素養導向的數學課室樣貌-以國小「比與比值」的教學為例
文/溫世展
前言
筆者於國小任教多年，常聽到：「『比和比值』這個單元，只要套『前項÷後項=比值』的公式計算就可以了，需要上到8節課嗎?」、「我以為『比和比值』這個單元，學生應該很容易就學會，沒想到考試還是有一堆人錯!」、「『比和比值』要怎麼教，學生才不會跟加減法搞混？」。，以上都是國小現場老師們詢問筆者的問題，也引發筆者產生探究「比和比值」教學實踐歷程·以找出上述問題答案的想法。
「比」是用來描述兩個數量A與B存在某一種特定倍數關係的一種表示法（國立編譯館，2000）。若兩數量的關係不具任何意義，其比值無法意義化，則不適合以比來表示；所以兩個數量能用比來表示，其前提是這兩個數量已存在著固定的倍數關係(林碧珍，2010)。NCTM(2000)則建議：比例推理這個主題在六至八年級時，應該具有「強烈的直覺基礎」，若是貿然去建立規則將會是一個嚴重的錯誤。
12年國教數學領綱中提到「數學課程的設計，應提供每位學生『有感』的學習機會」。李源順(2018)提出「數學感理論」，強調從「讓學生說」的起動機制，結合鼓勵學生「舉例、簡化、畫圖、問為什麼、讓學生回想」等五個核心教學策略，來營造學生的數學感，此想法與12年國教數學領綱之精神不謀而合。
本文為筆者以筆者自行設計的「比和比值」教學活動為例，結合數學感理論的教學內涵，呈現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌，藉以作為十二年12年國教素養導向的數學教學之參考。
核心素養與數學感理論內涵的簡介
一、核心素養
素養同時涵蓋competence及literacy的概念(蔡清田，2014)，是指一個人接受教育後學習獲得知識（knowledge）、能力（ability）與態度（attitude），而能積極地回應個人或社會生活需求的綜合狀態，素養中擇其關鍵的、必要的、重要的，乃為核心素養。核心素養是12年國教課綱的發展關鍵，歸結其重點如下(教育部，2014)：
1.把知識、技能、態度整合在一起，強調學習是完整的，不應只偏廢在知識上面。
2.強調情境化、脈絡化的學習，就是更朝向學習意義的感知（making sense）以及真正的理解（understanding）。真正的理解，得把學習內容和過程與經驗、事件、情境、脈絡做適切結合，意義才會在其中彰顯出來。
3.強調學習歷程、策略及方法。課程規劃及教學設計須把學習內容與探究歷程結合在一起，不只是給孩子魚吃，更要教孩子釣魚的方法，才得以陶養學生擁有自學能力，成為終身學習者。
4.強調提供實踐力行表現的空間，讓學生可以整合所學，不只能把所學遷移到其他例子進行應用，或是實際活用在生活裡，更可對其所知所行進行外顯化的思考，而有再持續精進的可能。
二、數學感理論
李源順與林福來（1998）擴展NCTM（1989）和Sowder（1992）對數感的定義，定義「數學感」(mathematics sense)就是「人們能從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」。李源順(2018)定義「營造數學感」( making mathematics sense, MMS)，就是「在利用表徵進行溝通的脈絡中，學生對所學的數學有概念性的了解，再內化為程序性知識，使程序性知識變得有意義，之後進行解題、連結、推理、以及後設認知的學習，最後達到從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」，並提出一個起動機制和五個核心內涵的教學策略如下：
1.一個起動機制：讓學生說。讓學生說出他的困難、他學會的內容。
2.五個核心內涵
(1)舉例：學生對任何概念、運算、性質，我們都希望學生心中有具體的實例。
(2)簡化：利用簡化數字來了解題意或解答問題。
(3)畫圖：利用畫圖來了解題意或解答問題。
(4)問「為什麼」：讓學生能概念性的了解所學的知識，而不是用背的。
(5)讓學生回想：這個單元的內容和……一樣，只是……不一樣。讓學生有機會把所學的知識進行統整，形成數學感。
教材設計與教學實踐
一、教材設計
（一）「比和比值」概念的重要性
Inhelder和Piaget (1958)的研究指出：「比例推理能力是具體運思期和形式運思期之間的特徵」。Lesh (1987)表示：比例推理是代數(線性函數、方程式)的基石。林碧珍(2010)亦表示：對於學習更高層次的數學概念來說，比例推理是一項基礎能力，更是有著承先啟後的關鍵。也因此，要學習比與比值之前，學生必須先具備數量關係、因倍數、等值分數、擴約分的概念。
（二） 教學設計思考
由於學生容易受到中低年級加減法學習經驗的影響，對於兩數的比較，都是一種絕對差量，屬於加減法的思維；但「比」的概念，則是倍數關係，是一種相對差量，屬於乘除法的思維。
從數學學習觀點而言，建立「比與比值」初始概念的教學宜從正例著手，不宜由非例子來建立，所以，從球賽引入雖符合學生的生活經驗，但不符合數學學習的觀點，生活中球賽常用的比不是數學上的比，所以它是屬於比的非例子，因此球賽的情境並不適合用來建立比的初始概念(李源順，2018；林碧珍，2010)。
NCTM (2000)建議：比例推理的學習應該具有「強烈的直覺基礎」。Lesh, Post, & Behr (1988)與Lamon (1995)均指出：「提供各種情境的比和比例作業，例如：測量、價格、幾何和視覺圖形以及任何類型的比率」，都可以幫助孩童發展比例方面的概念。
總括上述，筆者認為：(1)引導學生強烈直覺感受數量之間存在「倍數關係」，以及(2)提供學生「測量、價格、幾何視覺圖形」的教材，是「比和比值」教學活動可參考的元素。
此外，本次教學提供具故事情境的數學問題，並提供學生實作探究的空間，引導學生透過此一情境化、脈絡化的學習歷程，能將學習內容和過程與經驗、情境、脈絡做適切結合，以達致真正的理解。
二、教學實踐
本次教學以下列布題，引發學生直觀思考可能的解題策略。
昨天清晨，QQ村莊裡聚集了一群人，因為村莊裡唯一的玉米田被破壞了，不過沒人看到是誰做的，警方在場時能找到的線索就只有地上的鞋印(圖1)，如下圖所示。踩出這個鞋印的人似乎非常高大，若能推測其身高，將有助於我們找到此人。同學們的工作就是找出一個「能猜測出此人身高」的方法，此方法除了適用於下圖的人，也要適用在其他人。
圖1. 巨人的腳印
教師(即筆者)表示，發下的教具(皮尺2條/組)都可以使用，不過老師有三點任務要求：
1.解題策略越多種越好。
2.發表解題策略時，務必說明所依據的數學論點。
3.寫出合理的算式並算出答案，並清楚地說明。
筆者慣於以小組討論的方式進行教學活動(如圖2、3)，引發各組學生產生不同的解題表現。因篇幅關係，本文針對兩組學生各舉一個教學片段，詮釋本次教學所展現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌。
圖2. 小組討論樣貌一
圖3. 小組討論樣貌二
（一）第一組的學習表現 教學片段1（T表示教師，S23表示23號同學）
T：你們一開始是怎麼想的?
S23：一開始並不清楚要測量（每個同學的）鞋長(腳印長)還是步長，所以兩者都量。在測量的過程中，才發現每個人所走的步伐都不一樣，只有鞋長固定不變，所以我們確認只要用鞋長的數據即可(圖4)。
圖4. 第一組的解題策略
T：你們怎麼會想到要測量T老師?(圖5、6)
S23：因為我們的鞋印長幾乎都落在二十幾公分，但題目中的犯人卻有38公分，所以我們猜想這個犯人應該非常高大，現場最符合這個條件的只有T老師。
圖5. 測量同學
圖6. 測量T師
根據教學片段1，筆者以「你們一開始是怎麼想的?」、「你們怎麼會想到要測量T老師?」等問題，「起動」學生嘗試說出所產生測量方式的原因。
第一組能藉由實際測量的過程發現「每個人所走的步伐都不一樣，只有鞋長固定不變」，確立後續以身高與鞋長(腳印長)的比例做為預測身高的策略。
第一組能透過同學與犯人鞋長大小之比較，猜想犯人很高大，並根據現場情境蒐集更多數據以驗證猜想。
根據上述分析，筆者認為第一組學生能夠充分利用現有的各項訊息，進行合理的猜測、推論，並解決問題，例如猜測與推論巨人非常高大，尋找更適合人選進行測量。此充分顯示第一組的學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A2 具備基本的算術操作能力、並能指認基本的形體與相對關係，在日常生活情境中，用數學表述與解決問題。」的學習表現。
（二）第三組的學習表現
教學片段2
T：你們一開始是怎麼想的?
S16：一開始也是「鞋印長」和「一步的距離」都量，不過後來發現題目顯示「一步的距離大約是2個鞋印長」，所以最後只要量「鞋印長」，然後再把「鞋印長」乘以2就是「一步的距離」。
T：這三個算式算出來的結果都是3.18嗎?
S16：這三個式子算出來的結果是3.181、3.173、3.166，因為老師說算到小數點下二位，而且數學應該越精準越好，最後發現它們和3.18的差比3.17還小，所以選3.18(見圖7)。
圖7. 第三組的解題策略
根據教學片段2，筆者以「你們一開始是怎麼想的?」的問題，「起動」學生說明如何進行測量。
當筆者表示「這三個算式算出來的結果都是3.18嗎?」時，第三組學生能清楚說明如何校正數據以找到誤差最小的定值。
上述分析顯示第三組學生能夠在此次進行「比和比值」概念的教學過程中，去直覺感受兩個數量之間的「倍數關係」，並能往建立規則(尋找定值)的方向前進。且第三組學生在說明「尋找最小誤差」的解題過程中，能夠以「3.181、3.173、3.166和3.18的差比3.17還小」的發現，說明他們所進行的數學推論。此充分顯示第三組的學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-C1 具備從證據討論事情，以及和他人有條理溝通的態度」的學習表現。
結論
根據上述分析，筆者認為本次教學能夠培養學生養成「數-E-A2」、「數-E-C1」的12年國教數學領域核心素養。
筆者認為雖然學生均有注意到題目所指巨人的步長大約是兩倍腳印長，但是學生均只考量走路的真實情境，而未探討另一可能真實情境：「跑步速度越快，步幅應該越大」，以及本問題的重點在估計身高，而不是精確身高，因此數據不需要到小位數（甚至估計到十位即可）；這是本教材施行時可以提醒學生注意的地方。
此次教學活動能夠引導學生強烈直覺感受數量之間存在「倍數關係」，以及具備「測量」概念的教材，是引出「比和比值」概念的優質前置教學設計。加以搭配運用數學感理論所提及的讓生說明為什麼的教學策略，則可培養學生產生12年國教數學領域核心素養的學習表現。
參考文獻 李源順（2018）。數學這樣教: 國小數學感教育。台北市：五南。 李源順、林福來(2000)。數學教師的專業成長：教學多元化。師大學報：科學教育類，45(1)，1-25。 林碧珍(2010)。比與比值初始概念的教學初探。國立新竹教育大學教育學報，27，頁1-8。
國立編譯館（2000）。國民小學數學教學指引(第十冊)。台北市：國立編譯館。
教育部(2014)。十二年國民基本教育課程綱要總綱。
蔡清田(2014)。國民核心素養:十二年國教課程改革的DNA。台北市:高等教育。
Inhelder, B. & Piaget, J. (1958), The growth of logical thinking from childhood to adolesence. New York, NY: Basic Books.
Lamon, S. J. (1995). Ratio and proportion: Elementary didactical phenomenology. In J. T. Sowder, & B. P. Schappelle (Eds.), Providing a foundation for teaching mathematics in the middle grades (pp.167-198). Albany, NY: State
University of New York Press.
Lesh, R. (1987). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, 3~40.
Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. In J. Hiebert &; M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 93-118). Reston, VA: NCTM.
National Council of Teachers of Mathematics Commission on Standards for School Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
National Council of Teachers of Mathematics. (1995). Assessment standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM
Sowder, J. (1992). Estimation and number sense. In D, A, Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 371-389). New York, NY: Macmillan.
