第64屆--民國113年

會議室圓桌上有𝑛個座位，順時針依序放有號碼1、2、3、⋯、𝑛，共𝑛張名牌。參加這場議會的人都有自己的編號，依序為1、2、3、⋯、𝑛，假設編號1的人一定先進入並坐到號碼2的位子，剩下的人則為亂序進入，先找到自己名牌的位子，如果自己的位子是空的，就直接坐下，如果位子被佔了，則順時針或逆時針找最近的空位入坐，若順時針與逆時針最近的空位距離相等，則順時針入坐(例如編號2到達時，發現自己的位子被坐，順時針距離最近的空位是號碼3，逆時針距離最近的位子是號碼1，則編號2坐到號碼3)。等到前一個人坐下後，下一個人再進入會議室。 依此規則，探討其坐法循環規律、坐法分布、坐法總數，並找出有幾種入座順序對應相同的坐法，以及坐錯位子人數的期望值。

本研究源於競賽之幾何問題，將其動態化與一般化得到三角形各邊同向生成正多邊形頂點與頂點連線特定的圖形不變性。本研究證明出： 一、兩外延正n邊形與框架正n邊形同相對位置的頂點(分別為Bi、Ci、Ai)，與三角形可動頂點K 恆形成平行四邊形BiAiCiK，此為形成不變性之關鍵。 二、當三角形可動頂點之角度為定值θ，則框架角分別為180+180/n-θ及180-180/n-θ度。 三、三角形可動頂點K移動過程中，兩外延正多邊形中以K為起點分別依順時鐘與逆時鐘依序對應之頂點會形成(n-1)組的以底邊中垂線為對稱軸之軌跡，並與K點軌跡形狀相同、大小分別為框架正n邊形第i-3或i-4對角線長度倍數的圖形(若i-3、i-4≦0，則為1倍)。

本研究由一題三角形內心與其旁心三角形頂點連線交外接圓所構成三角形面積問題出發，藉由相似形的觀察發現可透過連接頂點與內心作中垂線作圖而成，以此為靈感開始定義點心中垂三角形，創新探究其他形心所構造的點心中垂三角形性質以及與原三角形的面積比，過程中發現三角形五心之間心與心互換的關係，讓我們聯想到如果繼續疊作中垂線，三角形有外、內、垂心共點與共線性質，接著我們延伸至四邊形與多邊形，發現層層之間的圖形有彼此相似與對應邊 平行…等共點、共線性質存在。

本研究在探討黃胸錐腹蜾蠃的築巢位置、分布狀況、行為觀察、蜂巢類型與蜂巢環境的關係，以及出巢率和蜂巢結構與材料的關係。結果發現，黃胸錐腹蜾蠃築巢位置會選擇有利於覓食、孕育後代的環境，雌蜂的築巢方向並沒有特定的方位；統計後發現黃胸錐腹蜾蠃雌蜂和雄蜂，雌雄比是1.125；也發現蜂巢的種類和外觀會因為環境的不同而有所差異；又發現雌蜂築巢使用泥土粒徑的粒徑大小和出巢率沒有直接的關係，但築巢材料粒徑大小和蜂巢結構有關係，而蜂巢結構會影響成蟲出巢率，蜂巢結構的長寬比和出巢數有密切的相關性，但是蜂巢結構的厚度並不會影響到成蟲的出巢，蜂巢結構中的有機質和出巢率相關性也非常密切。

本作品希望能協助消防員在進入未知火場前，可以協助了解情況及判斷，使用物聯網、影像辨識、自走車技術，建置一個移動式火源偵測及遠端滅火裝置，具有手動及自動控制功能。 在火災現場時，可以手機方式操作，馬達帶動機器人平台前、後、左、右移動，透過鏡頭傳回影像畫面，人員如看到有火，可按下啟動噴灑乾粉按鈕，遙控滅火。當機器切換為自動控制方式，前置鏡頭傳回的影像，當有火源時，則會自動辨識火，並啟動噴灑滅火。有自動按壓滅火器壓把的功能，是因為在滅火器握把上，設計一個按壓驅動裝置，噴灑乾粉， 此為偵測火源滅火裝置 。 本作品說明書內使用之照片，大部分為第1指導教師拍攝，部分為引用自產品網站照片。

