國中組

http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Four.Dogs/four.dogs.html數學網站有以下此問題:「有四隻狗分別位於正方形的頂點上，在同一時間開始以同一速率依逆時針方向追向下一隻狗，求每隻狗所留下的軌跡形狀及此軌跡的長度。」當我認真尋思此問題時，發現這是個非常有趣複雜的數學謎題，可視不同的給定條件而變化多端，於是開始了這趟有趣的數學之旅。

本作品對於2016年丘成桐中瘸數學獎作品（蛋破魂飛一個Google的雞蛋問題），給出完整解答。該問題尋找「最佳的最糟情況策略」，也就是將最大值最小化（min-max）的最佳策略。我們從特例出發：每d層樓檢測一次著手，證明出兩個定理（定理(壹)、(貳)）來解答在這種特殊情況下「最佳的最糟情況策略」的完整公式解。再將這種固定d層樓檢測一次的策略放寬，求得一個巧解Google原題的方法。我們的解法具一般性，定理(參)解答任意總樓層的「最佳的最糟情況策略」(原題限制100層樓)，而且刻畫「所有」的「最佳的最糟情況策略」，而不是只得到源解答所提供的其中一組解。本作品主要工具是高斯符號、算幾不等式、除法原理，佐以縝密分析手法，完全解答該問題。

有一天在書上看到了一個圖形（如圖一）書上提出了一個問題，究竟這個圖形共有多少個正方形（大小不同）？於是拿出筆來仔細的研究一番，發覺此圓形中每邊一格大的正方形有（如圖二）4 ×4=16 們；每邊兩格大的正方形（如圖三）有 3×3=9 個；每邊三格大的正方形（如圖四）有 2×2=4 個；每邊四格大的正方形（如圓一）有 l×l=l 個故此圖形中共有正方形4x4+3x3+2x2+1x1=4 2+3 2+2 2+1 2=30個此恰合1 2+2 2+3 2+4 2+......+n 2之形式，經請教老師的結果得知1 2+ 2 2+3 2+....+n 2 =1/6n(n+1) (2n+l)，因此若欲解決有如上式形式的問題最簡捷的方法是1.算看看每邊有幾格小正方格 2.若每邊有 2 個，則 n=2 ；每邊有 5 個 n=5...再將n個代入1/6n(n+1)(2n+1)很快即能求得答案”解決了上述問題腦中突然浮現了三個問題：(一)假如原圖是個長方形則究竟（如圖五、圖六）1/6n(n+1)(2n+1)是否管用？若不能用究竟又要如何才能很快的求得答案。；(二)如在每邊 n 個小格的正方形中閻挖掘小正方形(如圖七、八) 則在此圖中，究竟合有多少個實心正方形？（正方形面積完整）(三)如在每邊 n 們小格的正方形中問挖掘小正方形（如圖七、圖八)則若單以所劃正方形（空心）為準，究竟又有多少個呢？ 為解決心中疑竇遂邋了陳瑞靜來共同研究，皇天不負苦心人”終於解決了這三個問題，以下就是我們兩人的研究過程與結果”

雖然由水壓公式，可以由水位，計算底部的水壓，但是我們經由實驗，以針筒製作活塞，以及減重法方式來測量水壓，成功地直接量測到不同水位時，底部的壓力。由截面積不同的活塞水壓量測實驗，證明壓力與水位為線性關係，分析實驗數據證明，相同水位，有相同壓力，但是底部承受總壓力與受壓面積成正比。經由實驗證明，水壓並無方向性，垂直向下及轉彎橫向所測得壓力，結果幾乎相同。 依照我們的構想，成功製作自動虹吸管裝置，模擬潮汐變化，可以充分應用水位差產生的能量，而且漲潮與退潮皆可利用來發電。規劃潮汐發電應用，經由發電量計算，將可提供675 公尺碼頭岸邊的安全照明，只要1?2 座發電蓄水池，就能達成漁港保護人車安全的目的。

世界上最美的比例－黃金比例為1.6180988…，像是希臘雅典的古廟、美術、雕塑、音樂……等等，生活上有許多實際的例子都應用了黃金比例，鸚鵡螺的殼形也是自然界黃金比例的實例之一。經由日常中實際觀察，發現每個蝸牛殼形大多都是螺旋狀－與鸚鵡螺形狀大致相符。然而日常生活中常見的蝸牛殼形是否就存在著黃金比例呢？經過運用畢氏定理、尺規作圖以及特奧多魯斯螺旋描繪出蝸牛殼的形狀、再用電腦製圖做更精細的確認之後，說明了蝸牛殼形中藏著黃金比例，證明「自然就是美」。

