第65屆--民國114年

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛×𝑚的棋盤中放入最多的1×𝑡或𝑡×1的骨牌，並使得每一個𝑡×𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡=2,𝑛=𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡=2開始研究，推導出(1)𝑛,𝑚皆為偶數、(2)𝑛,𝑚一奇一偶、(3) 𝑛,𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到(4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛=𝑚的結果。最後再討論(5)𝑛,𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他 數等不同可能性得出的不同答案。

本研究探討在正n邊形及圓內接多邊形構形中，若已知外圍三角形面積，是否可反推原構形的邊長與面積。研究建立一套幾何與代數互相轉換的流程，透過面積比例推導遞迴數列，進而構建高次方程，並提出新符號 𝑇𝑃𝑄 及 𝑈𝑛𝑞𝑝 表示不相鄰乘積和，以簡化代數結構。進一步運用數學歸納 法 與極值邏輯，成功證明：當高次方程 式 具有正實根時，其最大正實根必定對應唯一的 多邊形 限定構形；反之，若多邊形限定構形存在，也可唯一對應於高次方程式之最大正實根。此研究不僅提供幾何反推的系統化解法，也為代數方程的幾何詮釋建立明確模型，具備理論價值與推廣潛力。

本研究是將三角形的西姆松線推廣至圓內接N邊形的西姆松線，已知三角形的西姆松線有孟氏定理，利用數學歸納法可證得圓內接N邊形的西姆松線也有孟氏定理；若只考慮外接圓上的一點P對圓內接N邊形各邊所在直線作垂足，則各邊截線段比值的連乘積也會等於1；已知三角形外接圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：圓內接N邊形圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角的(N-2)倍；已知若兩個三角形的外接圓相同，則外接圓上一點𝐏對應兩者的西姆松線之夾角為定值，跟𝐏的位置無關。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：兩個N邊形的外接圓相同時也成立。

本研究源自2023 IMO Shortlist C1，探討在 m×n 棋盤中以2×2子格進行特定硬幣翻轉，目標為全盤朝上。我們首先證明僅當 m或n為3的倍數時操作才可行，並將規則推廣至任意 k×k 子格，得出需滿足3(k−1)整除m或n的條件。進一步研究斜排與階梯形翻轉，發現僅特定形式的m與n可行，對於更一般的k與盤面結構，目前僅能歸納推論，缺乏嚴謹證明。本研究驗證不同棋盤與翻轉規則的可行性，並提供多種構造解，未來將拓展至高維棋盤與最小操作次數等議題。

本研究探討給定三角形經由其三中線、三中垂線、三高、三內角平分線、兩外角平分線及一內角平分線，將線段延伸為直線，分別以其與邊或邊的延長線的交點為旋轉中心同時旋轉，作為新三角形的三個邊，圍出新的三角形時(簡稱為變換)的性質，並關注重心、外心、垂心、內心、旁心的位置。 本研究分析變換一次，尋找新三角形隨旋轉角度變化的性質；及固定某個旋轉角度，進行n次變換時，形成的點列所在的曲線方程式。 結果顯示，變換一次時，根據三線選擇的不同，各自出現陪位重心、心的重疊、Kosnita 點、多心共圓、共圓錐曲線…等性質；而當固定某個旋轉角度，進行n次變換時，則分別有等角螺線或收斂到特定形狀的性質。

本研究的概念來自於110學年度學測數學的選填題，我們先固定原題的部分變因，探討單一方向並改變單一旋轉角度對圖形特性的影響，並試著求出角數、路徑長、面積等通式；接著嘗試多增加一個旋轉角度形成不同旋轉角度組合和不同方向的旋轉角度組合對圖形特性的影響；最後還試著改變移動距離，找出兩種移動距離組合在旋轉一圈內形成封閉圖形的特性。我們發現一圈內相同旋轉角度組合依規則分割和填補，會形成面積有固定比例的正多邊形；一圈內不論順、逆時針旋轉角度組合，周長和面積公式皆相同；兩圈以上的順、逆時針旋轉角度組合皆會產生多種類型，需要針對各類型分開考慮。

