第50屆--民國99年

利用衝壓車床將五種不同的金屬片打印上數字符號，再使用砂輪機將金屬片上的數字刻痕磨光，而後塗抹上四種不同的電解液進行化學腐蝕法和氧化還原法，以期使被磨除的刻痕重現。本研究在探討－銅、鐵、鋅、鋁、不袗金屬，在對上氫氧化鈉、氯化鐵、氯化銅和鹽酸混和液（Davis試劑）及綜合酸試劑中，哪一組的顯現效果最佳，改變電壓和濃度結果又會如何？ 最後我們發現： 1. 氫氧化鈉NaOH只對活性大的金屬（如鋁及鋅）的效果較好。 2. 氯化鐵FeCl3對銅效果較佳。 3. 氯化銅和鹽酸綜合試劑(CuCl2+HCl+H2O)對大部分金屬皆有不錯的效果。 4. 混合酸(HF+HCl+HNO3+H2O)效果好，反應很快，但不易記錄，易腐蝕過頭，而且配製過程危險。 5. 電壓和濃度基本上是越高越好，但太高容易有反效果，腐蝕效果太過，連想顯現的的刻痕也腐蝕掉。

有個密碼鎖由D個旋鈕組成，每個旋鈕有N種不同的號碼，由於構造缺點若D個旋鈕中僅有1個號碼錯誤仍能打開密碼鎖，問最少嘗試多少組號碼才能保證一定能打開這個鎖？這個問題等同於在N元D維超立方中找一組點集，點集中的點各自向其D維度畫出延伸線，若超立方中的所有點都至少被1條延伸線所涵蓋，要求重複涵蓋的次數總和要最少。 43屆的科展中已經討論過3個旋鈕的情況，我們接著分析4個旋鈕的情況。在討論中發現D=4時並沒有型如D=3時保證打開的最小次數公式，我們給出上下限的公式。但D=N+1且N是任意質數時卻很特別，恰可利用拉丁超立方挑出1組點集，其所有延伸線涵蓋的點都沒有重複，稱為完美控制，而保證打開鎖的最小次數是NN-1。

影響反應速率的變因甚多，有反應物本質、濃度與接觸面積、反應時溫度、催化劑等，有的影響大、有的影響小，本研究中我們選擇電場作為主要觀察變因。因為碘鐘反應是好的化學動力論的觀察對象，在時間的測量上較為精確且顏色改變明顯易辨認反應終點，經由實驗，我們得到電場大小對反應活化能的影響趨勢，以及其他在反應上的特性。

本篇研究運用了巧思與智慧，使得一般常見的電腦音效卡搖身變為精密計時器，搭配上高感度麥克風、壓電式蜂鳴片與光電二極體等感測器，運用在空氣中音速、金屬固體中音速、單擺週期及重力加速度的測量上，從實驗的數據中得知，我們的方法確實可行而且精確度極佳，值得推廣到中小學的教學與實驗上。

本研究以尤拉公式【面數＋頂點數－邊數＝2】為發想起點，先探究多面體由邊緣或內部外凸、內凹、截切頂點所形成的形體是否仍能滿足尤拉公式，再運用反推手法，探究單一或二種以上正多邊形搭配固定頂點組合模式，所能推得的元件片數，找出規律進而拼出均勻多面體，同時驗證了五種柏拉圖多面體的組成元素。過程中因察覺部分形體可以透過稜線切割出一正多邊形截面，沿此截面轉動後又可衍生出不同頂點組合的Johnson多面體，深入探究得知，當給予頂點組合要件，再搭配尤拉公式，即可利用聯立方程式找出元件要素順利拼組成功。最後利用頂點珠製作的骨架圖，觀察均勻多面體中各種具對稱性的截切面，進行模擬切割並繪成展開圖，製成多組立體益智拼圖，做為此研究之具體成果。

