「數戰棋」奠基模組融入數學教學之設計
文/孫德蘭
壹、前言
好的開始成功的一半，如何促進和提升學生數學學習成效一直是教師、家長和學生自己重視的問題。十二年國教數學課程綱要中提到國民小學及國民中學教育階段，在符合彈性學習課程規範下，規劃數學奠基與探索活動，讓學生探索、討論，培養對數學的喜好，奠立單元學習的先備基礎，以期每位學生都能進行有意義的學習（教育部，2018）。因此，規劃數學奠基與探索活動，讓學生探索、討論，培養對數學的喜好，奠立數學學習的基礎，讓每位學生進行有意義的學習是目前課程發展的重點。
臺灣國、中小學生在「國際數學與科學教育成就趨勢調查(TIMSS)」歷年調查數學學習，結果呈現「高成就、低自信、低興趣」的趨勢。臺灣師範大學數學教育中心為提升低成就學生的數學學習成效，使學生在課室內可以參與有意義的學習」，自103年開始研發推廣「數學奠基模組活動」，期能讓學生透過活潑有趣的數學活動，發展數學概念需要仰賴的先備經驗、具體感受概念內涵的共通性或不變性，改變數學很抽象的觀念。自103年研發了二百多份奠基模組活動，經由教學實證發現奠基模組活動不僅能激發學生對數學的興趣，也可引起學生的數學學習動機；同時，在進行數學活動時，養成學習數學內容的具象經驗，讓學生體會與數學單元連結的關鍵點，促使學生在關鍵點引動的好奇心驅使下，進一步探索相關問題，之後進入數學教室學習相關單元時能具象有感的學習(蕭新雄、徐偉民、郭文金，2019；吳宛柔、楊凱琳，2019；侯雪卿；2019；劉琳婷，2020)。
遊戲是學生喜愛的活動，談到遊戲，很多人認為只是玩樂，這是談論課堂外的遊戲感受；在課堂內的遊戲是必須具有教學目的，希望學生從玩樂中學習課堂內的概念和技能，在情意上更能有所提升。數學奠基活動是指在課前提供有趣的數學活動，課程以遊戲、魔術的形式設計，活動的亮點是引起學生的學習興趣和學習動機，若將數學奠基活動和臆測活動兩者的相遇，有利於學生觀察並發現數學關係，體會和欣賞數學是有規律和有結構之美(林碧珍，2020)。
2021年1月28日研究者在臺北市立大學圖書館電子整合系統和臺灣博碩士論文知識加值系統以「數學奠基」為關鍵字搜尋，發現與數學奠基相關研究共有16篇；有7篇發表在期刊，其餘為碩士論文。這些研究主要從2017年開始，2017年有2篇，2018年3篇，2019年4篇，2020年7篇，2017年是數學奠基模組推廣為數學奠基進教室的階段，自此之後相關研究篇數逐年增加。這16篇中，有6篇是研究奠基模組教學實施於教學現場，研究對象是國中學生有7篇，有6篇是國小，其中研究於特定學生非一般課堂有7篇，實施於一般數學課堂僅有6篇，其中有5篇是國中，只有1篇是實施於國小，可見研究奠基模組實施於國小一般課堂是值得研究的。因此，本研究主要是在原有的課程與教材架構下，將數學奠基模組融入目前數學教材，採用數學奠基活動和臆測活動造例，設計倍數和公倍數遊戲教學的活動，並針對國小進行非同一個年級、非一個班級的一般課堂教學，探討數學奠基模組數戰棋遊戲教學活動對國小四、五年級學生數學學習和數學態度的影響，做為奠基模組活動融入課程之教學設計的建議。
貳、文獻探討
茲探討「因數和倍數教材分析」、「學生在因數和倍數解題表現」、「因數和倍數相關遊戲活動設計」，並說明文獻探討對本研究之啟發，分述如下。
一、因數和倍數教材分析
奠基活動目的是奠定學生數學準備度，因此，了解教材結構是非常重要的一環。經由九年一貫數學課程綱要(簡稱97課綱)能力指標和分年細目，以及十二年國教數學課程綱要(簡稱107課綱)學習重點為基礎，可知因數與倍數的學習從五到七年級，是個相當重要的概念，影響日後頗深。
小學階段明確指出因數與倍數相關內容是在五年級，主要在認識因數、倍數、公因數及公倍數。六年級主軸是認識質數與合數，並學會運用短除法做質因數分解以及求最大公因數、最小公倍數。最後到七年級是概念的結合、運用並熟練質因數分解，進而運用在分數的加減計算中。所以，在學習此單元前，整數乘法、整數除法、乘除互逆等一到四年級的基礎，就成為學習因數與倍數相關內容重要的先備經驗。因此，奠基活動應該是五年級未實施因數和倍數前實施，針對整數乘法、整數除法、乘除互逆進行才稱為數學準備度的教學。
二、學生在因數和倍數解題表現
因數概念是比例概念的基石（劉祥通、周立勳，1999），更是往後學習因式、倍式、多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎。學童若無法了解因數的意義，往後學習比較高階數學時，恐會產生新舊知識銜接困難的問題（黃國勳、劉祥通，2002）。
學生未學因數之前，在國小「數的計算」的教材中，通常都是給二個以上的數字，學童再依題目的要求進行解題，但在求所有因數時，學生面臨的情形是只提供一個數字，學生必須以整除的概念為起點，窮盡這個數可以被整除的所有情形，若有遺漏便答案殘缺不完整了。
黃玉雙(2010)探討國小五年級學童在因數與倍數問題表現上，有關答對率、解題策略與錯誤的原因。發現學童在因數與倍數的問題的整體答對率約有六成，而眾多的錯誤原因為在前置概念時未理解整除的概念、在因數與倍數概念時未建立完整的因數與倍數概念，甚至誤以為某數的因數最大不會超過某數的一半。
陳嘉皇(2014)針對台灣南部某國小六年級學生 33 人，探索國小六年級學生對可除性與整數乘除互逆概念理解的情形，並分析產出的策略表現，理解學生之數學思考，以促進數學學習的成效，提出乘、除互逆在可除性的概念裡扮演重要的角色，乘、除互逆關係的運用，其逆轉步驟及可逆思考是連結因、倍數的重點，且是必須的程序性知識。
