數學

單淘汰賽中的數學--高中數學的探究與實作

文/張宮明 前言 兩個（一個換行，一個空一行），段落之間固定多空一行 --> 筆者長期帶領高中生從事專題研究進而形成科展作品，研究與討論的過程非常有樂趣；就是這股樂趣，讓筆者能繼續不斷與學生探討與研究。 本文分享的作品「單淘汰制賽程分析」是由王啟樺同學研究，筆者指導的專題研究成果，在2010年獲得台灣國際科學展覽會大會二等獎，美國2010年國際科技展覽會(ISEF)大會三等獎的殊榮。雖然已相隔10年才與讀者分享，但回想起研究過程中的點點滴滴仍然歷歷在目。 在各種比賽的制度中，單敗淘汰賽是常見的賽程，這種賽制很容易理解，只要敗一場就淘汰，而且每一場一定要分出勝負，沒有不分勝負的和局。圖1與圖2分別為4人與8人的賽程表。本文介紹的圖表與定理皆取自啟樺的研究報告。 圖1. 4人單敗淘汰賽程、圖2. 8人單敗淘汰賽程 在筆者的專題研究課程中引導學生在網路上搜尋有興趣的研究主題，啟樺在台灣國際科展的歷屆作品中發現了于小涵同學於2006台灣國際科學展覽會的作品「輸贏一線間--淘汰賽的相關探討」，在于同學的作品中得知包含8人的賽程表中，藉由賽程的安排，使得次強選手獲得冠軍的機率大於最強選手的可能性存在。啟樺對這個主題有高度的興趣，因此，我建議他，先把于同學的作品從頭到尾徹徹底底地推演一遍，不僅要讀懂作者的思路與推演方法，也要提出自己的想法。啟樺真的準備一本筆記扎扎實實地將整個作品研究了幾遍，並且將研讀心得於專題研究課中報告與討論，當然，這過程是非常耗時費力的，但也因此，啟樺熟透了這個主題。 關鍵提問 一開始，啟樺推演出許多有趣的結果，並將淘汰賽研究結果應用在網路的票選活動上做數學建模與獲勝機率的預測，得到很多豐富有趣的結論。於此同時，透過網路，搜尋到了黃光明教授發表在數學傳播的〈淘汰賽〉一文，進一步認識了淘汰賽於數學上的表達方式。經過深入的研讀，在其中一堂專題研究課中，啟樺向筆者提出一個問題：「在未進行任何賽程之前，如何衡量各選手對A選手的威脅？」這是一個非常關鍵的提問，讓整個研究有了探索分析的標的物，不再只是一般的算術問題。接下來，筆者將從啟樺豐富的研究成果中節錄部分內容與讀者分享其研究與探索的過程。 研究過程與方法 為了使在單淘汰賽中獲勝的機率問題得以討論，在此訂定兩個定義： 定義一：每名選手皆有其自身的實力，若將選手命名為Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ……，則各選手對應之實力依序為 a、b、c、d……。 定義二：令 PAB 為選手 A 與選手 B 比賽時，選手 A 勝出的機率，並規定 例如：若選手 A 與選手 B 的實力分別為3與2，則選手 A 勝出的機率為 直觀上我們認為「只要敵人的實力增強，對我的威脅就會增加」，而在賽程中，亦即意味著 「任何敵人實力增加，我的勝率就會下降」。現在，我們想要證明這個直觀。 一、包含4名選手的賽程 如圖 1 是一個包含 4 名選手的賽程表。就選手 A 而言，第 1 場賽程的對手必然是選手 D，晉級所受到的威脅只需比較選手D的實力即可判斷。所以第 1 場賽程中，由定義可知A選手獲勝的機率為 由上式可直接看出當D選手實力提升時，A選手的勝率就下降，這證明了在第1場賽程中「只要敵人的實力增強，對我的威脅就會增加」。 然而，第 2 場賽程可能遇上的對手為選手 B 或選手 C。在未進行任何賽程之前，這兩名選手對我的威脅有多大呢？是否還是符合「只要敵人的實力增強，對我的威脅就會增加」與「任何敵人實力增加，我的勝率就會下降」，這兩種直觀呢？這是我們想要探究的目的之一。 因為第2場賽程的選手是不確定的，一開始啟樺不知道如何探討這個議題，筆者建議把4人賽程表畫在黑板上，如圖1。把問題寫在黑板上是筆者專題研究課最常做的事。望著賽程表，啟樺和筆者有如下的一段關鍵對話。 啟樺問筆者：「我雖然可以算出這賽程表中，A獲得冠軍的機率(如定理1中的(1)式)，但是，我如何推算B或C選手實力的變化對A獲得冠軍之機率的影響呢？」 筆者回答：「因為A在第二場比賽面對的選手不確定是B或C，對於不確定的事物，我們通常習慣把它假設為X。」 就這樣我們在黑板的賽程表中畫上了X，如圖3， 筆者問啟樺：「如果現在用X來取代B和C選手，那A獲得冠軍的機率是如何表示呢？」 啟樺在黑板上將算式寫出來，如(2)式，再來利用兩式中，A選手的冠軍機率相等，就可推得定理1中X選手的實力是b和c的函數。如此，b、c的變化對x的影響就可以討論了。 換句話說，我們嘗試建立一名假想選手 X，藉由將選手 B 與選手 C 替換為假想選手 X，我們可以得到簡化後選手 A 的賽程表如圖 3 表示。則我們得到關鍵的定理1。 圖3 定理 1 相對於選手 A 的假想選手 X 之實力為 x，則 證明: 由圖 3 與圖 4 可分別得到選手 A 的勝率如(1)、(2)： 同一張賽程表中，因為選手 A 贏得比賽的機率相同，因此由(1)、(2)相等可得： 定理1是一個很有趣的關鍵結果，從定理1可以看出當a與c固定時，x是b的有理函數，因此我建議啟樺可以探討b的變化對x的影響是如何？也就是探討B選手的實力變化，對假想選手X的實力會造成何種變化？ 換言之，藉由假想選手 X，我們可以判斷在未進行任何賽程之前，第 2 場賽程可能遇上的選手對A所造成的威脅。接下來，透過例子，讓我們更了解「假想選手」。 在圖 1 中，為了方便比較，我們先假設選手 C 的實力 c = a，選手 D 的實力 d = a /10，觀察選手 B 的實力 b = a / 5、a / 4、a / 3、a / 2、a 時，假想選手 X 的實力 x 之變化。結果如表1。 表1. 假想選手 X 的實力 x 之變化 由表1我們可以知道，當選手 C 的實力 c = a，選手 B 的實力 b = a / 2 時，對於選手 A 而言， 第二場賽程遇到的對手，其實力相當於 4/5 a。透過「假想選手」，我們能夠了解第二場賽程所可能遇上的對手對自己所造成的威脅。 眼尖的讀者，從上面的例子或許已經發現：當b遞增時，假想選手X實力的變化一開始是遞減，但隨後又變成遞增，這是個非常有趣的現象，因此，我建議啟樺探究這種變化的原因。換句話說，就是研究函數 的遞增與遞減行為。因為此函數是有理函數，所以筆者建議啟樺研讀相關的微積分書籍，了解如何判斷函數的遞增與遞減行為。 二、威脅門檻 (Threshold of Threat) 定義三：令 Pn(A)為選手 A 晉升至上方第 n 節點的機率，即連續贏得n場比賽的機率。 由定理 1，我們可以判斷在未進行任何賽程之前，第二場賽程可能遇上的選手對A造成的威脅。參照圖 3 選手 A 的賽程表，第二場將遇上的對手為假想選手 X。依照直觀，則 「選手 B 的實力增加，將造成假想選手X 的實力增加而使選手 A的勝率下降」。因此， 我們便猜想假想選手X的實力 x為選手 B 的實力 b 之嚴格遞增函數。但是經過探究後，我們得到了意想不到的結果。 定理 2 存在一威脅門檻 b0，若 B 選手之實力 b> b0，則 b 增加將使 P2(A)下降；若 B 選手之實力 b 證明： 令 x 為函數 f(b)，使 x = f(b)。檢驗 f(b)是否為 b 之嚴格遞增函數。 作 f(b)之一次導函數： 其一次導函數的分母恆正，分子則為 b 之二次函數，領導係數恆正且由判別式大於 0 知其圖形是與橫軸交於兩點且開口向上的拋物線。以圖形頂點將拋物線分為左右兩支，則左支呈嚴格遞減函數，右支為嚴格遞增函數。令其一次導函數之分子為 g(b)，使得 令 g(b)為 0，解出 b 之二實根，得一正根一負根： 取其正實根，並命名為 b0，使得 將 g(b)之函數圖形繪出，如圖 4，則當 b> b0， g(b)>0， f(b)為嚴格遞增函數，此時b 上升將使 x 上升而使 P(A)下降。當 為嚴格遞減函數，此時 b 上升將使x下降而使 P(A)上升。 圖4. g(b)之函數圖形 定理 2 是一個十分耐人尋味的結果，代表 B 選手的實力 b 有一個門檻 b0，當 b>b0 時，B 選手的實力增加，對 A 選手才會造成威脅(即使 P(A)下降)；而當 b 現在，讓我們看一個例子。在圖 1 中，我們令選手 C 的實力 c = a，選手 D 的實力 d = a /10，則選手 B 的威脅門檻為 a / 3。我們讓選手 B 的實力 b 由 a / 5 遞增至 a，觀察選手 B 的實力與選手 A 的勝率之關係。結果如表2: 表2. 選手 B 的實力與選手 A 的勝率之關係 有趣地，我們可以發現，在選手 B 的實力 b 小於威脅門檻 a/3 時，其實力增加亦會增加選手 A 的勝率；而當選手 B 的實力 b 大於威脅門檻 a/3 時，其實力增加便開始讓選手 A 的勝率下降了。 此外，啟樺注意到賽程有時後會安排種子選手，假設一包含種子選手的賽程表如圖5，若選手 B 為種子選手，則c=0，因此其威脅門檻 b0=0。因此，我們有以下推論。 推論1 設一包含種子選手的賽程表如圖5，若選手 B 為種子選手，則其威脅門檻 b0=0。 圖5. 包含種子選手的賽程 三、包含 名選手的賽程 有了以上的結果，筆者建議啟樺繼續探討包含8名選手的賽程，為了探討更多名選手的賽程，我們有以下的定義： 定義四：令 Xn為選手將晉升至第 n 節點時所遇到的假想選手。 （一）假想選手 Xn 之實力 在定理 1 中，我們得到於包含4名選手之賽程表中，第 2 場賽程所模擬之假想選手 X 的實力 x。現在，我們進一步地將假想選手X 推廣，在包含 名選手的賽程中，令選手 Q1 (我們用Q1取代A)晉升至第 n 節點時所遇上的假想選手為 Xn，如圖 6 所示，經過一番努力，啟樺推得下列定理3。 圖6. 選手 Q1晉升至第 n 節點時所遇上的假想選手為 Xn 定理 3 選手 Q1 於第 n 場賽程所遇上的假想選手 Xn之實力 xn為 證明： 利用類定理 1 的方式，我們將第 n 場賽程所可能遇上的所有選手視為假想選手 Xn，由圖6 我們可以得到 進一步推得 藉由假想選手 Xn，我們可以進一步判斷在未進行任何賽程之前，第 n 場賽程可能遇上的選手對Q1所造成的威脅。 經過一番努力，根據定理3，啟樺研究出包含8名選手的賽程中，如圖7，第 3 場賽程所可能遇上的對手也存在著威脅門檻，如下定理4，此定理的證明較為複雜，請讀者參閱文獻[1]。 圖7. 包含8名選手的賽程 定理 4 若選手 A、F、G、H 的實力 a、f、g、h 滿足 則存在一威脅門檻 e0，若當 E 選手之實力 e > e0時，則 e 增加將使 P3(A)下降；當 E 選手之實力 e （二）包含 名選手賽程之威脅門檻 在包含 人賽程中，由於假想選手 Xn 選手的實力 xn 展開過於龐大，無法對其微分。然而，啟樺仍能研究出當包含 人賽程之威脅門檻存在時，所須滿足的條件。如下定理5。 定理 5 若選手 的實力存在 ， 滿足 則存在一威脅門檻 。 當 選手之實力 時，則 增加將使 Pn(A)下降； 當 選手之實力 時，則 增加將使 Pn(A)上升。 （三）勝率一般式 在賽程進行之前，選手們總想先秤秤自己的斤兩，算算自己於這場比賽中得到冠軍的機率。因此，如圖8，啟樺想要了解選手Q1晉升至第 n 節點的勝率一般式如何表示，經過一番努力推得定理6。 圖8 .Q1晉升至第 n 節點的勝率 定理6 選手 Q1 晉升至第 n 節點的機率為 至此，啟樺對單淘汰賽程的研究已進入火熱的地步，隨著時間的推演，啟樺的研究更加深入與廣泛，內容創新有趣並且有更多的應用價值。在啟樺的研究報告中，共有16個定理和12個推論，本文僅介紹其中的一部分。接下來介紹的定理與推論，其證明請參閱文獻[1]。 由定理6與條件機率，我們可以進一步得到下列推論： 推論 2 選手 Q1 由第n節點晉升至第m節點的機率為 藉由假想敵人的概念，我們可以將賽程表簡化如圖9。則我們有： 定理 7 有一多項式 ，其 n 個根為 x1, x2, x3, ... ,xn，則選手 Q1 晉升至第 n 節點的機率為 圖9. 推論2賽程 由定理7與條件機率，我們可以進一步得到： 推論 3 有一多項式 ，其m–n 個根為 xn+1, xn+2, ... , xm 則選手 Q1 由第 n 節點晉升至第 m 節點的機率為 （四）自己實力上升對勝率的影響 直觀上，自己的實力增加，自己的勝率也會隨著增加。如圖1 包含 4 名選手的賽程表中，藉由檢驗自己的勝率是否為自己的實力之嚴格遞增函數，我們得到下列引理。 引理 1 於包含 4 名選手賽程表中，自己的實力增加使自己的勝率增加。 由引理 1 我們可得於包含 4 名選手的賽程表中，自己的實力上升使自己的勝率上升。那麼， 在包含 名選手之完全二元樹賽程中，我們證明亦是如此。 定理 8 於包含 2m 名選手之完全二元樹賽程表中，自己的實力增加使自己的勝率增加 （五）賽程安排對勝率的影響 接下來，啟樺想探討賽程的安排對勝率的影響，以及找出一張對選手自己最有利的賽程表，因此有了下列定義： 定義五：令 Fn(Qi,Aj)為選手Qi於賽程表Aj時晉升至第 n 節點的勝率實力比，即 ，其中P(Qi,Aj)為選手Qi於賽程表Aj時晉升至第 n 節點的勝率。 我們常說:「實力增加，勝率就增加」，彷彿意味著實力與勝率有正比的關係。若以 Fn(Q1) 表示選手 Q1 晉升至第 n 節點的勝率實力比，則我們可以得到下列定理 定理 9 選手 Q1 晉升至第 n 節點的勝率實力比為 勝率實力比 愈高，代表賽程表Aj對Qi選手愈有利，藉此可推得對Qi選手最有利的賽程表。啟樺證明了下列定理： 定理 10 在包含 4 名選手的賽程中，對自己的最有利賽程表為與除自己以外之最弱選手於第一場賽程比賽。 此外，啟樺也歸納出包含 8 名選手的賽程中，對自己的最有利賽程表，詳情請參閱文獻[1]。 結語 啟樺的研究報告內容，是非常豐富有趣的，因為篇幅有限，筆者僅節錄啟樺研究報告的一部分內容與讀者分享，對此專題研究有興趣的讀者，請閱讀文獻[1]，相信您一定會有豐富的收穫。 參考文獻 [1]王啟樺(2010)。單淘汰制賽程分析。台灣2010年國際科學展覽會。 [2]于小涵(2006)。輸贏一線間--淘汰賽的相關探討。台灣2006年國際科學展覽會。 [3]黃光明(1978)。淘汰賽。數學傳播，3(2)，2-5。 [4] Chung, F. R. K. & Hwang, F. K. (1978). Do stronger players win more knockout tournaments? Journal of the American Statistical Association, 73(363), 593-596. 張宮明 屏東高中教師