溫世展
國立臺北教育大學課程與教學傳播科技研究所博士
數學領域核心素養與數學素養之我見
文/李源順
前言
兩個（一個換行，一個空一行），段落之間固定多空一行 --> 有關12年國民基本教育的演進，1999年我國（教育部，2014）公布〈教育基本法〉明訂：「國民基本教育應視社會發展需要延長其年限」，2003年「全國教育發展會議」達成「階段性推動十二年國民基本教育」之結論，總統於2011年元旦祝詞宣示啟動十二年國民基本教育，同年行政院正式核定｢十二年國民基本教育實施計畫｣，明訂2014年8月1日全面實施。在課程綱要（教育部十二年國民基本教育網站，2013）的制定方面，2014年發布課程總綱、2018年起陸續發布各學習領域/學科/群科的課程綱要；並於2019年從小學、國中、高中一年級開始逐年正式實施。
12年國民基本教育（教育部，2014）本著全人教育的精神，以自發、互動及共好為理念；以成就每一個孩子--適性揚才、終身學習為願景；以啟發生命潛能、陶養生活知能、促進生涯發展、涵育公民責任為總體課程目標；並以核心素養（core competencies，簡稱CC或key competencies，簡稱KC；楊俊鴻，2016）做為課程發展的主軸。基於此，在數學領域課程綱要（教育部，2018）除了呼應核心素養之外，也強調在不同年齡、不同能力、不同興趣或領域，皆能獲得足以結合理論與應用的數學素養，是國民數學教育的重要目標。 有關數學素養，1999年經濟合作暨發展組織（Organisation for Economic Co-operation and Development/OECD，1999）在>(Measuring student knowledge and skills: A new framework for assessment)一書中提出數學素養(Mathematical Literacy)一詞。同時開始進行國際學生評量計畫（Program for International Student Assessment/PISA； OECD, 2006），主要是採取素養的觀點來設計測驗，測驗的內容主要分為三個領域：閱讀、數學及科學。重點在於評量接近完成基礎教育的15歲學生，是否能將在學校所學習得到的知識與技能應用於進入社會後所面臨的各種情境及挑戰。
在數學領域中，許多學者、教師一直討論、想澄清數學領域核心素養與數學素養二個名詞的異同，因此作者也在本文中試著提出自己的觀點。作者長期接受數學與數學教育的薰陶，發現大家想要澄清一些有爭議的問題，必須先從定義著手；假如大家的定義不同，那麼談出來的概念就會有出入，容易變成各說各話；假如大家先認同定義，就可以理性的論證它的內涵，容易取得共識。例如，梯形的定義有兩種，廣義中（維基百科，2018），四邊形中至少有一組對邊平行即為梯形，因此平行四邊形是梯形，同時等腰梯形可能是平行四邊形；狹義中，四邊形中僅有一組對邊平行者為梯形，因此平行四邊形並不是梯形，同時等腰梯形不是平行四邊形。假如有兩名學生認知的梯形定義不同，那麼他們在對話時，就容易以為對方的觀點不對而產生誤解；例如以前者為定義的學生對以後者為定義的學生說，平行四邊形也是梯形，後者的學生會認為前者的學生對梯形的概念不清楚。
基於上述理由，本文就從定義出發來論述兩者的異同；若讀者所定義的數學領域核心素養（本文有時簡稱核心素養，意即本文只討論數學領域中的核心素養）、數學素養與作者不同，那麼本文的觀點就不見得會和讀者相同。
數學領域核心素養與數學素養
一、數學領域核心素養的定義
依據總綱12年國教（教育部，2014）的定義，核心素養是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度。核心素養強調學習不宜以學科知識及技能為限，而應關注學習與生活的結合，透過實踐力行而彰顯學習者的全人發展。
核心素養可以分為三大面向：自主行動、溝通互動、社會參與；三大面向再細分為九大項目：身心素質與自我精進、系統思考與解決問題、規劃執行與創新應變、符號運用與溝通表達、科技資訊與媒體素養、藝術涵養與美感素養、道德實踐與公民意識、人際關係與團隊合作、多元文化與國際理解。核心素養的內涵滾動圓輪意象（教育部，2014），如圖1所示，這就是大家所熟知的三面九項。
核心素養的滾動圓輪意象圖（教育部，2014）
由於數學領域課程綱要（教育部，2018）沒有定義什麼是數學領域核心素養，因此本文以核心素養加上數學內容做為定義，亦即「一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的數學知識、能力與態度。數學領域核心素養強調學習不宜以數學學科知識及技能為限，而應關注數學學習與生活的結合，透過實踐力行而彰顯數學學習者的全人發展。」同時數學領域課程綱要（教育部，2018，頁3-5）依循《總綱》各教育階段核心素養之具體內涵，結合數學領域的基本理念與課程目標後提出數學領域核心素養具體內涵。核心素養（國家教育研究院，2014）係每一位接受12年國民基本教育的學生，所應具備的基本且共同的素養，代表著各級各類學校的學生所應培養的最低共同要求。
二、數學素養的定義
陸昱任與譚克平（2006）文獻探討數學素養的意涵，發現其有不同的用語，例如英國大多用Numeracy及Mathematical Literacy；美國大多用Mathematical Literacy與Mathematical Proficiency。部分學者（Bishop, 2000; Bonotto, 2001; 引自陸昱任、譚克平，2006）使用Matheracy。PISA（OECD，1999）以Mathematical Literacy做為其評量的用語，我國數學教育界通常把Mathematical Literacy翻譯成數學素養。
由於OECD 是一個國際性的組織，且許多國家，包括台灣，每三年都參與其評量計畫，作者認為它做為數學素養的定義比較容易獲得國際學者的認同，因此以PISA的定義做為本文所談數學素養的定義。PISA 2012 （臺灣PISA國家研究中心，2012）以數學素養為主要評量科目（PISA 2015和2018的主要評量分別為科學和閱讀，因此不會特別修改數學素養的定義），並將數學素養定義為
在各種情境脈絡中，個人形成、使用和詮釋數學的能力。它包括數學推理和使用數學概念、過程、事實和工具去描述、說明與預測現象。它幫助個人認知數學在世界上所扮演的角色，同時做有根據的判斷和決定；這正是具建設性、投入性及反思性的公民所需具備的。
由於數學領域課程綱要（教育部，2018）沒有定義什麼是數學素養，雖然教育部提升國民素養專案辦公室（2013）曾定義數學素養，但OECD（1999）早在1999年即提出數學素養一詞，同時我國也一直持續參與PISA（OECD，2019b）的國際性評量計畫。為了了解我國課程，並與國際接軌，作者以PISA （OECD，2019a）的定義，探討兩者之間的關係。
三、數學領域核心素養與數學素養之關係
接下來作者要從兩者的定義與內涵出發，來說明兩者所強調的異同；作者之所以使用強調兩個字，主要是讓讀者能更精準地掌握兩者的異同。因為作者發現很多時候，我們會先談一個概念的精髓，之後會把它推廣出去到更廣泛的地方，同時我們希望學生回答的是精準的答案。例如一開始我們定義的分數不包含整數的狹義分數，之後定義假分數之後，就把整數也納入分數的概念，因為我們會說 是分數，所以1是廣義的分數；作者把1稱做整數的形式，本質上也是分數。但是當我們平常對話或者評量時，若問5是什麼數時，我們通常希望用最精準的方式來回答，也就是希望學生說5是整數，而不希望學生說5是分數；這樣我們才能夠了解學生的概念是否能精確的掌握。否則不管什麼數（例如， 、2+3i），學生只要回答是複數都對，那麼就無法了解學生是否真正掌握整數、分數、小數、……之間的關係。
數學領域核心素養強調適應現在生活及面對未來挑戰所應具備的數學能力；數學素養強調個人形成、使用和詮釋數學的能力，幫助個人認知數學在世界上所扮演的角色。作者發現兩者都強調用數學來解決真實或者現實生活問題的能力。例如，兩者都強調應用數學知識了解商人推出買商品時打折或現折、給抵用劵、參加登記送折扣金（如圖2），對消費者的利弊，以及商人的營利等問題。因此有其共通點，都強調讓國民了解數學在世界上所扮演的角色，進而了解數學的有用性，不再讓數學只是冷冰冰的數學而已。
圖2. 現折、送抵用劵、登記送折扣金的示例
數學領域核心素養強調適應現在生活及面對未來挑戰所應具備的數學知識、態度；數學素養並未強調數學知識的學習，沒有提及數學態度，但提及建設性、投入性及反思性公民的內涵（偏向情意的部分）。因此數學領域核心素養，強調數學知識的學習，例如數-E-B1（教育部，2018）「具備日常語言與數字及算術符號之間的轉換能力，並能熟練操作日常使用之度量衡及時間，認識日常經驗中的幾何形體，並能以符號表示公式」。反觀數學素養則把它當做形成、使用和詮釋數學能力的基礎，並未納入定義之中。這是數學領域核心素養有強調，數學素養未強調的部分。
數學素養強調的是一位公民所需具備的能力，而數學領域核心素養則強調學生所應具備的基本且共同的素養、是最低的共同要求。例如PISA（OECD，2019a）強調職業、科學脈絡問題的解決，這部分不全然是數學領域核心素養強調的大家共同要求。例如，科學家想精準預測颱風路徑時，需要應用更多的數學知能識，經濟學家利用數學知識進行經濟預測等，職業上專業的數學知能，就不是每個國民所需具備的數學素養。因此數學素養隱含強調的是更多的數學知識的學習基礎與應用能力，不僅僅是學習階段的最低共同要求。 有時候使用文氏圖容易讓讀者了解其中的關係，作者用一個文氏圖表徵兩者之間關係，如圖3。
圖3. 數學領域核心素養與數學素養的關係圖
結語
作者撰寫本文的目的主要是想讓大家思考要釐清問題時，最好能先釐清問題的根源或本質、定義，再談其中的異同。當大家見解有歧異的時候，能回到問題的根源、定義，留意最核心的部分，必要時對每個重要的內涵舉例說明，之後再去談概念推廣的部分；這時候大家的共識更能夠形成。
作者發現大家在談素養導向教學時，時常納入數學知能的學習，這時候作者認為他談的是數學領域核心素養的教學，只是大家把前面的幾個字省略而已；當素養導向教學談的是解決大多數都面臨的生活情境問題的教學時，作者認為他談的是數學素養的教學，當然也是數學領域核心素養的教學。
作者想強調的是，不管是數學領域核心素養或者是數學素養的名詞，它之所以被提出來主要是為了讓世人更清楚地了解數學的有用性，不要像以前一樣，只強調數學內的抽象化、理想化的學習。正如林福來教授所講的數學素養是要培養國人可以用數學的眼光看世界。
參考文獻
OECD (1999). Measuring student knowledge and skills: A new framework for assessment. Paris, France: Organisation for Economic Co-operation and Development.
OECD (2019a). PISA 2018 assessment and analytical framewor. Paris: PISA, OECD Publishing.
OECD (2019b). PISA 2018: Insights and interpretations. Paris, France: Organisation for Economic Co-operation and Development.