學生已經有充分的先備知識與舊經驗的基礎時，教導學習新知識，才能產生有意義的學習。乘除法是因數教材的先備知識，也是因數教學是否成功的最重要關鍵。對國小五年級的學童來說，因數概念是屬未曾接觸過的知識內容，若再使用新策略來解題，會更加深其內在負荷，導致整體認知負荷過載。因此，以學過的乘法方式、除法整除觀念等來引入，也較能使學習者接受，而達到學習目標。奠基模組活動融入課堂的設計即應考量因數概念的先備能力，以乘法而言，學生須具備乘法基本運算、乘法交換律等能力；除法則須有整除概念能力，所以教師在因數教學前可以先複習乘除法的知識，除可喚起學童的舊經驗，也能為因數的教學奠定良好基礎。
三、因數和倍數相關遊戲活動設計
桌上遊戲在西方國家已發展並風行許久，台灣近年來也開始慢慢盛行，越來越多教師將桌遊融入課堂進行教學。桌遊能提供學生真實的體驗，給予學生參與的機會，也能激發高層次的思考，因此對於學習是有助益的。
周士傑、梁淑坤(2007)指出遊戲若能經過教師精心的設計，學生不只是單純的玩，而是一種有效的學習。所以教師應提供適當的知識及教具，點出學習單元中的概念結構，以影響學生的解題活動或推理思考過程。目前將桌遊融入因數和倍數的教學共有6個，茲整理成表1。
表1.融入因數和倍數概念的遊戲
由表1可發現遊戲內容有3個為使用數字卡，3個則使用撲克牌，其教學時機多為因數概念的應用，只有「今生註定」為引入因數概念，因此，將奠基模組活動設計成能引入因數概念，了解數字之間的關聯，又能說明因數概念的意義，而不是停留在因數概念的程序性知識顯得相當的重要。
參、研究設計
一、「數戰棋」課程之設計
（一）課程指標
數戰棋奠基模組是教育部國教署委辦103年「就是要學好數學─子計畫一：數學活動研習營計畫」之一的模組活動，其期望透過學生二人使用黑白圍棋子在百數表上的整除移動，發展倍數、公倍數的操作性表徵心像，以利相關正式課程之進行。
本研究以數戰棋奠基模組活動為基礎，修改其遊戲規則，加入數學臆測活動的造例活動，增加任務單和書寫個人數學想法，並透過討論，其獲得因數、倍數相關的概念。
（二）教學策略
因本研究乃以臆測教學的概念來設計此課程，所以在進行本課程時，首先會以兩軍對奕的情境並製作簡報向參與者介紹數戰棋的遊戲規則：棋盤數字是被除數、棋子是除數，遵行整除的前進規則，吃掉多數對方棋子為贏家；然後由學生二人一組進行黑白圍棋在百數表上的進攻。在遊戲規則和學生實際進行遊戲後，採用臆測活動的造例活動和個人猜想活動，進行棋子和棋盤關係的任務單勾選；再由學生觀察勾選的二維表格任務單，提出數學猜想後進行討論，也透過這樣的臆測過程，參與者能更熟練乘法和除法的運算、乘除互逆，也能清楚察覺到因數、倍數和公倍數，然後提出自己的數學看法。當然，這也就是本研究所要達到的奠基教學。
（三）課程單元
由於因數和倍數的單元為五年級教科書內容，依據參與者所使用的教科書版本，四年級學習一定在因數和倍數之前，五年級是五年級上學期，所以本研究教學設計定位為教科書因、倍數單元的第1和第2堂課，並以單元的學習目標為主。
二、參與者
本研究的正式對象臺北市一所中型學校的兩個班的五年級學生、新北市一所大型學校的一個班的四年級學生。目前小學都採 S 型編班法，所以學生的素質的分佈為常態分配，在教學課程上，使用的教材為現通行中某一版本的第九冊數學科課本。
三、研究方法
本研究採行動研究法，以數戰棋奠基模組融入教學，研究課程起點為依據數學綱要、數學教科書、數戰棋奠基模組活動及文獻探討作為教學計劃及教學評量的依據，依教學三階段分為教學設計前期 (行動研究第一階段)、教學設計中期 (行動研究第二階段)、教學設計後期 (行動研究第三階段)呈現行動研究的循環歷程。
本研究在執行過程中，研究者就是行動者，期望透過行動研究解決問題，提升教學與學生數學奠基活動的學習成效。依計劃、執行、檢討、省思、修正的循環為主軸；行動研究第一階段聚焦於教學設計的產生，行動研究第二階段透過實施教學，第三階段教學後進行檢討、反思提出修正、再計劃的第二次行動研究，以及修正策略進行教學、檢討、省思。最後綜合分享檢視學習成效。
四、資料蒐集
（一）學生學習單
1.遊戲任務單
研究者在所有遊戲教學實施過後再發給學生填寫，主要是研究者透過學習單的內容了解學生對於乘法、除法計算能力，也作為數學猜想活動所要觀察的二維表格。
2.個人猜想單
填寫的內容主要是收集學生的猜想，並透過學生猜想的討論，來反思遊戲策略、數學概念的察覺和理解，編碼為G+年級+0號碼。
（二）影片紀錄
由於研究者參與師大數學教育中心奠基進教師的教學影片拍攝，因此有攝影師進入數學課堂拍攝，拍攝皆為現場實錄，由攝影師自行選取其鏡頭。
（三）教師手札
在研究過程中，研究者利用教學手札，紀錄自己在課程上執行的發現和反思，在課餘時間分析學生奠基模組融入教學後所寫的猜想。
肆、研究結果和討論
本研究將數戰棋奠基模組活動融入倍數和公倍數教學的活動設計，付諸實踐的結果，茲將本研究「數戰棋」教學活動設計實踐的結果分述如下：
一、學生的內發學習動機
本研究旨在了解學生的學習動機；從課室觀察部份，研究者發現在每次課程結束後，都會有幾名學生自動留下來想再繼續遊戲，而在四年級的課堂90分鐘結束後，全班學生集體要求不下課，再繼續上課，這是平時的數學課堂少見的。研究者相信學生要求不下課不是外誘的，是內發的，是學生在數戰棋遊戲中得到滿足和喜悅感，這種正向感受會促使學生加強進行此活動的內在動力。在學生的數學想法部份，不少學生一談起自己個人遊戲的心情，表示好玩，感受用遊戲上數學課，也能清楚表達用數學玩遊戲，如用除法玩數學，或是再找出倍數；以下舉學生想法佐證。