森棚教官數學題－信號發射臺

文/游森棚 一直線上已經有兩個信號台，高度都是四單位，兩發射台基座的地面距離為三單位，如下圖。 信號的發射和接收都由信號台頂端處理。電信公司想要在兩發射台之間, 等距再增設三個發射台。因為信號是直線傳送，因此希望增設後，任兩信號台的信號都仍然可以直線傳達而不會被擋住。增設的三個信號台高度可以不同，但是需為整數單位。 換句話說，增設的信號台不能太高。 比如由左至右三個新信號台的高度為 $(2,1,1)$ 就是一個方法(如下左圖)， $(3,2,3)$ 也是一個方法， 極端的 $(4,4,4)$ 與 $(0,0,0)$ 當然也可以。但是 $(3,1,1)$ 就不行，因為原先最左邊的信號台與正中間的信號台無法互傳信號，如下右圖。 聰明的讀者，請幫電信公司想想，一共有幾種增設的方法？ 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授

森棚教官數學題-巧拼

文/游森棚 小誼手上有兩種拼片，一種是由三個1X1的單位正方形所形成的L型拼片，另外一種是2X2的正方形拼片，兩種拼片的數量都很多，他想用這兩種拼片去拼一個7X9的長方形，他嘗試了好久發現這個拼圖相當有趣，聰明的讀者，請你想想看： 1. 能不能只用L型拼片拼成功? 2. 如果一定要用到2X2 的拼片，請問2X2 的拼片需要用到幾塊? 3. 如果想拼的大矩形換成是9X9，結果會是如何呢? 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授

森棚教官數學題-一點點畢式

文/游森棚 //熟悉後可複製，沒有備註的全文章語法// 文/劉淑雯 對於5這個質數，你可以找到很多組正整數 使得 是5的倍數，如果把所有可能性一個一個檢驗，可以發現一共有四組答案: 因為 都是5的倍數 1.對於11 這個質數，你可以找到多少組正整數使得是11 的倍數呢? 2.對於13 這個質數, 你可以找到多少組正整數 使得 是13 的倍數呢? 3.多做一點實驗，你可以找到一些規律嗎? 4.你可以發現有趣的現象嗎? 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授

以數學建模在STEAM教育中創價數學文化

文/楊凱琳 由於近年來科技與人工智慧的快速發展，改變不僅僅是人們的生活模式，還有職場上需要複雜且創新的技能。為了符合未來社會環境的需求，數學教育學者以減少學校與社會的落差為目標提出因應方針。其中，數學建模即是一個有效的教學模式。此外，整合科學、科技、工程、藝文與數學 (Science, Technology, Engineering, Art and Mathematics, STEAM)或整合科學、科技、工程與數學(STEM)的教學取向也已納入許多國家的課程改革中，成為促進21世紀技能的重要教育目標之一。本文將以STEAM表示STEAM與STEM。 在STEAM整合教育的潮流中，許多學者也紛紛投入STEAM教育的相關研究。例如：STEAM的學習歷程與成果(Kang, 2019; Perignat, & Katz-Buonincontro, 2019)、STEAM技能或素養的評量(Gao, Li, Shen, & Sun, 2020)、STEAM師資培育與教師專業發展(Booher, Nadelson, & Nadelson, 2020; Chai, 2019; Rinke et al., 2016)等。雖然有些研究已表示STEAM整合的教學是有利於提昇學生的數學學習動機與應用能力；但是較少研究探討如何透過STEAM教育促進數學概念發展以及如何透過數學教育來提昇STEAM技能與素養。本文即欲提出除了強調數學是其它理工學科的基礎或工具應用外，還可以採用數學文化的觀點與STEAM其他學科整合。 十二年國教課綱中數學素養的基本理念除了培育學生能使用數學工具外，也強調「數學是一種實用的規律科學，教學宜重視跨領域的統整。」與「數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感。」。前者意指數學教育的目標不僅限於數學領域內的連結，也需兼顧數學與其它領域的整合以應用於現實中。後者則表明數學涉及人文藝術亦是一種人類的活動，不局限於抽象性和驗證性的數學成果。如同Kimberly Elam著作的《設計幾何學》，以幾何觀點預想、察覺或反思設計過程，除了創新設計外也藉以觀察體現自己與作品的真正價值。 以數學文化的價值之觀點反思數學在STEAM教育中的角色時，我們所要關注的不再是數學知識與工具等數學產物，而是數學的發展歷程。因為數學文化即是人類發展數學的歷程所累積與延續而成，數學價值即在累積與延續的創新與應用過程中得以窺見。現象是啟動數學發展的要素之一，而數學思維則是解讀現象並且進一步形成與解決現象中的問題之推手。例如：科學與工程中常遇見的費米問題(Fermi problems)，是有關於數量估算的問題。這類的問題需要在不足的資訊中形成合理的假設並進行估測；有時還需要將原本的大問題分解成若干個或不同層面的問題，先各個估算後再進行整合。一個經典的費米問題是估測芝加哥有多少位鋼琴調琴師，為了解決這個問題，需要先提出若干假設或問題，例如：平均每個家庭的人口數、平均多少家庭擁有一檯鋼琴等，為了更精準的估算也可能調整假設或測量方法(Efthimiou, & Llewellyn, 2007)。而這樣在現象中以數學思維形成與解決問題的歷程也可視為數學建模歷程。 首先，建模中的模式是一個包含被操作的元素(例如：各種植物)、操作規則(例如：依照某些特性將植物分類)及元素或規則間具關係性的系統，此系統可有效的用來描述、解釋或預測被操作的元素之運作方式；而數學模式所包含的被操作元素通常已經不同於原有的物質或狀態，改以具有一般化、特殊化或簡化後的表徵形式呈現原有的物質或狀態(Lesh, & Doerr, 2003)。數學建模歷程是一種透過瞭解、分析和探索現象來形成問題、產生猜想、建立數學模式或發展數學方法解決問題、再透過現實脈絡檢驗與釐清數學解答的有效性或進一步修改數學模式的過程 (Blum, & Leiß , 2007; Lesh, & Doerr, 2003)。也就是說，數學建模的關鍵元素可分為現實域(reality)和數學域 (mathematics)，關鍵的歷程包含在這兩個元素之間的轉變：即將現實域數學化(mathematizing)或將數學域脈絡化(interpretation)；以及在現實域中瞭解、簡化或結構情境問題或模式(形成現實問題)，在數學域中解決數學問題或探討數學模式的性質(提出數學方法)。 以圖一展示數學建模歷程的四種主要狀態與八個主要歷程，主要狀態包含情境問題、數學問題、數學解、情境解，主要歷程包含界定問題、轉化系統、發展策略、分析推測、解讀與詮釋、批判反思、評估修正、調整方向。雖然圖中所呈現的數學建模歷程有一理想上的順序，但是學生實際建模時則可能是跳越或來回的歷程(Lin, & Yang, 2005)。讓學習者在此建模過程中體驗概念化的瞭解、嘗試數學化的資訊處理、詮釋數學模式和現象間的轉化及意義應是數學建模教育的核心目標。 圖1. 數學建模歷程 如此，數學建模歷程提供學生需要在現實中界定問題，依據情境資訊將情境問題轉化成數學問題(轉化系統)，運用數量化、圖像化、函數化、程序化、結構化等數學思維在現實與數學之間搭建橋梁以形成或選用數學模式進行分析或推測，並藉由批判或反思技能檢驗數學解的有效性以及透過情境推理解釋或詮釋數學解的合理性，必要時再參考情境的需求重新評估或修改原始的情境與數學問題，或者是進一步調整或延伸原始的情境與數學問題。 國際著名數學教育研究者也共同指出數學教育應提供學生在真實世界脈絡中發展所需的21世紀技能之學習機會，包含四個主要的學習面向：(1) 察覺現象中哪裡可以應用數學，(2) 將實際問題轉化成數學問題，(3) 解決數學問題，(4) 詮釋與評估結果(Gravemeijer et al., 2017)。這四個面向與數學建模的歷程相互呼應，也突顯學習數學建模的必要性。再者，數學建模歷程包含啟動數學發展的要素之一：現象，並需要以數學思維形成與解決現象中的問題，這樣的特點也正是STEAM整合教育的一種方法：從真實問題出發。因此，本文主張透過數學建模教學應有助於在STEAM教育中體現數學文化的價值。 Bishop（1988）認為數學是具有文化底蘊與價值承載的知識，例如：東方和西方文化對數學不同的價值判斷分別發展重「演算」和重「演繹」的數學知識；而歸納猜想、演繹證明、社群辯證屬於數學知識產生的三階段，各階段的數學文化亦皆涉及價值的判斷 (劉柏宏，2016)。Ernest (2016) 也指出數學文化的價值除了真實性(truth)、理論性(rationalism)、普遍性(universalism)與客觀性(objectivism)之外，物化(objectism)、善化(ethics)、美化(beauty)與純化(purity)也是數學文化的價值。當數學建模以現象作為起點引發情境問題的形成與解決時，這些數學文化的價值更有機會在現實域、數學域與兩者間的轉化中具體實踐。 從解決真實問題出發是STEAM的跨域整合教育的方法之一，當真實問題是一種現象中的情境問題而且可運用或發展數學思維來解決問題時，即可將數學建模作為STEAM教育的一種教學模式。但是，從既有的或STEAM教育研究中，有些研究者發現數學通常不是主角，甚至只將簡單測量或數字計算視為數學的串場(English, 2015; Martin-Paez et al., 2019)。這樣的簡單測量或數字計算不同費米問題，在解決問題時並不需要藉由數學思維先形成假設或子問題的。如何藉由數學建模讓數學文化的價值在STEAM的跨域整合教學中偶爾變身成主角，以擴展學生對數學的知識觀與認識觀呢？ 針對哪些情境可製造數學模式的產生或發展，Thompson與Yoon (2007)提出六種不同的情境需求：測量、決策、複製、預測、解釋或操弄變因等，見圖2。在測量建模中，需要先瞭解系統的性質再選擇或發展測量方法的模式；在決策建模中，需要在系統的各種選擇中建立決策的方法模式；在複製建模中，需要建立一個可對應參照原系統的新系統之模式；在預測建模中，需要建立一個可從系統中預測結果的模式；在解釋建模中，需要建立一個可從結果反推系統的模式；在操縱建模中，需要瞭解如何操弄系統中的哪些變因以產生預想的結果。將系統視為聚焦或簡化的現象後，這六種情境也可作為設計數學建模活動以利數學在STEAM整合教學中扮演重要的角色以增強數學文化的價值。 圖2.六種數學建模的情境 針對各種建模需求，提供STEAM的情境範例如下： 1.測量建模：估測地球大小。從這個活動中，學生有機會發展或應用比例、平行、相似等數學概念，並需要從自然現象中形成假設並特殊化為數學模式以進行估算。在總結活動時，可比較歷史上的測量方式，深入瞭解數學在解決真實問題中化繁為簡並以簡馭繁的思維價值。 2.決策建模：評估幾種不同的發電方式，尋找既能減碳又可行的最佳組合。從這個活動中，學生有機會透過蒐集與分析資料發展或應用平均、變異、隨機與期望值等統計概念，並需要從各種發電方式中形成有關成本、污染與風險等相關假設並量化為數學模式以進行模擬評估。在總結活動時，可比較臺灣能源政策的演變，深入瞭解數學在決策過程中的理性思辯價值。 3.複製建模：製作地球的平面地圖。從這個活動中，學生有機會發展或應用球面上的直線與距離、非線性變換、球面投影等數學概念，並需要在真實與複製的系統中形成可對應的關係假設並抽象化為數學模式以進行模擬。在總結活動時，可比較不同的投影方式，深入瞭解數學在協調現實與理想中的變通與創造價值。或是近來自動駕駛的碰撞探測器之研發，即模擬蝗蟲的神經元反應。 4.預測建模：以既有已發生的新冠肺炎之相關數據，預測各國未來的個案數與致死率。從這個活動中，學生有機會發展或應用不同的統計模式，並需要在現象中歸納和個案數與致死率的相關因素再轉化成預測變數，藉由預留的結果變數之數據檢驗、比較與調整模式。在總結活動時，可讓學生探尋應用類似的統計模式解決問題之現象，並從現象中再次經驗界定與釐清問題等數學建模歷程元素，完整體驗數學文化的一般化價值。 5.解釋建模：師大數學教育中心推廣的「數字神蹟」之奠基進教室活動。從這個活動中，學生的好奇心被一個魔術現象所引動，進而想要破解該魔術暗藏的玄機，探究老師如何知道我們心中的數字，數字如何透過冥紙灰呈現出來，以及這樣的方法為什麼是有效的(算術至代數思維)。在總結活動時，可讓學生自製魔術的玄機，調整或延伸既有的數學模式，並改變數字的呈現方式，如此可具體實踐數學文化的創造價值。 6.操縱建模：改善手執滑翔機。從這個活動中，並非從做一個滑翔機開始，而是從比較一些已做好的滑翔機中探討如何以及哪個可以飛最久，並進一步思考從哪些地方改善可以作出飛更久的滑翔機。在這個活動中，學生有機會發展或應用向量、內積與三角比等數學概念。在總結活動時，可讓學生實作自己理論上的改善分析並進行檢測，除了深入瞭解現實與數學的差異，也可具體實踐數學文化的應用價值。 本文主要介紹數學建模歷程，並主張其可作為STEAM整合的教學策略以實踐數學文化的多種價值。並針對六種不同的數學建模情境需求，提供參考活動設計的想法。但是，對於在教學現場落實與檢驗活動對數學文化的知識性與認識性價值仍有待不同領域的教師與教育學者之合作。 參考文獻 劉柏宏(2016)。從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵─ 理論與案例分析。臺灣數學教育期刊，3(1)，55-83。 Booher, L., Nadelson, L. S., & Nadelson, S. G. (2020). What about research and evidence? Teachers’ perceptions and uses of education research to inform STEM teaching. The Journal of Educational Research, 113(3), 213-225. Chai, C. S. (2019). Teacher professional development for science, technology, engineering and mathematics (STEM) education: A review from the perspectives of technological pedagogical content (TPACK). The Asia-Pacific Education Researcher, 28(1), 5-13. Bishop, A. J. (1988). The interactions of mathematics education with culture. Cultural Dynamics, 1(2), 145-157. Blum, W., & Leiß, D. (2007). How do students and teachers deal with modelling problems. In C. Haines, P. Galbraith, W. Blum, & S. Khan (Eds.), Mathematical modeling: Education, engineering, and economics (pp. 222–231). Chichester: Horwood. English, L. (2015). STEM: Challenges and opportunities for mathematics education. 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從數學史談核心素養之涵育：以「畢氏定理」為例