本研究透過不同介面活性劑來吸附海洋微塑粒，初步發現，無患子的親油性最好，TDS值可作為微塑粒濃度的檢量線。為了解介面活性劑的親水性值(HLB值)對起泡力及清除率的影響，加入HLB值為4的白蠟油(油性介面活性劑)進行實驗，發現海塑粒無患子起泡效果最好。泡泡水去除海洋微塑粒效果約為8.3%，無患子溶液約為9.7%，白蠟油約為60.7%，故白蠟油的清除效果最佳，但並不天然。後來，我們發現了天然的親油性介面活性劑―大豆卵磷脂，無患子與其的起泡比例以7:3為最佳，且單純大豆卵磷脂的清除率高達84.14%為目前最高。最後，我們發現此起泡裝置能清除真實海水中37.55%的微塑粒。

本研究探討過剩綠蕉在食品加工中的應用。綠蕉富含抗性澱粉與膳食纖維，透過檢測不同因素對綠蕉澱粉抗性的影響，研發與製作最佳比例與配方的綠蕉珍珠。結果發現透過烘乾、磨粉等過程可開發適合食品加工的綠蕉粉。以烏龍綠蕉粉與太白粉3:7比例加入1%~3%橄欖油可顯著提升抗性，製作兼具口感與消費者接受度的綠蕉粉圓，經冷藏或冷凍保存其澱粉抗性增加，透過微波回溫較能維持粉圓的彈性、黏性與咀嚼性等口感。本研究比較綠蕉珍珠和市售珍珠粉圓的抗性、水活性、色差、物性等食品特性，不僅提出的綠蕉珍珠製作與保存技術，並提供產品營養標示供消費者參考。不僅能解決綠蕉過剩問題，還能為健康飲食提供新選擇。未來可開發綠蕉粄條、糕點等拓展市場價值。

本研究探討小蠟蟲（Achroia grisella）腸道共生菌對塑膠微粒的吸附與降解潛力，成功分離出30株可穩定培養菌株，並針對常見塑膠（PET、PP、PE、PLA）進行吸附與降解分析。結果顯示，菌2與菌5能有效吸附PE與PLA微粒，其中菌5在PLA條件下展現快速酸化與 CO₂ 釋放現象，顯示具備生物降解能力。進一步證實其在無碳源條件下仍能附著塑膠表面，顯示其可將塑膠作為潛在碳源。此外，菌株處理後之PE微粒對水蚤毒性下降，心跳與存活率回升，推測與毒性添加劑去除有關。本研究亦觀察到菌體對塑膠表面具專一性吸附，對金屬顆粒無附著現象。綜合實驗結果，菌株5具高穩定性、廣效吸附與降解潛力，未來可應用於塑膠污染治理與生物回收領域。

本研究旨在探討木瓜籽中幾丁質酶於防黴與抑制病媒蚊（白線斑蚊幼蟲）方面的應用潛力。研究初期將木瓜皮、果肉與籽分別萃取，噴灑於吐司表面後觀察黴菌生長情形。結果顯示，木瓜籽液具顯著抗黴效果，優於果皮與果肉，推測因其富含幾丁質酶可抑制黴菌細胞壁形成。後續實驗發現，木瓜籽經新鮮、烘乾與烤乾處理後仍具抗黴活性，顯示成分具耐熱性。進一步將其揉入麵團製成吐司，也能有效延後發霉時間。針對白線斑蚊孑孓進行測試，發現木瓜籽汁可使其迅速死亡，呈現良好殺蟲效果。分層實驗結果推測具活性成分分子量大於30 kDa。期望本研究可作為未來木瓜籽應用的參考，推動廚餘再利用與零剩食理念，為環境永續盡一份心力。