君子“號球”
本次研究的靈感來自於2011年亞太數學奧林匹亞競賽初選考題中:「將10個箱子編號為1 , 2 , 3 , … , 10,另將10個球編號為1 , 2 , 3 , … , 10。今規定編號i的球只能放入編號1 , 2 , 3 , … , i的箱子 , i = 1 , 2 , 3 , … , 10。求恰有一個空箱子的放球方法數?」 此報告由原題向外延伸,運用「遞迴數列」與「排列組合」找出關係,從10個箱子空任一個箱子的總方法數,推廣到m個箱子空任n個箱子的總方法數,其結果與Euler's triangle相符。最後也將限制條件加以改變,包括奇偶數、改變球數與限制容球數,並討論其解法。
多邊形與二條水平平行線所截出的上下二個圖形其周長和之探討
由AMPO 的題目「設ABCD 是一張長為a 的正方形的紙片。平面上有二平行直線L1,L2,其間隔之長也是a 。將正方形的紙片置於平面上,使AB,AD兩邊分別交L1於E 和F 兩點;同時CB,CD 兩點分別交L2於G 和H 兩點。設ΔAEF 和ΔCGH的周長分別是m1 和m2 。試證不論正方形ABCD如何擺,m1+m2是一個常數。」展開這趟充滿挫折、振奮、驚喜…五味雜陳的研究之旅,過程雖然艱辛,卻也帶給我們無限的成就感與更敏銳的觀察力。
我們的研究內容為多邊形與二條水平平行線所截出上下二個圖形其周長和之探討。一開始我們與在課本相似形單元時老師所問的問題連結並依此做猜想,再利用簡單的圖形基本性質做特殊化的驗證。當完成了原題目(正方形)的證明之後我們又繼續利用GSP 做輔助去尋找是否有其他的圖形也能擁有如此漂亮的性質?接著我們將研究分成兩大方向:1.奇數邊多邊形2.偶數邊多邊形的探討。
首先完成了所有奇數邊多邊形所能符合的條件討論與結果。接著又著手於偶數邊多邊形的探討:從正六、正八、正十、正十二邊形的研究中我們觀察出似乎按照某種方式去排放的話可以推廣至所有的偶數邊正多邊形使得它們都能像原題目那樣有著令人驚豔的結果呈現出來。
最後我們要對於先前所觀察猜測的部分做一完整的驗證:將所有偶數邊正多邊形分成兩大類1. n=4k, k?N 2. n=4k+2, k?N 完成研究討論。至此我們已經完整的將全部的多邊形與二條平行線截出二個三角形時的所有情況討論完畢,並且成功的推導出了正n 邊形的適用公式。