文/蘇意雯 一、前言 九年一貫數學課綱提到「教師教學裡，引進與主題相關的數學史題材，對學童的學習會有很正面的意義，尤其能協助學童將抽象觀念具體化。」(教育部，2008)。美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM])在1989年就指出，要瞭解數學的價值就必須讓學生認知到數學與歷史情境間之互動，與此兩者互動結果對我們文化與生命的影響(NCTM, 1989)。2000年則再次強調在此快速更替的世界中，數學是人類最偉大的文化和智識成就之一，公民應發展對此成就的珍視和理解，包括其美感甚至娛樂面向(NCTM, 2000)。 現今實施的十二年國教數學課綱的基本理念也提及數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感:「適時地在數學教學之中融入適當的數學史內容，可以提升數學教學品質與學生的學習成效。」(教育部，2018)。十二年國民基本教育課程綱要總綱，本於全人教育的精神，以「自發」、「互動」及「共好」為理念，以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」為願景。為落實前述的理念與目標，課程發展以核心素養做為主軸，它是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度。數學領域核心素養可以說是一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的數學知識、能力與態度(李源順，2020)。 在多元文化與國際理解項目上，數學領域核心素養具體內涵在國小階段數-E-C3為具備理解與關心多元文化或語言的數學表徵的素養，並與自己的語言文化比較。國中階段數-J-C3為具備敏察和接納數學發展的全球性歷史與地理背景的素養。高中階段數-S-U-C3為具備欣賞數學觀念或工具跨文化傳承的歷史與地理背景的視野，並了解其促成技術發展或文化差異的範例(教育部，2018)。本文作者將以「畢氏定理」的數學史素材布置及教學實驗，與讀者分享如何運用數學史素材呼應十二年國教核心素養，希望能讓學生的數學學習更加豐富。 二、畢氏定理相關史料探討 在十二年國教數學領域課綱中，畢氏定理安排於第四學習階段，也就是國中階段，學習表現s-IV-7為「理解畢氏定理與其逆敘述，並能應用於數學解題與日常生活的問題」，至於學習內容S-8-6畢氏定理也提及「畢氏定理（勾股弦定理、商高定理）的意義及其數學史」。畢氏定理是幾何學上一個非常基本且漂亮的定理，歷史上關於畢氏定理的證明非常多，羅密士（Elisha Scott Lommis, 1852-1940）當時所編著的《畢氏定理》一書就列出了三百七十種左右的證法(Maor, 2007/2015）。甚至傳說在中世紀時有一段短暫時間，學生必須提供一個新的、原創的畢氏定理證明，才能獲取數學的專業學位，這也促使學生和老師積極研創新的證明，讓找尋畢氏定理的證法成為一種風氣(林炎全，2013)。在印度、埃及和阿拉伯這些不同的文明中，都曾發現畢氏定理以不同形式出現的紀錄。這些事實顯示了，畢氏定理在人類文明中的重要性與普遍性。 本篇文章所介紹之畢氏定理學習工作單之設計理念就是希望讓學生能認識古代和現代，不同文明的幾種畢氏定理證明，並能對畢氏定理的數種證明方法進行比較，進而了解數學的文化面向，亦可從比較中對證明所涉之方法論有所體會。 也因此，在學習工作單中我們安排了《周髀算經》（三國趙爽注）的證法、伊斯蘭數學家塔比．伊本．庫拉(九世紀)的證法、加菲爾德(美國第二十任總統)的梯形證法、國二下學期適用的歐幾里得《幾何原本》卷一的證法、以及和國三上學期根據相似形性質《幾何原本》卷六的證法，以下的篇幅將就此份數學史學習工作單內容一一加以介紹。 一、《周髀算經》（三國趙爽注）的證法 《周髀算經》原名《周髀》，是中國最古老的天文學著作。書中已經有相當複雜的分數計算，並且引用了勾股定理，有學者認為近年從理解《周髀算經》本文中，就可以梳理出勾股定理的證明(劉鈍，1997)。唐代時將《周髀算經》列入十部算經之一，目前《周髀算經》傳本有趙爽（字君卿）注、甄鸞重述、和李淳風注釋。後世對於書中有關勾股定理的證明，主要得益於趙爽的〈勾股圓方圖說〉，從文中趙爽證明了勾股定理，並且給出勾、股與弦的幾個關係式。「弦圖」是〈勾股圓方圖說〉中用來證明勾股定理的圖形，如圖一所示，這個證法在十二世紀時，也曾由印度的數學家婆什迦邏提出。由面積關係可知，我們可以看出 圖1 二、伊斯蘭數學家塔比．伊本．庫拉(九世紀)的證法 塔比．伊本．庫拉（Thābit ibn Qurra, 約公元826-901）出生於現今土耳其的哈蘭古城，是九世紀繁榮的阿拉伯─伊斯蘭文化的代表人物之一。他是數學家、天文學家、物理學家，也是醫學家、哲學家和翻譯家。在數學和天文學方面取得不少成就，月球上還有以他名字命名的隕石坑。塔比．伊本．庫拉在當時伊斯蘭世界最繁華的城市巴格達從事研究，並得到阿拔斯王朝統治者的贊助。後來，更因其優異的語言能力，進入「智慧宮」參與翻譯工作，翻譯了阿波羅尼斯、阿基米德、歐幾里得和托勒密等人的著作。塔比．伊本．庫拉也曾關注過畢氏定理，下圖（二）描述的是他曾提出的證明。由圖形來看，第一圖的左邊三角形旋轉移到上方；下方的三角形旋轉移到右邊，恰好形成由邊長和的正方形所組成的圖形，故。 圖2 三、加菲爾德(美國第二十任總統)的梯形證法 詹姆斯．加菲爾德（James A. Garfield, 1831-1881）是美國第二十任總統，曾在一所私立文理學院任教，教過希臘語、拉丁語、數學、歷史、哲學和修辭學。除了教學外，也曾當過執業律師，參與過南北戰爭。他在1881年3月就職總統，卻在同年7月因故遭受槍擊，於9月過世。加菲爾德另一項為人所知的是他曾提出畢氏定理的證明，刊登在1876年《新英格蘭教育雜誌》的第3卷第14期，據說是「他在一次和其他國會議員的數學討論中偶然發現」的，如下圖三所示。由面積關係我們也可以知道， 圖3 四、歐幾里得《幾何原本》卷一的證法（八年級下學期適用） 西元前300年左右，在埃及亞歷山卓擔任教師的歐幾里得（Euclid, 約 330–275 BC）奠基於前人的工作，組織過去希臘數學家的成果，並將之延拓，編著成《幾何原本》（Elements），全書分為十三卷，共465個命題。歐幾里得於卷一給出23條名詞定義，並提出5個公理和5個公設，從定義、公理和公設出發，推導出其餘的幾何知識，建構了整個平面幾何的理論。 畢氏定理的證明在第一卷的命題47，以下我們將此證明以圖四–1到圖四–4的一系列圖形表示，以說明正方形 ACDE 的面積等於長方形 AKJG 的面積。同理，若能證明正方形 BCHI 的面積等於長方形 BKJF 的面積，便完成畢氏定理的證明： 正方形 ACDE 的面積+正方形 BCHI 的面積=正方形 ABFG 的面積。 圖4 五、歐幾里得《幾何原本》卷六的證法 （九年級上學期適用） 歐幾里得在《幾何原本》卷六，根據相似形性質，提出畢氏定理更一般性的說法： 在直角三角形中，直角對邊上的圖形是等於包含直角的兩邊上之相似及相似地被描述的圖形。 換言之，直角三角形三邊長所作出的圖形，除了「正方形」，也可以是任何的彼此相似的圖形。 同時，歐幾里得以三角形為例，提供了異於卷一的另一個證明。據史家研究，這個證明有可能是《幾何原本》全書中，唯一由歐幾里得本人提出的證明，其概要如下所示： 如圖五，直角三角形ABC， 。從C點往斜邊AB作垂線交於D。 圖5 三、教學實驗結果及討論 本份數學史學習工作單曾針對7年級升8年級的國中數理資優生營隊進行試教，由於當時這些學生還沒正式開學進行8年級課程，因此，教師先進行了大約90分鐘的畢氏定理一般教學。接著，進行本學習工作單教學，時間大約一小時。實驗教師進行證明一至三。營隊學生對這三個證明大致都沒有問題，回答喜歡證法一和二的學生各半。喜歡證法一的原因是使用到差的平方公式，因為這使用到課程內要學的公式。喜歡證法二的原因是學生認為什麼都不用寫，只要用看的就能得到結果。喜歡證法三的原因是因為跟老師教的一樣，用到和的平方公式，而且只要寫一半，意即將老師教的圖砍半即得。由於是在數學營進行教學，實驗教師認為此時段較沒有進度壓力，實施起來比較方便。 依據上述經驗，實驗教師在之後的普通班教學前就先準備了四個直角三角形紙板(兩股分別為a、b，且a>b)，以及一塊邊長為(a-b)的小正方形作為教具。實驗教師針對國中八年級學生，以一節課的時間進行學習工作單上證法一到三的教學。 關於證法一的部分，實驗教師準備如上教具協助學生，同時引導學生看學習工作單的圖一。當學生已透過學習單的圖一完成符號式的說明後，由於教師預知學生對於弦圖的文言文證明會有困難，因此直接以白話文解釋說明。 學生對證法二雖然喜歡，但對於什麼都沒有寫的動態證明方式，感到疑慮不安。實驗教師認為不經由提示或示範，事實上學生很難看穿這種方法，於是，實驗教師準備的教具此時再度派上用場。至於證法三就如同先前預期，因為這個方法牽涉到和的平方，學生反應較安心，也能運算。 本畢氏定理課程以讓學生閱讀、填寫學習工作單方式，進行一節課的實驗教學。在教學結束後，學生填寫了學習意見表，於25位學生中，64%的學生覺得「畢氏定理」課程能幫助他們掌握各種畢氏定理的證法，同樣比率的學生覺得覺得「畢氏定理」課程能提升他們學習畢氏定理的動機。84%的學生覺得「畢氏定理」課程能幫助他們了解畢氏定理的原理。68%的學生覺得「畢氏定理」課程能幫助他們了解數學的歷史文化面向。52%的學生覺得「畢氏定理」課程能提升他們解決問題的能力。72%的學生覺得「畢氏定理」課程能提升他們思考與分析的能力。60%的學生覺得「畢氏定理」課程能提升他們主動探究的能力。52%的學生覺得「畢氏定理」課程能提高他們學習數學的興趣。 四、結論與建議 本文以畢氏定理為例，分享其中可以擷取布置的數學史學習工作單內容，讓學生能體會數學的文化面向及認識數學發展的全球性歷史，希望能呼應數學領域核心素養具體內涵的展現。從目前研究的過程及實作成果，雖然此份數學史學習工作單獲得半數以上學生的正面肯定，持續修改所開發之數學史素材，使能更符合學生需求，更能適用於數學教學，正是作者日後繼續努力的方向。 致謝 本文之得以完成，主要來自科技部的專題研究計畫（計畫編號：MOST 105-2511-S-845 -008 -MY3）之部分研究成果，在此感謝科技部之補助，至於文責，則由作者自負。 參考文獻 李源順(2020)。數學領域核心素養與數學素養之我見。科學研習月刊，59(4)。 林炎全(2013)。畢氏定理 4000 年。HPM通訊，16(9)，1-6。 教育部(2008)。國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。 教育部(2018)。十二年國民基本教育數學領域課程綱要。臺北市：教育部。 劉鈍 (1997)。大哉言數。遼寧：遼寧教育出版社。 Maor, E. (2015)。畢氏定理四千年（The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History）（洪萬生、林炎全、蘇俊鴻、黃俊瑋合譯）。台北：三民書局。（原著出版於2007） National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for teaching mathematics. . Reston, VA: Author. 蘇意雯 臺北市立大學數學系教授

