第48屆--民國97年

三年前的科學人雜誌曾看到一篇討論數獨初盤的文章─討論使一數獨有唯一解所需填進去的最小數目，結果是17個數字。因為數獨是最近才竄起的數字遊戲，所以能找的資料也很有限。後來便想到跟幻方(魔方陣)結合，試著找出對應關係。先鎖定較簡單的4×4數獨，為了讓數獨具備特殊性質(對角線上)，我們特別創造了”G數獨”─一組對角線上數字均不重複的數獨，使之在對角線上的和仍然與行列相同。利用幻方每行每列對4做模後為完全剩餘系之性質我們順利的找出一種變換方法，即在4×4G數獨固定一3×3方陣的四角，將固定角之相鄰元素互換可得一共軛數獨與原數獨以4:1及1:4比例構成X幻方。之後找到「井字變換法」亦可構成X幻方。原本想利用4×4G數獨的性質將9×9和16×16的情況解決，但用程式跑了一天還無法得到滿意的數據，因此我們開始懷疑9×9G數獨的存在性。於是我們利用Excel的自訂函式功能來找尋可能的變換法。最後，成功地找出一個廣義的變換法，其中仍是以兩共軛G數獨以1:n2及n2:1的比例製作X幻方。

本實驗共解剖31條吳郭魚。魚鰓共有八片鰓瓣，而且鰓區與嘴巴相連通。其中鰓瓣的鰓\r 絲是交換氣體的場所，在顯微鏡下也觀察到鰓絲有血管分布，表面排列眾多突出的鰓小葉，\r 可以增加呼吸的表面積。以平均體重534 公克的吳郭魚來說，八片鰓瓣約含有2516 根鰓絲，\r 每根鰓絲長度平均為1.25 公分，鰓小葉的總數約74 萬個，所構成的魚鰓總表面積可達12 萬\r 平方毫米，相當於A3 紙張大小。魚的鰓蓋運動主要是藉由嘴巴與鰓蓋的交替開閉所產生的\r 壓力變化，造成水往單方向流動，水從嘴巴流入鰓區，然後在鰓區進行氣體交換，接著水從\r 鰓蓋處流出魚體。吳郭魚的鰓蓋運動速率每分鐘平均為66 次，其耗氧速率平均為0.7041（毫\r 克/公斤-小時），其鰓蓋運動速率與耗氧速率會受到溫度、酸鹼度及鹽度的影響而有所差異。

鞋帶的綁法很多種，我們平常並不在意，但是掉鞋帶這件小事卻常常影響到我們，\r 除了浪費時間，還會造成運動阻礙，甚至危害安全。所以，我們決定調查及統計各種不\r 同的學生運動鞋鞋帶綁法，試著找出既方便又不容易掉的優良綁法，再試看看能不能通\r 過我們設計的嚴苛測驗，讓我的鞋帶再也不鬆綁了。

使用尤拉函數尋找某一個自然數n互質個數k，Ψ（n）=k是大家都以精熟悉的方法。而，我們有一個想法，某一個互質個數是k的情況下，則對應於自然數n的情況是如何？如何從Ψ（n）=k反推Ψ-1（k）=n？Ψ-1（k）=n有沒有解？對於Ψ-1（k）=n有哪些性質？Ψ-1（k）=n解的範圍如何？在本研究將逐一研究及討論。

於車床工作中，如何能更快且精確的完成所要求品質之工件呢?本次研究是希望藉由不同的定位方式與工件夾持的長度來探討工件中心軸線偏轉程度的關係。研究過程中先探討問題之所在，再尋求可解決的方法，進而實驗與測試，並記錄其結果。測試中以一般夾持、靠置尾座心軸端面與磁力定位座等三種方法與夾持工件的不同長度分析比較其中之關係。經測試後得知，夾持長度是影響中心偏轉度最大的關鍵，若再配合磁力定位座吸附工件，更能增加車削後之精確度。磁力定位座上的同心圓可快速將工件定位於中心上，可減少定位之時間，並可使薄工件(厚度約6㎜)亦能定位於夾頭上車削，真是不錯的附件，尤如車床工作中的第三隻手，可助我們定位時的一臂之力。