國家教育研究院（2014）。十二年國民基本教育課程發展指引。新北市：國家教育研究院。
教育部（2014）。十二年國民基本教育課程綱要：總綱。台北市：教育部。
教育部（2018）。十二年國民基本教育課程綱要：國民中小學暨普通型高級等校－數學領域。台北市：教育部。
教育部十二年國民基本教育網站（2013）。十二年國民基本教育課程綱要研修的問與答。
教育部提升國民素養專案辦公室（2013）。關於我們：未來遠景。台北市。
陸昱任、譚克平（2006）。論數學素養之意涵。發表在中華民國第22屆科學教育學術研討會(2006)論文彙編。台北市：國立臺灣師範大學。
楊俊鴻（2016）。導讀：《課程發展與設計的關鍵dna：核心素養》。國家教育研究院教育脈動電子期刊，5，1-5。
維基百科（2018）。梯形。
臺灣PISA國家研究中心（2012）。數學樣本試題 (中文版含評分規準)。臺灣PISA國家研究中心。
李源順
臺北市立大學數學系教授
咖啡豆的數據分析
文/洪士薰
前言
兩個（一個換行，一個空一行），段落之間固定多空一行 --> 咖啡是世界交易量第二大商品(僅次於原油)，農民採收果實製作成生豆，生豆中混雜著瑕疵豆，除了賣相不好，有些瑕疵豆對人體健康有害，必需挑選出來。撿選瑕疵生豆多半是人工方式，這是一份耗時費神的工作。人工智慧是非常適合用來發展挑選瑕疵生豆的方法，以簡省人力成本。進行人工智慧的機器學習前，數據整備與前置處理是重要而且關鍵的。本文使用簡單的工具--手機、紙盒和Excel，運用高中數學中的統計、最小平方法和矩陣等知識，不需編寫程式，讓學生動手實作，直接與直覺地體驗數據分析的想法與人工智慧 。在構思解決的方案時能透過從失敗中探討原因與改進，並應用數學知識思考及解釋，將理論與實際問題結合。
咖啡瑕疵生豆及其數據分析
一、咖啡瑕疵生豆的類型
根據物理性質及成因的時間點，咖啡瑕疵生豆(好咖啡烘豆工坊，2018)的類別如下及圖1所示：
1.發酵豆--若混入咖啡中會產生腐臭味
2.死豆--風味單薄會成為異味的來源
3.未成熟豆--腥羶令人作嘔的味道
4.破碎豆、貝殼豆--容易造成烘焙不均，深度烘焙時容易著火
5.蟲蛀豆--會造成咖啡液混濁，有時會產生怪味
6.黑豆--混入黑豆煮出來的咖啡會產生腐敗味解混濁
7.可可--帶有碘味、土味，會發出類似阿摩尼亞的臭味
8.帶殼豆--造成咖啡澀味的原因
圖1.瑕疵生豆示例(圖片來源：田口護，2012，黃薇嬪譯)
瑕疵生豆的特徵大致可分成二大類別：(1)以顏色可判別的瑕疵豆，或者顏色不均且瑕疵處偏暗色，如全黑豆。(2)以形狀可判別的瑕疵豆，如破碎豆、蟲蛀豆、酸豆。
製作咖啡生豆時，最先會放在水中，發酵豆、未成熟豆、死豆會因比重低而剔除，另像可可、帶殼豆是去外皮仍未完成，因此在初步完成咖啡生豆後的瑕疵豆以圖2中由左而右的四類最常：(1)破碎豆及貝殼豆，(2) 發酵豆，(3)蟲蛀豆，和(4)發霉豆。
圖2.四種常見的咖啡瑕疵生豆
圖2是以台南市東山區咖啡農所提供常見的瑕疵生豆樣本，從平面的外觀上看，破碎豆形狀有鋸齒邊緣或者不全，與正常豆的飽滿橢圓形不同；貝殼豆會有卷曲像貝殼狀。發酵豆或未熟豆顏色會稍微偏黃；蟲蛀豆發霉豆則顏色明暗不同。因此我們擬定了以顏色差異及形狀兩種方向來挑選瑕疵生豆。接下關心的事是這兩類的影像特徵是什麼。
二、圖像原理：RGB像素值的陣列
依維基百科(2020)等文獻，圖像原理如下：
1.像素
一張圖像可以視為一堆整整齊齊的點所構成的陣列，就像把圖像分割成許多小方格，每一點方格各有「亮度」、「顏色」與「位置」稱為「像素」（pixel）。
2.解析度
圖像的長度和寬度所包含的點數稱為圖像的解析度。電腦圖像中，像素愈多，即解析度愈高，圖像就愈精細。
3.圖像色彩
圖像的品質除取決於它的解析度外也與其所使的色彩模式有關。愈高的解析度與愈多的色彩模式所需要的記憶儲存容量也愈大。我們可以用下列公式來求得：
圖像儲存所需空間＝圖像高（點數）×圖像寬（點數）×像素色彩（位元組） 色彩的表示方法如下：(1)灰階(gray level)：由全黑0到全白255，依明暗度分成 256 種層次。(2)全彩模式( true color)：依人的視網膜中有感知紅綠藍三色的錐狀細胞，因此每一個像素色彩由三原色光 紅色、藍色、綠色組成，各占 8 個位元，每種原色各有 256種明暗度的變化，可以表現出224種顏色。
一般而言，影像檔案的資料愈豐富，影像會愈佳。但電腦就計算與儲存也變得相當龐大；此時，在影像的品質與電腦的處理能力兩方面，就必須作一個折衷的選擇。
三、咖啡瑕疵生豆影像特徵
從咖啡瑕疵生豆特徵：從「顏色不均且瑕疵處偏暗色」及「形狀捲曲或破損」兩個面向上做進一步討論：
1.咖啡豆圖像長寬比值及背景面積與咖啡豆影像面積的比
(1)以長寬比例計算正常豆為類似橢圓形(圖3a)，有些貝殼豆及破碎豆會較狹長，故長寬比例會有不同(圖3a、3c)。
(2)以背景面積與破碎豆影像面積的比例估算(圖3c)
圖3. 正常豆、貝殼豆和破碎豆的影像特徵
另外，若正常豆為近似橢圓形或圓形， 橢圓形面積為 而背景(黑色長方形)面積為ab，因此咖啡豆佔基準格面積比例約在 。將橢圓換成圓形的情形亦然。
但對於破碎豆，外觀上有鋸齒邊緣或者不全，所以拍攝的影像部分在基準格中的面積應該會比 小，所以我們也把面積與背景(黑色長方形)面積的比值考慮進來。
若以一般手機或相機的都具有1080P以上解析度的全彩的照片對應成Excel的紀錄就會有 (RGB)個資料格，每格皆為0~255的數字。在處理上不但計算量大，數據分析上也較為不方便。因此是否能轉換成較低解析度的圖像呢?
考慮瑕疵生豆顏色不均且瑕疵處偏暗色時，我們發現若把解析度適當降低，「顏色不均且瑕疵處偏暗色」及「形狀捲曲或破損」的特徵都會保留下來，因此若降低解析度不但仍保留瑕疵特徵，而且可大大減少資料的處理與運算。圖4中瑕疵生豆以紅色標記了瑕疵特徵，可以發現以54×46 的解析度瑕疵特徵仍可以辨識出來。
圖4. 不同解析度下的瑕疵特徵
四、手機拍攝、像素轉換和圖像轉成Excel檔
1.裝置:手機、紙盒、黑色珍珠板
進行標準的實驗流程時，因為考量農民運用上的可行性。在拍取攝樣本時，我們並沒有以暗箱打燈的方法進行，而是製作簡單的紙盒，並以手機不修圖的方式簡單拍攝。 先在紙盒內部舖上黑色珍珠板，因應光照環境不同，我們採取的方法為使用咖啡豆紅、綠、藍像素的相對值， 並適當過濾背景方式進行。
2.拍攝流程：如圖5，並可分為下列兩大程序：
圖5.拍攝流程
程序1：拍攝照片、裁剪照片、 轉存成54X46像素
拍攝時要注意咖啡豆影像要清晰，背景要黑(因若背景夠黑就不需再去背或者進行邊緣計算直接在Excel中進行條件計算就可以濾除背景資訊)。裁剪照片時盡量切齊咖啡豆邊緣(若留下些微背景没有關係，可以在後續Excel運算中進行條件計算就可以濾除背景資訊)。最後再以修圖軟體程式轉存成54×46解析度的圖像。從圖6照片可以看到咖啡豆圖像的特徵即使在54×46像素情況下仍然保留。
圖6. 程序1完成的圖像
程序2：轉成Excel檔
搜尋PIXEL SPREADSHEET，利用網頁ThinkMath的線上程式將 54×46像素咖啡豆圖像轉換成Excel的RGB像素值矩陣。如圖7a〜7d的步驟1〜8及圖8。
a.Steps 1〜2
b.Steps 3〜4
c.Steps 5〜6
d.Steps 7〜8
圖7. 程序1的八個步驟(steps)
圖8. 咖啡豆54X46 Excel圖像示例(左)及其局部放大(右)
圖8中每一個像素有紅、綠、藍三色，因此得到 的Excel矩陣。 Excel矩陣中的數值如表1：
表1.圖8中圖像的Excel像素值
五、利用Excel進行瑕疵豆RGB像素值陣列的數據分析
將解析度 像素圖轉換成 的Excel矩陣，再分離成對應紅、綠、藍三色的 Excel數據矩陣，並運用Excel進行下列指定操作：
=AVERAGE(範圍) ：計算在指定範圍的儲存格所有數值的平均。
=MEDIAN(範圍) ：計算在指定範圍的儲存格所有數值的中位數。
=STDEV(範圍) ：計算在指定範圍的儲存格所有數值的標準差。
=IF(條件式, 指定操作, 不滿足條件的操作)：滿足及不滿足條件式的儲存格進行相應指定計算。
=COUNTIF(範圍, 條件式)：計算在指定範圍中，滿足條件式的儲存格數。
1.去背景：利用IF函數，將紅綠藍色像素低於15以下去除，因此對應的儲存格數值就會呈現為FALSE，以此方法即可將背景值去掉，而不需進行費時的去背程序或者邊緣計算。但若背景明暗值較高會不易與咖啡豆區分，所以拍攝時放在盒內且墊上黑色珍珠板，就是希望降低背景明暗值用以和咖啡豆的像素值做一區分。
2.豆徑長寬比：利用COUNTIF計算，每一張咖啡豆的圖像邊緣，因拍攝背景是黑色珍珠板，所以若一行中每一格都是偏暗的數值時，我們就把該行視為背景的影像，每一列也是如此。但因為光線會散射，考慮到可能的誤差，我們設定當同一行(或列)中像素值數字大於15的儲存格數量小於或等於5格時，即表示此行(列)基本上是背景圖像。所有非背景的列數為長值，非背景的行數為寬值。計算長與寬的比值即為長寬比。
3.面積比：利用COUNTIF計算去背景的像素元數量與有像素的列數乘行數的比值。因為破碎豆形狀的缺損造成咖啡豆圖像的內凹，而不是完整橢圓，面積比應會較小。
4. 去背景像素元的平均值、標準差。 瑕疵生豆顏色不均且瑕疵處偏暗色「顏色不均且瑕疵處偏暗色」的特徵應可以從平均值、標準差及其他差異值判讀
5. 去背景的像素元，依0~255分成16等分並統計其數量。瑕疵生豆顏色不均且瑕疵處偏暗色「顏色不均且瑕疵處偏暗色」的特徵應會使16等份的暗部分佈與正常豆不同。
一個瑕疵是紅色像素轉成Excel陣列的示例(瑕疵豆的部份圖形)，(1)低於15視為背景去除。(2)依像素值0~255分成16等分。可得像素明暗長條圖的分布情形。(3)計算長條圖時我們採取COUNTIF的基本運算，避免使用Excel進階功能。希望在計算量及移植到其他微系統時也不會有問題。 (4) 紅/R、綠/G、藍/B三色，進行相同處理方式。
在前述程序2中咖啡豆圖像轉換的Excel針對R(紅色)的16等像素明暗長條圖如圖9
圖9. 咖啡豆Excel紅色像素值16等分分布圖
最後把一顆咖啡豆的圖像資料統計結果列出來，如表2。
表2. 單一咖啡豆的影像數據特徵
結果及討論
區分正常豆與瑕疵豆的顏色變異時，瑕疵豆的顏色變異相對較大。但隨著拍攝環境和器材以及不同瑕疵豆間的變異，因此不是由單一統計值即可做為瑕疵豆的辨別標準，這也是人工智慧方案可以發揮的地方。通過適當的資料特徵淬取：像素的平均值、標準差、16等分分布，同時進行考慮，才能讓之後的機器學習有效用。這些特徵淬取就是人工智慧中機器學習的基礎。底下我們先逐一分開討論瑕疵豆的特徵數據，這些數據並非單用一種就能成功，通常需要好幾種特徵複合考慮才能使瑕疵豆的挑選變成可能。
一、部份咖啡豆像素矩陣RGB值的標準差可以區分瑕疵豆與正常豆