怎識數學真面目？談數學文化與素養

文/劉柏宏 若問學生：「什麼是數學？」所得的答案大致上可以分為三類，一是計算數字的學科，二是需要邏輯思考的科學，三是解決問題的工具。這三類答案都只說出部份的事實。對一門已經在世界各地文明演化數千年，且與人類文化發展息息相關的學問來說，要三言兩語回答「什麼是數學？」就宛如瞎子摸象，終究只得片面真相。有次訪談一位學生問他：「什麼是數學？」，他思索片刻之後回答：「不識廬山真面目，只緣身在此山中」，真是非常傳神！即使如瞎子摸象，我們倒可以從文化的角度來理解數學知識的本質。本文所謂的「數學文化」包含「文化中的數學」和「數學中的文化」兩個構面。「文化中的數學」是指在人類發展過程中數學在社會所扮演的角色，「數學中的文化」則指數學知識發展過程中其內部所顯現的特質，這兩者呈現一種交錯的有機互動發展。本文舉兩個例子具體說明「數學文化」的概念。 一、柏拉圖多面體 古希臘哲學思想與數學息息相關，這主要與畢達哥拉斯「萬物皆數」的理念有關。古希臘哲學重視幾何的原因在於其論證過程的嚴謹與思想上的純粹，例如正多面體就是一個例子。所謂正多面體，是指一個凸多面體之各面都是由相同的正多邊形所組成。例如我們一般所熟悉的金字塔狀的多面體並不是正多面體，因為它是由四個正三角形和一個正方形所組成，不符合正多面體的定義。由於正多面體的定義很嚴格，所以古希臘數學家好奇究竟有多少個正多面體？西元前500年左右，畢達哥拉斯學派確認了正四面體、正六面體和正十二面體。西元前399年左右，柏拉圖的朋友特埃特圖斯 (Theaetetus) 發現了正八面體和正二十面體，並告訴柏拉圖正多面體總共只有五個。柏拉圖對這五個完美對稱的立體讚嘆不已，除了將這些正多面體記載在《蒂邁歐斯》(Timaeus) 中之外，並賦與這五個正多面體具體的象徵。當時古希臘哲學家咸認「水」、「火」、「土」、「氣」是宇宙四個基本元素，柏拉圖就認為有尖銳稜角的正四面體、正八面體和正二十面體具穿透性，因此分別代表「火」、「氣」和「水」等三種元素(圖一、圖二、圖三)。而正六面體外型最安定，故代表「土」(圖四)。而剩下的正十二面體則以其較為渾圓的外觀代表「天」（或「以太」）(如圖五)。自此之後，五個正多面體被批上一層神秘的外衣，因此也被稱為柏拉圖立體。 圖1-5.正四面體代表火、正八面體代表氣、正二十面體代表水、正六面體代表土、正十二面體代表天 為什麼正多面體總共只有五個？柏拉圖在《蒂邁歐斯》中並沒有證明為何柏拉圖立體只有五個，難道不會出現第六個正多面體嗎？歐幾里得在《幾何原本》第十三冊中描述了建構柏拉圖立體的方法，並證明不存在其它的正多面體。不過，我們從邏輯推理上可以直覺地理解這個事實。為清楚這個事實，首先必須先確認兩件事情。第一，正多面體上的每一個頂點至少必須與三個平面互相聚接在一起，否則無法形成一封閉立體。再者，各平面中與頂點聚接的所有多邊形內角的角度總和必須小於360度，否則各平面黏接後會平鋪成一個水平面，無法形成頂點。所以對一個正三角形，由於內角均為60度，所以我們頂多只能把三個、四個和五個正三角形聚接以形成一個頂點，這樣就可以構成正四面體、正八面體和正二十面體。對正四邊形而言，由於每一內角均為90度，所以我們只可能將三個正四邊形聚接形成一個頂點，這就構成了正六面體。而正五邊形內角為108度，因此也只能聚接三個正五邊形於一點，因此得到正十二邊形。如此一來，我們就得到五個柏拉圖立體。那可不可能存在由正六邊形所組成的正多面體呢？這是不可能的，因為正六邊形的內角為120度，而三個角聚接於一點將形成360度，構成一平面，不可能組合成立體。接下來，邊數大於六邊的正多邊形其內角均大於120度，更不可能構成正多面體。 柏拉圖立體的性質很明顯是從古希臘的哲學文化中所產生的數學問題，屬於「文化中的數學」。不過一個問題一旦與「數」和「形」扯上關係，就會吸引數學家的注意。例如十八世紀瑞士數學家歐拉開始關心多面體之「點」、「邊」和「面」個數之間的關係。這個問題很適合做為讓學生發現數學規律的建構活動，透過教具操作和觀察(圖6)，學生不難發現其規律(見表1)，也就是正多面體的頂點的個數V加上面的個數F一定比邊的個數E多2(即V − E + F=2)。 圖6.學生創作多面體 表1.正多面體之點邊面個數的關係 只是這規律對所有的多面體都成立嗎？這問題可以引導學生嘗試將特殊性質一般化，是「數學中的文化」的典型思維模式。此時讓學生繼續探究，他們可能會逐漸體認到上述規律對一般的多面體都成立，惟當他們做出如圖7的星狀多面體時，會突然發現這個規律被打破了！圖七的星狀多面體是一個凹多面體，原來V − E + F=2這規律只對所有的凸多面體成立。至於凹多面體的規律就相當分歧，無法一言以蔽之。拉卡托斯(Imre Lakatos)在《證明與反駁》一書中就利用臆測與論證探討各式多面體中點、邊、面個數的關係，充分展現「數學中的文化」如何琢磨一個數學概念。如今多面體中點、邊、面個數的關係被稱為「歐拉特徵數」(Euler characteristic，又稱歐拉示性數)，是代數拓樸中的一個研究主題。 圖7.星狀凹多面體 二、七橋問題 《周易．繫辭上》：「河出圖，洛出書，聖人則之。」所講的是兩個中國古代神話，其一是伏羲氏見龍馬背河圖(圖8) 感悟出自然變化的規律。河圖中的「天數」(就是奇數，以白點表示)是1、3、5、7、9，總和為25，「地數」(就是偶數，以黑點表示)是2、4、6、8、10，總和為30，所以河圖的天地數為55，且「天數」與「地數」具有一些配對法則。其二是大禹遇神龜負洛書(圖9)領略出治理天下的道理，其「天數」是1、3、5、7、9，總和為25，「地數」是2、4、6、8，總和為20，所以洛書的天地數為45，其縱橫斜排數字之和都是15，而河圖和洛書的天地數相加恰好等於100。這說明數學在人類的歷史發展中，最初的功能就是用於解決日常實際問題。 圖8.河圖（左）圖9.洛書（右）（圖片來源：維基百科） 知名的哥尼斯堡七橋問題的出現也反映「文化中的數學」之內涵。哥尼斯堡就是現今俄羅斯加里寧格勒州的首府加里寧格勒(Kaliningrad)，圖10是哥尼斯堡十七世紀時的市區地圖，其中普列哥利亞河流經市區，哥尼斯堡大教堂所在的陸地被河水環繞，與四邊的陸地依靠七座橋聯結。市民想知道可不可能一次走完七座橋經過這四塊區域，且每座橋只能經過一次？這時歐拉又登場了。當歐拉知道之後便開始著手思考這問題，最後證明符合這種條件的走法並不存在，並向聖彼得堡科學院提出論文。歐拉採取邏輯推論的方式論證七橋問題的不可能性。推論過程可以分為「符號化」、「問題重述」、「啟發式分析」和「豁然開朗」四個階段。 圖10.十八世紀哥尼斯堡市區地圖（圖片來源：維基百科） 一、符號化 如圖11，歐拉用大寫字母A, B, C, D分別表示被普列哥利亞河分開的四塊陸地，小寫字母a, b, c, d, e, f, g表示七座橋。當一個人從A地走到B地，無論是經過橋a(AaB)或橋b(AbB)，歐拉都記作“AB”。如果接著從B又回到A，則記為ABA。同理，如果是緊接著從B過橋 f 到D，記作ABD。 二、問題重述 按照歐拉的記法，記錄過橋次數的字串中，代表陸地的字母個數一定比橋的個數多一個。因此，如果七座橋各僅通過一次，則七橋問題可以重新敘述為：「走過七座橋的路徑有沒有可能用A,B,C,D四個字母所組成的八個字母表示？」 圖11.歐拉論文中的哥尼斯堡地圖 三、啟發式分析 歐拉接著觀察簡化後的圖12，他發現如果A和B只有一座橋a相連，不論是A走到B還是B走到A，A一定只出現一次(AB或BA)。如果A和B三座橋 a, b, c, 連接，那麼不管是不是從 A出發，A都將出現兩次(即ABAB或BABA)。如果A和五座橋a,b,c,d,e相連，則A出現三次。依此類推，如果與A連接的橋數k是奇數，則A出現的次數為 (k + 1)/2。 圖12.英文字母數與橋數的關係 四、豁然開朗 回到七橋問題本身。根據前述分析，由於連接A的有5座橋，所以在字串中A應出現3次，連接B, C, D的各有3座橋，因此它們各出現2次，這樣如果七座橋各走過一遍，字串中總字母的個數應該等於 3+2+2+2 = 9，但我們前面已說過，走過七座橋僅需要八個字母的字串，彼此相互矛盾，因而七橋問題無解。 「七橋問題」是「數學文化」一個典型的案例。它很明顯是從文化中所衍生出的數學。歐拉解決七橋問題的過程中充分展現數學素養，也就是面臨一個真實生活的問題時能辨識它與數學的關聯，從而根據數學知識和適當工具去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷。不過雖然歐拉透過「問題符號化-問題重述-啟發式分析-豁然開朗」的推理過程展現他的思路歷程，卻沒有給予嚴格的證明，這很可能是因為當時的他認為哥尼斯堡問題與數學關係甚少，解答過程只靠推理，沒根據任何數學性質，所以不需要證明。雖然在解析幾何當道的那個年代這觀點合理，但是一旦問題被符號化，就進入「數學中的文化」所管轄的領域。隨後哥尼斯堡地圖被簡化為圖13的模樣，「陸地」變成「點」，「橋梁」變成「線」，A點與5個邊相連，B,C,D各與3個邊相連，能不能一次走過七座橋，變成「一筆畫遊戲」的休閒問題，與各點相連邊數的奇偶數有關。當圖形被抽象化，各個點被賦予數值權重後，七橋問題隨之轉化為圖形理論的基礎，其後又進化成拓樸學，這就是「數學文化」的歷程。 圖13.七橋問題抽象圖（圖片來源：維基百科） 三、數學文化素養 108課綱強調數學素養，但是數學素養一詞範圍廣泛，它的涵義不容易精準掌握。透過數學文化，可以認識數學本質，而認識數學本質就是增進數學文化素養。依據數學素養的定義，我們可以將數學文化素養定義如下： 數學文化素養係指個體對數學知識的形成脈絡和發展過程所具備的理解程度，使其面對某一數學概念或問題時，能認識它的思維方式、歷史背景，和該概念或問題與生活需求、社會發展的關聯；或是面臨生活與社會問題時，能辨識該問題與數學知識的關聯，從而根據數學思考模式和數學知識技能，做出理性反思與判斷，並從解決問題的歷程中認知數學的人文價值。 本文所舉的兩個案例都是從「文化中的數學」出發，然後遵循「數學中的文化」發展成數學知識的一環，而這些數學知識又進一步影響其他領域，形塑成另一種文化。例如柏拉圖立體由於其對稱之美和柏拉圖所賦與的神性，使得後世數學家和藝術家一直持續關注，也對科學和藝術發生諸多影響。十六世紀天文學家克卜勒 (Johannes Kepler)曾建構一個以柏拉圖立體為基礎的太陽系模型。二十世紀荷蘭藝術家艾雪 (Maurits Cornelis Escher)著迷於柏拉圖立體，乃至於其他多面體的幾何之美。數學文化素養所訴求的就是，除了能理解問題背後的數學性質的同時，也能認識這些問題在我們人類文化中所代表的意涵。 參考文獻 程釗(2011)。歐拉關於七橋問題的解：從數學史與數學教育的角度看。數學傳播，36(4), 42-47。 劉柏宏(2016)。從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵─理論與案例分析。臺灣數學教育期刊，3(1)，55-83。 劉柏宏 國立勤益科技大學基礎通識教育中心教授