對於「厄多斯與斯特勞斯猜想」，一直以來皆尚未有人破解。但研究價值未減，我們受其\r 吸引先後做出兩份作品。\r 第一份針對四十五屆中小學國展第三名作品做改進。發現其內容太複雜，不夠精簡，且\r 過於執著全國第三名作品的部份思維，導致代數衍生過多、計算困難，不夠系統化！\r 所以今年我們改進前份作品：最初思考以完全代數化來精簡內容，並引用方便閱讀紀錄\r 的數學符號運算。沒想到卻也意外找到「 厄多斯與斯特勞斯猜想」更 有系統地處理方式！\r 也因架構更系統化，讓我們方便以電腦程式來測試。\r 雖然最後，我們仍然未解決「厄多斯與斯特勞斯猜想」，不過卻在目前找到的資料中，得\r 到最有系統的解題架構，並將此猜想轉化成另一個存在性問題。

龍潭中豐路上這口遠近馳名，已經冒水一百多年的湧泉「泉水空」，是人人好奇的自然景觀，老師上課也常以它為例加以說明。前年我們探測泉水空的灌溉分布與流量，結果獲得不少迴響，今年96年及97年我們再進一步的探測泉水空湧泉的形成機制，了解龍潭地區的地質及地下水流動分布的情況。經過將近一年的探測，我們終於揭開它神秘的面紗，對於泉水空湧泉的形成機制，龍潭地區的地質概況及地下水流動分布情形，有了清楚的認知，同時也進一步加以證實了龍潭人代代相傳的故事。

我們利用天然或回收廚餘測試清潔功效，具極佳效果的可提供日常生活參考使用。與橘\r 子工坊配方比較發現，不論在清潔地板或油性筆跡，檸檬皮比橘子皮有更佳的效果，皮層組\r 織不同成分亦有不同的清潔功效。又利用日常生活常見清潔容器及工具結合改造，可製作便\r 利的清潔器材；依照清潔劑用量，可選擇不同釋出裝置，分為噴灑式、擠壓式、滲流式，並\r 結合海棉、刷子、菜瓜布，具有方便操作，易於收納後再使用。調配有機驅蟲劑，發現以蔥、\r 薑、蒜、辣椒和4 種混合的醋酸稀釋液，具有明顯功效。我們還設計出環保又便利的簡易手\r 動控制灑水器，更進一步設計定時定量自動噴灑器。本研究結果可作為日常生活中，在環保\r 的原則下，有效提升清潔和驅蟲功效。

一張全開的紙(1090mm*787mm)最多可以切成幾張A4(297mm*210mm)，切了老半天我們只能切出10張，沒想到印刷廠老闆輕輕鬆鬆就可以畫出11張的切割圖，簡直太帥了，這不禁讓我們想到，若換了紙張或換了單位紙張又能切出多少塊呢？難道我們得不斷地畫不斷地排才能找出答案嗎？或許這些長寬之間是有關係的，因此我們就針對這個紙張切割問題去嘗試進行研究。研究中除了探索市面上紙張規格（菊版與四六版）與切割k數及影印紙的關係外，針對一張紙要如何才能切出最多塊單位紙張之問題，我們發現除了大小長寬有倍數關係的組合能完全切割外，其餘的並非能順利完切，在嘗試了數百組的數據進行紙上切割後，我們找到了能夠完切或接近完切的方法（或拼法），利用十字交乘法及搭配旋轉排法即可順利推得所能切出的最大數量，另外，我們再延伸利用此研究成果，設計了16套遊戲拼盤組，讓班上同學挑戰之。

曾經在數形關係的章節中，遇到了數列1，1，2，3，5，8…，覺得這數列真是與眾不同，詢問老師後才知道這數列的名稱是斐波那契數列，且這數列是在13世紀初的數學著作中被提出的，更有趣的是一開始其實這是個生小兔的問題，於是決定與同學一起研究這特別的數列------斐波那契數列。