角落生霧
我們由市售的角落生物椅凳,產生好奇心。原本想知道:若將正三角形內部沿著邊長有n個半徑為r的等圓與邊長相切時,邊長與面積與r的關係。後來進而探討正m多邊形每邊內側與n個半徑為r的等圓相切時,此時正多邊形周長S(m,n)及面積A(m,n)的通式。 接著我們將正m邊形的角落削切成為圓弧,形成圓角多邊形,其周長S’(m,n)與面積A’(m,n)的之通式。以數學歸納法證明以上通式,也推導證明S與S’的關係,A與A’的關係。 我們發現相對於變數n而言,S(m,n)與S’(m,n)為兩平行直線;A(m,n)與A’(m,n)為兩拋物線。 藉由給定m及n進行數值分析,針對以正三角形或正四邊形來製作不同半徑之圓角三角形,圓角四角形時,角落削切損失的面積為定值2.05r2與0.86r2等。對於圓角多邊形的削切給予建議。