數學建模-操作實務與建構理論的橋樑

文/蕭志如 壹、前言 西元2016年東吳大學以英語授課的「數學建模概論」課程，來了一個德國旁聽生，當老師講到曲線與不等式在處理1962年古巴飛彈危機的應用時，德國學生說：「我們念高中時，已經被要求對整個故事有完整的了解，知道這些曲線與不等式的應用」。台灣的高中生學了曲線及不等式之後卻還在問「學數學有什麼用」？ 西元2005年中央社有一則新聞報導：「在一九九五、九六台海飛彈危機、九二一大地震、世界貿易組織（WTO）入會談判、嚴重急性呼吸道症候群（SARS）疫情等台灣近十年重大歷史事件中，一群曾經實際參與危機處理或擔任幕僚作業的各界人士，在處理危機的過程曾遭遇系統工程設計、理論與實務的連結問題、實際操作與管控等諸多問題。他們透過跨領域朋友的合作，開發出許多解決問題的工具，諸如賽局與謀略作為、問題本質分析、指管通資情監偵（C4ISR）系統工程原理、衝突與談判、情報研判、兵棋推演（War game）、願景與戰略規劃、危機管理程序等。這些工具彌補了理論與實務中間的鴻溝，並經由工作中的實踐、返饋，逐漸成為解決問題的操作準則，或標準程序。」(中央社，2005)。上述過程中「數學建模」是操作實務與建構理論的關鍵橋樑。 貳、數學建模的定義 絕大多數國內外的數學教育研究者談到「數學建模」時，大都按照(Blum, Galbraith, & Niss, 2007； Borromeo Ferri 2006；Kaiser, et al. 2006) 的觀點，考慮數學建模循環過程 (modelling cycle) 之「數學外部世界」 (extra-mathematical world) 與「數學世界」 (the mathematical world) 互相影響的情形，以Blum and Leiβ(2007) 所畫的「The modelling cycle」六個面向圖來表示數學建模的六個步驟。 1.理解(Understanding)「真實情境」(Real situation)； 2.簡化/建構(Simplifying/Structuring) 「真實模型」(Real model)； 3.將「真實模型」數學化(Mathematizing)成「數學型模」 (Mathematical model)； 4.進行數學、推理運算…等數學工作(Working mathematically)求「數學解」(Mathematical results)； 5.將「數學解」解釋(Interpreting)成「真實解」(Real results)； 6.驗證(Validating)由「數學解」轉成「真實解」是否能解決真實世界的問題。 我們將The modelling cycle（Blum and Leiβ, 2007)的圖形，以中文表示如下： 圖一.The modeling cycle(資料來源:Blum and Leiß, 2006) 我們認為以[圖一]所表示的數學建模之定義與數學建模的步驟，是有缺失，可能造成數學建模與實務之間產生誤差的！我們以下面兩節來說明造成學校的「數學建模教育」與「國家社會所需的數學建模」有鴻溝之原因。 參、「生活的數學」抑或是「數學的生活」 西元1960~1970年代的台灣，不少台灣的學生有家庭代工之生活體驗；放學後，在家裡繡一件較複雜的手工針織毛衣，工資就能買一碗陽春麵。一般家裡，可能大姐擅長十字繡，小妹擅長平針繡，一件衣服需要兩種繡法時，不必經由[圖一]右邊的「數學世界」，兩姐妹就知道如何分工合作來最大化生產速度。甚至，合作繡花的兩人如果不是姐妹，而是鄰居，同樣不必經由數學建模六步驟，就能以合作繡花的「邊際貢獻度」來分錢，筆者有這樣的真實生活經驗。這是在生活中「不自覺」地使用數學建模的例子，可以說是「生活的數學」，這對姐妹不需要「數學的生活」—先學好數學再應用到生活上。以下給一個更極端的例子！ 西元2014年的縣市長選舉，為了理解對手是否可能以其龐大的財力，利用「地下簽賭」影響選情，某候選人的智囊拜訪了「營業額」很巨大的「地下簽注站」。簽注站的「負責人」(俗稱「組頭」)沒學過「數學」更遑論「機率與統計」，但是組頭憑他的「生活經驗」，頭頭是道地解釋了他們如何操作一個，甲與乙兩位候選人，不管誰勝誰負，莊家也就是組頭，都不會受影響，淨賺「手續費」(俗稱「抽頭」)」的「機制」或者稱「模型」。組頭解釋他的「真實解」：接受簽注時，一定要「喬」到，可以從賭輸的一方所沒收的賭金，足夠支付賭贏的一方的彩金，淨賺「手續費」，如果候選人雙方民調差距很大，賭客一面倒地押注某候選人，可用調整「賠率」或「讓票」的方式，來影響賭客的投注意願，讓投注兩位候選人的金額很接近，如果押注雙方的賭金差距太大，組頭無法負荷，就把多出來的賭金轉給其他營業額更大的組頭，而營業額更大的組頭，是合併了其他縣市選舉甚至與國際賭場合作，把選舉、運動、賽馬…等合併計算，原則就是要「喬」到，不管賭客誰輸誰贏，從賭輸的一方所沒收的賭金，可以支付賭贏的一方彩金。 用數學語言來說，就是組頭讓自己與所有的賭客對賭之勝負彩金的期望值等於零，純賺「手續費」，組頭是憑生活的經驗，不自覺地使用機率期望值，即「生活的數學」，並不是先學機率統計再應用到生活上—「數學的生活」。當然，我們也可以說，西元2004年的總統大選的319槍擊案，造成許多沒經驗的組頭輸到破產落跑，是因為他不懂機率統計，不懂得把數學應用到生活上—過「數學的生活」。 從以上兩個例子，我們可以看出[圖一]中的真實世界裡「情境模型」、「真實模型」與「真實解」在真實世界是可以雙向溝通的，亦即，有些真實問題不必透過數學的世界就能找到解「真實解」。 我們認為[圖一]有不少的缺點，建議改成下圖，會使得數學建模更能解決真實世界的問題。 圖二. The modeling cycle(修改自Blum and Leiß, 2006) 真實世界裡的「真實情境」若能以口語推論的方式找到「真實解」，這個真實解以數學語言轉成數學世界裡的「數學模型」之後有可能「無解」，亦即「口語的推論沒看到數學模型的矛盾」，因此我們在[圖二]中以虛線來表示將「真實解」轉入數學世界。以下兩節，我們以例題，來解釋[圖二]比[圖一]更能連結數學世界與真實世界！ 肆、數學建模需要豐富的生活經驗的團隊當後盾 以下題目是整合Nash, J.F. (1950) 與 Shapley L.S. (1953) 兩位諾貝爾經濟學獎得主之名著所編輯的題目，這裡我們以航空公司為主角，事實上讀者也可以用前文家庭代工合作繡花賺取工資後分錢為例。 【例題一】：假設某島國只有兩家航空公司，分別是T航空公司與C航空公司，假設這兩家航空公司不聯營，而且在市場上互相削價競爭，則T航空公司每年可賺 2 千億，C航空公司可賺 1 千億。假設T航空公司跟C航空公司聯合經營，每年可共同獲利 7 千億。問：若兩家航空公司聯合經營，他們要如何「公平」地分享這 7 千億？ 假設我們看到這樣的題目，立即思考「數學外部的連結」、思考問題的「顯性數學」與「隱性數學」(李源順，2012)。然後立即給【答案1】：「對半分」；【答案2】：「按照獲利能力的比例分配」；【答案 3】：「各自先拿回原本可以獲得的利益後，餘額再按照獲利能力的比例分配」或【答案 4】：「各自先拿回原本可以獲得的利益後，餘額再對半分」。【答案1】～【答案4】的「數學內部」與「真實世界」之間的「連結」非常薄弱，在真實世界裡，航空公司往往對於【答案1】～【答案4】不會滿意！ 生活經驗豐富的數學建模團隊，看到例題一的「真實情境」，不會急著遵循[圖一]的步驟，進入「數學世界」。好的數學建模團隊，會在[圖二]左邊的真實世界裡，從「真實模型」中討論出下列【答案5】與【答案6】這兩個「真實解」，再把「真實解」轉到數學世界裡的「數學模型」求「數學解」以解決真實問題。 【答案 5】（Shapley, 1953） 假設兩家航空公司，由本「數學建模團隊」來調解，如何「公平」地分配那7千億。而且經過我們的斡旋、協商兩家公司達成以下【共識】： ．共識一、分錢時與座位順序無關。以免較強勢的航空搶佔較有利的座位影響分錢的「公平」性。 ．共識二、能產生邊際貢獻的公司共同把錢全部分掉；等於錢要全部分掉，而且不能產生邊際貢獻的公司無權分錢。 ．共識三、上下半年兩筆帳分開算，跟上下半年合起來算各家公司所得不變。 【答案6】(Nash, 1950) 假設雙方不願意仲裁、調解。而C航空公司，找上本「數學建模團隊」來「協助」，而不是「代表」C航空公司與對方談判。並且要我們幫C航空公司設定合理的「雙贏」結果：我們會告訴C航空公司：談判的結果，至少要符合下列六個條件，C航空公司才沒有吃虧。 ．條件1：談判結果比不談判好；亦即T航空公司至少必須取得比2千億以上還多，C航空公司必須取得比1千億以上還多。 ．條件2：談判的最終報酬必須是雙方能力所及的(雙方所分得的金額總合不能大於7千億)。 ．條件3：談判的最終報酬是無可替代的(唯一、最優)。 ．條件4：在小範圍內談判有結果之後(例如：T航空公司先拿走每年可賺的2千億，C航空公司先拿走可賺的1千億，只就剩下的4千億來談，而且談出結果)，擴大範圍談判(就整個7千億談)，最終結果不是與原來小範圍內談判的結果一樣，就是最終結果在小範圍以外的區域，不會是談判結果落在原來的小區域卻與原來小區域談判的結果不同。 ．條件5：用美金或用台幣計價無差別。 ．條件6：若雙方的能力完全對稱，則雙方談判後的最終報酬相等。 以上【答案5】與【答案6】並非完整的解答，必須轉到數學世界做最後的數學證明與計算。其中【答案5】若更加推廣改成「多人、多種層次合作」請參考Hsiao, Chih-Ru (1991)的博士論文。本「 數學建模團隊」有將【答案6】寫成電腦程式―「談判工作表」實際應用在政府機關、企業界、產業界的談判工作。 伍、數學建模需要具有既深且廣數學能力的團隊當後盾 一般而言，數學家在將上一節的兩個「真實解」轉到數學世界的過程中，往往會發現一些洞見(insights)。【答案5】(Shapley 1953)的三個共識，轉成數學模型求解後，「數學解」的直觀意義(intuitive meaning)是個機率分佈的期望值，計算過程中有個步驟與筆者國小五年級時發現的一個不等式不謀而合。 【不等式】：(數學內的數學建模)，觀察下面不等式：將「原式」減掉「原式每一項的分母都加1」，發現永遠會大於零。 我們分別在某私立小學資優班夏令營及呂玉琴(呂玉琴、王富祥，2013)的「小數學資優生培訓營」中，帶領小學五年級的學生作上述觀察後，全部學小學生都臆測一個「數學內」的模型：「前一個式子本身，減掉前一個式子的每項分母都加1，新的數學式子嚴格大於零」。更令我們驚訝的是，在呂玉琴的「小數學資優生培訓營」中，小學生發現到我們沒發現的「第n步算出來的左式剛好等於1/n」。好的數學建模題目，不要說是數學外部的數學建模，連數學內的數學模型，小學生都能頓悟教授沒發現的。 數學家將【答案5】與【答案6】轉成數學符號後，雖然不簡單，但也不是無法將其中簡單的部份融入國小國中高中教材。上述不等式可給高中以下的學生，證明「第n步算出來的左式剛好等於1/n」的過程曾經是伊利諾大學大一微積分的習題。以下我們附上【答案5】的「共識一」之類題。 【例題二】、數學建模題；請用數學符號表現出下列敘述：有３位同學要共同分掉 100元，每位同學所得的錢與座位無關。 答：令１，２，３分別代表這３位同學， 為這３位同學的所有可能排列所 成的集合。 (註：【例題二】有出現在林國源(2005)的碩士論文，他的論文裡面有清楚說明這個例題是我們私下意見交流時，由蕭志如提供給他的。) 陸、結語與建議 早在2020年元月5日，我國還沒有辦法使用「即時反轉錄聚合酶連鎖反應」（Real-Time RT-PCR）來檢驗新冠肺炎時，我國疾管署就以至少做26種病原檢驗的方式來篩檢不明新型肺炎。從數學建模的角度來看，我國疾病管制署採用的是Analysis of competing hypotheses (ACH) 這個「數理邏輯」的數學模型！數學建模的重要性不言可喻。相較於德國，我國的數學建模教育還有一段很長的路要走。雖然要使數學建模作為操作實務與建構理論的關鍵橋樑，需要很富有實務經驗又具有既深且廣的數學能力之團隊才有辦法達成任務，但是也不是完全無法融入學校教材。如果我們能夠在每一個數學單元，都附上一個完整的故事，讓學生看得到這個單元的相關應用，例如：讓學生知道上述不等式及例題一，居然是兩位諾貝爾獎得主名著論文的計算過程之一，又例如：讓學生學習機率期望值時理解處理古巴飛彈危機甚至處理1996年台海飛彈危機居然用到這些數學觀念，應該能提升學生的學習興趣。以上有賴學界各方開放胸襟跨領域合作，成立富有實際操作經驗又具有既深且廣的數學能力之數學教育研究團隊。 參考文獻 中央社(2005) 台灣戰略模擬學會成立 將推廣危機處理專業(記者翁翠萍)。 李源順(2012) 數學的外部連結，整合型計畫計畫編號：NSC 100-2511-S-133 -008成果報告。 林國源(2005), 高中數學建模課程與實踐之研究, 國立交通大學理學院網路學習碩士在職專班, 碩士論文。 呂玉琴、王富祥（2013）。國小高年級數學資優課程方案之設計與實踐（3/3）。國科會專題研究報告。NSC 99-2511-S-152-003-MY3。 Blum, W., Galbraith, P. L., Henn, H-W., & Niss, M. (eds.) (2007), Modelling and applications in mathematics education: the 14th ICMI study. New ICMI Study Series, Volume 10. Blum, W., & Leiβ, D. (2007). How do students and teachers deal with modelling problems? In C. Haines, P. Galbraith, W. Blum, & S. Khan (Eds.), Mathematical Modeling (ICTMA12): Education,Engineering and Economics (pp 222 – 231). Chichester: Horwood Publishing. Borromeo Ferri, R. (2006), Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process, ZDM 2006 Vol. 38 (2) PP. 86-95. Hsiao, Chih-Ru (1991), Shapley Value for Multi-choice Cooperative Games, Ph.D. dissertation submitted to the University of Illinois at Chicago, June 1991. Kaiser, G., Blum, W., Borromeo Ferri, R. & Stillman, G. (Eds, 2011). Trends in Teaching and Learning of Mathematical Modelling (ICTMA 14). Dordrecht: Springer. Nash, John (1950). "The Bargaining Problem". Econometrica. 18 (2): 155–162. doi:10.2307/1907266. JSTOR 1907266. Shapley, Lloyd S. (1953), "A Value for n-Person Games," in Contributions to the Theory of Games, vol. II, H. W. Kuhn and A. W. Tucker, editors, Ann. Math. Studies 28, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, pp. 307-317. 蕭志如 東吳大學數學系教授