有些瑕疵咖啡豆圖像可以從像素值的標準差來區別，為什麼標準差是進行機器學習時會選擇的資料特徵? 若以黑色為背景拍攝，而瑕疵處或邊緣破損處都偏暗(RGB都低)或不均勻，相對於G和B值，R值的標準差會是很好鑑別良窳的方式。我們舉幾個良好豆和瑕疵豆的例子來說明觀察，並以 分別表示R, G, B值的標準差。圖10~13提供一些示例。
1.良好豆#1：
圖10.良好豆#1(左)及R、B值熱圖(中、右)
2.良好豆#2：
圖11.良好豆#2(左)及R、B值熱圖(中、右)
3.蟲蛀豆：
圖12.蟲蛀豆(左)及R、B值熱圖(中、右)
4. 破損蟲蛀豆：
圖13.破損蟲蛀豆(左)及R、B值熱圖(中、右)
從圖10~13的 比較，可知像蟲蛀豆這樣瑕疵區域極小的類型，以G、B色值也有類似的情形，但效果不一，但瑕疵的方式很多樣，標準差只是我們選用的特徵之一。若要更完整有效地挑選勢必需考慮像素的統計量特徵。
二、顏色有瑕疵的咖啡豆其R、G、B的色階分布與正常豆不同
不論R、G或B值有顏色上之瑕疵特徵的瑕疵豆在暗部(圖14~15，圖15為第6~7等)會有明顯較多的分布，由於拍攝條件(如快門、ISO)、圖形邊界界定、殘留銀皮容易反光以致整體偏亮等都會影響像素的統計量，我們共採取R值的以下統計量：標準差 、平均數 與16等第數值。
圖14. 咖啡豆轉換RGB像素值
圖15. 咖啡瑕疵豆Excel檔數據分析結果
圖16. 咖啡好豆Excel檔數據分析結果
三、透過咖啡豆圖像RGB數值的平均、標準差與16等第分布進行人工智慧方案
若如表2將每顆咖啡的圖像資料整合成可以進一步進行人工智慧方案，則事實上我們已進行了人工智慧方案(決策樹、SVM)，在超過100顆隨機挑選的樣本，進行上述的資料收集所進行的人工智慧方案得到的結果有80%以上的精確率(全部豆中正確挑出瑕疵豆的比率)與78%以上的召回率(實際結果中正確預測出瑕疵豆的比率)。
結論
一、選擇咖啡豆圖像的解析度為 是因一些嘗試而決定
1.我們觀察了一些不同的咖啡豆樣本，發現雖然很多咖啡豆是橢長形，但有一些是接近圖形，所以我們嘗試了一些不同的解析度長寬比值，最後定在 接近1的數值，其他接近的比值應該也是可行。
2.嘗試了更低解析度，例如28×26。
3.當圖像有旋轉情形時就適當旋轉圖像以收集數據，但即使不重新轉回54×46的長方形，因為濾除背景值後，所收集的像素平均、標準差及16等第分布也不會受影響。
4.咖啡豆任一面都可以進行圖素數值分析，雖然有少部份咖啡豆只有一面有瑕疵情形，只要翻到有瑕疵一面進行拍攝取樣即可，跟肉眼看不見時則需翻動咖啡豆進行查驗相同。
二、由實務問題開始的方案動機較強烈，而這樣的PBL式的課程設計可以自然地融入各學科領域，不用特意再去強調跨領域，因為真實的問題多半是不分領域的。
三、資料處理的本質是如何有系統地收集有用或可用的資料。由瑕疵豆的特徵觀察，經由對圖像原理的理解，將咖啡瑕疵豆特徵轉化成Excel的數值資訊，再結合高中數學的統計知識，就形成了有效的機器學習方案的前置數據處理。在人工智慧的進行過程中，數據的前置分析及處理是關鍵的步驟，本文正好是個範例。
四、瑕疵豆圖像數據實作一方面深化Excel的學習，在實例中真正體驗數學、統計的知識如何使用。本文內容普遍適用於全體高一學生，是學習的起點。而且應該可以發展成普及高中生的學習課程。 對於資訊或程式設計有興趣的學生可以去選修適合自己的課程，例如程式設計、人工智慧、數學建模。
五、在教育部中小學深耕計畫的經費支持下，我們開設多元選修課程「人工智慧咖啡GO」，時間為一學期18週，每週2小時。架構上是由5到6個不同的模組課程組成。在2018學年度下學期到2019學年度上學期，實施了二學期，對象分別高一及高三學生。其中的一個模組課程「咖啡豆的測量」，轉變為2019年上學期，對高一6個班級實施的校訂必修課程，共6週，每週2小時。以手機拍攝，轉成Excel，進行咖啡瑕疵生豆的影像數據分析，以形成人工智慧方案的數據分析之基礎。針對課程成立Facebook的社團。「咖啡GO」。 所有上課及課程檔案均公開在網路上分享。
參考文獻
好咖啡烘豆工坊(2018)。認識瑕疵豆。
黃薇嬪譯（2012）。田口護的精品咖啡大全。(原著：田口護)。台北市：積木文化出版。
楊季芳譯（2018）。練好機器學習的基本功：用Python進行基礎數學理論的實作（原著：立石賢吾）。臺北市：碁峰資訊。
維基百科（2020）。數位影像。
Brandon Rohrer(2020). How convolutional neural networks work.
Cloud AutoML (2020). Google Cloud AutoML Vision Beta.
Think Maths(2020). Pixel Spreadsheet.
洪士薰
國立臺南女子高級中學教師
讓思考可見－探究式教學遊戲化策略
文/陳佩雯、呂玉環、程詩婷、顏慈瑤、蘇萬生
圖/陳佩雯、程詩婷
要讓學生的思考可見，教學設計需從探究開始
科學素養即是「探究與實作」
科學的靈感，絕不是坐等可以等來的。如果說，科學上的發現有什麼偶然的機遇的話，那麼這種「偶然的機遇」只能給那些學有素養的人，給那些善於獨立思考的人，給那些具有鍥而不捨的精神的人，而不會給懶漢。(華羅庚，無日期；引自陳仁政，2004)
世界著名數學家華羅庚所提到的科學素養與能力，即是臺灣現在積極推動十二年國民基本教育課程綱要（又稱108課綱）「核心素養」的概念，「核心素養」指的就是人們在適應現在生活與面對未來挑戰時，應具備的知識、能力和態度(教育部，2014)，呼應總綱素養導向課程理念設計，自然科學領域提出四項核心課程設計與實踐之關鍵概念，分別為「探究與實作」、「主題軸連貫」、「跨學科統整」以及「撰寫報告之評量」(黃茂在，2017)。其中，「探究與實作」是自然科學領域必修課程，且在自然科學的教學中，科學探究本來就首重啟發、引導學生經由發掘問題、邏輯推理探究、閱讀理解資訊、進一步動手操作驗證等推導過程取得科學知識的核心概念及對知識內容的理解與應用能力，而這個過程正是養成系統思考的途徑，也是培養公民科學素養的關鍵途徑。
根據英國知識產權局（Intellectual Property Office, IPO）的研究，女性發明家在全球專利申請中所占比例不足13%，男女比例達到7：1。目前在英國STEM行業中，只有約四分之一的勞動人口是女性，在中學和大學修讀科學科技相關學科的女生比例也比較小。並且，根據英國知識產權局，女性發明家的比例在過去20年上升一倍，由1998年的6.8%升至2017年的12.7%。雖然專利申請的女性比例在上升，但按目前速度，可能要等到2070年才能達至性別均等(BBC，2019)。而在國內，科學界男女比例懸殊的狀況也十分明顯，而這個問題為什麼會產生呢？根據陳婉琪在2015年撰寫的文章中指出，整理2006年PISA科學就讀意願性別差異的資料如表1所示，表1只列了參與的57個國家中排名前20的國家，由表列我們可以發現位於東亞地區的國家或行政區—臺灣、日本、香港、澳門及韓國--通通都上榜了，這些國家15歲的女生未來有意願就讀科學方面的比例，都遠比同國家的男生們低，而臺灣在「科學就讀意願」的性別差距更是排名世界第一。臺灣奪冠的原因可能與文化和制度本身有密切相關，因此我們希望可以藉由教學方式的改變，也就是實施探究式教學來改善這個狀況。
表1. 科學就讀意願a之性別差異
註: a.問卷問題：「中學畢業後，我想要就讀與科學相關的科系」(I WOULD LIKE TO STUDY SCIENCE AFTER SECONDARY SCHOOL)（1=同意；0=不同意）
b.勝算比(ODDS RATIO) = 男生有意願就讀之勝算÷女生有意願就讀之勝算 ＝[男生比率÷（1－男生比率）] ÷ [女生比率÷（1－女生比率）]
c.百分點差異 ＝ 男生有意願就讀之百分點 － 女生有意願就讀之百分點
d.百分比比率（即「相對風險」[RELATIVE RISK]） ＝ 男生有意願就讀之百分比 ÷ 女生有意願就讀之百分比
資料來源：陳婉琪，2015。
「探究與實作」的學習重點分為「探究學習內容」和「實作學習內容」兩部分。「探究學習內容」著重於科學探究歷程，例如，發現問題與提出假設、解釋與建模、論證與表達等思考智能。「實作學習內容」為可實際進行操作的科學活動，如觀察、測量、調查、資料蒐集與分析等(黃茂在，2017)。但目前臺灣多數教師的養成過程或經驗並未賦予這樣「探究與實作」的教學能力(陳華傑，2016)，尤其在臺灣升學主義風氣之下，學生學習經驗是急於求得答案，在習慣於「餵養」知識的狀況下，自然科教學常常是「食譜式」實驗教學或「套裝商品」的組裝教學，長期缺乏給予學生進行「探究」生活環境的機會與時間，且對於學生「科學探究」的過程、思考歷程等智能抽象運思過程都缺乏明確可實施教學策略。因此，在教學過中，教師如何增強學生探索的能力、抽象智能的成長，以及讓學生的探索與思考的歷程可見，以逐步改善教師教學與學生學習歷程，進而增加學生「探究與實作」的能力與機會；也透過此類的教學設計，讓女生也可以在科學課堂中透過實際參與類似科學家做實驗的過程，藉此培養其學習動機，並進一步提升其未來從事科學相關工作的機率，上述是教師在教學上重要的課題，也是本文欲探究的議題。
探究式教學的意義與重要性
科學教師不使用探究式教學法的10個最常見理由，是：需花費太多時間與精力、教學進度太慢、學生對探究教材閱讀困難、實施風險太高、能力分班使同班學生同質性高、學生不夠成熟、非探究式教學已成習慣、受限於具順序性的教科書、師生覺得不舒適、設備及器材價錢太高(Lawson, 1995)。然而，回顧臺灣中小學科學教育課程改革，從1970年代「知識本位」演替至十二年國教「素養導向」的課程理念。科學素養導向的課程實踐，意指建立一種「探究學習文化」的教育工程(黃茂在，2017)。探究式教學(inquiry-based science education, IBSE)指在教學過程中，讓學生透過假設、實驗、辯證、建模、嘗試錯誤等過程，學習科學的知識及概念，透過這樣的歷程，能培養學生系統性思考、創意思考、設計思考、理性思辨、問題解決、溝通表達等等多元能力(黃振祐，2018)，探究式教學正能帶出12年國教課綱以素養為導向的能力。
有關探究式教學法，以5E學習環探究教學 (5E learning cycle) (Trowbridge & Bybee, 1990)最為人熟知(如圖1)，5E是由3E學習環擴充而來，其五個階段為「參與」(Engagement)、「探索」(Exploration)、「解釋」(Explanation)、「精緻延伸」(Elaboration)、「評鑑」(Evaluation)。其中，「參與」即創造觀念衝突或類似真實的生活情境以引發學生動機；「探索」即提供生活中相關實例、情境讓學生思考，進而促進學生了解，使抽象的概念轉化成具體的認知；「解釋」即老師介紹模式、法則及理論，學生使用觀察及資料來解釋並摘要結果；「精緻延伸」即設計額外問題給學生，讓學生應用新知識解決問題或產生合理的推論，是另一種形式的探究活動或探索階段的延伸；「評鑑」即決定學生的概念是否正確、能否擴展至其他情境，包含形成性及總結性評鑑(紀雅芳、溫媺純，2008)。簡言之，在《探究與國家科學教育標準》指出，探究式教學有五個共同階段，依序為使學生接觸問題、事件或現象，藉機製造衝突事件；經由形成假說與測試假說的過程，以探討所提出的解釋之合理性；分析及詮釋實驗數據，綜合各部分的想法，建立模型；應用所學到新的情境；回顧與評估學到什麼及如何習得(引自洪振方，2003)。而在教學上，如何透過遊戲來達成5E學習，即是本活動想發展的目標。
