第65屆--民國114年

本研究以對偶圖的性質，取代以往著重點或邊數量的方法，探討平面圖中漢米爾頓迴圈的存在性。我們設計一套定理，判斷對偶圖對應之原圖是否存在漢米爾頓迴圈，並提出「T 搜索」，有效降低電腦計算的時間複雜度。此外，我們建立多項化簡定理，能在不影響迴圈存在與否的前提下，透過邊、點的替換與收縮，或圖的結構分解來簡化圖形。研究中也討論 Herschel Graph 與 Tutte’s Graph，並提出當圖中出現特定結構時，原圖不具漢米爾頓迴圈的判別條件。最後，成果可用於構造具漢米爾頓迴圈平面圖之對偶圖，並期望數學方法推導出無漢米爾頓迴圈的平面圖，或用電腦窮舉所有無漢米爾頓迴圈平面圖之對偶圖，以便延伸討論。

本研究以排列組合的矩形表格塗色問題為出發點：「k種顏色，m × n的矩形棋盤方格，將上的每一格塗一個顏色，要求任意相鄰兩格顏色不能相同，共有幾種塗色方法？」首先，從1 × n、2 × n表格開始研究，接著往上延伸至3 × n。面臨複雜度的增加時，我們提出新的分類方式，考量各種情況，推導出遞迴關係式後，再以矩陣對角化的方式推導出3 × n塗色公式的一般式。在研究4 × n表格的塗色公式時，我們提出以「行」為單位的分類法來推導其塗色方法數公式，再以矩陣的形式呈現。後續透過觀察原有矩形表格分類，延伸探討頭尾相接的環形表格，推導出1 × n 和2 × n的環形表格塗色方法數公式。

研究探討蝶豆花（青花素）與薑黃（薑黃素）兩種天然色素在不同天然添加劑與劑量下的色彩穩定性。實驗分為三部分，分別針對藍色色素、黃色色素與藍黃混色進行測試，在固定色粉用量下，分別加入蜂蜜、牛膽汁與阿拉伯膠三種添加劑，設五種劑量梯度（1～5平匙），共製備375組樣品。每組樣品皆以色差儀測定CIE LAB色彩空間中B值（藍–黃軸偏向），作為穩定性指標。結果顯示：蝶豆花色素偏藍性穩定，以第3平匙效果最佳，牛膽汁穩定性最高；薑黃偏黃穩定，第2平匙最鮮明，牛膽汁與阿拉伯膠中劑量表現佳；混色組整體偏黃，蜂蜜與牛膽汁穩定性良好。整體而言，第2至第3平匙為最佳添加範圍，可提升天然染料的穩定性與應用性。

我們為了解若將手機解鎖的九宮格圖形改成圓形圖形是否會有更多不一樣的解法且更不容易被破解，於是，我們先在圓形圓周上標示若干個點，取任一點作為起點，再經過其他不重複的二點、三點、四點……形成一條連續線段所組成的圖形，這裡簡稱圓形一筆畫圖形，探討此類圖形的種類與路徑。我們除了利用圖示法詳列外，還利用樹狀法、列舉法佐證，除此之外，我們也從文獻中發現部分樹狀法，跟我們的研究似乎同出一轍，最後依據尋找規律歸納通式，並比較傳統九宮格一筆畫圖形與圓形一筆畫圖形在解鎖上的優缺點。

本研究的原題目是在網路上看到證明兩正六邊形頂點連線所形成的長度平方和相等的關係，這份研究將此題推廣到了所有正2n邊形上，而後又推廣到了面積，探討了面積多次方和的關係，最後我們又發現了這些性質在pn邊形上也都成立。 研究中利用了架設坐標系來表示圖形，再利用各種方法簡化算式。文中的證明多用到三角函數的性質以及轉化為複數的表示法以得出結論。 文中最終證明出對於兩個正pn邊形，他們的頂點連線所劃分的區域分組後可形成次方和相等，以及這些連線分組後具有偶數和相等的性質。

