連串有趣的實驗與探討研究,希望能找出圖案變化的秘密。

倒地鈴

倒地鈴,一至二年生的植物,無患子科。那鼓鼓的苞子,裡面所含的氣體成分,更是令我們十分好奇,所以我們開始研究。先從播種開始,經過我們一再的實驗,發現:將種皮磨破的方式最能使它加速發芽。而苞內氣體成分的實驗,則是參考理化課本來進行,如下實驗:一、點燃線香測量氧氣,二、利用澄清石灰水測量二氧化碳,三、利用溴的四氯化碳溶液測量乙烯,結果以上 3 個實驗都無明顯的反應。最後,我們大膽地推測苞內氣體是為空氣,所以做了鋼絲絨氧化實驗,結果:苞內氣體和空氣反應幾乎相同。我們使用顯微鏡及在苞子表面上塗上凡士林,分為部分塗、全部塗,結果全部塗的苞子幾天後便壞死,但部分塗的苞子還能繼續生長,並觀察它的結構及氣體如何進入苞內。發現苞子的結構外而內大概是網狀組織→表皮及保衛細胞→ 網狀組織,結構很緻密,而氣體可能由苞子的表面進入苞內,所以苞內的氣體可能為空氣,空氣逐漸進入苞內,使苞子逐漸撐大,成了現在的樣子。

從「4=3」的圖形數談起

在一次五子棋的廝殺中,為了避免弟妹干擾玩耍的興致,因此隨便抓了一把棋子讓他們玩玩,沒想到他們用了相同多的棋子,排成了三角形與四邊形的圖形。我們覺得蠻有趣的,因此我們想到一個研究的問題:「在移動最少棋子的條件限制下,將三角形數移成平行四邊形數」。我們稱這一個方法為「4=3 切割法」,運用這個切割法的結論我們知道:一、 所有的三角形數皆等於平行四邊形數(合數)。二、 「三角形數=菱形數」等價於「n(n+1)/2=完全平方數」的問題,而且在一億個n 值當中,只有10 個數值滿足「三角形數=菱形數」。三、求根號2的有理逼近分數並估計誤差。四、 比較「4=3 切割法」所求逼近根號2的分數與連分數展開所計算的分數,展現有趣的關係。綜合這些性質,我們發現研究主題皆與“根號2”息息相扣,在此不得不讚嘆「數」的美妙。

幾何證明的作圖

在學幾何證明時,發現許多繁複的圖形包含不少有趣的元素,而且那種了解性質、關鍵、層遞推論的解題方式引起了我們很大的興趣。\r 在偶然機會中,我們欣賞到第24屆科展的作品,恰好當時正在學習多解篇,所以對它的圖形和解法激起許多新的想法。「可不可能有新的解法?」「其中是否含有規律?」\r 於是,我們便著手思考,以期能以更簡單的解法,更多元的應用,將我們的想法呈獻大家。

實驗室處理金屬離子廢水的方法再研發——再造保麗龍的第二個春天

本實驗先尋求將廢棄保麗龍再製為陽離子交換樹脂(本實驗稱”保麗龍膠”)的方法。將保麗龍依:丙酮溶解→硬化→打碎→與濃硫酸共煮三小時→浸於50%硫酸溶液中→沖洗→以水浸泡的流程,即可達再造的目的。再利用「碘滴定法」(浸泡式)與「相對電壓檢測法」(流動式),依次尋求保麗龍膠吸附金屬離子的最佳條件。其中「碘滴定法」可有效測出銅離子濃度,但手續繁瑣;「相對電壓檢測法」最大的好處是知道保麗龍膠何時吸附達飽和必須再生。 我們目前所知,要保麗龍膠達到吸附陽離子的最佳效能,其條件依次為:使用細粒的保麗龍膠;低濃度的金屬離子溶液;質量愈大的保麗龍膠;低溫下較慢的金屬廢水流速及pH 值約為4.30的銅離子廢水;鈉型的保麗龍膠吸附效能優於氫型。保麗龍膠對不同金屬離子亦有吸附力,單位體積所含離子數愈少,初始的相對電壓會愈高;在相同莫耳濃度下,不同離子的吸附力依次為Cr3+>Fe3+>Ni2+>Cu2+>Co2+;分次吸附確可將金屬離子完全去除;保麗龍膠可以再生也可被覆在砂粒上達到不錯的吸附效能;最後,我們將吸附過金屬離子的保麗龍廢膠與硫酸鈣、紙漿及些許的石灰(質量依序為13克、13 克、7 克、0.04 克)混合,可製成類似紙黏土,做成造型磁鐵,廢物利用十分有趣。

