我能搭到「他」的機車嗎?抽鑰匙的機率問題
設有A1,A2,A3, · · · ,An 共n 人及K1,K2,K3, · · · ,Kn 共n 把鑰匙,其中n 為正整數。現在依照A1,A2, · · · ,An 的順序來抽鑰匙。在n 人中除了Ar(1 ≤ r < n) 認得某一把鑰匙,並且絕對不會選取之外,每個人抽到這些鑰匙的機會都均等。令P(Ai,Kj) 表Ai 抽到Kj 的機率(1 ≤ i, j ≤ n)。在這篇研究中我們得到了P(Ai,Kj) 的一般式,並且利用程式模擬驗證。此外我們也將問題推廣到n 人中恰有m 個人必不選某把鑰匙的情況,並得到對應的機率通式與遞迴關係。
糖果傳遞問題之研究與推廣
n個人圍成一圈,面向圓心,且逆時針編號1,2,……,n。一開始每人手中有一個糖果,由1號開始,逆時針分別給右邊的人一個、兩個、一個、兩個……糖果,手上沒有糖果的人必須退出。我們將此傳遞規則定義為T1,2 ,同理T1,2,...,p 。這個傳遞遊戲,最終會有兩種情形,第一種是由一人獨得所有糖果(成功狀態),第二種是數人間傳遞糖果且形成循環(循環狀態)。 研究後得知,在傳遞規則T1,2,...,p(p≧2)下,若p=p1α1p2α2... piαi....pjαj(p1,p2,...,pj為p的相異質因數),任意的n值(n≧p+1)均可唯一表示成n=((p)tx(p1s1p2s2...pisi·m)+q(t,mϵN, p ∤ p1s1p2s2...pisi, (m,p)=1, q=1,2,...,p),令S=pt(p-q)+(pq-1)/p-1 +R·pt,則當m=1時,最終為成功狀態,且獨得糖果者的初始編號為S;當m≧2時,最終為循環狀態,且由m人循環傳遞糖果,而此m人的初始編號是S, S+ptp1s1p2s2...pisi,...,..., S+(m-1)· ptp1s1p2s2...pisi。上述公式中的R值,可透過我們研究出來的「R值迭代法」求得。