第51屆--民國100年

首先定義：對任意自然數k，(x k)=x(x-1)(x-2)...(x-k+1)/k!。並證明對任意的多項式f(x)，若它對所有整數m取整數值f(m)，則f(x)=A0+A1(x 1)+A2(x 2)+...+An(x n)，其中A0, A1, A2,..., An都是特定的整數值。接著證明：若f(x)=xk，則xk=A1(x 1)+A2(x 2)+...+Am(x m)+...+Ak(x k) ，其中Am=Σ(-1)j(m m-j)(m-j)k ，m=1,2,...,k。在此公式中依次取x=1,2,3,...,n，得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=A1(n+1 2)+A2(n+1 3)+...+Am(n+1 m+1)+...+Ak(n+1 k+1)為n的k+1次多項式。 且Am=Σ(-1)j(m m-j)=∆mf(0) ，其中∆mf(0)，表示f(x)的第m次差分在x=0的值。若將其化成多項式的形式，可得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=1/(k+1)Σ(k+1 i)Pink+1-i，Pi=Bi(i≠1)，P1=B1+1。或 Sk(n)=1/(k+1)Σ(k+1 i)Bi(n+1)k+1-i，其中 為伯努利數列，滿足遞迴式：Σ(k+1 i)Bi=0且B0=1。進一步將Bi的下標改成上標，可得Sk(n)=1k+2k+3k+...+nk=1/(k+1)[(n+1+B)k+1-Bk+1]，滿足(1+B)k+1-Bk+1=0，但必須將每個Bi視為相對獨立的數。

本研究透過一種新的嘗試，將鳴禽類識別、檢索技術與行動科技產品相互結合，其中把鳴禽類識別技術中記憶的部份，採用科技軟體、硬體的方式加以改善或減輕負擔，將以往厚重繁複的書籍及圖鑑，改以只需要攜帶一個電子化、可速查的鳥類圖鑑，就可親身接觸並在自然環境下進行體驗及學習，相信這樣的方法與應用，對於推廣生態教育及生物資源調查，或是用於校園互動式教學，有所助益；進而增進自然與人類的互動與接觸，而體會生命的可貴，讓人們共同珍惜這塊土地，並了解鳥類保育的重要，使它不遭受破壞，讓台灣土地上的所有生物能夠擁有一個良好的生活環境。

本文所探討的是一種有趣的排序遊戲。在我們發現其中的數學規律性後，並利用遊戲技巧定義出｢跳島戰術｣，換句話說，當移動過程符合跳島戰術，將可得到最少移動次數步驟，其最少移動次數的公式：※當符合（空格數/字母數）≦1/2時，奇數個字母為(N2+3N-8)/2次；偶數個字母為N(N+1)/2 次。此外，嘗試以數據推導出解題公式(p.11)後，再找出移動步驟之規律證明(p.9~p.12)，希望獲得公式的正確性，最後更反證法(p.17~p.25)，試圖以足夠的數據證明公式的正確性。反證法發現，當違反｢跳島戰術｣的任何移動方式與技巧，皆無法獲得更少的步驟數，因此更可推論證明出遊戲公式之正確性，獲得破解本排序遊戲的最佳策略。

我們蒐集了很多資料，知道電解質在電解時會影響水溶液的熱力學性質(電解質水溶液之熔點下降、沸點上升)，我們發現對電解質水溶液通電會使沸點與熔點越接近原本沒加電解質的狀態，而且還會使電解質水溶液達到沸點與熔點的時間縮短10％以上（如表一）。若在蒸乾電解質水溶液時通電，可縮短蒸乾時間並節省約10%的能量，對於節約能源有很大的幫助。這些現象可應用在海水淡化及其他工業上。

近兩年來獨自摸索研究做了十幾隻鍬形蟲標本，有成功的也有失敗的，尤其是展翅標本製作失敗率較高。這項研究結合了經驗及尋找資料不斷在實作中找出成功率高的標本製作法，找出消毒軟化蟲體時的最佳方法，製作時最好的方法及步驟，還有烘乾法的比較及標本箱製作的優缺點探析。

在生活中我們常因不當的習慣造成資源的的浪費，一個不經意的小動作，使粉筆頭的數量增加許多。藉由可行的科學活動的設計、測量及探討這些問題，粉筆的斷折數是否和粉筆頭數量有何關係，什麼變因和斷折數量有何關係，什麼習慣會增加廢棄粉筆的量。結果（如討論與結論）真的找到粉筆頭增加的原因及廢棄粉筆的量的原因。

本研究選取兩種最易導致暴潮之颱風路徑（南北向及穿越型），共四個颱風時期的潮位及氣象資料進行分析，結果顯示暴潮有空間上的傳遞性及對氣壓反應的延遲性，以數學工具及物理原理建立網格模式探討流體的運動，再和觀測潮位比較。結論如下：一、暴潮具有空間傳遞性，與颱風路徑、風場結構、地形有關。二、暴潮亦具時間延遲性，且穿越型颱風易造成台灣西部沿岸潮流堆高。三、建立的模式能簡化流體運動並探討因氣壓差導致的海面高度變化。四、建立的模式可印證實際觀測到的潮位，穿越型颱風在水位未達平衡前颱風已移動，故各測站呈現明顯的延遲；南北向颱風水位平衡時颱風才移動故影響潮位的主要因素為氣壓，且切過邊緣的長水溝模式較符合觀測結果。

本研究主要是要找出端拿容器時，如何使其中的液體不易溢出的方法。在實驗中發現，液體會容易溢出來是因為表面震盪，產生和容器的共振波動，使液體溢出，並探討放置不同的物品於容器中，或利用不同的端提方式，來改善液體溢出的現象，發現在液體中放置浮物可以稍微改善水溢出的情況，而利用繩子提盤來端水，則水一點也不會溢出，甚至應用到提水桶也不易溢出。

本文旨在探討：利用簡單創意，自行研發一款免耗能、免耗材、低成本海面除油裝置的可行性。研發流程劃分為三個研究階段。在階段一的實驗中，我們探究了各式浮具的適用性，發現：配置得當的浮球(板)能提供汲油器相當優異的浮性、穩定性和荷重性。在階段二的實驗中，我們以改變泵浦導管相關變因的方法，探討簡易離心泵浦的基本特性和能力限制，並進一步確認其應用在本裝置的可行性。最後的研究階段中，我們整合了以上的研究成果，成功的研發出一款海面除油裝置－「布袋蓮號」模型。此款風動能汲油器模型經歷波浪、浮油、黏稠環境等模擬試驗，證實在12m／s風速下，可於常浪、中黏稠度浮油環境中執行除油任務。

本研究主要探討為何『威浮球』能輕鬆投出變化球。我們實際買了兩顆來試投，發現怎麼投都沒有網路影片上面誇大的變化。因此自製彈力發射器、輪轉發球機與乒乓威浮球來進行實驗與測試，瞭解對流孔擺放方向與球行進路線有何關聯？結果發現對流孔的大小、數量、位置、對流孔發射位置與球的表面光滑程度，都會影響球的行進方向。並發現手投威浮球會偏轉主要是兩個原因：第一是球旋轉時上下左右風速不同，導致壓力不同而造成威浮球上浮、下墜、右旋與左旋。第二是風通過對流孔時產生擾動，使沒有對流孔的內面受到風力而產生偏轉。並製作風洞觀察風在威浮球內的影響。結果發現風會使原本平整的小保麗龍球產生傾斜，證明風有對威浮產生力的作用，而使其偏轉。