圖1. 5E學習環
資料來源：MOONEY, 2020
探究式教學之遊戲化策略
探究式教學之遊戲化策略，主要強調如何去形塑與看到學生的思考歷程，以及激發學生學習動機、擴展學生思考界線等，以下分述之：
一、激發學生參與興趣之敏覺遊戲
敏覺課程是透過觸覺及想像力讓學生將觸摸物體與自身經驗進行腦內運思連結，建構掌握在手中卻未知的實體其概念為何，同時讓孩子將思想向外推展，讓他對生活裡的蔬果進行連結，藉此讓思考及表達、經驗與理性一同呈現。觸覺屬於生理上直接感受的感官能力，它也是人在建構知識時期能運用的經驗與理性的基礎活動。因此，以觸覺為課程設計，最能引發學生高度參與。
以「市場裡的蔬果」教學為例，老師請一名學生進行黑箱蔬果觸覺體驗，旁觀的同學，他們需要統整受測同學所給予的資訊，透過小組討論的過程紀錄，進一步相互合作歸納、推理出黑箱裡的食材有那些。最後邀請各組學生輪流上台發表，將同學描述與傳達猜測的結果向所有人分享。各組的結論當然都會有所差異，因此教師在最後學習活動收尾時，透過帶領學生思考與釐清判斷錯誤的原因，並分享判斷成功的因素有那些，讓學生第一手親手感受理解邏輯推理演繹的過程。課程中，教師可帶入一些生活中不常見到的根莖類植物，例如越南茄、澳洲黑馬鈴薯等等，拓展孩子們的思考界線。如越南茄的出現除了服膺原本的敏覺訓練，更可以跟孩子們延伸討論一些社會文化的議題，例如：外來文化、移工、社會變遷，也可進一步討論與科學有關的議題，例如基改食品對人們的影響等等；而澳洲黑馬鈴薯，則可以跟孩子們討論外來食物的引入以及臺灣種薯是否自給自足等問題。除此之外，還可以放入一個經過修飾的圓形白蘿蔔，由此再衍生出對生物本質的哲學討論：一個物品被外力改變後，它的本質是否跟著改變？另外配合氣候變遷，還能加入溫度或氣候改變，是否也會造成動物的習性或外觀的改變等議題討論，以透過環境相關議題的學習，了解全球自然環境的現況與特性及其背後之文化差異。
圖2. 箱子裡的蔬果，也能拓展孩子們的思考界線
二、微辯教學之卡牌遊戲
微辯教學重點在知「微」後進行「辯證」，即透過資料蒐集進行小組間的合作學習，在同儕討論過程中利用歸納分析進行對某一個觀點的觀念釐清，並透過有效提問來進行結論驗證。這個方法很適合透過卡牌遊戲來傳達，在明確的遊戲規則下，讓學生自己練習製作卡牌，透過製作卡牌的過程練習查找、搜集資料，並進行大量資料的統整與融會，此過程可以培養學生思考以及進一步分析歸納的能力，順便提升視覺藝術能力，最後在玩牌的過程中輕鬆享受樂趣，也輕鬆完成要歸納論證、記憶要學習的主題。
圖3. 微辯教學有助於學習者釐清觀念、學會有效提問並進行結論驗證
以運用卡牌遊戲之「心臟病」課程為例： (1)選定單元主題(例如：植物葉片外型)。 (2)教師準備牌卡48張，其中16張卡牌較小，為一般撲克牌的一半，另外32張則為撲克牌大小。 (3)選定8個要學習的主題名詞，及其相對應的知識內容，將牌卡分兩類：(a)主題名詞卡 (例如：蒲葵)和(b)知識點內容卡，文字數不能多(例如：蒲葵又稱扇葉葵，葉片呈中裂，看起來像人的手掌，葉片可作為蒲扇或掃把)。(4)每個主題名詞卡作2份，寫在小卡牌上，成為16張主題名詞卡，每個其相對應的知識點內容卡作4份，寫在大卡牌上，成為32張知識點內容卡。(5)學生分組，以5個人為佳，1人擔任發牌卡荷官。此時學生每人手上有不同的知識點內容卡8張，主題名詞卡由荷官拿一份發，另外一份平攤放在桌面上。(6)遊戲開始前，學生必須熟悉每張主題名詞卡與對應的知識點內容卡。(7)由荷官發牌，當荷官依序口中唸出8張主題名詞卡的內容，同時手上也發出的主題名詞卡，當荷官喊出的主題名詞與荷官翻出的主題名詞卡相同時，小組成員競爭誰最先將相對應的知識內容讀完並取出放置在對應的主題名詞卡下桌面，其餘的學生依次讀完放置牌卡，最先的同學可以拍打疊手的同學手背，同學可以即時躲開，第一回結束。(8)可以玩到荷官手上的牌卡全部發完為止。
圖4. 大哉問卡牌遊戲可讓學生在活動中記住相關知識節點
圖5. 運用卡牌設計自然領域心臟病課程
遊戲化課程設計成功的核心是要明確找到對應的知識點。例如植物葉片背後的知識體系，如葉形、生活應用等。其次是找到知識點之後，確認寫在卡片上的知識內容是否符合學習目標，讓學生在玩牌的過程中輕鬆的釐清、記憶要學習的主題內容。接下來，核心概念建立了，再透過跨科概念與社會性科學議題，讓學生經由探究、專題製作、相互詰問辯證等多元途徑獲得深度的學習，至於如何進一步培養科學素養則是考驗老師更深層的引導功力了。
三、觀察科學特徵連結遊戲
在科學教育中，培養學生「像科學家一樣的思考、發現並解決問題」是科學教育的目標之一。對於科學與科學家特徵的認識，應有助於科學的學習（Lederman & Niess, 1997），因此，仔細查驗科學史料的真偽進行識讀，也是可延伸的辯證活動。以觀察科學特徵連結遊戲為例，教師透過三步驟進行遊戲教學:(1)選定教材相關人物(例如：伽利略的實驗室或是牛頓的實驗室)。(2)假設今天要去這位人物的實驗室參觀。(3)請同學提出這位人物的實驗室中應該可以看見的十樣擺設物品。例如書，必須說明是那一類的書，學生可以判斷科學家的專業範圍或人物特色來決定內容。學生依據他對科學家的認知或科學家的故事提出物品，老師可以引導學生判斷物品象徵的意義，增加學生對科學家與其研究之認識。
圖6. 對於科學與科學家特徵的認識，應有助於科學的學習
四、假媒體真識讀
當孩子打開電視或網頁，在瀏覽過程中吸睛的標題通常都是什麼？無非政治、演藝以及社會案件，而這些通常都是被特意選材成為頭條新聞的，因為其背後包含了許多立場。孩子的識讀世界被成人的議題給填塞，他們親耳所見所聞，都是已被解釋過與包裝過的世界。媒體作者有自己的立場，各家電視台也有自己想表述的宗旨，往往一個新聞背後的歷史軌跡與利益糾扯，是我們想像不到的。為了讓孩子能開始去尋找媒體報導背後的脈絡，課堂中可以引入「假媒體真識讀」的活動。
進行方式：藉由發行報紙的方式進行資料的整理與學習
（一）學習單元名稱—二次世界大戰
（二）學生分組，每組以四人為限，每組分別扮演一個國家
（三）二戰主要參戰的國家(英國、美國、德國、義大利、日本、 中國、波蘭、 俄國)
（四）各組在老師上課後，藉由已知的先備知識，開始進行設計一份報紙
（五）報紙內容必須包含: 新聞時間、聳動標題、新聞內容、人物演說、街頭訪 問、照片立場說明等等
（六）例如：
1.1939年12月德國偷襲波蘭西奈半島-二戰爆發，波蘭街頭百姓笑容依舊燦爛
2.演說稿並加上一張代表性的照片並註明拍攝記者
（七）學生相互詰問立場，例如：「為什麼發生戰爭後波蘭街頭的百姓笑容依舊燦爛？」藉由同儕提問，讓孩子去思考他所下標題的背後所代表的意涵，並想想自己是否有站不住的立場，是否要再改變立場。
圖7. 換位思考，如果你是德國的戰地記者，你會怎麼描述戰爭？
圖8. 這是真新聞還是假新聞?說說你的看法 結論與建議
十二年國教的自然科學核心素養內涵，包含了「探究能力」、「科學的態度與本質」以及「核心概念」三個部分。本文探究式教學遊戲化策略，除了既有的科學知識外，要能夠提供學生探究的機會，養成探究能力，並協助學生了解科學知識產生的方式，以及養成應用科學思考與探究習慣，其實這個探究習慣更重要的是落實在生活層面。
我們在生活中，常總會把發生的事件當作是歷史，而未去探究其中發生了什麼事，在這習以為常的過程中，漸漸我們失去了好奇心與探究力。然而歷史發展有脈絡可循，科學史更是講求脈絡合理的邏輯性，以燃素說的發展而言，拉瓦節(拉Antoine Lavoisier, 1743-1794)點醒了燃素說其中的不合理，為何木材燃燒後會變輕是因為燃素離開，依此為什麼金屬燃燒後重量反而變重了呢？為何燃素說不能完整解釋氧化歷程？科學史的發展在與宗教、政治等人文環境互動下總是充滿了矛盾，而後才在科學家不斷思考突破後，才又真相大白。這些科學的發展，都是思考、探究、辯證的歷程。所以真實是甚麼？在經驗之外，我們的理性能力運作是否受到經驗的干擾以致判斷錯誤？ 現在生活上充斥的各式媒體資訊，那些訊息是真實的？要注意那些問題？形成結論最重要的關鍵何在。客觀事實與結論的因果關係並不是必然的，那些才是影響結果的客觀事實，在自然或社會領域中這些都是知識形成過程中很重要的系統邏輯思考訓練。
圖9. 透過課程模式的轉變可以鼓勵更多女性參與科學
資訊傳播如此迅速下，如果我們仍固守傳統的教學程序，強調學科知識的灌輸接受，資訊事實的重複記誦，與固定答案的思考方式，勢必會忽略了學生創造力的提升與學習興趣的促進，學生的想像力受到阻礙，將使下一代無應變新問題的能力。唯有培養出樂於思考、架構系統觀的孩子，才能符合時代的需求，並且希望其能進一步解決臺灣科學界男女比例不均的現象。
圖10. 參與研習工作坊老師們與講師黃淑靖合影
參考文獻 田孟心(2015)。說到科學家你會聯想到男生還是女生？4張圖表帶你看臺灣理工領域的性別差異。關鍵評論。
吳淑敏(2009)。傑出女性科學家生涯發展歷程之探討。特殊教育研究學刊，34(1)，75-103。
施頂清（2000）。自我發問策略與合作學習(小組討論)對國中生國文閱讀理解的效果比較考驗。國立中山大學教育研究所碩士論文，高雄市。
洪振方(2003)。探究式教學的歷史回顧與創造性探究模式之初探。高雄師大學報，15，641-662。
紀雅芳、溫媺純(2008)。5E 學習環融入數學探究教學對國中生學習動機之影響，台灣數學教師電子期刊，13，1-12。
陳仁政主編(2004)。科學機遇的故事。中國:北京出版社。
陳婉琪(2015)。巷仔口社會學。臺灣女生不愛讀科學？「世界第一」帶來的驚愕與警訊。
陳華傑(2016)。教師社群開發探究與實作課程的經驗分享。科學研習，55(2)，28-36。
黃茂在(2017)。從課綱研修理念談自然科學探究與實作課程設計，國教課綱向前行電子報，6
黃振祐(2018)。從法國經驗看我國探究與實作發展實務與建議。科學研習，57(6)，16-21。
Guibourg, C. & Stylianou, N. (2019). 女發明家是不是稀有物種？這組數據告訴你。
Lawson, A. E. (1995). Science teaching and the development of thinking. Belmont, CA: Wadsworth.
