國中組

本科展內容為研究正n邊形對角線在圖形內形成的交點數。我們一開始利用Geogebra畫出圖形，進行對角線交點數的觀察。接下來我們針對中線上的三條對角線交點進行探討，求出中線上對角線三線共點個數公式。之後我們將圖形座標化，利用三角函數計算出中線上交點座標，再用求出的公式代入Excel，發現中線上五線共點只會出現在6的倍數上，七線共點只會出現在30的倍數上，我們將其表格化，觀察規律。但由於n為6的倍數時，其中線上的交點呈現十分複雜之狀態，因此我們先針對非6倍數中線外的對角線三線共點進行探討，得到公式。最後我們將所有對角線三線共點個數公式化簡，推導出非6倍數正偶數n邊形內部所有對角線交點數的公式：If n = 4k+2： C4n-(5n3-45n2+70n-24)/24，If n =4k：C4n-(5n3-45n2+106n-24)/24

平面幾何學中，拿破崙三角形是著名定理，許多全國科展以此為研究議題，但中國大陸學者已將三角形推廣至封閉多邊形而得到一般性面積定值結論[1]。 拿破崙定理還能推廣嗎？我們創新「構造方式」，在封閉多邊形的邊上依序「向外、向內」交錯構造相似三角形而得「類拿破崙多邊形」，並研究其幾何性質、面積不變量與應用，主要發現有： 1、將三角形的類拿破崙三角形連結原三角形頂點，則為平行四邊形，具有面積不變量與對偶性質。 2、四邊形的類拿破崙多邊形恆為平行四邊形（比前人研究更具一般性），並發現其面積不變量與對偶性質。 3、封閉n邊形的類拿破崙多邊形之面積不變量。 4、平面上任意點與類拿破崙多邊形頂點所構成的三角形之面積不變量。

一般貨櫃船的甲板形狀由曲線所組成，而貨櫃的形狀則固定為長方體。今將貨櫃形狀改變成自然界中的規律形狀——「蜂窩」（正六邊形），並且將貨櫃船甲板形狀簡化後，試著找出可載運最多貨櫃的排列方式。

本實驗為八年級課程：熱與溫度、氧化與還原的推廣。市售拋棄式暖暖包的主要放熱反應式為：4Fe＋3O2 → 2Fe2O3。實驗方法：利用塑膠夾鍊袋，放入反應物及保水材料後，置入熱電偶溫度計，接著搓揉夾鏈袋並觀察溫度變化。藉由改變反應物（鋅粉）與氧產生氧化還原反應，並搭配課程所學到的控制變因法，分別探究不同反應物間、不同的保水材料(食鹽、沸石、活性碳、氯化鈣)，對最高溫度之影響，再挑出最適合拿來實際應用的暖暖包。

本科展首先研究：3×n矩形用3×1(1×3)矩形鋪滿，4×n矩形用4×1(1×4)矩形鋪滿，和a×n矩形用a×1(1×a)矩形鋪滿，運用是否跨斷線找法推出鋪滿數公式。再來運用特殊形找法，分虧格和L型來鋪滿3×n矩形；4×1矩形、T型、2×2方形、Z型，個別及兩兩組合鋪滿4×n矩形。在本研究中除了有用到Z型做排列時，鋪滿數為0種外，其他狀況皆推出了公式。因每一圖形的鋪滿數和前一圖形有關係，故除了虧格外，其他以遞迴關係式來表示。而後分析各圖形鋪滿數，得到a×1矩形數據在表格的呈現上為傾斜的巴斯卡三角形，且隨著a×1中a值的不同，垂直間隔(a－1)格；L型和T型，也有不同的巴斯卡三角形形式，並證明、推廣。最後研究方形鋪滿m×n矩形的鋪滿數，當{k≤m,nk|m,n時，鋪滿數為1，反之為0。

科技日新月異，距離測量機的發展也不斷被改良，本小組為了與學校課程做連接，決定探討超聲波之性質，同時也結合生活應用，並培養科學研究之精神，嘗試開發非接觸式之語音自動量身高系統，並設計能將結果自動匯入資料庫的程式。 因此，我們決定使用超聲波模組來測距，取代市面上常見的固定式身高體重計。同時為了與已出版之超聲波身高計有所區別，此系統另外搭配了語音模組及LCD模組（液晶顯示螢幕模組）以方便得知測量值。最後，我們設計了一系列實驗來調整系統，希望能達到一般市售身高體重計的精準及穩定度。如此一來，就能同時兼收「省時」、「省力」、「省空間」、「省成本」四大優點。

由遞迴關係式產生的數列各項除以質數k後，會產生一個循環的餘數數列，故本研究主要探討其最小循環節性質。我們先得到g階遞迴數列的循環狀況，在特殊情況下，餘數數列會成純循環。 若將最小循環節各項加總起來，除特殊狀況外，其和皆是k的倍數。在二階遞迴數列中，由於最小循環節必能分成數個每段項數相等的數列，將其依序排成有序的形式後，相鄰二行會具有倍數關係，在某些排法中橫列數字和必為k的倍數。我們還得到簡化計算循環節長度的過程，並且知道若餘數數列非等比數列模k後的形式時，則起始值對最小循環節長度無影響。

將一副撲克牌中任意取出四張牌，以牌面數字為準，Ａ代表１、２代表２、3代表3．．．Ｊ代表１１、Ｑ代表１２、Ｋ代表１３。以得到的四個數字任意排列作四則運算（加減乘除），不限定運算符號之運用次數，但每個數字僅能使用一次，以此來求出２４。以系統的方法嘗試找出２４點所有的組合，並尋求其規律，為我們的研究的主要目標。

所謂的放熱式漩渦，推測是一種類似對流的結果，由於水結冰前(4℃→0℃)體積變大而往上流動，加上與水中所析出氣體的逃逸路線(往上)相同，提供漩渦的動能，實驗發現渦流的旋轉方向皆有可能，故應屬於水體為平衡渦流動能系統的因應結果，導致整體旋轉的方向會保持一致。 所以我們利用色素水在結冰前的純化作用，從所排擠出的色素範圍形狀，及溶解的氣體由水中析出後的行進路徑來觀察，便能看出水體在凝固前，放熱式漩渦所形成的特殊結構，研究發現： 水在凝固結冰時的型態會受到容器的形狀、大小及冷卻部位差異的影響，就算不同的獨立水體靠近後，依舊會彼此相互影響，這些都會產生不同型式的放熱式漩渦流動。

曾有同學提出疑問：如何在三角形內找到一個到三邊距離總和為定值的點？嗯 … 「內心到三邊等距。」「平行線間距離相等。」「交軌法？不對，與 『 三 』 邊應該沒有關係。」雖然眾口議論紛紛許久，問題仍然是一團迷霧，這些想法是樣樣有道理，卻個個行不通，使我不禁在課餘時間多看它兩眼。究竟，這問題是否有撥雲見日的一天 … ？