壹、 傳統鬼腳的化簡由 n 腳鬼腳的最簡節數必定小於或等於 n(n-1) / 2 節，判定絕大多數的鬼腳圖都應該先化簡再去取對應值。化簡鬼腳的工具有「代換版塊」及「化簡版塊」它們的交互運用可很有效率的將複雜的鬼腳圖化簡，最後再透過「棒狀檢驗」可以判斷是否已化到最簡了。貳、 新型鬼腳的發現與應用(一) 傳統鬼腳是一個一對一的函數，若將某一區塊的短節按照事先設定的方式加上單箭頭，這時可做分組抽籤之類的用途，也就是形成一個多對一的函數，若單箭頭加了太多，也有一套化簡的方式。(二) 上述的單箭頭鬼腳與傳統鬼腳在當鬼腳圖畫好後，對應的結果立即確定，不論遊戲者採用那一腳先走，但這是一個很糟糕的設計，因為下一群要玩鬼腳的人必須重繪一個鬼腳圖，這既浪費時間也浪費紙張。因此我們引進一種「不可追蹤的行走方式」，這能使採用不同的行走次序，即產生不同的對應結果。這也讓下一群玩此遊戲者，只要改變一下行走次序，即可重覆使用該鬼腳圖。(三) 上述單箭頭配上不可追蹤行走方式的鬼腳，並非對任意的行走次序都有不同的對應結果，本文中探討了各種各類的單箭頭陪列方式，如棒狀、V 字型、菱形、剪刀型、金字塔型、鑽石型………等，它們的對應結果種類數各有不同，其中只有「金字塔型」可完全充分的產生不同變化，也就是說行走次序一有更動，對應結果必不一樣。這使「重覆使用」充分發揮。(四) 傳統鬼腳為何會一對一，是一個長久以來存在著的一個謎，很多人有不同的解釋方式，不可追蹤的行走方式巧妙的解開了這個謎。環 保 鬼 腳§一個新函數的發現 §

磁鐵的磁力現象與電磁關係，對於身為國小學童的我們而言，是看似具體卻是抽象的現象，因此當同學生有此疑問時，我們便藉此機會來深入探討研究。在翻閱相關的資料、深入思考與設計實驗後，我們發現了：（1）磁鐵不是只會吸引鐵製品、（2）磁鐵的吸力不受時間和吸引物多寡的影響、（3）磁鐵的吸力各個部位有差異、（4）鐵針與磁鐵摩擦或接觸越久吸力越強、（5）可藉由指南針來顯示磁力線的方向、（6）燒烤和敲打磁鐵都會使其磁力減弱、（7）磁鐵的隔空吸力不受中間物質的影響、（8）磁鐵的大小與吸力大小並無直接相關、（9）折斷的磁鐵其磁極互補且磁力消弱、（10）可以散置的磁鐵模擬鐵製品的無磁性現象、（11）磁鐵的磁性永久與否與金屬材質有關、（12）增加電力或線圈個數都可增加電磁鐵的吸力、（13）增加電力或線圈個數不影響永久磁鐵的磁力、（14）感應電流會受磁鐵棒的磁力大小和插入方向的影響、（15）與磁鐵相吸的乾電池其電力會減弱…等。經由這 20 幾項的實驗，讓我們深入而具體地了解磁力現象與電磁間的關係。

近幾十年來,工業化及科技進步帶來了文明及生活的便利，卻也藉此讓大自然原有的平衡發生改變，例如溫室效應，便是由於大氣中的分子組成發生變化，如二氧化碳或甲烷等氣體，它們因為吸收了太陽光中的紅外線，造成了溫室效應，改變了全球的氣候環境，研究對於在自然界中碳循環有重要貢獻的嗜甲烷菌（Methanotrophic bacteria或methanotroph），將有助於改善我們日漸增加的溫室效應。根據Sochngen 在1906 年的推測，與甲烷代謝相關的微生物將在減少大氣中大量甲烷分子濃度當中，扮演重要的角色。因此，我們試圖基於此項觀點，推測當環境中甲烷濃度有升高的趨向時，是否會出現相對應的微生物有大量繁殖的傾向。嗜甲烷菌為格藍氏陰性細菌，轉化甲烷為甲醇作為此菌能量及碳源的來源，在有氧氣和烷類氣體的環境下，它也可以將烷類轉化成相對應的醇類，烯類轉化成相對應的環醚類，如丙烷變正丙醇及異丙醇，丙烯經作用後成為環丙醚。嗜甲烷菌可以生長在許多不同條件的環境中，從海水、淡水、沈澱物、泥碳沼澤、土壤和溫泉等都有被發現（Murrell et al., 2000）。