Lederman, N. G., ＆ Niess, M. L. (1997). The nature of science: Naturally? School Science and Mathematics, 97(1), 1-2.
Mooney, T. (2020). Teaching with the 5E model in kindergarten science.
Trowbridge, L. W. & Bybee, R. W. (1990). Becoming a secondary school science teacher (5th ed.). Columbus, OH: Merrill.
陳佩雯
臺北市文昌國民小學教師兼學務主任
呂玉環
國立臺灣師範大學教育學系博士候選人
國立臺灣科學教育館人事室主任
程詩婷
樂觀書院兒童哲學教師及兒童文化研究社社長
顏慈瑤
國立臺灣師範大學科學教育所碩士生
蘇萬生
國立臺灣科學教育館推廣組薦任編輯
森棚教官數學題－全數出動
文/游森棚
小敬閒來無事，她把1, 11, 111 這三個數字分別除以3，發現餘數是1,2,0，不僅餘數都不同，而且所有除以3的可能餘數都出現了。
但是，她把1, 11, 111, 1111 這四個數字分別除以4，發現餘數是1, 3, 3, 3， 只有兩個數字。
她又把1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111 這七個數字分別除以7，發現餘數差一點就湊滿七個了。
小敬不禁好奇，什麼時候餘數會湊滿呢？聰明的讀者，你能解答她的問題嗎？
游森棚
國立臺灣師範大學數學系教授
個案小學教師在理財情境中數學素養的專業成長
文/湯永麟
前言
兩個（一個換行，一個空一行），段落之間固定多空一行 --> Human Resources and Skills Development Canada（引自Baron，2015）指出國民的基本數字或數學能力和他們的財務狀況有很強的關係；數字、數學和理財素養(Numerical, mathematical and financial literacies, NMFLs)是明日公民所需。因為教師是學生知能成長的重要關係人，若教師有良好的理財情境數學素養，他會對學生的理財產生很大的影響，因此教師的理財情境數學素養是值得去了解與探究。本研究目的旨在探究一位小學老師在理財情境中數學素養的專業成長。
相關文獻
一、理財素養與數學素養的內涵
PISA 2012（OECD，2012）和2015（OECD，2016）理財素養的定義是「理財概念與風險的知識與了解，以及應用這些知識和了解的技能、動機和信心，以便在理財脈絡下做出有效的決策，用以改善個人和社會的理財福祉，並能夠參與經濟生活」。其中包含內容、歷程與脈絡面向，以及12個主題：金錢與交易、財務規劃與管理、風險與報酬、以及理財前景；辨識理財資訊、在理財脈絡中分析資訊、評估理財議題、以及理財知識的理解和應用；教育與工作、居家與家庭、個人及社會。
PISA 2012（臺灣PISA國家研究中心，2012）將數學素養定義為「在不同情境脈絡中，個人能辨識、做及運用數學的能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。數學素養是連續的，即數學素養愈高的人，愈能善用數學工具做出有根據的判斷，這也正是具建設性、投入性及反思能力的公民所需具備的」。PISA 2012（OECD，2012）和PISA 2015（OECD，2016）認為數學素養與理財素養有部分交集之處，依據關係，以理財素養為主體之數學素養部分可注意到三部分：(1)被評量的內容是需要學生應用數感到專業的理財環境中，其中數學很少或明確的；(2)關於金錢和交易、理財規劃和管理、風險和報酬、以及理財前景等理財素養的內容（不包括算術處理）；(3)前述兩者的交集，被評量的內容是需要學生將一些基本的算術知識應用到日常的理財環境中。本研究旨在探究與理財素養、數學素養相關的部份。
二、教師專業成長
教師專業成長就是指教師在教學生涯中，積極主動地從事增進專業知識、專業技能與專業態度成長活動的歷程。本研究在探討理財脈絡中數學素養的專業成長。因為教師的專業成長是在特定脈絡中動態的交互作用著，並且發展出教師的教學知識。雖PISA之相關研究主要集中在青少年時期，但理財脈絡為連續性發展，從學習階段到成年也是屬於連續性發展，PISA面向的轉變也會反應在理財脈絡數學素養的知識上。依據PISA的評估結果，在教師與青少年之間的差異，僅可能會產生區塊的轉移和比例的不同。因為老師也是人，無論在家庭上、工作上、個人等面向也都會在理財脈絡中產生問題，也會因為問題的研究與解決而成長，所以我們可以使用PISA的架構來研究教師在理財脈絡中的專業成長。
研究方法
本研究主要以個案教師與研究者一對一討論生活中數學/理財問題之發現。從對話中，研究者需要去詮釋、分析受訪者提及過去的理財經驗，包含態度、認知、情感和行為，從其找中脈絡和數學素養的交集相關性，進而探討專業成長。從個別事件去探求其通性，進而得到此主題的本質。
個案教師劉小慈是師範院校幼兒教育系畢業，並修畢初等教育學程，到2018學年度止，共有13年教學經驗。此13年皆為高年級導師，取得初階教師專業發展資格及臺北市教學輔導教師資格。劉小慈的參與是當研究者擬定研究方向後，曾向劉小慈表明想利用訪談來討論理財脈絡的問題，並探討是否能提升教師專業素養，劉小慈欣然表示同意參與。總共與劉小慈有12次的對話，在對話中發現，劉小慈雖非數學背景，每一次的生活理財主題結合數學，劉小慈並不會因為理財因子的複雜度而怯步，反而從一開始簡單的四則運算一路深入到逆運算的運用，最後甚至完成了複雜困難的累進稅率問題，從被動接收表面理財訊息到主動探求數字後的意義，一步步展現她的理財素養和數學素養的成長，以下就四件事件來看看劉小慈個案教師的成長。
理財情境中數學素養的專業成長
一、簡單的四則運算--盲目接受到練習規劃
從一件餐券購買事件開始我們的第一次對話，在第一次會談中我們討論到「四人同行一人免費」和「買三送一」相比何者划算，發現劉小慈單純就平均分給一個人之價格做討論，未考慮實際面得失，如人數無法整除或得到餐券的便利性等。當她被問到「你覺得為什麼商家要做四人同行一人免費的促銷?」，劉小慈單純表示「就是為了吸引客人來吧」、「我不覺得這有什麼問題，有折扣不是很好嗎?」、「我有什麼信用卡就用什麼信用卡，方便就好」。在初期對話中，研究者發現劉小慈只注意折扣的優惠，卻忽略了最基礎應該去做貨比三家不吃虧的基本資訊調查，但經過幾次的對話後，劉小慈能夠運用曾經在討論中提到的數學概念來討論理財實務，例如在中期一次討論外出旅遊的交通票券時，劉小慈認為詳盡的事前規劃有助於找出最適合的交通票券，主動提及之前的會談影響了他在規畫行程時不單純只看「最便宜的」，而是注意「最適合自己的」 (見圖1)，「雖然這是短程交通，但結合隔天的行程，這樣是比較划算而且符合我們的需求」、「那這其實就很有趣呀，因為了了解這些細則，會改變我購物的方式」。且在這次的旅行規劃中，劉小慈的消費習慣，也從全部現金交易，改變成會去了解「刷卡與現金消費的差異及恰當的使用時機」。可見不斷地透過公開的討論和分享經驗，可以刺激個案教師再度回想到過去經歷的理財實務，利用這些數學學理來進行未來生活事件的分析和評論。
圖1.行程交通費紀實
二、培養對數字的敏銳度--學習分析
在會談的中後段，個案教師針對自身生活上會遇到的消費開始思考和分析利弊，在一次與網路購物相關的對話中，展現出劉小慈經過多次會談後，理財素養的成長：網站當時的活動回饋比例為4%，原預期會有32點的回饋，但在點數實際回饋後發現只有27點，所以提出來與研究者一起討論，想找出回饋減少的原因為何。劉小慈與研究者經過演算與推論出購物網頁與消費者間因認知的不同出現回饋的差異，且這些資訊皆是網頁沒有清楚說明的「遊戲規則」。
劉小慈：所以其實很多時候，我們不能單純看信用卡的優惠，很多優惠後都有它的規定和限制，例如，優惠比例高的可能有金額的限制，優惠比例低的卻沒有金額限制，所以要依據我們購買的東西的金額去決定要用那一張信用卡。
買東西對劉小慈來講，不再只是單純的「花錢」，無論是貨比三家還是優惠資訊，劉小慈都漸漸對這些數字的敏感性提升。因為研究者和劉小慈都有的固定消費--加油，因此開始討論劉小慈生活中會遇到與加油相關的優惠，以下有兩張信用卡針對加油給予的優惠：
表1. 兩張信用卡對車輛加油的優惠
研究者：你覺得A卡和B卡那個好?你覺得會取決在那?為什麼?
劉小慈：公升數嗎?
研究者：你試想A卡加到10公升會回饋8元，但是B卡加到10公升，都是回饋4%，所以換句話說是回饋0.4公升的油錢
劉小慈：所以其實有影響的是油價，當油價高時候，要以B卡為主。
研究者： 所以要高到什麼程度，才以B卡消費會比較優惠?
劉小慈：(計算：0.8 /4%=20)所以一公升要超過20元，以B卡消費才划算。
由對談中得知，個案教師能對卡別的優惠資訊進行分析，先判斷優惠條件限制的多寡，再來可以自行比較並算出「相對折扣比例4%」和「絕對折扣比例0.8元」間的差異，並了解何時該使用什麼樣的卡別會是性價比最高的，結論出當油價低時，應以絕對折扣來提升回饋率。
三、困難的攤還率--引發探究精神
劉小慈有房屋貨款，銀行要他多少錢，她就繳多少錢。在對話的過程中，引發她探究的精神。有一次她主動提出要來算算自己的房貸是不是對的問題。在研究者先用簡化的方法，將貸款簡化成三個月，本金1,000,000元，年利率2.4%後實際去計算。之後再利用網路上的公式去計算每個月要繳的本息(圖2、3)。
研究者：我們剛剛已經用了這個了公式去推論出每個月繳的本金和利息，然後我們也實際用一個月、一個一個月去推論出來，這兩種方式對你來講有什麼差別?
