從垂足三角形到垂足多邊形
在偶然的機會中,於學校圖書館中發現了 《 幾何研究 》 一書,看到其中的「垂足三角形」( Pedal triangles)1「令 P 為已知三角形內之任一點,且令PB1,PB2,PB3為作向三邊A2A3,A3A1,A1A2之垂直線,此等垂直線之足,為 △B1B2B3(稱 △B1B2B3 為 △A1A2A3之第一垂足三角形)之諸頂點,該三角形為對「垂足點」 P , △A1A2A3之垂足三角形。第三垂足三角形D1D2D3,與原來三角形A1A2A3相似。」且最後說到有位新加坡的 A . Oppenheim 博士將之推廣為「 n 邊形中第 n 垂足 n 邊形相似於原 n 邊形」。心中產生了一些疑問:四邊形 … … n 邊形的證明? P 點在三角形外,此性質是否仍成立?對於凹 n 邊形及自交 n 邊形,此性質是否仍成立?第三垂足三角形D1D2D3與原三角形A1A2A3的面積比?第 n 垂足 n 邊形與原 n 邊形的面積比?什麼時候面積最大?有沒有其它的性質?於是利用課餘深入加以研究。