讓我知道用玩遊戲的也可以算數學(G4016)。
讓我知道數學很好玩，用除法也可以玩遊戲(G4016)。
發現了數學可以用好玩簡單輕鬆的方式來學，像是1可以隨便出在格子上面 (G4003)。
發現3的倍數、6的倍數、9的倍數，好玩(G4010)。
我覺得很好玩，因為1很強(G4021)。
我發現數學很好玩。(G4005)。
讓我知道數學也可以玩西洋棋 (G4016)。
讓我知道數學也很好玩(G4020)。
我們用數學玩遊戲，讓我知道用玩遊戲的方式也可以上數學課(G4020)。
二、學生的數學學習
在課室觀察部份，研究者行間巡視發現不管是四年級或是五年級的學生，會邊玩邊使用九九乘法解題，如思考3能否走到棋盤24，學生會念3*8=24；遇到較大的數字，也能用除法解決；雖然有學習障礙的學生一開始有計算錯誤，但玩了數戰棋遊戲後，都能正確地完成任務單，勾出各個數的倍數。
（一）工作單具備承先啟後作用
在學生的數學想法部份，學生能清楚說出用乘法和除法解題，而且學生不用算式，就能判斷哪些數可以被哪個數整除或不整除，這表示學生已具備學習因數和倍數之前的準備度了。以下舉學生想法佐證。
這張表格可以用除的或用乘的(G4005)。
可以用乘和除(G4013,G4022)。
因為有發工作單，所以對數學的乘法更了解了(G4012)。
不用寫算式就可以知道答案，什麼可以除，什麼不可以除(G4027)。
研究者教學三十年了，每每使用學習單，學生總是希望寫完和寫對，很少學生在寫數學學習心得，其焦點是學習單的功能，而對學習單有好評的，由學生的表述，可見好的任務單設計能引起學生數學學習的共鳴，而且期待對學生自己產生正面的學習影響。
如果沒有看工作單的話，我會輸給對方(G4028)。
工作單幫助我玩得更好(G4014)。
我在下棋時，一開始不太會，但是我寫完工作單，我就會了(G4009)。
工作單無敵，工作單萬歲(G4012)。
我只要不會的看工作單就會了，例如:8*?=24(G4026)。
我覺得不甘心，因為沒有看工作單，所以錯過了一次可以打成平局的機會(G4012)。
（二）複習舊經驗
從學生的數學想法表述，學生會提到其之前所學的數學的概念，有僅是複習已學過的舊經驗，以下舉學生想法佐證。
1.乘法和除法運算
我學到跟除法有關(G4007)
我覺得數戰棋跟乘法有關(G4028)
2.倍數概念
讓我想起1,3,6,9的倍數(G4016)
我複習了1,2,4,8的倍數(G4020)
（三）重新詮釋舊的概念
從學生的數學想法表述，也有重新詮釋舊的概念，這些概念是學習因數、倍數所應具的基礎概念。學生在二年級時透過九九乘法表認識倍數，三、四年級則透過乘法和除法認識倍數、奇數和偶數，因此學生提出類似的看法，均可視為學生詮釋其所具備的數學概念，佐證如下：
1.列舉出某數的倍數
2可以除2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36(G4024)。
10可以除10,20,30,40,50,60,70,80,90,100(G4007)。
5遇到5,10,15,20,25都可以整除(G5007)
2.雙數可以被2整除，偶數可以被2整除，偶數是2的倍數
我發現了2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36都是雙數，它們都可以被2除(G4015)。
我發現只要是雙數都可以被2除(G4005)。
2只能除偶數(G4009)。
2是偶數都可以整除(G4001,G4028)。
只要除數是2，偶數都可以除(G4003)。
2所有偶數都能整除(G4010)。
2是只有偶數才能整除，奇數不能被整除，會有餘數(G5001)。
2打勾的數都是偶數(G5025)。
全部的偶數都是2的倍數(G5003)。
（四）察覺即將學習的數學概念
學生即將在五年級學習倍數和公倍數的意義，透過本遊戲方式的教學設計，學生能察覺與未來將學習的數學概念有：
1.倍數
四年級從遊戲的結果提出某數可以走到很多數字來說明倍數很多，高年級在課堂上反應出倍數的個數不會受限在任務單的數字，有無限多個。佐證如下：
(1).課堂對話
S34: 1是每一個都可以勾，10是一定要有10個才能勾一個勾。
T: 老師請問一下，他的倍數只有這些嗎？
S全:不只。
T:不只，你怎麼知道？
S10:因為這只是抽取到25而已。
S10:最大的數不是25。
T:那可能會有多少？
S全:無限。
(1).學生想法
3可以吃很多數字(G4003,G4018)
2可以吃很多個數字(G4021)。
36÷2=18，所以36是2的倍數(G5008)。
7÷7=1，所以1和7的倍數是7，所以7是7和1的倍數(G5005)
2.公倍數
本次課堂教學是在公倍數教學之前，學生透過遊戲後，從他們的想法可得知已察覺棋盤的數字是1顆棋子的倍數，也是數顆棋子的公倍數，以下舉學生想法佐證。
6,12,18,24,30,36可以被1,3,6整除(G4004)
18和36可以被1,3,6,9整除(G4004,G4027,G5004,G5022)
8,16,24,32都能被1,2,4,8整除(G4010)
