平面座標上長方形沙發旋轉問題之解的存在性.
這篇報告要探討下列的「轉沙發的問題」是否有解?
有一個長方形的沙發,如圖一,若要求每次只能以「四個頂點逆時針或順時針連續旋轉90 度」的方式轉動,請問當長寬具備何種關係時,沙發經數次轉動後,剛好可以「轉」到相鄰的位置,如圖一,而且沙發坐人的正面方向仍保持不變呢?
我們把原問題看成「平面座標上長方形旋轉的數學問題」,再利用「平面座標、三角函數、複數、複數的極式表示及向量」等數學工具,導出符合題目要求的方程式,最後證出當長與寬的比值為正實數時,有下列的結果:
1.當長與寬比值為無理數時,此問題無解。
2.當長與寬比值是最簡分數時,若分子為奇數,此問題無解。
3.當長與寬比值是最簡分數時,若分子為偶數,分母為奇數,此問題有解。