劉小慈：每個月去推論，就比較可以印證說。原來它的機制是這樣。然後比較不容易被呼攏吧。以前貸款，行員就會告訴你說要還這個金額的錢，然後是給了你公式，可以把數字代入公式算出來，最後是我們把這個公式帶入實際上簡化的數字，去一步一步去推論出來，最後的本息是多少，會越來越清楚。
圖2.利用公式計算每個月要繳的房貸本息
圖3.房貸攤還率公式推導歷程
由演算過程中(圖2、3)，劉小慈能用實例數字先理解並推論房貸攤還率後，進而用同樣的觀念，轉換為代數符號及運用等比級數去推論房貸攤還率公式的，個案教師從原本的只是單純被告知本息繳款是多少元，到可以自己推論應繳的本息金額是多少元，最後還能自己推導公式的由來，讓自己清楚每一個數字的由來，有助於理財知能的發展。
四、所得稅的累進費率--造福人群
所得稅也是生活中例行公事之一，但是因為它的內涵非常複雜，常常讓我們全盤接收相關人員的結果，而忽略了許多的細節所可能會產生的誤差。個案教師與研究者在討論所得稅的過程中(圖4)，了解免稅額會隨著物價指數調整，並可以合理推論上次調整前的免稅額；了解何謂累進稅率，且可以在計算綜所稅時分析用列舉扣除額和標準扣除額間的差異，明白要選擇何種方法以達到節稅的效果。劉小慈也從薪資條總額與扣繳憑單中的差異，觸發其想主動了解那些所得是屬於薪資的動機，並從中推論出教師薪資中的導師費、交通補助費、課後照顧班費用、碩士班學分補助費應屬免稅範圍。在察覺薪資條與他的認知不符時，主動與相關單位確認，發現校方把一些不屬於薪資的費用，列入薪資之中。因此個案教師與研究者可以及時更正多被申報的部分，也為全校老師爭取到應有的權利。「我覺得真的很開心，運用我所學得的東西，幫助到學校其他好多老師都可以被退到稅，真是意外的收穫」
圖4.個案教師與研究者討論所得稅
結論
藉研究者與個案教師針對生活中理財情境的會談中發現，個案教師從單純接受理財資訊到對消費中的數字敏感度提升，進行批判性思考的能力愈為顯著，甚至是複雜的數學問題也能在與研究者討論下進行相關分析與計算。雖然理財的觀念在初期事件中僅影響少數錢的利益，回饋的點數並非大錢，但在多次會談過程後發現，個案教師逐漸改變了自身的理財觀念和態度，正因為理財在生活中無所不在，更是一種持續性的行為，所以這些看似微小的改變，對未來的影響肯定是不容忽視的。例如在所得稅的事件中發現，原本不在意的理財事件，經過深究其相關規則後，竟有近五千元的差額。後期時個案教師因為對個人財務管理的深入了解，使她能更有條理地分析理財中的數學問題。綜上所述都一再顯示個案教師在理財情感面的改變從被動與無興趣的消極，變成主動且充滿興趣的積極，也漸漸展現出主動挖掘理財問題的熱忱，展現出個案教師在理財情境中數學素養的專業成長。
參考文獻
臺灣PISA國家研究中心（2012）。數學樣本試題 (中文版含評分規準)。臺灣PISA國家研究中心。
Baron, L. M. (2015). Mathematical and financial literacy with families. In T. G. Bartell,K. N. Bieda,R. T. Putnam, K. Bradfield, & H. Dominguez (Eds.), Proceedings of the 37th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, (pp. 486-493). East Lansing, MI: Michigan State University.
OECD. (2012). PISA 2012 financial literacy assessment framework. Paris, FR: PISA, OECD Publishing.
OECD. (2016). PISA 2015 assessment and analytical framework: Science, reading, mathematic and financial literacy. Paris, FR: PISA, OECD Publishing.
湯永麟
臺北市麗湖國小教師
12年國教精神在國小數學課室之實踐樣貌
文/陳玉珊
前言
兩個（一個換行，一個空一行），段落之間固定多空一行 --> 十二年國民基本教育之課程發展本於全人教育的精神，以「自發」、｢互動｣及｢共好」為理念，強調學生是自發主動的學習者，具備與自我、與他人的各種互動能力，並能夠應用及實踐所學，共同謀求彼此的互惠與共好(教育部，2014)。
筆者本身在國小任教多年，身邊有不少同事對於高年級的數學教學都深感困擾，六年級的「基準量和比較量」單元便是其中之一，在本校有多年高年級教學經驗的Z師表示：「『基準量與比較量』這單元，學生很容易分不清楚誰是基準量誰是比較量，要不然就是在課堂上，學生明明都能輕而易舉說出誰是基準量誰是比較量，可是每次考試出來，學生還是錯一大堆，真的不知道為什麼會這樣……」，引發了筆者想探究12年國教精神－「自發、互動、共好」在國小高年級數學課室實踐樣貌的念頭。
筆者多年的教學經驗發現「在課堂上，與其都是由老師來糾正學生錯誤的地方，倒不如由學生自己發現並修正，相信讓學生成為真正主動的學習者，對學生的學習會更有幫助，也才能更深入了解上述現象背後真正的原因」。基於這樣的想法，筆者在去(2019)年教「基準量和比較量」單元時，便嘗試讓學生透過「同儕間『抓』出『錯』誤之處」的「抓錯」活動(發想來自於坊間專業防水工程的「抓漏」)，企圖讓學生主動察覺到自己的錯誤所在(自發)，並藉由一次又一次與同學的對答來修正自己錯誤的地方(互動)，進而達到大家皆能習得數學概念上的理解(共好)，以期達到12年國教「自發、互動、共好」的精神。
相關文獻
一、單位化」和「基準化」能力
要探討「基準量」與「比較量」之間的關係，就要先從「單位化」和「基準化」能力分析(顏宗斌和劉祥通，2005)，什麼是「單位化」和「基準化」能力呢?Lamon (1994)的研究指出，單位化能力即是指將單位聚集在一起的能力。例如，ㄧ名學生能以10為單位，做每10 個一數，也就是把聚集單位「10」單位化了。而基準化能力，則表示學生進一步能以單項單位或者聚集單位作為新的度量標準(當作1倍)，此新的度量標準即是所謂之「基準量」，再以此量來詮譯(或者重複計數)「比較量」，也就是其能表徵「基準量」與「比較量」兩數量之間的關係。將「基準量」視為「1個新單位」，然後以此單位來重新詮釋「比較量」的過程，就是基準化的能力。舉例來說：一個披薩被平分成五等分，若學生能指出其中兩等分為「二個 盒」，則其能將單位分數「 」作「單位化」；若學生能以「 盒」表徵此量，則其具有「基準化」之能力，其中「盒」是被視為「單位」，「 」為「單位量」，「 盒」為「基準量」，而「二」即為「單位數」。
二、常見的解題策略－線段圖
蔣治邦(2001)的研究中指出，可以利用線段圖作為「基準量與比較量」類型題目的解題策略，較常見的有長度線段圖，簡單介紹如下：
此線段圖是利用線段的長度來表示問題情境中的數量，並透過線段的空間關係(視覺線索)來表現各數量之間的關係(如圖1)。
圖1. 長度線段圖
用畫圖的方式呈現題意，可以使數學問題較易理解而增加成功解題的機會(Cohen & Stover，1981)，因為它能將文字題中的數量關係具體化，因此現今數學課程已廣泛使用線段圖來協助解題(陳竹村，1998)。
課堂的實踐樣貌
由於本文聚焦的重點，主要是在呈現12年國教精神在國小數學課室的實踐樣貌，因此筆者隨機選取了兩道數學習作上的應用題，作為本次「抓錯」活動的題目，過程如下：
一、例題一
「有一個長方形花圃，長是寬的4倍，寬是2公尺，長和寬相差多少公尺?」
（一）S15一開始的學習表現(如圖2)
教學片段一（Sn表示n號學生）
S15：長是寬的4倍，所以寬是基準量，1倍的意思…
S8：可是你圖中的長不是4倍啊?
S2：你圖中的「?」是指長嗎?可是你最後算出來的答案又變成是長和寬的相差，到底那一個才對?
S21：你的圖應該要標示出(4-1)倍在那裡吧?
S15：老師，我可以改嗎?
圖2. S15一開始的解題表現
根據教學片段一，學生們發現S15所畫的長度線段圖中，標示「長」的部分並不符合題目所提到的「長是寬的4倍」，企圖製造S15的認知衝突，並透過不斷提問質疑的過程來促使S15察覺到自己把「『長比寬多出來的部分』標示為『長』的部分，為錯誤的畫法」，藉此「抓」出其「錯」誤的地方。進而引發了S15「老師，我可以改嗎?」後續主動要求進行修改的舉動。
(二) S15修正後的學習表現(如圖3)
圖3. S15修正後的解題表現
教學片段二
S15：因為長是寬的4倍，所以寬是基準量，1倍的意思，長是4倍，所以長是要從寬這邊開始畫，我先假設長為x公尺，多出來的這一段，就是長和寬相差的部分，用?來表示，以前學過比，這個比的算式最後要修改成 (因為有些題目不是1)，所以可以算出?是6，也就是長和寬相差6公尺的意思。
根據上述分析，筆者認為S15經過學生們的「抓錯」活動之後，不僅可以察覺自己錯誤之處，並進行正確的修改；甚至還可以將整個一般化的解題過程說清楚，充分顯示S15透過此次教學，展現了12年國教精神：「自發、互動、共好」的學習表現。
二、例題二
「飲料店今天賣出的飲料杯數是1026杯，比昨天賣出的杯數少了5%，昨天賣出多少杯飲料?」
（一）S10一開始的解題樣貌(如圖4)
教學片段三
S10：昨天賣出的飲料是基準量…
S23：你說昨天賣出的飲料是基準量，那你為什麼不把1倍寫在昨天那邊呢?
S4：今日賣出的1026杯，有包含上面(+5%)那一段嗎?
S10：對……ㄟ?等等，我好像寫錯了……。
S4：你的圖，到底是昨天賣出的飲料多?還是今天賣出的飲料多??
S10：ㄟ……我又錯了……。
S9：你式子中(1-5%)應該是1026的倍數，可是你的圖卻是(1+5%)啊？
S10：呃……對耶，我寫錯了啦……。
S16：你 到底是怎麼來的？
S10：呃……老師，我錯好多，我可以全部重新改嗎？
圖4. S10一開始的解題表現
根據教學片段三，學生們已經看出S10的解題過程中，存在許多「線段圖和數學算式不符」的情形(如圖4)，同時針對S10的每一個解題步驟，不斷進行質疑，一一「抓」出「錯」誤的地方，進而引發了S10「……老師，我錯好多，我可以全部重新改嗎?」，後續主動要求進行修改的舉動。
（二）10修正後的學習表現(如圖5)
圖5. S10修正後的解題表現
教學片段四(如圖6)
S10：因為今天賣出的飲料杯數是1026杯，比昨天賣出的杯數少了5%，所以表示昨天賣出的飲料是基準量，1倍的意思，所以我把1倍改寫在昨天的這條線段上，因為我不知道昨天賣出多少杯飲料，先假設昨天賣出的飲料有x杯。題目又說今天賣出的飲料比昨天賣出的少，所以多出來的5%，就要加在昨天的這一條線段後面，所以「昨天1倍」的弧線要包含這5%才對(圖6藍色處)，那麼『「今天」賣出的這一條線段就會變成95%，是1026杯的意思。數學式子要改成1：(1-5%)=x：1026，內項相乘等於外項相乘，所以 ，x算出來是1080，也就是昨天賣出的飲料有1080杯。
圖6. S10上台解說
根據上述分析，儘管S10一開始就能夠正確說出基準量是「昨天賣出的杯數」，但整個解題過程，不難看出S10存在許多錯誤之處，今天賣出的飲料杯數比昨天少，理應代表今天的線段圖要比昨天的線段圖短，但S10卻將今天的線段圖畫得比昨天長，既然1026所代表的倍數是(1倍+5%)，那麼數學式子就應該是1：(1+5%)=x：1026，而不是1：(1-5%)= x：1026。筆者探究可能的原因：因為題目說「比昨天賣出的杯數少了5%」，S10誤將這句話的意思解讀為「昨天賣出的杯數比較少，且少了5%」，才又會把「今天賣的杯數」畫得比較長，並且往外加長5%。因為S10無法完整理解題目的意義，因此在解題的過程中都是屬於「擷取片段式的理解」，才會產生許多前後不一致的現象。
三、課堂上「自發、互動、共好」的實踐樣貌
筆者認為，能夠讓學生覺得學習有趣、有意義、是自己想要學的，就會源源不斷的想去嘗試，這正是108新課綱所談的「自發」(如圖7、8)；近年來，佐藤學「學習共同體」的理念，改變了傳統的學習思維，認為學習除了是一種群體的共學行為外，更是一種自我挑戰的行動，以共學的學習態度取代獨學(黃郁倫和鍾啟泉譯，2012)，既是共學，與他人的「互動」顯得更為重要(如圖9、10)；這一次「基準量與比較量」的教學，由學生扮演「抓錯者」的角色，透過同儕間「提問與回答」的過程中，逐步釐清其認知衝突，最後大家都能獲得概念上的理解，達到互惠與「共好」的境界，筆者認為，本次的數學教學活動，充分實踐了12年國教「自發、互動、共好」的精神。
圖7. 學生「自發」學習樣貌一
圖8. 學生「自發」學習樣貌二
圖9. 集體共學樣貌
圖10. 一對一共學樣貌
結論
根據本次教學結果，學生會出現「算式和圖示前後不一致」的現象，筆者認為，可能是題目學生會算，但卻不知道怎麼畫圖(如圖2、4)；換言之，倘若當學生碰到不會的題目時，一旦畫錯線段圖，那麼就更無法協助解題了。因此筆者得到二個結論：(1)教師若要檢驗學生是否真正理解基準量和比較量的概念，就必須藉由學生的解題歷程來一一檢視，以免造成因過度類推的誤判。(2)藉由同學們的提問(互動)來製造認知衝突，可以引發學生察覺到自己的錯誤之處，並主動要求將錯誤之處全數修改(自發)，甚至還能夠清楚且正確進行全程解說，讓大家皆能獲得數學概念上的理解(共好)，此可視為將12年國教「自發、互動、共好」的精神實踐在數學課室中的具體樣貌。
參考文獻
陳竹村（1998）。對等關係與線段圖的教材處理。臺灣省國民學校教師研習會，國民小學數學科新課程概說（高年級），153-165。
教育部（2014）。十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北市：教育部。
黃一泓、謝進泰(2016)。兩種線段圖表徵解題策略在學習成效上的比較。教育心理學報，47(4), 581-601。
黃郁倫、鍾啟泉(譯)(2012)。學習的革命：從教室出發的改革。佐藤學著。臺北市：天下。
蔣治邦(2001)。中年級學童「部份－全體」運思的發展：文字題選圖與解題作業表現的差異。中華心理學刊，43（2）， 239-254。
顏宗斌、劉祥通(2005)。一位國小六年級學生在分數基準化問題的解題表現。科學教育研究與發展季刊，41，44-73。
Cohen, S. A. & Stover, G. (1981). Effects of teaching sixth grade students to modify format variables of math word problems. Reading Research Quarterly, 16,175-199.