我覺得吃別人的棋子很好玩，運用了公倍數的原理，因為我看到18和36都可以被1,3,6,9整除(G4014,G5021)
3.某數是某數的1倍
在五年級以前，學生能算出自己的倍數是多少，以乘法算式來說，即是已知被乘數和乘數，能算出積是多少。五年級在此基礎上，要求出倍數，也要認識某數的1倍是自己，從學生想法，其透過遊戲可察覺此概念。
被除數如果和除數相同，商一定是「1」(G4010)
1~10的數每開頭的一個勾都是原來的數(G5022,G5026)
4、1與任何數的關係
學生寫出「任何數可以被1整除，任何數是1的倍數」，是因為他們察覺1可以走到棋盤的每個數字，而用數學語言說明。
我只要出1就可以隨便走，什麼數都可以被1整除，1什麼都可以除，我覺得1都可以下(吃)很厲害(G4009等18位)。
5.固定倍數出現的順序
學生從任務單的勾選，查看3的倍數，察覺3的倍數的數學規律，佐證如下：
3的倍數永遠是奇，然後偶再重複無限次，如3是奇，6是偶，9是奇，12是偶；偶數的倍數永遠是偶數(G5009)。
3的倍數是單數雙數交錯的(G5003)。
6.倍數的尾數
學生從任務單的勾選，察覺10的倍數的尾數，佐證如下：
10的倍數的尾數永遠都是0(G5003)。
7.數字愈大倍數愈少、數字愈小倍數愈多
本次的任務單是讓學生在1~25中察覺1~10的倍數，學生發現1的倍數最多，10的倍數最少，不少學生大膽提出「數字愈大，倍數愈少；數字愈小，倍數愈多。」。經由全班討論，學生可理解某數的倍數有無限多個，且在有限的數字條件下，數字愈大，倍數愈少；數字愈小，倍數愈多（不涉及極限概念）。佐證如下：
(1).課堂實例
S5: 數字愈大倍數愈少。
T: 剛剛我們不是說倍數有無限多個，那為什麼數字愈大，倍數會愈少呢？
S34:1是無限的都可以勾，10是一定要有10個才能勾一個。
T: 那今天我們討論數字是在多少跟多少以內？
S:1~25
T: 所以我們加這句話好不好？在1到25，數字愈大，倍數就麼樣？
S全：愈少。
(2).學生想法
數字越小，倍數就會越多(G4002,G4022
1,3,6,9的勾，我發現1最密，3次之，接下來是6，最後是9(G4003)。
數字越小，可以整除的數字就會愈多(G5025)
越大的數，能整除的越少(G5003,G5008,G5004,G5021)
8.數字與間隔間的規律
不管是四年級，或是五年級的學生，均有1/4的學生提出數字與間隔間的關係，如下：
看到2就知道空1格就打1個勾(G4019)
看到4就知道空3格，第4格打1勾就好了(G4019)
看到8就知道空7格，第8格打1勾 (G4019)
4的倍數中間都隔3個數(G4006)
8的倍數中間都隔7個數(G4006)
數字愈大中間的空格愈大(G5026)。
勾到勾的間格數就是上面的數-1(G5004)。
我發現每個空格都是除數的減1，例如6的空格有5個，每5個就有1個勾(G5031)。
如果2的話是每一格就有1個勾，所以3的話是每格2格就有1個勾，以此類推(G5034)。
（五）某些四年級學生提出的看法值得再細究
讓學生提想法可以收集學生直覺的看法，雖然想法不見得完全正確，也可能是迷思概念，而這些都是教學可作為討論的題材，佐證如下：
偶數可以整除偶數(G4021)。
奇數只能除奇數，偶數除偶數(G4023,G4025)。
2可以除偶數，3可以除奇數(G4031)。
2,4,8只能除偶數(G4011)。
伍、建議
透過遊戲，學生彼此間產生競爭，提升注意力，遵守遊戲規則，更重要的是從玩樂中學習數學概念，且從學生的回饋可以發現學生的想法多元，更自然產生教學討論的機會，而不是由教師特地製造出討論的布題。因此，寓教於樂，奠基模組活動以遊戲形式設計，也宜使用遊戲的模式融入課堂。
教學設計包含奠基模組活動和臆測活動，學生能觀察並發現數學關係，有利於教師診斷學生的舊經驗、新概念的準備度，雖然本研究得知四年級在數學的表述方面常聚焦於現象的觀察和心得，五年級的表述常聚焦於數學概念，十二年國教課綱強調數學是一種語言，語言具有關鍵性的地位，數學教學應該盡可能保持學習自然語言的方式，透過實例的操作與解說，再逐步進入抽象理論的學習，相信讓學生用其語言描述其所操作或獲得的經驗和想法，必能對其數學學習大有幫助。
學生喜歡遊戲不只是有趣和好玩，在競爭中增加挑戰性，由本研究可以了解學生不僅注重外在環境條件，也注重自己的學習，如熟練乘法和除法運算能幫助自己不輸對方，也喜歡從遊戲學數學，或是把數學應用在遊戲上，可見，好的任務設計應該讓學生不只是玩樂，而是從玩樂中增強學生數學準備度。
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孫德蘭
臺北市中正區螢橋國小教師
看見格子點-高中數學的探究與實作
文/張宮明
壹、前言
筆者曾經在高中專題研究課程中提供了幾個開放性問題給學生們思考與探究，而其中有一個特別有趣的題目：
「將一個樂隊放在第一象限，若要從周圍外一層攝影整個隊伍，則需要幾個攝影點才能將所有人拍攝到？」
上述的問題源自於Laison &Schick(2007)，其中樂隊人員及拍攝者都站立在坐標平面的格子點上，所謂的格子點是指坐標都是整數的點。Laison &Schick(2007)已經有一些初步的成果如下：在不限制拍攝點的位置情況下，只需一個拍攝點，但這點離隊伍很遠。此外，Laison &Schick(2007)希望將拍攝點放在離隊伍較近的位置，而去尋找最少的拍攝點，這方面的研究，Laison &Schick(2007)還沒有提出明確的結果。