數學素養導向評量簡介

文/吳正新 前言 為什麼需要素養導向評量？ 十二年國民基本教育課程綱（以下簡稱新課綱）利用「核心素養」作為課程統整與發展的主軸。在課程設計上，希望透過以學生為本位的教學方式，引導學生主動思考，培養並建立學生問題解決的能力，達全人教育的目標。然而，除了素養導向課程與教學外，更有效的方式莫過於利用素養導向評量工具，因為它不但能引導教師落實素養導向課程與教學，還能有效評估學生核心素養的學習成效。 素養導向評量的基本要素 與一般評量不同，素養導向評量工具需要精心設計，才能正確的引導素養導向教學，培養學生的核心素養。任宗浩（2018）根據核心素養的定義，提出兩項素養導向紙筆測驗試題的基本要素，包括： 1.佈題強調真實的情境與真實的問題： 以往的紙筆測驗多著墨於知識和理解層次的評量，素養導向則較強調應用知識與技能以解決真實情境脈絡中的問題。除了真實脈絡之外，問題本身應盡可能接近真實情境中會問的問題。 2.評量強調總綱核心素養或領域／科目核心素養、學科本質及學習重點： (1)跨領域核心素養係指如總綱所定義三面九項中所指出之符號運用、多元表徵、資訊媒體識讀與運用以及系統性思考等跨領域／科目的共同核心能力，並非專指跨領域／科目的題材。 (2)各領域／科目的素養導向評量強調「學習表現」和「學習內 容」的結合，並應用於理解或解決真實情境脈絡中的問題。 真實情境與真實問題 素養導向評量利用合理且適當的問題情境、讓學生了解所學的實用性，以提升或引導學生的學習動機，因為不合理或不必要的問題情境則可能導致學生質疑學習的必要與重要性。什麼是真實情境？有人名、有地名，有引用新聞報導或科技新知，或在題幹中置入有一段述敍或說明就是素養導向試題嗎？當然不是，情境與問題需要相互搭配，才能設計出好的素養導向試題。 情境與問題要如何搭配？從心理學的角度來看，人類的大腦通常不會主動思考，習慣接受身邊的所有事情，因此大部份的人都不習慣提問，更遑論問題解決。那什麼時候會提問？通常只有在有需求、有目的的時候，或者在做決定的時候，才會思考和提問（Mason, Burton & Stacey, 2010），例如：租車時，才會考慮按日租借或計時租借比較划算？因此，在選定一個情境做為命題的題材後，要形成「真實問題」便是要設想當你(或學生)身處在某個情境時，可能會有的需求、目的，而為了達到這些目的，你會採取什麼行動、提問什麼問題。例如：選用「樂樂棒球」比賽作為情境或題材，你(或學生)最常問的問題是什麼？例如：「要怎麼打球會飛最遠？」、「要打多遠才會是全壘打？」，還有沒有什麼問題，你會聯想到？ 當評量以「真實情境與真實問題」做為出發點時，不但能讓學生了解數學的實用性，提升學生的學習動機，還能培養學生主動運用數學思考問題。如果問題能設計的合適，還能引導學生如何分析問題，進而培養學生問題解決的能力，達評量即學習(assessment as learning)的效果。 結合核心素養、學科本質及學習重點 運用數學解決問題大致可區分為三個階段：理解「真實問題」、處理「數學問題」、獲得並應用「數學結果」（如圖 1）。此過程一般稱為數學歷程。 圖1.數學歷程 數學歷程與核心素養、學習表現和學習內容有密切的關聯（如圖 2）。一旦問題是真實的，很自然的在解決問題時，就需要運用核心素養、學科本質和學習重點。例如在面對某生活情境中的問題時，首先要具備整體的規劃執行與符號應用能力（核心素養A3、B1），要能認識問題、描述問題、表徵生活中的關係與規律（學習表現），以及展現這些能力時需要的相關數學知識（學習內容）。當真實問題轉換成數學問題後，接著要能解決數學問題。此時，需要能系統思考、輔以科技資訊（核心素養A2、B2），再加上理解、運用、計算等不同能力的表現（學習表現），才能獲得數學結果。要完成此階段的作業，特別需相關的數學知識（學習內容）作為支撐才能完成。在解決數學問題後，要具備規劃執行、溝通表達能力（核心素養A3、B1），要能展現驗證、溝通、驗算等不同的表現（學習表現），才能真正的將數學結果應用在日常生活解決問題。 因此，符合新課綱的素養導向試題通常會以題組型式呈現，內容包含不同數學歷程的子題，同時評量學生的知識與應用的能力，瞭解學生如何解決問題、如何連結數學與生活問題、是否對數學有感、是否有展現數學的實用性，引導學生進行深度的思考、深入的學習。 圖2.數學歷程與核心素養、學習表現、學習內容的關係 素養導向試題範例 綜合前述的說明，以下以一道評量第三學習階段(高年級)學生的試題「迪士尼樂園的門票價格」，說明如何研發良好的素養導向試題。 資料來源：素養導向試題研發人才培訓計畫(第二期)預試試題。 上述試題以購票情境為題材，嘗試結合上述的評量要素與問題解決歷程，進行提問設計，問題聚焦在購票時可能遇到或發生的真實問題。首先，問題1利用二種不同的購票方式的比較，讓學生進入本試題的情境。引導學生理瞭解不同的購票方式會因使用的幣值不同而有所差異。就數學內容而言，本題是評量學生小數乘法的能力。此外，問題1特別以建構反應題的方式呈現，詢問學生的理由。因為從學生的作答結果，可以看出學生是否能使用數學思維解決問題，如果學生能僅利用比較1張兒童票票價進行比較和說明，代表學生具備較佳的數學思考、推論能力。接著，問題2以一個購買優惠票需要攜帶證件為題材設計問題。就數學內容而言，本題是評量學生多步驟四則運算能力。回答問題時，學生可以利用不同的比較方式，例如：用日幣或用臺幣比較，比較四人購票總額的差異或只比較二個孩子因為沒帶證件而只能購買成人票的差異，不同的比較方式可以呈現學生不同的思維，但都可以正確的回答問題。最後，問題3從網路預購結合遊樂園提供的優惠方式設計提問，根據優惠方式評估如何購票比較划算。本題是評量的能力比較多元，學生要能理解「滿八千打九折」的生活用語，同時要能有系統的比較不同的購票方式，最終找出比較划算的購票組合。 傳統的數學試題多數是強調計算能力，但本範例參照評量要素與數學歷程命題，結合生活情境，讓問題更真實、更貼近學生生活，而且評量的內容也更全面，更契合數學學科本質。此外，在引導學生回答問題時，也能讓學生知道學習數學的用途，應用數學分析的問題的功效，產生評量即學習的效果，培養學生完整的問題解決能力。 結語 學數學不是只為了考試，而是要能運用它來協助我們解決問題。因此，從九年一貫數學課程綱要開始，即開始強調「帶著走」的能力，然而為了更加落實此目的，十二年國民基本教育課程綱要提出核心素養的概念，將「帶著走」的能力進一步拆解成三面九項的核心素養，再藉由核心素養的養成，培育具問題解決能力的人才。為了達成此目的，強調學習與生活的結合的素養導向評量是最合適的工具，因為它可以讓學生從真實情境中，學習思考、提問，以及問題解決的能力，進而產生學習遷移，將數學能力「帶走」，達終身學習為的目標。 參考文獻 任宗浩（2018）。素養導向評量的界定與實踐。載於蔡清華（主編），課程協作與實踐第二輯（pp. 75-82）。臺北市：教育部中小學師資課程教學與評量。 教育部（2014）。十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北市：作者。 Mason, J., Burton L. and Stacey, K. (2010). Thinking mathematically (2nd ed.). Harlow, England: Pearson Education Limited. OECD (2019), PISA 2018 Assessment and Analytical Framework, PISA, OECD Publishing, Paris, https://doi.org/10.1787/b25efab8-en. 吳正新 國家教育研究院研究員

談數學素養-生活中的數學記憶

文/李祐宗 最近大家都在流行素養這名詞。究竟何謂素養?根據教育部提升國民素養報告書中指出，數學素養的定義與內涵為：個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷。在筆者看來一個有素養的公民應具備:1、正確及良好的態度；2、思考問題的廣度與深度；3、接受事物的包容度高。素養應是一種在情境脈絡中面臨問題時所具有的反思與判斷能力，有了上述的能力，則無論學習任何一門學問，勢必會得到正向的結果。 在數學課程中，筆者經常會示範一題多解、接受學生各種解題方式、避免否定學生的答案、經常利用生活中的實物做題材、充分利用教具等。數學是門艱深難懂的科目，因此在概念學習上必須多下功夫。以下筆者列舉幾則來說明平常可以利用的數學題材。 鉛筆工廠&等差數列 筆者N年前的寒假與家人造訪了宜蘭縣的鉛筆製造工廠，該鉛筆工廠是歷史悠久的知名品牌工廠，由於近年來國內觀光業的轉型，很多類似的工廠都改成可供民眾預約參觀的「觀光工廠」。當然，筆者此行也是在事先預約的情況下，方可進入工廠參觀並接受導覽服務，同時工廠也替前來的遊客準備了鉛筆DIY的課程，我也樂的參與其中。 首先鉛筆的製作必須將一條條細長的筆芯依序排列，並以黏膠夾於兩片長方形木板之中，接著就是等其乾燥。工廠設計的乾燥方式採正八邊形的堆疊方式依序將木板堆砌而上，堆疊中的木板空隙可以使之自然風乾，同時正八邊形的堆疊容易(堆疊底座有個正八邊形的木板)，也不至於使堆疊高度過高以利搬運，待自然乾燥後再進行切割。 圖1 等其乾燥後，這些木板將會被送進機器一一切割。剛切下來的形狀為直四角柱，接著再依客戶需求製作成不同柱體，如直圓柱、直八角柱等(圖2)。 圖2 最後放置鉛筆的容器更是讓筆者驚訝不已，工廠為了方便記數鉛筆的數量，做了正三角形的置物架。鉛筆放進去後，會自然沿著正三角形的斜坡順流而下，自然的從第一層1支、第二層2支、第三層3支等的等差數列依序往上堆疊，並且中間不會產生任何空隙或誤差。此置物架設計的容量為1簍，1簍等於12打，也就是12×12＝144支，但是架子上最上面一列為16，而1＋2＋3＋…＋16＝136，還差8支才滿1簍。因此工作人員會將鉛筆一把抓，裝滿簍子後，再放上8支便是1簍的數量了！(圖3) 圖3 此外，工廠還設計更大簍的三角形置物架，號稱可以裝上25簍鉛筆，也就是25×144＝3600支鉛筆。那麼我們可以思考一個問題，這樣的自然數形成的等差數列的和可否剛好為3600？我們可以算算看： 假設，取正數得到，也就是從1開始的自然數之和並不剛好等於3600，因此置物架只能裝到接近3600的數量：，而少掉的30支可以待簍子裝滿後，再放30支便是25簍了！ 大哉問：此為何為倒正三角形？鉛筆簍為何要倒三角形的設計？ 圖4 這是筆者在教完學生後向學生問的問題，他們思考後仍然很難回答的出來，充其量只能答出類似因為有斜坡鉛筆會自然落下等概念。因此我進一步的問：那麼簍子設計成矩形可否？此時就有少數人可以回答出來，因為這樣的設計可能簍子中會出現堆疊1或堆疊2或兩者並存的情況，若要人為堆疊出每一排相同的數量則又耗費時間，因此高度及數量的因素不確定皆會影響整個簍子的計數，所以才要用三角形的設計。 圖5 到等差數列，圖6, 圖7是宴會上常使用的酒杯堆疊方式，杯子數量由上而下一次是:1、3、6、10、15，此為二階等差數列(二階等差數列定義為原數列非等差數列，但原數列相鄰兩數的差呈現等差數列者稱之)。1、3、6、10、15相鄰兩數之差為2、3、4、5，二階或高階等差數列很適合在教學之餘作推廣，甚至可以將此數列的和公式化(更高階的思考)。 圖6 圖7 依樣畫葫蘆 圖8為日本神社常見的祈福摺紙，筆者曾在班級和教師研習場合出此題目考驗大家能否從一張A4紙張剪出此種圖形來，但印象中只有一位教師在現場作出此作品，現在筆者就來揭曉此種作法。 圖8 圖9:將A4紙張對摺(任何矩形紙張都可，暫以A4作代表) 圖10:將紙張摺出24等分，寬4等分可用對摺處理；長6等分可先尺量出等分點再摺出。 圖11:紅線部分用剪刀剪開 圖12:實品圖 圖13:左半邊往左摺出階梯狀圖形 圖14:兩邊呈現階梯狀圖形 圖15:將圖13兩紅色斜線向中心貼合 圖16:圖14之俯視圖，再將紙片往箭頭處(右邊)摺 圖17.將紅線上方之三角形往後摺 圖18.成品圖 其中圖15至圖18也可以用不同摺法完成，此部分留待讀者自行思考，創作。 牛奶盒的堆疊 下圖為鮮奶盒的疊裝情形，可看出包裝業者匠心獨具。利用五邊形的鑲嵌原理，善用空間的將每奶堆疊起來，中間並無空隙，可說是完美的疊合。讀者可思考，不同的飲料包裝是否也有同樣的巧思(可參考筆者文章:科學研習月刊50卷9期，飲料包的數學)?此外，什麼樣的五邊形可以全等圖形完成鑲嵌?以上都是教學的好題材。 圖19:鮮奶盒包裝 圖20:鮮奶盒包裝側視圖 圖21:鮮奶盒包裝的堆疊 圖22:五邊形的鑲嵌-1 圖23:五邊形的鑲嵌-2 無論在自然界或是設計界，數學元素無所不在。數學之美在於它具備各式各樣的規律，有規律的事物常會引起人們的好奇心及產生美的感覺。筆者列舉數則生活中看到的數學影子與讀者分享，其實集合眾人的創意，除了能產出令人驚豔的作品外，也可從製作者或發明者身上學到相關的概念與精神，從而內化到自己的所學。人的學問，素養，就是這樣不斷增進的。 李祐宗 澎湖縣文光國中教師

