哈哈鏡前的費馬最後定理 －「多元」畢氏數的研究
國中數學第三冊1-4 的主題是「商高定理」，或稱「畢氏定理」。三百多年前法國數學家費馬在研究「畢氏定理」的方程式(x1)^2+(x2)^2=y^2後，把它的「次數」（原是二次）提高到三次、四次??直到(x1)^n + (x2)^n = y^n （ n ? 3），並且猜想說這個方程式在任何情況下都無自然數解。他的猜想在1994 年被證明正確。我聯想到：如果不是把「畢氏定理」的方程式的「次數」提高，而是把它的「元數」增加到三元、四元??直到(x1)^2 + (x2)^2+…+(xt)^2 = y^2 （ t ? 3）。就如同把費馬的方程式放在哈哈鏡前一樣，我把一個「高次」的方程轉變為一個「多元」的、較「長」的方程式。在這種情形下，我想研究下列的不定方程：(x1)^2 + (x2)^2+…+(xt)^2 = ny^2 在 t 和n 設任意自然數(但t ? 3)時，有無自然數解(x1,x2,…xt,y)以及若有解，解的形式會是什麼。我研究的過程分五階段。第一階段－進入題目：先探討一下n =1，t = 3、t = 4的情形，先熟悉問題。第二階段－證明一般化：嘗試將第一階段的結果推廣一般化到任意t ? 3的情形。第三階段－主題推展：嘗試將第二階段的結果再推展到n 是完全平方數k^2，以及n = 2、n = 3的情形。第四階段－推展一般化：嘗試將第三階段的結果接著推展到任意n 和t ? 3的情形。我所設計的證明方法只能涵蓋t ? 4，或是t = 3，但n 可以分為不超過三個數的平方和的情況。第五階段－解決特例：當t = 3，且n 無法分為不超過三個自然數的平方和的情形（是4p(8q + 7)( p?Z0 、q?N) 的形式）。因為我的研究是屬於建設性證明，所以我還研究了求解的方法，並撰寫電腦程式求解，驗證我的研究結果。研究結果大致如下：(1) t ? 4時，或是t=3，但n不為4p(8q + 7)( p?Z0 、q?N) 的形式時，原方程式有無限多組自然數解，且可依遞迴公式求解。(2)t=3時，且n為4p(8q + 7) 的形式時，原方程式無自然數解。這篇研究的應用主要是在立體及高次的抽象幾何。原方程式在n=1、t=3的時候，(x1)^2 + (x2)^2+(x3)^2 = y^2其x1,x2,x3,y依序正好為一長方體的三邊長及對角邊長。根據這篇研究的結果，可知：只要找一個不小於 3 的自然數，便可找出一個以此為邊長，其他邊長和對角線長也為自然數的長方體。如果再將此結果推展至更高次的話，則在t 次空間中，只要找一個不小於3 的自然數，便可找出一個以此為邊長，其他邊長和其對角線長也為自然數的t 次長方體。至於這篇研究的未來推展，則可將原方程式的各指數提高。