筆者的一位學生—盧崇文(2009)，特別鍾情於如上的題目，經過幾週的文獻探討，筆者和崇文擬定了初步的研究方向：
1.將拍攝點的位置限制在原點及x、y軸正向的格子點上，去尋找最少的拍攝點。例如下列圖1與圖2即為陣列2×2與陣列3×5的解決方法之一。
2.將拍攝點的位置限制在x軸的格子點上，其x坐標為0到m+1的整數，去尋找最少的拍攝點。
3.將拍攝點的位置限制在y軸上，其y坐標為非負整數，去尋找最少的拍攝點。
圖1
圖2
就此，我們展開一連串驚喜有趣的探究過程，筆者將引述崇文的研究報告(盧崇文，2009)中最精華的部分與讀者分享。請讀者注意，本文中所提及的變數都是正整數或0。且本文介紹的圖表與定理皆取自盧崇文(2009)的研究報告與筆者的增減修正。
貳、引導過程、研究方法與結果
在專題研究課程中，筆者通常會同時指導三、四組學生進行不同議題的探究，各組的進度會互有領先，哪一組提出的問題多，筆者與這組同學的互動時間就會比較多，這時期恰好是啟樺、崇文各一人一組，另外有兩組是兩人一組的團隊。
帶領專題研究需要耐心和細心，耐心是指研究過程中需要學生長時間的探究才能累積可觀有用的資訊量；這時期就像是農夫耕作時的鬆土期，將農地的土鬆開，尋找適合播種的土壤，然後播下種子，有耐心的澆水灌溉。
接下來，細心的觀察，看看幼苗何時冒出來？當幼苗成長時也要有策略地施肥，讓作物可以枝繁葉茂。印象中，啟樺的書桌上會有一本筆記本與正在研究中的文獻，筆記本中書寫著整整齊齊的計算式與評論；而崇文的書桌上總是放著一本計算紙，上面寫著詳詳細細的算式與數字，在專題研究課程中筆者會關心地詢問崇文：目前有何進展？崇文總是搔搔頭說：還在想。筆者總是叮嚀：從最簡單的例子開始研究。經過幾週的試探詢問，以及補充相關的文獻資料後，終於在某一次的課堂中，崇文站上了講台，在黑板上寫下一些數字，例如
(2,2r)，(3,3s)，(4,2t)，(6,2s)，(6,3t)。
一開始，筆者看不懂這些數字的涵義，但直覺告訴筆者，直得探究的幼苗冒出嫩芽了，所以筆者請崇文慢慢講述給筆者聽，這些數字代表的涵義。事實上，剛開始筆者無法理解崇文想要表達的內容，因為崇文講述的方式都是跳了好幾個步驟，筆者只好細心地捕捉一些關鍵資訊寫在黑板上，一一與崇文釐清，這才拼湊出一些具體樣貌如下。
一、在坐標平面上
我們將這個隊伍視為陣列m×n，安置在坐標平面上觀察。以第一象限的 (1,1)為起點，隊伍依序在格子點上排列，希望拍攝點的位置是在陣列的外一層，因為對稱關係，我們將拍攝者的位置限制在原點及x、y軸正向的格子點上，且x坐標不超過m+1。令第1個拍攝者的位置為，第2個拍攝者的位置為，…，第n個拍攝者的位置為。
現在，假設這是1個 m×n的隊伍，m, n為正整數，我們從原點去拍攝這個陣列，其中x, y坐標互質的點，可以從原點看見。而有些點會被其他點擋住，例如:(2,4) (3,6)等等。觀察這些被擋到的點，都有共同的現象：“x, y坐標不互質”。經過思考，得到一個結論。
定理1 x, y坐標不互質的點，從原點看，會被擋住。
定理1的證明: 設C(mx,my) ( m為自然數 且>1 )為x,y坐標不互質的點
令A(0,0),B(x,y)，則直線AB的斜率為，直線BC的斜率為。
所以直線AB的斜率等於直線BC的斜率，故兩直線重疊或平行。點B在直線AB之上，也在直線BC之上，所以A、B、C三點共線。故A點就無法觀察到C點。
相對於定理1，設P點坐標為(x,y)，若x,y互質，則由原點O可拍攝到P點。
觀察這些被擋住的點，經由因數與倍數的關係，不難發現：在x = 2 這條直線上，被擋住的點為 (2,2)，(2,4)，(2,6)，…，(2,2n)；在x=3這條直線上，被擋住的點則是(3,3)，(3,6)，(3,9)，…，(3,3n)；而在x=6這條線上，則是(6,2)，(6,4)，(6,6)，…，(6,2n)及(6,3)，(6,6)，(6,9)，…，(6,3n)。因此，引用定理1即可得證兩個結論如引理1與引理2。
引理1 在x=a這條直線上，原點拍攝者拍不到的點，其y坐標會是a的質因數的倍數，即y坐標與a不互質的點。
若從(1,0)這個點去拍攝這個陣列m×n，在直線x =3上觀察不到的點為(3,2n)。在直線x = 3上，從原點觀察不到的點為(3,3n)。所以若由(1,0)，(0,0)這兩個拍攝點同時拍攝不到的點為(3,6n)。
引理2 對拍攝點(k,0)而言，直線x=m上看不到的點，其y坐標是m-k的因數的整數倍。
引理2的證明：對於所有的點、、…、其中為m-k的因數，a為任意正整數。若以(k,0)為新原點，則平移變換為。而m-k與adi兩數不互質，故由定理1得知拍攝點(k,0)拍不到點。
上述的定理1及兩個引理彷彿是本專題研究的一絲曙光。了解到此研究與整數中的因數倍數關係具有關聯性，雖然說有了這層體悟，但是問題的複雜度仍然讓崇文陷入迷霧中許久。累積了幾週的努力耕耘，崇文突然想起了在高一上學期，筆者曾經講授過基本的數論性質，其中有一個與輾轉相除法原理相關的定理可以引用，如下定理2。
定理2 若N和R互質，則N與PN–R互質。
証明: 因為PN–R=NP–R由輾轉相除法原理得知PN–R和N的最大公因數等於N和–R的最大公因數，故得證。
接下來，我們來看看如何利用定理1、2與引理1、2來探討本研究。一開始，筆者策略性的引導，筆者建議崇文依據觀測點的位置做分類討論。因此，我們將觀測位置大致分成三類。