有數學感的分數教學：半條蛋糕平分給四個人

文/李源順、林旭霓 壹、前言 教師公開教學觀摩的說課、觀課、議課之目的，除了讓大家能更深入的了解學科內涵、學生認知或迷思概念、精進教師教學、提升學生學習成效之外；因為影響教學的因素非常多，不可以盡善盡美，因此還有另一個目的，那就是讓教師了解，在同樣的情形下，還可以如何進行教學，使學生的學習成效變得更好一點；然後培養教師在教學過程中，即時發現教學的問題，即席改變教學的能力，達到更好的教學效果。本文藉由台北市輔導團的一堂公開教學，闡述教師可以如何即席改變教學方法，以達更佳的教與學的成效。 「把1/2條蛋糕，平分給4個人，每人得到多少條蛋糕？」這個問題，若要求學生列出算式，它是分數除以整數的問題，可能需要到四、五年級才能進行教學。但是假如不要求學生列出算式，而是用具體表徵、圖形表徵的具體操作、運思方式，了解它的答案是多少，那麼它只要了解分數基本概念（李源順，2018）的三個重要元素：單位量、平分、部份/全體，三年級學生便可以順利解題。但是教科書在三年級介紹分數時，除了讓學生了解分數的二個單位量 （一條、一份）、平分的正例和反例、以及（一條）全部等分成幾份中的一份是幾分之一條（例如，八份中的一份是1/8條）之外，並沒有出現平分、再平分的三個單位量（例如，一條平分成二份、一份平分成四塊）或者（一條）沒有全部被等分的問題。因此上述的問題對三年級學生的學習而言，是有一定的難度；但是假如學生養成利用分數的三個元素來思考、回答、檢驗問題的習慣（類似後設認知的能力），相信學生是可以順利解題的。 台北市輔導團的公開授課，在後者的角度下，讓剛學過分數基本概念的三年級學生進行一堂有難度的探究教學。 貳、準備活動 老師使用電子白板進行文字佈題如下。她是以班上真實情境為佈題，進行複習概念的準備活動。 在生活中會把條、份稱做單位，數學是把一、十、百稱為單位。數學教育把一條、一份稱為單位量。 一、文字佈題的重要性 若老師僅以口述佈題，有些學生可能因為記憶力的問題，無法完整了解老師的佈題，因此使用文字佈題，同時口述或者請學生口述問題，可以讓更多學生了解題意。 老師請學生口述問題後，拿出一張紙當做一條蛋糕，請一位學生分分看，再提問每一組分到「多少蛋糕？」老師的教法、提問有其深意，主要留意學生在具體操作紙張時，是否有平分，回答時是否有注意到可以回答「一份」或者「1/2條」蛋糕的二個單位與部份-整體的說法。 二、安置性評量的概念 因為了解分數基本概念的三個元素，是學生回答題、檢驗答案的重要依據。在複習舊概念的過程中，一位有安置性評量概念的老師，會使用恰當的教學方法來評量一個班級已經有多少學生能了解三個重要元素。例如請特定程度的學生回答，了解他是否能完整的說出分數三個元素，然後合理推論有多少學生已經了解分數基本概念；或者請每一位學生寫下他們的答案和理由，藉以了解有多少學生能完整寫出三個重要元素。 假如老師將平分、一份、1/2條分別請不同的學生來回答，因為是不同學生的回答，老師便無法確認有多少學生已經完整的認知三個重要元素。 參、發展活動 老師的發展活動分為二個，一是主要探究活動，二是檢驗活動。 一、主要探究活動 在主要探究活動時，老師的文字佈題如下，同時請學生把「分法，以及分到幾條蛋糕的意思寫在圖畫紙上」 這個佈題對大部份學生而言，有一定的難度，因此老師以小組討論的方式進行教學。主要原因是它涉及「一條、一份、一塊」的三個單位量問題，以及單位量沒有全部被等分（一條被平分成二份，再把其中一份平分給4人）的問題。學生需要對三個元素有很強的心像，才能用它來解答問題、檢核答案。 老師怕學生對原來的一條沒有心像，還特地每一組準備一張白紙、有顏色的紙和圖畫紙，讓學生能看到原來的一條，具體操作半條（有顏色的紙），也就是老師已經考慮到要對學生的解題過程搭鷹架；同時讓學生寫下得到答案的過程於圖畫紙上，這是看到學生想法的重要步驟。 （一）小組的回答 因為老師發下的有顏色紙條和準備活動時學生看到的1/2條蛋糕一樣大，因此每一組學生都直接拿出有顏色的色紙，用具體操作的方式平分成「4部份」。同時老師也到每一組巡查觀看學生的做法。七組學生的作法和回答如下： 在教學過程中，老師很難快速分辨學生的回答。因此事後的議課，老師可以聚焦於學生的回答，利用三個元素去分析學生的回答，以便具備日後即席利用三個元素去分析學生的回答，以進行彈性調整、即席改變教學的能力。 1.單位量 有關單位量的中文生活用語有豐富的多元性，例如在生活上，對蛋糕而言，我們可能說一條、一盒、一個、一塊、一片、一份；因此在生活上，每個學生的習慣生活用語可能不同，我們很有可能會使用不同的用語來稱呼同樣的蛋糕；也有可能對不同的蛋糕，使用相同的用語，只要說者與聽者當時懂就好。但是在數學上，上面二種溝通方式很容易造成誤解，甚至出現概念上的混淆，例如第六組的「把1個蛋糕分成2個1/2條」，這時候1個到底是一條或者半條？1/2條是圖示的1/4條嗎？這是老師和學生進行第一個元素「單位量」的溝通時，要特別留意的地方。 有關分數的第一個元素，有三個地方是老師和學生要注意到的。在數學上，當老師宣告「一條蛋糕平分成二份」以後，往後所有對話，都應該對同樣大小的物件使用相同的用語，不應該把「一條說成一個」、「一份說成一塊」等用語，因為這樣的溝通比較精準，學生才不會懷疑「一個」和「一條」一不一樣，「一份」和「一塊」有沒有一樣大。這個數學的隱性知識和學生是否能精確的溝通數學概念有極密切的關聯，因此建議老師一定讓所有的學生了解。當然我們在溝通時，會因為我們的習慣用語和佈題不同而難免出現口誤，假如老師和學生有上面的後設認知，他在教學時，便會特別留意自己的用語，隨時調整回來。分析學生的回答發現，把原來的佈題單位量「一條、一份」，使用不同用語的組別有第五、六組。 在數學上，若先前的佈題是「一條蛋糕平分成二份」，後續的分法儘量不要說成「半條（一份）蛋糕平分成四份」；也就是不同的大小的物品應該使用不同的單位量，否則在對話時會變成「一份（半條）蛋糕平分成四份」的問題，就會出現「一份到底是先前者的一份或者是後者的一份？」的語意不清問題。這種數學的隱性知識 （李源順，2018），建議老師也要讓學生清楚的了解。分析發現，仍然使用條、份的小組有第二、五、七組。此外第四組沒有使用單位量的用語來回答，而是使用「切成二半再切一半（一半可能指的是一位學生拿到的量）」的用語。第三組沒有說明再分割的情形。 第一個元素中還有一個重要的問題，那就是不能忘記原來的單位量是多少，也就是不能把半條當做原來的一條。把半條當一條（或者其他學生的用語）的小組有第一、三、六、七組。其中第三組的回答語意和圖示，也存在把半條當做一條的迷思。 2.平分 有關第二個元素，在分數的計數上，是要把每一個部份理想化為一樣大才可以計數，這也就是為什麼異分母分數做加、減時，要先通分成一樣大的部份的原因；因此分數 概念非常強調「平分」。 各組在用語上，只用「分成」、沒有使用「平分」的小組有第四、六組。但是在紙條的切法上每組學生是都有平分。因此這二組，有沒有平分的概念或者只是用語沒有注意到而已，老師可以進一步檢驗。 3.部份/全體 有關第三個元素，部份/全體的概念上，最為特別的是第五組「每人分到一條」，顯示學生沒有部份/全體的概念。其他小組則都是回答1/4條，其中第二、四組雖有注意到是將半條平分，但是沒有注意到全體是被平分成8塊的部份/全體概念，而仍然回答1/4條。第一、三、六、七組，則是因為沒注意到一條的單位量心像所造成的問題（不能說他們沒有部份/全體概念）。 這種隱性知識到國中、高中、大學也會碰到。在同一題目內，不同的未知數要用不同的符號；以前寫的( )+( )=10，變成代數符號時要寫成x+y=10。但是換成二個不同的問題時，可以用同一個符號代表不同的意義，因為二個問題是分開來。因此對不同小組來說，他們可以用不同的用語來表示相同的物件，或者用相同的用語來表示不同的物件。 在整數的單元，教科書會把每一顆蘋果都畫成一樣大，也是理想化成所有相同的物件都一樣大。否則「小明有3顆（小）蘋果，小英有2顆（大）蘋果，問誰比較多？」時，就會出現爭議。 （二）反思 老師從學生的回答發現沒有一組學生能完整認知分數的三個重要元素。因此小組討論完畢，老師請同學上台發表時，依序請第一、七、二組學生上台分享，是一個不錯的方式。因為在具體操作時，第一組沒有使用到一條，第七組有使用一條，但不去理會，第二組有使用一條，也把它另外半條平分，但仍然說每個人分到1/4條。後來老師借由第二組的圖示，讓學生了解因為是把二個半條（一份）都平分成4塊，所以一條被平分成8塊的部份/全體概念，所以每人分到1/8條蛋糕。 假如教學時間足夠或者老師要即席改變教學時，老師應該回到第七組，讓學生發現他們沒有清楚的區分單位量「一條和半條」，同時即使另外半條沒有被平分成4塊，也可以想像成被平分成4塊。再回到第一組，提醒學生應該要有沒有表徵出來的半條心像。相信後面的情形會更好。 假如老師還有教學時間或者老師將來要即席調整教學，也可以去分析每一組出現的問題，甚至讓學生有後設認知的概念，清楚的了解可以利用分數的三個元素去檢驗自己所寫的、所畫的是否對一條來說（甚至用語是否正確）、是否平分、是幾塊（份）中的幾塊（份），再針對自己的答案了解沒有注意到那些元素，如何改進。相信在往後的學習過程中，會有更多的學生能發現自己的問題在那裏，能正確的回答。 在三年級階段，教科書不處理等積異形的問題。分析發現，每一組的分法都是使用全等的分法。至於不同小組的分法則有三種情況，將一邊平分成四部份、將二邊都平分成二部分、從二對角線平分。但因為每一組本身都是全等的圖形，因此老師不去討論不同組的等積異形問題是好的，因為這樣會干擾學生對分數基本概念的了解。 七組學生在圖示時，只有一組寫1/4條，一組沒有圖示，其他組別都寫1/4，但因為每一組的答案都有回答單位「條」，因此它是可以被忽略的。 二、檢驗活動 下表是老師在學生澄清分數基本概念之後，所佈的檢驗活動問題，以及發給每一位學生做的學習單。 從教學的角度，老師的教學是很好的。因為前一個主要探究活動用小組合作以及具體操作的方式進行教學；在檢驗階段，分數概念的難度沒有增加，因此改由用圖形表徵讓個別學生實作，相信學生能更進一步抽象化為圖形表徵。 統計27份回收的學習單，發現有10位學生回答1/6條，1位回答1/3半條 ，10位回答1/3條，1位回答1/7條，5位空白。顯示不到4成的學生能正確回答；仍然有許多的學生沒有清楚的了解分數的三個元素，無法利用這三個重要元素來回答、檢核答案。 因為一堂課的教學時間有限，所以許多學生沒有時間寫下得到答案的過程。從下表有回答過程的學習單發現，學生仍然在分數的迷思概念。 1/3半條的說法，若改成1/3個半條的說法是可以的，因為1/3條可以說成1/3個一條、一條的1/3；但我們比較不會將1/3條說成1/3一條。 肆、綜合活動與結語 因為一堂課的教學時間所限，老師把綜合活動移到隔天的課程。假如老師有足夠的教學時間，或者想要即席調整教學。當老師發現能正確回答的學生不如自己的預測（100%的學生正確回答是不可能的）時，應再度回到分數的三個重要元素（數學感理論的概念）（李源順，2018），設法讓更多的學生能正確的說出來（數學感理論的一個起動機制—讓學生說）。例如，全班複誦三個重要元素，兩兩一組互相把三個重要元素說給對方聽，每個人寫下這三個重要元素。因為後續的分數加法、減法、乘法、除法（數學感理論的運算）的結果的概念性解釋，都可以利用這三個重要元素來理解。 也建議老師在分數基本概念的教學時，可以用比較理論的方式或者比較口語的方式和學生好好討論，(1). 單位(量)的問題：老師說「一條蛋糕平分成二份」以後，大家「能不能將條、份改成其他單位(量)，為什麼」（數學感理論的第四個核心內涵—問為什麼）的問題。(2). 平分的問題：要注意一條有沒有全部都被平分（數學感理論的正、逆概念）。(3). 部份/全體：一條全部被平分後，是幾份中的幾份？若後續出現類似本堂課的教學時，再進一步和學生討論(4). 後續的單位(量)問題「可不可再用條、份，為什麼」的問題。 參考文獻 李源順(2018)。數學這樣教：國小數學感教育。台北市：五南出版社。 李源順 臺北市立大學數學系教授 林旭霓 臺北市龍安國小教師