Lamon, S. J.（1994）.Ratio and proportion：Cognitive foundations in unitizing and norming. In G. Harel ＆ J. Confrey（Eds.）, The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics （pp. 89-122）Albany, NY：State University of New York Press.
陳玉珊
臺北市立大學教育系課程與教學組博士候選人
摺出畢氏數
文/林靖捷
這些年從事資優教育，設計課程成為日常，在教具的研發上也小有心得，更從中得到許多樂趣。其中「摺出畢氏數」課程與其教具「畢氏數書籤」是一件別具意義的作品，在此與數學教育的同好們分享。
發想動機
一直以來，都覺得摺紙非常適合用於學習幾何，這些年幾何摺紙在各地掀起一股熱潮，自己在教到相關的單元時也會搭配使用。2018年在構思課程時發現，只要將正方形色紙的一個頂點摺到一邊的中點，便會形成邊長為3:4:5的直角三角形(如圖1的ΔCEH)。這個無心插柳的發現讓我意外且驚喜，當時還稍微研究了如何將整張色紙收摺成這這各種三邊比的直角三角形，在過程中看到其中的相似三角形及各線段長度的整數比關係，讓我打算以此設計成課程或題組，但後來持續忙於其他事務，這件事也就自然進到工作排程的暫存區，同時聽說這個摺法和日本摺紙大師芳賀和夫的芳賀第一定理的摺法相同。
圖1. 邊長為3:4:5的直角三角形ΔCEH
圖2. 將ΔCEH、ΔDPE向內摺
直到2019年6月，在一次台北市資優中心舉辦的研習中，聽到游森棚教授也分享這個摺法，並提到可從中摺出常見的畢氏數，讓我眼睛為之一亮，自己試摺後摺出邊長比為5:12:13、7:24:25、8:15:17的直角三角形，於是「摺出畢氏數」的課程架構在腦海中已然成形。
課程設計
2019年10十月開始著手設計課程，準備在11下個月新加坡中學來訪時實施。產出課程與學習單後，與協同教學的黃彩霞老師共備。她指出因為授課的對象是八年級資優生，而學習單中有幾個任務必須以相似形的性質解題，於是經過一番討論，將原本的任務修改與調整，避開了這個九年級才會正式學到的概念。以下是本課程學習單內容的簡介：
如圖1，首先讓學生摺出正方形ABCD的對稱軸，將B點與E點重合，此時的摺線會唯一；令A點的位置為交於P點。第一個任務是求ΔCEH的三邊長，假設，則，由可得a:b=3:4，故ΔCEH的三邊比為3:4:5。為了整張紙所摺出的直角三角形之邊長皆為常見的畢氏數，學習單上假設（所以。接著讓學生以為摺線，將ΔCEH、ΔDPE向內摺(如圖2)，觀察C點和D點重疊、和P、H兩點共線的現象。由圖二可知，因為∠PEH=90°，所以∠DEP+∠HEC=90°，因此，故C點和D點重疊，因為∠HC'E+∠ED'P=180°，所以P、C' (D')、H三點共線。
如圖2，接著先摺出，然後攤開色紙，再過P點摺出與平行的，求ΔPQH、ΔPED與ΔPHE的三邊長，以及圖1中ΔA'GP的三邊長，假設，則，，由可得x=16，所以ΔPQH的三邊長為（7,24,25）。因為，且12，所以，即ΔPED的三邊長為（12,16,20），故ΔPHE的三邊長為（15,20,25）。又，假設，則，因為，所以y=3，故ΔA'GP的三邊長為（3,4,5）。
完成了以上的計算後，接下來的任務是讓學生嘗試在同一張色紙摺出以其他常見畢氏數為邊長的直角三角形，包括（5,12,13）、（8,15,17）和（9,40,41），其中（9,40,41）的一股(40)和斜邊(41)的長度都超過色紙的上的最長線段(對角線)，所以將「摺出邊長（9,40,41）的直角三角形」的任務改成「摺出三邊比為9：40：41的直角三角形」(與明德國中跨校共備時，本校的陳怡君老師提出這個修正建議)。
如圖3，前面已推得ΔPQH的三邊長為（7,24,25），ΔGAP'的三邊長為（3,4,5），只要過G點摺出與平行的交於U點，則，又，所以ΔUVQ的三邊長為（5,12,13）。過H點摺出與平行的線段交於T點，則，又，所以ΔP' FT的三邊長為（8,15,17）。過P' 點摺出與平行的，再摺出的中點S，則，因此 ΔSCR的邊長比為9：40：41。這些三角形的摺法並非不唯一，適合讓學生思考一題多解，教學時可引導他們找到互相垂直且長度為畢氏數(兩股)的兩個線段作為直角三角形的兩股，則摺出的斜邊自然是畢氏數。例如：經由學習單前面的任務已求得，所以，只要摺出與平行的，即可得，只要再摺出過U、Q兩點的線段，即可得到(長度為13的)斜邊。設計以上摺出畢氏數任務的目的不僅在於讓學生看到畢氏數具體的量與形，培養其數感與解決真實問題的能力，過程中的探究與實作也符合未來新課綱的精神。
圖3. 摺出的斜邊是畢氏數
圖4. 兩張A4紙以互相垂直的方式疊合
在設計課程期間，我觀察到，即直角三角形的斜邊長為某兩邊之和，一股為某兩邊之差，假設將斜邊以a+b表示，一股以a-b表示，另一股以c表示，其中a、b、c為正整數，則根據畢氏定理可得，化簡後為，當c值固定，可解得(a,b)的所有可能值。這個求畢氏數的方法和過去我們所知的作法有些不同，對我而言像是發現了一個畢氏數產生器，同時不禁好奇是否所有的畢氏數都可以由它產生。
後來我發現在上述的關係式中，當a、b為完全平方數時，令a=為正整數，三邊即為常見的畢氏數生成公式；當a、b不為完全平方數時，不失一般性，令，p、m、n為正整數（且p不為完全平方數），三邊為(，可見三邊有公因數p，非素畢氏三元數(primitive Pythagorean triple)。
結合相關文獻的推論，我得到以下的結論：若a、b、c為正整數，且，其中為一奇一偶的正整數，m>n，(m,n)=1時，(a-b,c,a+b)為素畢氏三元數，且所有的素畢氏三元數皆可由它生成。
課前備料
產出課程後，接著思考的是該讓學生使用那種材質與大小的紙張進行摺紙的活動。由於教學時會希望學生將推得的邊長逐一標示在所摺的紙張上，一般市售的15公分正方形色紙大小略嫌不足，所以決定使用A4紙裁切成(以短邊為邊長的)正方形。如果時間充足，我會將此納入課程，讓學生思考如何從一張A4紙得到一個最大的正方形，我心目中的理想作法是拿兩張A4紙以互相垂直的方式疊合(如圖4)，只要將多出的長方形向內摺並切除即為所求。但因考慮到課程實施的時間只有一堂課，所以在準備材料時只得預先將A4紙裁切成正方形，讓學生直接於課堂上使用。
圖5. 幾何構圖之一
圖6. 幾何構圖之二
跨域協作
當自己拿這樣的正方形紙張試摺出學習單上指定的摺法與畢氏數後，發現燈光下的摺痕非常好看，當時腦中升起一個念頭，想把這個課程結合藝文領域擴充為跨領域課程，於是拿起色鉛筆在摺痕所形成的多邊形上著色(如圖5)，完成後想到四色定理，也想到看過一種黑白交錯的幾何構圖，便再用黑色色鉛筆畫了另一個版本(如圖6)，畫完之後，想到這種構圖可以引發一個值得學生思考的問題：假設n條直線將一個正方形切割成m個多邊形，如果每個多邊形都是黑色或白色，是否一定能做到如圖五那樣任兩個(有共用邊的)相鄰多邊形顏色皆不相同(即同色不相鄰)？如果把正方形換成其他圖形情況是否相同？
訂製書籤
由於受限於課程操作的時間，完成摺紙後無法當場著色，心中升起一個念頭：如果能有與教學活動相關的小物贈與兩校同學應該很有紀念性。於是在彩霞老師的發想與協助下，找到廠商製作一張分別以圖5和圖6為正反面的正方形書籤，其中蘊含兩個用心的設計：（1）以完美數6(公分)作為邊長的長度。（2）正反兩面的圖形對齊，若在強光下能看到它們完全疊合。為了做到這兩個設定，增加了許多與廠商溝通及製作上的難度。
課程啟用
新加坡德明政府中學的學生來訪，是首次實施本課程。當天的師生互動熱絡(如圖7、8)，活動一開始進行，就發現新加坡的學生因為過往學習時沒被要求記憶，自然地拿出手機計算，與熟知常用畢氏數的本校學生截然不同，可說是意料之外的課程交流。過程中有一位德明政府中學的男同學提出（8,15,17）的摺法讓我讚賞且印象深刻：如圖9，他摺出∠REP的角平分線，使R點落在上的R'點，則，ΔHER'的邊長為（8,15,17）。
圖7. 教學活動現場之一
圖8. 教學活動現場之二
圖9. （8,15,17）的摺法
感恩致謝
後來有幾次機緣陸續與幾所其他縣市國中的老師分享本課程，直到去年底再度參與游教授的資優工作坊時，榮幸地與他分享這張得來不易的書籤，之後看到摺紙的文獻，內容提到只要將芳賀定理摺到邊上中點的摺法改為摺到邊上的其他等分點，所形成的直角三角形之三邊皆為畢氏數，才恍然當時應該誤會了教授的意思，不過卻也因而走出另一條美好的道路，看到多采多姿的景緻，在此由衷感謝森棚教授、彩霞老師及校內外參與過本課程共備的夥伴們，讓我得以產出這套教材教法，期待未來能夠再與更多的師生們分享這張畢氏數書籤中的幾何之美！
參考文獻 芳賀和夫（2016）。摺紙玩數學－日本摺紙大師的幾何學教育。新北市：世茂。
阮華剛與譚志良（2014）。數學百子櫃系列（十七）摺紙與數學。
畢氏三元數（2020）。維基百科，自由的百科全書。
林靖捷
臺北市立蘭雅國中教師