第51屆--民國100年

上數學課時，我們從五上第七單元【三角形與扇形】學到了如何求出三角形的內角角度及扇形角度，第九單元【表面積】扉頁說明認識了正多面體。我們在一次偶然機會，將課本上已分成四等分的圓形圓周上與半徑相交的點相連，發現可以連成一個正方形，經由老師的說明才知道原來這是「圓內接正四邊形」，於是我們想進一步深入研究圓內接正多邊形。我們利用半徑六公分的圓製作各種圓內接正多邊形，將對摺、平分、倍數等觀念，成功摺出圓內接正偶數邊圖形；利用半徑等分，也成功摺出圓內接正三、五、七、九、十一邊形；我們更將摺出的圖形組合成各種正多面體及正三角形多面體；最後再試著利用一張圓內接正多邊形做成角錐。由平面到立體，讓我們在研究與實作的過程充滿驚喜，真的是太有趣了！

從『黃金矩形』的邊長比值中，發現了一個很特別的現象，就是一對具有小數點後的每一個對應的數字都一模一樣的無理數；又從對此數字的研究中，聯想到這樣的一對數是否與某種特殊矩形的邊長比有關。我們將這類特殊矩形命名為『K金矩形』，而『K金矩形』的邊長比具有很多特殊的性質，將它們表示成『繁分數』或『無窮根式』，都具有很美的型式；另外就像『黃金矩形』對應於『費氏數列』，『K金矩形』的邊長比也可以找到一個類似『費氏數列』的數列來與之對應。

先探討紙尿褲的組成成分，是如何吸收尿液，在本研究中我們將探討廢棄的紙尿褲可以再次利用在哪些方面。

對於n柱河內塔的移動，當完成遊戲，其過程必存在「半移動」(名稱說明見P5 )狀態。我們從「半移動」狀態中，尋找出如何達成「捷徑半移動」(名稱說明見P14)的方法？此種方法為「滿格建構」(名稱說明見P12)。進一步利用「捷徑半移動」，建構出「河內塔的捷徑」。並從「滿格建構」推導出的「滿格數量關係表」，發現其關係存在著「巴斯卡三角圖形」。利用「巴斯卡三角圖形」的關係，我們推導出n柱m環的通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。

我們做出一部只吃空氣就能動的車子，使用壓縮空氣來取代燃油，推動活塞，使引擎運轉。 壓縮的空氣系統就如同一個超大型電池，能儲存綠能及廢棄能，太陽能、風力、車輛的制動力、振動力、工業鍋爐廢氣能皆能轉換成壓縮空氣並儲存能量。早期氣壓動力機多應用在礦坑、化學工廠等易產生爆炸的場所，以取代電氣馬達。我們研發了壓縮空氣為動力的引擎，讓壓縮空氣使用在交通工具上，因為，壓縮空氣引擎幾乎不產生熱能，作動過程非但沒有廢氣的污染，且排出的氣體是低於大氣溫度5~20℃的冰冷氣體，可引導至車廂內代替空調，直接排出亦可以降低大氣溫度，壓縮空氣動力車可說是一種極具環保概念的作品。

科學中心舉辦一次戶外地質探訪，在教授帶領下，我們走訪黎明國小和攔砂壩的河床。我們發現河床被河水侵蝕產生各種景觀，透過現場調查，我們瞭解到這些都是因為地勢高低差引起不同的位能變化造成，在此地區有下切行水區、圓弧磨蝕面、湍流、壺穴、漩渦等。老師也指導我們觀察此露頭複雜的斷層現象，並協助我們以一公尺為單位拍攝60 公尺的照片。回來後，我們將照片拼貼，在老師指導下標出照片上地層褶曲、斷層及壓力方向，藉由這些照片和符號，我們深入探討這一段雜亂的斷層現象，發現和中央地質調查所的地質圖標示的觸口斷層位置不同，所以我們由河水兩岸礫石層研判此溪為一斷層，而在此段受強力或持續擠壓造成大轉彎。

阿波羅尼奧斯問題（Apollonius' Problem）是古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）提出討論的幾何作圖問題：設有3個圓，要如何做出一個圓，使其與已知三圓相切？另外，如果將題目中的圓以線或點帶入，則總共十種的題目，要如何做？阿波羅尼斯按已知條件將問題分成10種：點點點、線線線、點點線、點線線、點點圓、點圓圓、線線圓、線圓圓、點線圓、圓圓圓。對於阿波羅尼奧斯所提出的問題，我們嘗試利用了國民中學第五冊尺規作圖的概念與邏輯思考來證明。

雲霧是一種很奇妙的東西，在自然界中總是變化萬千，給人一種神秘感。而為了揭開雲霧的神秘面紗，我們設計製作了一個可調整氣壓的寶特瓶，使用打氣筒將氣體打入瓶內至一定壓力後再釋放，模擬水蒸氣升到高空，壓力下降而產生「絕熱膨脹」現象。此時瓶內氣體對外界做功，當溫度降到「露點」時，便可從瓶內看到霧氣產生。我們想藉此實驗來了解雲霧的形成，並探討當寶特瓶內外壓力差改變時，溫度會如何變化？所形成的雲霧有何不同？寶特瓶體積大小、放氣速度快慢、瓶內水氣多寡或其他揮發性液體，又會對雲霧造成什麼影響？經過一連串實驗後，讓我們了解了絕熱膨脹、露點溫度及飽和蒸氣壓等概念，也對自然界中變幻莫測的雲霧，有了更深一層的體認。

關於月表坑洞已有不少研究進行過坑洞深度的討論，並提出深度的計算方法，但卻鮮少實際算出深度資料，我們的研究重點即是利用自製方式對月表55個坑洞，進行高解析攝影處理法拍攝，取得清晰坑洞影像後，從拍攝之日期與時間中求得日月相對位置並測量及推算坑洞深度，再加以驗證、分析與討論。此外，我們也測量坑洞其他地形數據，例如「寬度」、「面積」、「寬度與深度比值」、「面積與深度比值」，並將數據分析歸納，對數據在月表上分布情形進行討論，研究最後發現月表坑洞的寬度、深度與面積有由北向南遞增之明顯趨勢，而坑洞「寬度與深度比值」與「面積與深度比值」部分，則有「月陸比值普遍大於月海比值」的顯著分布趨勢。

在三角形第三點繞半圓的研究中，我們求出三角形五心座標的相關性質及公式，其中重心的軌跡是所繞半圓縮小1/3的半圓；垂心的軌跡圖形較為多變，其圖形和固定兩點所在位置有著高度的相關性，我們並試著用不同的方法證明垂心的軌跡方程式；外心是中垂線的交點，因此不論如何移動第三點，其交點總落在固定兩點的中垂線上，所以其軌跡不是一點就是一直線，且直線出現的位置也能證明出來；內心和旁心的軌跡類似，只有在固定兩點分居於直徑兩側時，才真正是一個90°的圓弧，而其餘皆不是圓弧。研究過程中出現許多繁複的代數運算，我們也嘗試用幾何的方法加以證明，希望”心”的性質更平易近人。