慢慢高升

有關悶熄蠟燭後水面上升之現象,對於其原理解釋,本小組認為有問題,經一連串實驗發現,水面上升第一階段是因為空氣「熱脹冷縮」所導致,第二階段水面上升則是因為二氧化碳容易溶解於水,蠟燭熄火之後 3 分鐘之內都屬於第一階段,本研究發現許多教科書對於原裡的解釋有誤,本研究同時發現一種方法可使蠟燭悶熄後水位上升最高達 80﹪。

真的就是這一張嗎

在上數學第十一冊第5 單元時,教到了有關兩個骰子各種點數組合出現機率的問題,而老師示範了另一種「撲克牌」魔術,在經過精心設計後,某一張特定的牌,就會在老師的預測中出現。為瞭解其中的奧秘,我們就請老師教會我們這個魔術,並且加以深入研究。

陰陽調和

本研究主要在探討農曆在經過幾年要置閏,是否有一定的規律,過程是收集近百年的數據,整理後加以觀察,找出其規律。再研究天文方面的置閏規則,找出較好的置閏法,最後將兩者做比較統整。在生活上則引入探討幾年後農曆的生日會和國曆的生日在同一天的問題。

多邊形各邊分點與多邊形的關係

初看題目:「任給一個五邊形,標定五個邊的中點後,擦掉這個五邊形,請利用這五個中點,畫出原來的五邊形」,令人有無從下手的感覺。只好從三角形開始研究,想不到研究四邊形時,就發現有「無解」與「無限多解」的兩種情形。這時,反而提昇我們對這個題目的興趣,促使我們更進一步想要了解它的究竟。五邊形的研究所花的時間最長,當發現到可以結合三角形與四邊形的作圖方法,來解決五邊形的問題時,才有了突破性的進展。一直研究到八邊形後,一般性的結論自然就呈現了。上述的研究發展都是利用尺規作圖來完成,當多邊形的邊數愈多時,痛苦指數也愈增高,因為作圖誤差會隨著邊數增多而累加,在七邊形以上時,就快樂不起來了。雖然有正確的理論,實際操作上卻不容易掌握其精確性。何況把這些「中點」改成「分點」時,研究就觸礁了。經過老師指點,尺規作圖不容易精確,何不想辦法改用電腦來繪圖。可是要請電腦工作,自己得先把運算的公式找到,電腦才幫得上忙。我們先定義平面上兩點坐標的運算規則,推導出給定各邊「中點」求作n 邊形的公式後,也一併驗證了尺規作圖理論的正確性。接著企圖把「中點」改成「分點」時,公式推導就比較困難了,這需要十足的「細心」+「耐心」來計算導出,完成給定各邊「分點」求作n 邊形的公式後,「中點」公式就只是其中一個特殊情形罷了。電腦繪圖程式設計完成後,使我們對這項研究有更清楚的認識。當多邊形無限多解時,可藉著移動所求多邊形的「頂點」來觀察圖形的凹凸如何變動。當多邊形有唯一解時,也可藉著移動「分點」的位置,來觀察所求多邊形的圖形如何變化。甚至於多邊形無解時,也可請電腦計算,來改變分點位置,使多邊形有解。以上所述,我們都做到了。

眾裏尋他千百度---常寬圖形的探討與研究

1.過平面上一幾何圖形上的二個點,作兩平行線而能把此圖形夾住,若夾住此圖形的任二平行線其距離皆相等,則稱此圖形為「常寬圖形」。這時,此距離就稱為常寬圖形的「寬度」。2.一般常見的幾何圖形只有「圓」是常寬圖形,其餘皆非。經反覆研究,得知由正奇數多邊形所造出的正奇數拱亦為常寬圖形。3.進一步,一個多邊形所造出的多角拱是否為常寬圖形,取決於一個充要條件。4.掌握上述充要條件的精髓,我們也能造出平滑封閉曲線(沒稜角)的常寬圖形。5.任何同寬度的常寬圖形都是等周長,其周長恰等於寬度*π。6.同寬度的常寬圖形中,以圓面積為最大,正三角拱的面積為最小。7.寬度為a 的所有常寬圖形和兩平行邊的距離亦為a 的正六邊形,二者的關係頗富趣味。