此主題從日常生活遭遇疑難尋求解答開始，在研究如何將看似繁瑣的中國著名童玩—九連環，透過解開單環、二連環、三連環、四連環等較簡易的情形，推導出各情形的解開方法，進而建立解開各情形步驟數的數列，並從這些簡易的情形推出解K連環的過程規律， 並得到各項數列的變化規則為 ak=2ak - 2+ak - 1+2， 再從數列的前幾項分布觀察出另一個其隔項階差形成等比數列的規律， 並進而推導出其隔項階差公比為4 也就是ak + 2 -ak =4（ ak-ak- 2）這個關係式，透過分離奇數項數列和偶數項數列形成的第一階差再配合等比級數的求和方法就可得到解K 連環時的步驟數的一般公式， 也就是為當K 為奇數時需1/3(2k+ 2-2)步，而當K 為偶數時則為ak=1/3(2k + 2-4)步。

在一次五子棋的廝殺中，為了避免弟妹干擾玩耍的興致，因此隨便抓了一把棋子讓他們玩玩，沒想到他們用了相同多的棋子，排成了三角形與四邊形的圖形。我們覺得蠻有趣的，因此我們想到一個研究的問題：「在移動最少棋子的條件限制下，將三角形數移成平行四邊形數」。我們稱這一個方法為「4＝3 切割法」，運用這個切割法的結論我們知道：一、 所有的三角形數皆等於平行四邊形數(合數)。二、 「三角形數＝菱形數」等價於「n(n+1)/2=完全平方數」的問題，而且在一億個n 值當中，只有10 個數值滿足「三角形數＝菱形數」。三、求根號2的有理逼近分數並估計誤差。四、 比較「4＝3 切割法」所求逼近根號2的分數與連分數展開所計算的分數，展現有趣的關係。綜合這些性質，我們發現研究主題皆與“根號2”息息相扣，在此不得不讚嘆「數」的美妙。

記得在四年級下學期的自然課堂上，郭老師在「水的毛細現象」的單元中，教我們做了毛細現象的實驗：先用兩片載玻片夾住蓋玻片，再用橡皮筋綁好，然後插入紅墨水中。我們觀察發現：水會逐漸上升，到一定的高度才停下來；而且夾的蓋玻片越多，水上升的高度越低。這個實驗引發了我們高度的興趣及好奇：如果用各種紙類來做毛細現象，水會沿著紙一直往上爬嗎？還是會像玻璃的毛細現象一樣，停留在一定的高度呢？於是大夥兒決定開始動手作實驗。

自然界充滿著許多美妙現象，大部分都有漂亮的幾何圖形。在重力場中，物體劃過巧妙的拋物線:行星軌道的圓錐曲線...等。這其中有數學，更有迷人的物理性質，於是我們就進行了實驗與研究。

\r 中秋節那一天，爸爸帶了一盒月餅回家，晚上，大家一起吃月餅、喝汽水，好快樂！只是我發現每一個月餅的包裝袋內，都附有一包類似乾燥劑的東西，上面除了“DON′T EAT ”以外，還寫了好多我看不懂的英文字。這包小東西引起我莫大的興趣，於是，我偷偷的藏了一包在口袋裡。\r 回到房間，我把它拿出來看，一不小心碰到桌上的磁鐵，他竟然被吸住了，這到底是怎麼一回事？想著！想著！我終於進入了夢鄉。\r 好不容易熬到星期一，我迫不及待的拿著這包怪東西到學校請教老師，而老師也不知道這包東西有什麼用途，不過，老師鼓勵我可以對它進行研究，經過不斷的努力，再加上老師辛勤的指導，最後，我的研究終於有了一些成果。\r

在研究過程中，我們找出了一種方法去解決尚待解決形如ax4 -by2 =k 的求解法，並且令人驚訝的，我們可以利用這個結果去處理尚未有初等證明的watson 猜想，利用這種方法可以圓滿的解決watson 猜想的一些棘手的問題，對於ax4 -by2 =k 我們先討論最簡單的形式：x2 -2y4 =-1 我們先將y 前的係數消去，在將另一邊的的變數配成畢氏數，利用連續兩次的畢氏數本原解，我們可以找到限制的條件，再利用佩爾方程找出變數間的關係，再使用同餘去分割方程去求解，即可找出解，將watson 猜想化成形如ax4 -by2 =1 再利用上面所言同樣的手法，去處理即可求出watson 猜想(求12 +22 +32 ＋... + N2 = K2的所有正整數的解)，而且我也利用同餘的方式去處理watson 猜想3 次方的推廣(求13 + 23 +L + N3 = K3的所有正整數的解)，並且也證明出解只有1。