我們所研究的問題是由許志農教授在「高中數學大賞」書中所提出的問題：設一骰子連續投擲n次出現的點數依序為x1，x2，…，xn，令 Yn=x1+x2+…+xn，試求Yn為7、5、3的倍數之機率為Pn。突破以往使用機率方式求解，我們改採用矩陣列出餘數為0、1、2…的所有組合數，透過矩陣的運算，觀察到各元素間的關係，進而解決上述問題。延續這個技巧，我們再次處理骰子平方和為4、3的倍數的組合個數。

本研究以實測的資料分析與在實驗室中製造人造霧的條件為兩大研究方向。經過一年半的實測以及實驗分析，得到以下的結論： 一、家鄉一年中晚上出現霧的次數以冬末初春較多。 二、當有霧時，多數氣溫約在15-25℃間；相對溼度多在80％以上；而風速幾乎在3m/s以下。 三、晚上有霧形成前的白天氣溫會較無霧時約低3℃、相對溼度多5％以上、風速約低0.5m/s。 四、若晚上十點有霧、氣溫介於14℃-27℃、相對溼度80％以上、風速低於2 m/s時，則隔日 出現晨霧的機率可達52％。 五、實驗室製造效果較佳的人造霧條件：250毫升的量筒內，倒入150毫升45℃的水，將線香點燃60秒當凝結核，後以冰凍舒跑冷卻90秒即可。

著名的荷蘭籍藝術家M.C. Escher以手繪的方式，創作了許多豐富且極具創意的密鋪圖樣。然而，在張瑜軒的研究[6]中，以加減遞補的方式來詮釋M.C. Escher的繪圖方法，這對於結構解析與製圖的設計方法上並無太大幫助。本研究主要以正方形為基本單元，首先利用已知的4種等量變換 (Isometry) 推論出正方形磁磚邊的作用方式共有9種；再利用窮舉的討論出共有47種設計方法，其中44種可以密鋪；並對M.C. Escher的圖樣做結構解析，在結構解析下配合快速且精確的方法製圖，創作新圖樣。最後，從二維平面延伸到曲面及立體圖形上，探討正方形磁磚在各種不同曲面及立體圖形可密鋪的設計方法。如：環面(Torus)、圓柱曲面(Cylinders)及著名的莫比紙圈(Mobius Strip)和正六面體(Cube)，在適當軟體的支援下，將可以在平面與曲面上輕鬆製作富有創意的新圖樣。

這個主題是探討蓮蓬頭水柱衝力與蓮蓬頭的孔數、面積以及孔洞排列方式之關係。 我們推測當蓮蓬頭孔數愈少(孔洞面積愈小)，則流速愈大，產生的衝力愈大；反之，當孔數愈多，產生的衝力愈小。我們希望水柱產生的衝力夠大，也希望水柱打在物體上的總面積愈大，但很明顯，這兩個量值是互相抗衡的。 我們以實驗的方法了解孔洞面積、排列方式如何對水柱衝力造成影響。更進一步分析在不同變因下水柱衝力與水柱面積之乘積，因為這是人體感受淋浴的重要因素。 實驗中，我們自製蓮蓬頭，量測水柱對電子磅秤產生的衝力，再將衝力與孔洞的總面積相乘。固定圈數，改變孔數(亦代表水柱的面積改變)，然後畫出衝力與孔洞面積關係圖；固定孔數，改變圈數(亦代表孔洞的排列方式不同)，畫出衝力與圈數關係圖﹔單圈下，固定孔數，改變單圈半徑，畫出衝力與圈數關係圖。

四張郵票，四種價值，卻能湊出1~10連續不斷的十種價錢。一張圖，能填入的數字與擺放的位置隱藏著絕妙的數學問題。對此，大家給了它一個名稱—IC圖。 我們將IC圖推廣到複雜的進階圖形，分別是多重放射圖、長鏈放射圖、階梯放射圖；環的研究則有三角環、四方環連接圖。它們的關係大致如下: 關於更複雜的圖—環與放射狀的結合，我們期望能在未來一窺其奧妙。