（一）將拍攝者的位置限制在原點及x、y軸正向的格子點上
首先筆者建議崇文先固定m值，而n值是任意正整數，由最簡單的m=1開始，即從陣列1×n開始探討，再將m值逐步增加，看看是否有規律可循，討論的方法如下。
假設m為固定正整數，n為任意正整數，若限制拍攝者的位置，，，…，，為x軸正向與y軸正向上的點，且其x坐標不超過m+1。將陣列m×n放置第一象限討論，以第一象限的(1,1)為起點，隊伍依序在格子點上排列，可得到以下一系列的推論。証明中所使用的文字符號m,n,r,s,t,u…等都是正整數。雖然推論頗多，但是為了本文的連貫性，筆者仍將其一一羅列如下。
推論1 陣列1×n需1個拍攝點(0,0)能全部入鏡。
證明：1與n互質，所以由點(0,0)拍攝能全部入鏡。
推論2 陣列2×n需2個拍攝點(0,0)與(3,0)能全部入鏡。
證明：
可將x=1上的點全入鏡，則可以可將x=2上的點全部入鏡，整個隊伍皆為所見。
上述兩推論較為簡單，接下來的推論需要用到坐標平移變換的概念，將新增的拍攝點視為新原點，則原來拍攝不到的點可由前述的定理與引理來協助證明可被新增的拍攝點拍攝到，如此陣列中的所有點皆可被拍攝到。注意其中的符號"→"代表平移變換。
推論3 陣列3×n需2個拍攝點(0,0) 與 (0,5) 能全部入鏡。
證明：
所不能看見的點為(2,2r)、(3,3s)，r，s為正整數，但對視線而言，將(0,5)視為新原點，點(2,2r)變換成(2,2r-5)，因為由定理2得2與2r-5互質，點(2,2r)可由拍攝到，故在直線x=2上的點可全入鏡。至於在直線x=3上的點，(3,3s)→(3,3s-5)，由定理2得3和3s-5互質，點(3,3s)也可由拍攝到。故陣列3×n可由2個拍攝點(0,0)與(0,5)能全部入鏡。
推論4 陣列4×n需2個拍攝點(0,0)與(0,5)能全部入鏡。
證明：
所不能看見的點有(2,2r)，(3,3s)，(4,2t)，由觀察，將視為新原點後，(2,2r)→(2,2r-5)，(3,3s)→(3,3s-5)，(4,2t)→(4,2t-5)，平移變換後，這些點的x與y坐標都互質，故皆可以入鏡。
推論5 陣列5×n需2個拍攝點(0,0)與(0,7)能全部入鏡。
證明：
所不能看見的點有(2,2r)、(3,3s)、(4,2t)、(5,5u)。經觀察，將原點平移至後，即將視為新原點後，
(2,2r)→(2,2r-7)，(3,3s)→(3,3s-7)，(4,2t)→(4,2t-7)，(5,5u)→(5,5u-7)。
平移變換後，這些點的x與y坐標都互質，故皆可以入鏡。
推論6 陣列6×n需3個拍攝點(0,0)、(7,0)與(0,7)能全部入鏡。
證明：
，所不能看見的點有(2,10r)，(3,6s)，(4,6t)，(5,10u)。將原點平移至後
(2,10r)→(2,10r-7)，(3,6s)→(3,6s-7)，(4,6t) →(4,6t-7)，(5,10u) →(5,10u-7)。
平移變換後，這些點的x與y坐標都互質，故可以全入鏡。
推論7 陣列7×n需3個拍攝點(0,0)、(7,0)與(0,11)能全部入鏡。
證明：
藉由，，可以將陣列6×n 的範圍看完，故只多出x=7這排。和可將x=7這直線上的點看盡，故可全入鏡。
推論8 陣列8×n需3個拍攝點(0,0)、(7,0)、(0,11)能全部入鏡。
證明：
跟7×n類似，、 、可以將陣列7×n的範圍看盡，其餘在直線x=8上的點，又可以由、看盡，故可以全入鏡。
推論9 陣列9×n需3個拍攝點(0,0)、(7,0)、(0,11)能全部入鏡。
證明：
跟8×n類似、、可以將陣列8×n的範圍看盡，其餘在直線x=9上的點又可以由、看盡，故可以全入鏡。
上述的推論一度讓我們樂觀地認為，陣列m×n的拍攝點數目似乎可以使用數學歸納法去推得結論。但事實上並沒有那麼簡單，當m=10時，找拍攝點需要較複雜的方法。
推論10 陣列10×n需4個拍攝點(0,0)、(5,0)、(0,11)與(8,0) 能全部入鏡。
證明：
在直線x=10上，拍攝不到的點 為(10,2r)、(10,5s)，的死角拍攝不到的點(10,5t)，拍攝不到的點為(10,2u)。、 、共同拍攝不到的點為(10,10v)，
再以為新原點觀察後，(10,10v)→(10,10v-11)，此x、y坐標互質，故可以全入鏡。
所以若要使x=10這線上的點皆被看盡，可以利用這個原則。(0,0)是固定的，所以要調整以及讓最後被擋到的點為(10,10v)，再使用(0,r)其中r為大於10的某一個質數，去觀察(10,10v)，以(0,r)為新原點，則點(10,10v)→(10,10v-r)由定理2得知10和10v-r互質，故(0,r)可以拍到點(10,10v)，因此由、、、四點就可以將x=10這排看盡。
所以(5,0)與(8,0) 可達成目的，再將此4點從新審視直線x=1至x=9恰好可以全部入鏡。
在m≧11以後，找拍攝點需要更複雜的演算方法。現在以陣列20×n為例，來說明使用的演算方法。
先將小於或等於20的所有擁有2個以上質因數的數列出來:6,10,12,14,15,18,20，接著拍攝點最佳的位置如下所示，其中k為非負整數。
只要拍攝點符合上述的所有條件，再加上y軸上取一拍攝點(0,r),r為適當的質數，一般會取r為大於m的最小質數，這個陣列就能全部被拍攝到。
原因說明如下：