素養導向的數學課室樣貌-以國小三年級「小數」概念啟蒙教學為例

文/温世展 壹、前言 12年國教數學領綱指出，學生應在小學階段確實掌握分數與小數的四則計算（教育部，2018），並將小數相關課程安排在中、高年級分階段學習，可見小數的學習對國小學生的重要性。小數的概念起源於測量和分數的「部分-全體關係」，其記數系統又是從整數的十進位制擴充，在國小教材中，小數的學習安排在整數、分數之後，符合數學概念發展的脈絡性(劉曼麗，2006)。林福來、黃敏晃、呂玉琴(1996)並提到數學概念的啟蒙學習，需要銜接學生在正式學習此概念之前所具有的先備知識。 小數教材內容可分成「小數的認識」和「小數的計算/應用」兩大部分。劉曼麗（2002）指出，學童學習小數時所具備的整數、分數經驗，對學生有所助益，例如小數的位值關係是由整數知識類推、小數的意義是由分數概念了解；但是，如果學生小數概念不夠清楚，就極易產生整數法則（小數點後數字越多其值越大）、或分數法則（小數點後數字越多其值越小）等迷思概念。 其實小學生在日常生活中，使用小數的機會遠大於分數。例如手機、冷氣機都是用小數表示時間或溫度。筆者認為在教學時，若能從生活情境中引入小數，讓學生發現並認識小數，且針對學生可能的迷思概念，進行課堂操作、發表、討論，將可增進學生於小數概念的理解。 12年國教數學領綱提到「數學課程的設計，應提供每位學生『有感』的學習機會」。李源順(2018)提出「數學感理論」，強調從「讓學生說」的起動機制，結合鼓勵學生「舉例、簡化、畫圖、問為什麼、讓學生回想」等五個核心教學策略，來營造學生的數學感，此想法與12年國教數學領綱之精神不謀而合。 本文以筆者所帶領的數學教師專業社群共同設計的國小三年級「小數」教學活動為例，進行同案異教，從真實生活情境中引入小數，結合數學感理論的教學內涵，呈現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌，藉以作為12年國教素養導向的數學教學之參考。 貳、核心素養與數學感理論內涵的簡介 一、核心素養 素養，同時涵蓋competence及literacy的概念(蔡清田，2014)，是指一個人於習得知識（knowledge）、能力（ability）與態度（attitude），而能積極地回應個人或社會生活需求的綜合狀態，素養中擇其關鍵的、必要的、重要的，乃為核心素養。核心素養是十二年國教課綱的發展關鍵，歸結其重點如下(教育部，2014)： 1.把知識、技能、態度整合在一起。強調學習是完整的，不應只偏廢在知識上面。 2.強調情境化、脈絡化的學習。真正的理解，得把學習內容和過程與經驗、事件、情境、脈絡做適切結合，意義才會在其中彰顯出來。 3.強調學習歷程、策略及方法。課程規劃及教學設計須把學習內容與探究歷程結合在一起，以陶養學生自我終身學習的能力。 4.強調提供實踐力行表現的空間。讓學生可以整合所學，能遷移所學或是實際應用在生活裡，並可對其所學進行外顯化的思考，而再持續精進。 二、數學感理論 李源順與林福來（1998）擴展NCTM（1989）和Sowder（1992）對數感的定義，定義 「數學感(Mathematics Sense)」就是「人們能從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」。李源順(2018)定義 「營造數學感( Making Mathematics Sense, MMS)」，就是「在利用表徵進行溝通的脈絡中，學生對所學的數學有概念性的了解，再內化為程序性知識，使程序性知識變得有意義，之後進行解題、連結、推理、以及後設認知的學習，最後達到從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」，並提出一個啟動機制，和五個核心內涵的教學策略，茲說明如下： 1.一個啟動機制：讓學生說。讓學生說出他的困難、他學會的內容。 2.五個核心內涵： (1)舉例：學生對任何概念、運算、性質，我們都希望學生心中有具體的實例。 (2)簡化：利用簡化數字來了解題意或解答問題。 (3)畫圖：利用畫圖來了解題意或解答問題。 (4)問「為什麼」：讓學生能概念性的了解所學的知識，而不是用背的。 (5)讓學生回想：這個單元的內容和…一樣，只是…不一樣。讓學生有機會把所學的知識進行統整，形成數學感。 參、教材設計與教學實踐 一、教材設計 （一）教材分析 筆者首先針對目前各校所用三個版本的三年級小數單元教材之前兩節教學活動進行分析。 1.康軒版 一開始以「95無鉛汽油每公升31.5元，下星期調漲0.4元，油價變成多少元呢？」問題，企圖連結學生生活情境，引發學生思考曾看過小數數字的意義。接著透過「把一個蛋糕平分成10 份，其中的3 份是(3/10)個蛋糕。」喚起學生分數學習的舊經驗，再以「一張色紙平分成 10 份，其中的一份是多少張色紙？」的答案宣告1/10＝0.1。然後以「像0.1、0.2、0.3、……這樣的數，叫作小數，小數中的黑點稱為小數點。」宣告何謂小數。接著再以「10個0.1條橘色積木合起來是幾條橘色積木？」、「11個0.1條合起來是1條又0.1條，記作1.1條。1.1 讀作一點一。」的內容告知學生「10個0.1條=1條」，以及小數的讀法。 2.翰林版 一開始以「這枝筆長14公分5毫米，也可以說是長14.5公分。」連結學生先前所學(三下第二單元毫米)，告知學生14公分5毫米=14.5公分，企圖引發學生思考為何14公分5毫米可以寫成14.5公分。接著以「世平將一張色紙平分成10等分。其中的1份是多少張色紙？」問題，宣告1/10 張＝0.1張，0.1讀作「零點一」。再以「10個0.1張是10個1/10張，也就是1張」、「2.6張色紙是幾個1張和幾個0.1張？2.6張色紙是幾個0.1張？」等內容告知學生「10個0.1張=1張」。 3.南一版 一開始以「1公分是幾毫米？24 毫米是幾公分幾毫米？」問題，連結學生先前所學(三下第五單元毫米)，企圖讓學生從 1公分可分成10毫米的舊經驗，爾後能夠接受小數為整數逐漸十等分割的概念。接著透過「將一張正方形色紙平分成10份，其中1份是幾張色紙？」的問題，引導學生透過分數學習的舊經驗回答1/10張，再宣告「1/10張也可以寫成 0.1張，讀作零點一張」。然後再依序引入「2個0.1張讀做零點二張」，「9個0.1張是幾張?」，「10個0.1張是1張」，「11個0.1張讀做一點一張」，「25個0.1張是幾張?」等內容，並告知學生「0.1、0.2、0.9、1.1、2.5 都叫作小數，兩數字中間的小黑點叫作小數點。」。 根據上述，可以發現康軒版是以油價漲跌的情境引入小數教學，但是翰林跟南一兩個版本是以長度(毫米)情境引入小數教學。經筆者檢視三家版本三年級各單元教材後的發現如下：翰林三下第二單元「毫米」，第九單元「一位小數」；南一三上第五單元「毫米」，三下第九單元「小數」；康軒三下第四單元「小數」，三下第六單元「毫米」；亦即只有康軒版是先上小數再引入毫米，其它兩個版本則是先上毫米再引入小數。然而學生是否比較不容易具有油價漲跌的生活經驗，而較無法由此感受到學小數的必要性？ 此外，三家版本的教材編排均宣告分數與小數的關係，即1/10＝0.1，接著依序帶入一位小數的數詞順序、位值與化聚、大小比較、加減直式計算教學內容。整體而言，似乎均未能以學生的生活情境切入小數的學習，恐使學生的學習需求感降低，較無法產生有感的學習。 （二）教學活動思考 本次採同案異教的方式進行國小三年級小數教學活動，因此主要是由擔任教學的三位老師(A師、B師、C師)與其他社群夥伴，共同備課形成一份教案，包括教學活動以及所要運用的教學策略，因此大家對應教小數概念的理解是相同的。並透過三位教師對同份教案進行不同的詮釋，以及議課時探討不同班級學生呈現的學習樣貌，藉此提升教師的數學教學專業能力。 12年國教數學領綱課程手冊提及，小數的教學應進行小數的說、讀、聽、寫、做活動，讓學生熟悉小數的意義和符號。而有意義的小數教學，筆者與社群夥伴均認為應強調小數等分的內涵、小數的單位量概念、小數點的功用以及培養學生對小數大小的數感。 就小數計算的教學而言，教師應要強調大小單位間的換算關係及在直式紀錄中小數點定位的意義與理由（劉曼麗，2005）。Hiebert和Wearne（1988）提出小數學習四階段：連結、發展、精緻與熟練、抽象，其中「連結」階段是強調應透過學生已熟悉的表徵（如具體物、圖像、分數符號等），來幫助學生連結小數符號並賦予其意義（引自劉曼麗，2002）。因為本次小數教學為學生第一次接觸小數，因此，三位教學者欲在本單元教學加強連結階段，並適時運用李源順(2018)所提出數學感的教學策略：擬定一個啟動機制，並搭配舉例、簡化數字、畫圖、問為什麼和讓學生回想舊經驗，幫助學生學習小數概念。 大家經過幾次備課討論後，預定的教學策略如下； 1.以「買書套」的生活情境布題，引發學生思考如何買到適合聯絡本大小的書套。(一個啟動機制) 2.透過實際測量聯絡本的長邊，引發如何讀出非整數的長度？企圖讓學生自行發現分數與小數之間的連結。(畫圖、回想…、問為什麼) 3.製造認知衝突情境，澄清小數迷思概念。(舉例、畫圖、問為什麼) 筆者以教學策略1舉例說明共備歷程如下：誠如本文前述內容所言，小學生在日常生活中，使用小數的機會遠大於分數，例如測量體重，但大家認為要從中引入1/10=0.1的概念，就顯得有些突兀。另外也曾思考以故事情境呈現整數、分數與小數的連結，例如「在數學王國裡有整數王國、分數王國和小數王國，而整數王國為了要招募人才，向各國⋯⋯」，但正如B師的教學省思所言：「故事即將成形時，我們回過頭想想，這樣的故事情境或許可以符合教學目標，但似乎有些過於刻意。」，因此最後以可連結學生舊經驗(分數、整數公分的長度測量)的「買書套」問題啟蒙學生於小數概念的學習。 二、教學實踐 （一）以真實生活情境啟動新概念的學習 誠如12年國教數學領綱課程手冊所提及：「小數應用情境應以連續量為主。」、「測量物體長度無法剛好量完的疑問，可以當作學習小數的自然動機。」，加上C師表示：「之前教學時，學生曾拿尺測量銅鑼燒半徑，對於比5公分多但又不到6公分的長度，能說出5公分又2格。」，B師亦表示：「直尺是學生常接觸到的文具，尺上刻度又明顯的將1公分平分成十等分，…..。」。 因此三位老師決定本次教學一開始透過「買適當大小的聯絡本書套」的生活情境(如圖一)啟動學生關於小數的學習，並詢問學生：「現在要去書局買聯絡簿的書套，我不想帶聯絡簿去，所以要在家裡測量簿本那些地方？才能買到合適的書套。」，以及請學生「用文字或圖示說明如何讀出長度有多少公分？」，確實能夠引發學生在此具連續量的生活應用情境下，思考「在測量物體長度無法剛好量完」的情況時，如何更具體表達所測量的長度。 圖一.聯絡本書套樣本 由於篇幅關係，筆者舉例說明B、C班學生的學習表現如下： 圖二.各班學生課堂表現樣貌 由圖二可看出學生皆能夠運用畫圖策略說明答案。顯示大部分學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A2 具備基本的算術操作能力、並能指認基本的形體與相對關係，在日常生活情境中，用數學表述與解決問題。」、「數-E-A3 能觀察出日常生活問題和數學的關聯，並能嘗試與擬訂解決問題的計畫。在解決問題之後，能轉化數學解答於日常生活的應用。」的學習表現。 上述分析顯示本次教學先藉由書套封面的小數數字介紹小數的表徵形式，接著再利用「買適當大小的聯絡本書套」的生活情境，引發學生產生測量簿本長度的需求，進而促進學生思考該如何用小數來表示不到1公分的長度。 （二）以認知衝突釐清舊經驗形成新概念 除上述B、C班學生的學習表現之外，筆者另以A師某一段教學，呈現教師如何透過「問為什麼」的數學感教學策略，製造認知衝突情境，澄清學生的小數迷思概念。 教學片段 A班某組學生呈現答案如圖三。 圖三.A班某組學生的答案 T：請這一組兩位同學說明你們的答案。 S1：30減0.5等於29.5。 T：為什麼你會減0.5？0.5怎麼來的？ S1：因為往前看5格就會0.5。 T：你量的時候發現了什麼才會「往前看5格」？ S2：多出來5格。 T：要怎麼畫？ S2從數線上從29公分的位置再向右畫5個格子(見圖四) 圖四.S2畫圖說明想法 T：為什麼那個位置是29.5公分？ S2：因為一格等於1。 T：如果一格等於1的話，29公分再過去一格應該會變成多少？ S1：30公分?! T：所以一格等於多少？ （S2將原本寫的1改成0.1。） T：你怎麼知道一格是0.1？ S1、S2：……. T：你們在學小數之前先學了什麼？ S1：分數、整數。 S2：因為29公分到30公分中間還有10格。所以一格等於1/10，就是0.1公分。 從上述教學片段可以發現，雖然學生透過教具與操作都可以發現29公分與30公分之間還有十格，但是S2仍會依循整數的舊經驗而認為每多一格就是加1時。此時A師能關注到S2的誤解，因此立刻提問：「如果一格等於1的話，29公分再過去一格應該會變成多少？」，讓學生自己發現如果一格是等於1的話，29公分再多一格就會變成30公分，但是其實30公分是在十格之後，於是自行將一格的大小改為0.1。上述分析顯示A師能適時透過提問製造學生的認知衝突，讓S2自行調適澄清找到正確答案。 接著，可能是安親班已經先學過小數部分內容，所以學生會以小數數字回答答案，但是當A師提問：「你怎麼知道一格是0.1？」時、學生並無法說明理由；此時A師以「你們在學小數之前先學了什麼？」的問題，引導學生注意到「29到30之間還有10格」，以及說出「所以一格等於1/10也就是0.1」，能初步理解單位小數（0.1）與單位分數（1/10）的連結。 上述分析顯示學生能夠在此次小數單元教學的啟蒙過程中，透過教師引導理解小數是整數的十等分割，以及分數與小數之間的關係。且學生在說明解答的過程中，能夠接受A師的引導，不斷地修正自己原先的想法，以更清楚地說明答案。此充分顯示該組學生透過此次教學，展現了數學領域核心素養之一：「數-E-C2樂於與他人合作解決問題，並尊重不同的問題解決想法。」的學習表現。 而在後續與社群夥伴共同議課後，A師表示爾後若再進行此教學活動，可以讓學生從29公分開始，一格一格累加計數，即計數0.1、0.2…..，當學生數完所有格子則提問：「總共有幾格？」，引導自行學生發現從29公分到30公分之間共有10格，亦即讓學生更具體理解十等分割的概念。此外，亦可於教學後提供學生非十等分割的數線，並提問：「這樣一格是多少呢？」，以檢驗診斷學生是否確實瞭解上述概念。 肆、結論 根據上述分析，筆者認為本次教學能夠培養學生養成「數-E-A2」、「數-E-A3」、「數-E-C2」的12年國教數學領域核心素養。 從上述三個班學生的學習表現，筆者認為三年級小數概念的啟蒙教學，應考量學生真實生活情境，啟動學生的學習需求，並讓學生體驗操作後，引導學生連結分數與小數之間的關係，以及小數為整數之十等分割的意義，方能產生有感的數學學習。 此次教學活動能夠引導學生感受單位小數與單位分數之間的連結，以及具備長度測量的教材，是引出小數初步概念的優質教學設計。加以搭配運用數學感理論所提及的讓學生畫圖以及說明為什麼的教學策略，則可培養學生產生12年國教數學領域核心素養的學習表現。 參考文獻 李源順（2018）。數學這樣教:國小數學感教育。台北：五南圖書出版股份有限公司。 李源順、林福來(1998)。校內數學教師專業發展的互動模式。師大學報:科學教育類，43(2)，1-23。 林福來、黃敏晃、呂玉琴（1996）。分數啟蒙的學習與教學之發展性研究。科學教育月刊，4（2），161-196。 南一出版(2017)。南一版國小數學課本第五冊。台南南一出版事業。 康軒出版(2017)。康軒版國小數學課本第五冊。台北康軒文教事業。 教育部(2014)。十二年國民基本教育課程綱要總綱。 劉曼麗(2002)。小數教學初探。屏東師院學報，16，319-354。 劉曼麗(2006)。我國學童小數概念發展之調查研究。科學教育學刊，14(6)，663-693。 蔡清田(2014)。國民核心素養:十二年國教課程改革的DNA，台北市:高等教育。 翰林出版(2017)。翰林版國小數學課本第五冊。台南翰林出版事業。 National Council of Teachers of Mathematics Commission on Standards for School Mathematics. 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