綠薄荷葉面上盾狀腺毛突出於表面，進行精油分泌和儲存，呈蘑菇頭狀球體，直徑約30~70微米。高日照量葉片的盾狀腺毛較大型於日照量低的葉片，下表皮腺毛較上表皮大型且密集，，測是為了減少日日照精精油的發損失。。驗使用拉拉曼光譜術來測是量綠薄荷腺毛、葉肉及其精油主要成分－檸檬烯和香芹酮。數據顯示檸檬烯和香芹酮的特徵峰與腺毛的光譜特徵峰重疊，確定成功從葉片表面組織中是得精油訊號，證驗減拉曼光譜是量精油與腺毛方法的可行性。驗使還確認減此方法也適拉於檸檬馬鞭草。驗使也用拉拉曼光譜是量生活中泛拉性極高的百靈油和其主成份－辣薄荷精油，證驗該術來精萃取精油成分的檢是也為可行的。

我們對內切圓研究一開始是從四邊形出發再延伸到多邊形，而研究的方向有兩個，其中一個是探討圓外切多邊形與圓內接多邊形（即圓與切線交點之切點多邊形）之間的關係。首先得到凸多邊形內切圓的成立條件，依據圓外切多邊形的邊角關係、邊長關係，得到不同的結論；接下來對圓外切四邊形與切點四邊形的關係做分類，並討論這兩種四邊形的面積公式後，進而觀察這兩種四邊形的面積與周長比值的關係，最後衍伸至n邊形，因而得到凸多邊形之面積與周長比值的關係。另一個方向則是由圓外切四邊形與切點四邊形的對角線交點，以及兩四邊形之邊長延伸線的交點、內外頂點延伸線的交點，去探討其共點共線的關係。

如果正整數 存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本文主要用不同方法探討質數環的存在性。在本文與文獻中，都沒有解出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，證明對於特定值的質數環存在性，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本文的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字間的關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本文提出不需要使用孿生質數的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題更一般化。

1.根據文獻[1]、[2]，關於圓外切四邊形一組對角兩頂點和內切圓圓心形成的三角形之心頂點外接圓與該四邊形邊延長線相交產生的線段與邊長關係式，推廣到圓外切n 邊形時，得到漂亮的關係一般式；圓外切n 邊形的n 個心頂點外接圓中，相鄰兩圓間的邊延長線關係式，藉由定義兩圓交點與邊延長線相交的位置關係得到完整的表示。2.由第一代圓外切n 邊形聯想作出第二代圓外切24n − 邊形時，其心頂點外接圓與其各邊延長線交點有共點現象。 3.單一個或任相鄰兩個心頂點外接圓分別與原內切圓的面積（或周長）及特定線段之比值乘積是一個定值（或另一個定值）。 4.推廣到圓外切n 邊形的n 個旁心也得到旁心頂點外接圓相關的邊延長線關係式。

當地夏天的河岸碼頭常堆積了很多死魚，造成環境很大的惡臭問題。我們實地探勘和查考資料後，製造模型進行微型實驗，模擬了不同季節的風向、風速和浪的大小，以及墩式碼頭基樁不同的形狀對於死魚堆積的影響。 我們用 1/200的比例尺依照實境設計了模型河道，然後設計不同形狀的碼頭基樁模型。微型實驗中發現，矽膠小魚堆積與水流侵蝕和泥沙堆積有密切切關係，而碼頭基樁的截面形狀是「水滴流線型」或「雙尖流線型」，水流侵蝕效果最好，能有效減少65%的矽膠小魚堆積率。此外，採用被動式的雨水沖刷設計，把圓柱體後方的負壓區改成正壓區，也能有效減少22的矽膠小魚堆積率。我們的設計不僅符合環保，而且還能節省成本，能有效解決河岸碼頭死魚堆積的問題。