以直線x=6上的點為例，若拍攝點為原點(0,0)與A、B兩點，一起拍攝直線x=6上的點，由引理1得知原點(0,0)拍攝不到的點為(a,b)，其中a與b不互質，由引理2得知拍攝不到的點為(6,2n)，拍攝不到的點為(6,3n)，因此這三個拍攝點會讓x=6直線上拍不到的點剩下點(6,6t)，再把這個點交給拍攝點(0,r)，以(0,r)為新原點使得(6,6t)→(6,6t-r)，若r為大於6的質數，則6和r互質，再引用定理2可得6和6t-r互質，所以點(6,6t)可以由點(0,r)拍攝到。
同理，在直線x=10上的點可由原點(0,0),,與y軸上的點(0,r),等四個點，即可全部拍攝到。其中r為大於10的質數，例如取r=11即可。
在直線x=12上的點可由原點(0,0),與y軸上的點(0,r),等四個點，即可全部拍攝到。其中r為大於12的質數，例如取r=13即可。
在直線x=14上的點可由原點(0,0),與y軸上的點(0,r),等四個點，即可全部拍攝到。其中r為大於14的質數，例如取r=17即可。
在直線x=15上的點可由原點(0,0),與y軸上的點(0,r),等四個點，即可全部拍攝到。其中r為大於15的質數，例如取r=17即可。
在直線x=18上的點可由原點(0,0),與y軸上的點(0,r),等四個點，即可全部拍攝到。其中r為大於18的質數，例如取r=19即可。
在直線x=20上的點可由原點(0,0),與y軸上的點(0,r),等四個點，即可全部拍攝到。其中r為大於20的質數，例如取r=23即可。
所以若要滿足上述各種情況，y軸上的拍攝點取點(0,23)即可。
而x軸上的拍攝點取能涵蓋ABCDEFGHIJKLMN的點即可，且要找出拍攝點數目的最小值，其演算方法如下步驟。
1.先以其x坐標變化量最大者(即其a±dk中d值最大者)為基準做為拍攝點，上列中以變化量最大。可能的拍攝點有(15,0) (13,0) (21,0) (7,0)。先考慮(15,0)，BDFGHLN取適當的k值也都可成為(15,0)。
2.剩餘的變化量最大的為，可能的拍攝點有(16,0)(14,0)(20,0)(10,0)，先以(16,0)測試，成功的有EIJKM。剩下的AC則用(8,0)就可符合。
3.再回到步驟2使用(14,0)測試，直到(16,0) (14,0) (20,0) (10,0)這4個點都測試完後，再回到步驟1測試(13,0) (21,0) (7,0)。
4.最後再找出最少點的路線。
上述演算方法可由下列圖3的樹狀圖表示
圖3
由上述演算方法可得下列推論。
推論11 陣列20×n需5個拍攝點(0,0)、(15,0)、(8,0)、(16,0)、(0,23)。
證明：
想讓x=6、10、12、14、15、18、20這7排都符合要求，所以拍攝點的x坐標必須滿足，找一找之後，發現(15,0)、(16,0)、(8,0)可以完成。
所以，使用(0,0)、(15,0)、(8,0)、(16,0)、(0,23)可以把陣列20×n全部拍攝到。
若讀者未能理解上述的演算方法，請讀者參閱崇文的研究報告(盧崇文，2009)，內容中有m=11到m=25的詳細推論。
接下來，我們介紹由上述的演算法與推論綜合整理而成的定理3。此定理在崇文的報告中沒有詳細證明，筆者補上證明如下。定理3也可以說是我們設定的第一個研究方向的重要結論。
定理3 設m是大於5的固定正整數，在陣列m×n中，拍攝者的位置限制在原點及x、y軸正向的格子點上，且x坐標不超過m+1，則需要個拍攝點就可以拍攝整個陣列。
證明：
設不大於m的正整數中含有二個以上質因數的合成數有等，共h(m)個，ci為其中任一個，而其質因數有等，j為某固定正整數。若一點集合，其元素是x軸正向上的點且它們的x坐標涵蓋所有的型態，其中k為非負整數，且元素個數為最少者，則我們定義的元素個數。
所以，使用點集合Tm中的點再加上(0,0)與P(0,r)兩點，其中r為大於m的最小質數，就可以把陣列m×n全部拍攝到。故需要個拍攝點就可以拍攝整個陣列。
（二）將拍攝者的位置限制在原點及x軸正向的格子點上
假設m為固定正整數，n為任意正整數，若拍攝者的位置，限制在x軸上且其x坐標為0到m+1的整數，則對於m×n陣列則有下列結果。証明中所使用的符號m,n,r,s,t,…等都是正整數。
因為不能在y軸正向上布置拍攝點，所以定理3所使用的方法就無法執行，因此必須多一些拍攝點布置在x軸的正向上，經過筆者和崇文的討論，有下列的結果。
定理4 在陣列m×n中，拍攝者的位置限制在x軸上且其x坐標為0到m+1的整數，若m=4k則恰需要m/2個拍攝點；若m≠4k則恰需要[m/2]+1個拍攝點就可以拍攝整個陣列，其中[x]表高斯函數。
證明：若要將x=t直線上的格子點完全拍攝到，則必須在(t-1,0)或(t+1,0)設置一個拍攝點，因為如果其他位置的拍攝點為，當s與所有皆不互質時，坐標為(t,s)的點將會看不到，而且一個拍攝點最多只能完全拍攝兩直線。因此將正整數m分成4k,4k+1,4k+2,4k+3四類。每4行一組，把拍攝點放置在中間兩行的x軸上(如圖4)是最佳的方法，則m=4k時，恰需要2k個拍攝點。m=4k+1時，恰需要2k+1個拍攝點就可以拍攝到整個陣列，而m=4k+2與m=4k+3，則恰需要2k+2個拍攝點就可以把整個陣列拍攝到。故得證。
圖4
（三）將拍攝者的位置限制在原點及y軸正向的格子點上