我們因被伸卡球吸引著，而開始這次的研究，它的偏向原理，可由翰林版自然與生活科\r 技第五冊9-1 節的白努利原理解釋，首先我們從影片中分析王建民的投球動作、風格及各種\r 球路的特性，我們也量出球體的偏向距離，並估算出偏向力的大小，接著進行了下列三個研\r 究。一是球體旋轉方向和飛行偏向的關係，我們將球體和小馬達結合，並固定在彈簧上，讓\r 旋轉球體在有風流動的風洞中，即可看出球體的偏向。二是簡易發球器的製作，我們利用波\r 蜜果菜汁鐵罐、強力馬達及轉盤，讓快速旋轉的轉盤摩擦保麗龍球體的邊緣，球體可以快速\r 飛行並旋轉著，改變旋轉方向的角度，即可模擬各種球路。三是偏向力的測量，我們利用風\r 洞、電子秤、棒球和強力馬達結合及鐵架，可以找到偏向力的大小和風速及球體旋轉速度有\r 關，最後用得到的數據進行伸卡球進壘位置的分析。

爸爸喜至水族館購買麵包蟲餵養魚兒，回家後發現裝蟲體的塑膠袋被蟲啃破好幾個洞，爸爸便將多餘的蟲體放置在工業用保麗龍盒內，並未特意去餵養，但在無意中發現盒子已被饑餓的蟲體哨食，此一重大發現引起我的聯想，因本學期學校家庭聯絡簿內容與環保有關，曾提過塑膠製品對地球的危害，如能藉用自然界的昆蟲為人類解決千年不壞的垃圾，那這發現就人值得了。此項剛好與生物下冊第十二章人類與環境中的實驗 12- 1 「廢物的腐敗」，有些地方類似，基於以上幾點，才有此實驗的研究動機。愛飼養觀賞魚，常

日常我們看到小石子、瓦片……等由高處落下時，速度越落越快，到底那樣快的速度，變化的情形怎樣？能不能測量？我們把這個問題請教老師，老師說：「由於自由落體加速度很快，要直接測量相當困難，一般都是利用閃光照相裝置、或是利用電鈴型計時器測量，但這兩種方法都有缺點」。我們聽了以後覺得既然這兩種方法有缺點，那塵我們能不能設計一套新的裝置來改良其缺點呢？因此我們做了以下的實驗。

在國中翰林版自然第五冊第二章的內容中，有介紹力的平衡觀念，而落下的雨滴是最好的例子，對於雨滴的各種現象充滿好奇，因此設計一連串的實驗，首先是不同直徑液滴的分裂探討，我們發現液滴越大其終端速度也越快，也會比較容易分裂。之後，我們進行不同液體表面張力的實驗，得知表面張力越小時液滴越容易分裂。\r 我們用滴管可以製造出直徑較大的水滴，但是自然界的雨滴卻無法達到這種大小，此極限值與雨滴的終端速度有關，當雨滴分裂的臨界速度小於終端速度時，雨滴就會分裂，當雨滴分裂的臨界速度接近終端速度時，雨滴正處於是否分裂的臨界點，因此我們認為此時雨滴的直徑，就是自然界雨滴的最大值，根據我們實驗的結果：其最大值約在6.1mm 到6.9mm 之間。

為進一步探討草本、木本植物氣孔與蒸散作用的差異，我們蒐集資料，且設計實驗加以比較，結果發現草本、木本植物之上下表皮氣孔分佈之數量、大小、型態等，因種類不同而異外，氣孔皆散佈於葉的上或下表皮，呈現非均等分佈，而葉脈處無氣孔，且氣孔顯著小於表皮細胞；草本植物於上表皮偶而可發現氣孔，但分佈數量較下表皮少，且氣孔不一定比木本植物小；木本植物之氣孔僅見於下表皮且會陷到下表皮內，其單位面積分佈密度較草本植物多。葉片越成熟其氣孔分佈數量越多，但老化的葉子則較少；水分蒸散主要由葉的下表皮散失，而環境因子如光度、溫度(含日照時段)、空氣移動速度等對植物蒸散速率皆成正影響；不同植物對色光之反應則各有不同偏好。