兩個互相垂直的簡諧運動所構成的圖形即為Lissajous曲線,可寫成{x=p1cos(α1t+c1) y=p2cos(α2t+c2) 的形式,而當且僅當頻率比α1/α2為有理數時,圖形會形成一個封閉曲線,且會有重合與不重合兩種情況,將兩種情況分開討論,對於任意給定的頻率和相位差,我們求出了Lissajous曲線的二重點(double point,指曲線與其本身相交的點且曲線在該點的兩條切線斜率是相異的)參數值及其個數公式以及判別其重合與否的充要條件,也對Lissajous曲線的連續性質做了一些研究,包括切線斜率、反曲點個數等。並將Lissajous曲線拓展到三維的情況,發現大部分的情況下圖形是沒有二重點的封閉曲線,也得到了在固定頻率比的情況下,二維Lissajous曲線相位差的改變即為三維Lissajous曲線在空間中旋轉的投影這一有趣結果。
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