有了定理3的經驗，若拍攝者的位置限制在原點及y軸正向的格子點上時，筆者建議崇文由y坐標是質數的拍攝點開始探討，經過崇文的研究，發現了解決的方法，下列內容以10×n陣列為例說明。
先將小於或等於10的所有擁有2個以上質因數的數列出來：6、10。接著將這些數字因數分解找出他們的質因數，而拍攝點的y坐標就是6與10的質因數，即為2、3、5，接下來再增加原點以及(0,r)，r為大於10的質數，例如可取r=11，即可將這個陣列完全拍攝到。
原因：以原點和(0,r)就可以把x坐標只含1個質因數的直線上的格子點完全拍攝，也就是除了x=6和x=10這兩行之外的直線，都能由原點與(0,r)完全拍攝。而藉由(0,2)、(0,3)還有原點能使的x=6這直線上拍攝不到的點剩下(6,6k)，k是正整數，(0,2)、(0,5)還有原點則能使x=10這直線上拍攝不到的點剩下(10,10s)，s是正整數，這兩種型態的點最後都能由(0,r)拍攝，所以10×n這個陣列，可以被(0,2)、(0,3)、(0,5)、(0,0)、(0,r)，所拍攝，其中r為大於10的質數，可取r=11。藉由這個例子，將其推廣為下列結論。
定理5 設m是大於5的整數，n是任意正整數，在陣列m×n中，若拍攝者的位置限制在y軸上且其y坐標為非負整數，則需個拍攝點，就可以拍攝整個陣列，其中函數代表不大於m的所有含2個質因數以上的合成數的質因數個數，重複的質因數只算一次。
證明：將不大於m的所有擁有2個質因數以上的合成數列出來：再將其因數分解找出他們的相異質因數共個，而拍攝點的y坐標就是這些質因數，接下來再增加原點(0,0)以及(0,r)，r為大於m的最小質數，即可將這個陣列完全拍攝到。故共需個拍攝點。
當崇文提出上述想法時，筆者直覺的聯想到與計算質數個數有關的函數，因此筆者建議崇文研究質數計數函數(x)，這是一個用來表示小於或等於某個實數x的質數的個數的函數。經過一番的討論，令人感覺到特別驚喜的是，我們發現函數κ(m)與計算質數個數的函數竟有如此巧妙的關係，如定理6所示。
定理6 函數，其中函數中代表不大於m/2的所有質數個數。
證明：對任意質數p而言，其所形成的合成數中，最小者為2p，若2p≦m，則p≦m/2，故得證。
二、在坐標空間中
在坐標平面上的陣列拍攝研究有了些許成果之後，筆者建議崇文將研究結果推廣到空間坐標中。現在我們想將平面上的樂隊陣列拍攝問題推廣至空間中的恆星陣列拍攝問題，這需要空間中的直線方程式的概念，因此筆者建議崇文先熟悉高二下學期的數學課本中的空間坐標系相關內容。
接下來，我們定義坐標空間中由恆星組成的陣列r×s×t：
以第一卦限的(1,1,1)為起點，恆星依序在第一卦限的格子點上排列，形成陣列r×s×t。若假設宇宙中的恆星為位於第一卦限的陣列r×s×t的格子點上，而我們從原點去觀察這些星星，會發現有些恆星看不到。去探索這些恆星的位置，可以使用平面上類似的方法，對於恆星(x,y,z)，若x,y,z不互質，這個恆星就會被擋住。
定理7設P點坐標為(x,y,z)，若x,y,z不互質，則由原點拍攝不到P點。
證明：
設某恆星A所在的座標為 (ma,mb,mc)，(a,b,c)=1，那麼從原點去觀測恆星A，因向量 =(ma,mb,mc)，所以直線OA的方向向量可以表示為(a,b,c)。若又存在某恆星B(a,b,c)，因向量 =(a,b,c)，直線OB的方向向量也為(a,b,c)，所以A和B以及原點O在同一條直線上，故若從原點觀察A會被B點擋住。
相對於定理7，設P點坐標為(x,y,z)，若x,y,z互質，即最大公因數為1，則由原點可拍攝到P點。
接下來，崇文研究了許多空間中的觀測情形，因為內容較為複雜，所以不在此贅述，對此主題有興趣的讀者請參閱文獻(盧崇文，2009)。事實上，運用定理7，我們可以將坐標平面上的結果推廣至坐標空間中，如下定理8所述。
定理8 如果拍攝者的條件限制在原點O與x軸和y軸上的正向上，則即使到3維空間，仍然可使用平面上的拍設點拍攝。
證明: 已知若在平面上，可以被拍攝到的點，最終的x,y坐標互質，那麼即使到了3維空間，只要該點的x,y坐標互質，無論其z坐標為何，該點的x,y,z三個坐標必互質，故該點即被觀測到。
如果將觀測陣列問題推廣至n維空間，則我們也可推得如下的定理9。
定理9 如果拍攝者的條件限制在原點O與x軸和y軸上的正向上，則即使將陣列推廣到N維空間，仍然可使用平面上的拍設點拍攝。
證明: 已知若在平面上，可以被拍攝到的點，最終的x,y坐標互質，那麼即使到了N維空間，只要該點的x,y坐標互質，無論其他軸向的坐標為何，該點的所有坐標必互質，故該點即被觀測到。
行文至此，或許讀者會認為此研究到此似乎已完整結束，但事實並非如此。筆者試著將可以繼續深入探究的方向與猜想列舉如下，提供有心探究此主題的學生們一些參考的方向。
（一）猜想：
（二）探討平面上特殊形狀之陣列，所需最少拍攝點的問題
（三）在空間中，以最佳的演算法找尋拍攝點的方法，尚待討論
事實上，筆者也曾經進一步指導學生做後續的研究，並且獲得了更豐富的成果，或許將來有機會可以再次與讀者們分享。
參考文獻 [1] Laison, J. D. & Schick, M. (2007), Seeing Dots: Visibility of Latice Points, Mathematic Magazine, Vol. 80, No4, October, 274-282
[2] 盧崇文(2009)。看見格子點。台灣2009年國際科學展覽會。
張宮明
國立屏東高中教師