本研究透過3D列印製作消波塊與自製造浪機，並用海浪沖刷粉筆模擬岸邊侵蝕效果，尋找減緩海浪岸侵蝕方法。 本研究製作兩種造浪機。大型版：壓克力板製水缸，用活塞推動造浪板，因漏水問題，改良小型版；小型版：採現成魚缸、TT馬達配合連桿帶動造浪板。小型版波形更流暢。 首先，確定粉筆泡水25分後重量趨穩定；在單排測試中，林克塊減浪效果最佳。實驗亦發現消波塊離岸越近、裸露體積越多，減浪效果越好。增加排數方面，小浪排數越多效果越佳，大浪下則需至少兩排以上才具顯著效果，綜合成本與效益，建議使用兩排設計。 針對家鄉情境，設計A至D四種配置，D型適合冬季東北季風大浪條件，如東北向海岸；C型則適用於港口等平靜海面。

基於Anubhav Mishra提出的尚未被證明問題：由基準三角形OAB之兩邊OA與OB生成共頂點O兩正方形，在兩正方形中選取兩組對應點，並做交叉連線相交於N點，則AB之中點M與O、N具有三點共線之性質(此線稱為共軛對稱軸)。首先提出此原題的不同證明，再推廣至正n邊形，並找到一般化的必要條件及廣義共線性質。 研究結果發現並證明:在正n邊形共線蝴蝶對稱圖形中，存在兩稜線在共軛對稱軸鉛直方向投影長相等，及其成形的臨界角範圍；蝴蝶翅膀種類公式、衍生類別及總數量；面積與稜線長的幾何不變量；基準三角形三邊對應之共軛對稱軸共點於其重心；當n為偶數，共軛對稱軸垂直特定共軛對稱點連線段。當n趨近於∞時，共線蝴蝶對稱圖形收斂到圓內接等腰梯形。

本研究以玉帶鳳蝶的生活行為為主，透過飼養觀察、文獻探討與實驗設計，探究其生活史、生理特徵與生態行為。結果顯示，二至三齡幼蟲即具備有臭角防禦、吐絲固定等能力，且同一親代中雄蝶較雌蝶先羽化，避免近親交配的機會。在食草方面，二至三齡幼蟲對橘子葉表現出顯著偏好。藉由與其他鳳蝶物種比較外觀，初步建立辨識依據，並以光照法檢查四齡幼蟲是否具有未發育完全的生殖器官(精巢)推測為雄性。研究者同時發現，幼蟲體色受食草葉色影響，呈現偽裝可能性。針對貝氏擬態的捕食實驗尚未得出明確結論，需進一步改良實驗設計。校園復育區的建置成功吸引鳳蝶訪花與產卵，顯示都市亦可成為生態棲地，具教育與保育意義，呼應SDGs陸域生態保育的目標。

本研究針對國中教材中酯化反應與皂化反應缺乏連結問題，設計並優化整合性實驗流程。在實驗中，發現皂化後鹽析存在「飽和點」，添加 100 mL 飽和食鹽水，十六酸鈉反應收率 193%，但增至 150 mL 時產量趨緩。為解析此現象，以 DLS 動態光散射技術，結果顯示十二酸鈉、十四酸鈉可形成微胞，十六酸鈉因溶解度低，微胞形成效果不佳。用 DLVO 理論分析粒子間作用力，補充教材的鹽析理論解釋。氫氧化鈉濃度影響方面，2 M 獲高反應收率（十二酸鈉 528%）但含水率較高，8 M 純度較佳但反應收率降低。以氯化鎂鹽析時生成脂肪酸鎂（反應收率 129%），顯示鹽類選擇亦影響最終產物。透過本研究建立了酯化、純化與皂化優化流程，期望為教材提供更具探究與應用性的參考。

本研究使用磁場和微電流的刺激，分析不同頻率、特定頻率和不同電流強度的微電流對小球藻生長的影響。研究結果發現： 一、特定頻率微電流（7.8Hz、49Hz、528Hz）比無頻率（0Hz）微電流更具促進效果。 二、無意義頻率微電流（100Hz、200Hz、400Hz、800Hz、999.9Hz）對小球藻的影響可能因培養條件和電流強度而有不同的表現。 三、使用較大培養瓶需要較高電流強度，但太高的電流強度（1600μA和3200μA）反而抑制小球藻生長，顯示電流強度不是越大越好！ 本次研究觀察到特殊頻率和微電流對小球藻生長的促進效果，為綠色科技應用提供了新的可能性。未來可繼續探討不同頻率對不同藻種生長的影響，並朝向更大規模培育，以及太陽能微電流頻率產生器的應用設計繼續前進。