「理財素養」生活中的數學素養
文/溫世展
前言
2019年正式實施的十二年國民基本教育總綱，強調核心素養是課程發展的主軸，主張教育應該要發展一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度(教育部，2014)。
讓學生具備理財規劃、存款和參與理財行為的知識、能力與態度，即為讓學生發展能夠適應現在生活及面對未來挑戰的素養之一，故學生的理財教育是值得探究的議題。
為了培育學生的理財知能，P21(The Partnership for 21st Century Learning，2017)提出21世紀學習架構(Framework for 21st Century Learning)，其中跨學科的主題包括理財、經濟、商業和創業素養(Financial, Economic, Business and Entrepreneurial Literacy)。英國Drabble (2014)於2014年將理財教育列入新數學和公民課程，提供學生管理金錢的知識和技能的機會。OECD (2012)於2012年正式在國際學生評量計畫(Programme for International Student Assessment, PISA)中列入理財素養(financial literacy)的評量。
眾所周知，國民的數學素養與理財知能有密切的關係。英國國家課程(Department for Education UK，2014)即在數學的學習目標中，表示數學對理財素養和大多數的職業是必要的，例如百分率改變(增加或減少)和成本的關係，以及簡單利率的理財問題均不脫離數學應用的範疇。因此日常生活理財情境中的數學素養是値得探究的面向。
數學素養與理財素養的內涵
一、數學素養的內涵
PISA 2012(引自臺灣PISA國家研究中心，2014)將數學素養定義為： 在不同情境脈絡中，個人能辨識、做及運用數學的能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。數學素養是連續的，即數學素養愈高的人，愈能善用數學工具做出有根據的判斷，這也正是具建設性、投入性及反思能力的公民所需具備的。
李國偉、黃文璋、楊德清和劉柏宏(2013)則將數學素養定義為： 個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。
上述兩者的定義大同小異，因此作者以PISA 2012的定義為本文所指數學素養的定義。
根據PISA 2012的評量架構，數學素養的內涵如下：
1、數學歷程(mathematical processes)
數學歷程面向分為形成數學情境，使用數學概念、事實、過程和推理，以及詮釋、應用和評鑑數學結果。
2、內容(content categories)
在內容面向，分為改變與關係、空間與形狀、數量、不確定性和資料等四個數學內容知識。這四個數學內容，和十二年國教課程的國小數學領域四大主題：數與量、空間與形狀、關係、資料與不確定性的分類，其內涵是相同的。
3、脈絡(context categories)
意指個人在不同情境脈絡中，能辨識、做及運用數學的能力，以及藉由數學描述、建模、解釋與預測不同現象。其所界定和使用的四個情境脈絡問題分別為：個人、職業、社會、以及科學。
二、理財素養的內涵
“financial literacy”一詞在國內被譯成金融素養（林正昌、葉娟妤、毛國楠，2015）、理財素養（周玉秀，2015），本文以理財素養稱之。PISA 2015（OECD，2016）表示理財素養是「理財概念與風險的知識與瞭解，以及應用這些知識的技能、動機和信心，能在理財脈絡下做出有效的決策，用以改善個人和社會的理財福祉。」。
根據PISA 2015的評量架構，理財素養的內涵如下：
1、內容面向
內容面向是指問題中的理財素養範疇的基本知識和理解。它包含四個主題：
(1)金錢與交易：學生能察覺到金錢的不同形式和目的，以及有能力處理和監控交易。
(2)財務規劃與管理：學生能監督和控制收入和支出，以及利用短期和長期的收入與其他可用資源來提高財務狀況。
(3)風險與報酬：學生瞭解某些金融的產品(包括保險)和流程(如儲蓄)，支付賬單和信貸協議的多樣化以及風險。
(4)理財前景：學生能夠知道買賣雙方的權利和責任，了解個人在支出和儲蓄方面的選擇與影響。
2、歷程面向
歷程面向是一種認知歷程，用以描述學生辨別和應用概念到相關的領域，以及瞭解、分析、推理、評估和提出解決的能力。它包含四個範疇：
(1)在理財脈絡中分析資訊：在理財脈絡下對所提供的資訊進行詮釋、比較和對比、綜合以及推斷。
(2)評估理財議題：藉助知識、邏輯和合理推理來感受和形成一個與理財有關的問題。
(3)理財知識的理解和應用：使用理財產品和脈絡的知識，以及在理財概念的環境中能有效執行計算和解決問題的任務。
(4)辨識理財資訊：確認或認知所接收的理財資訊。
3、脈絡面向
主要分為幾個部份：
(1)教育與工作：例如考量花費現有所得，還是考慮未來選擇的教育或者工作。
(2)居家與家庭：包括涉及家庭開銷的理財議題。
(3)個人：包括處理信貸和保險等相關理財服務。
(4)社會：認知到個人的理財福祉不能完全與社會分離。
三、數學素養與理財素養的關係
“PISA 2015（OECD，2016）認為數學素養與理財素養有交集之處，如圖1所示。
圖1. 數學素養和理財素養的關係圖(引自OECD，2016)
圖1顯示數學素養和理財知能具有一定程度的相關，或者可說數學素養相當程度的會影響理財知能，故作者企圖透過探究的過程思考如何運用數學知能解決理財情境問題，進而發展國民在理財情境中的數學素養。
理財情境下的數學素養
作者根據五位新北市國小教師，於作者所規劃幾個理財情境活動討論時的筆記、逐字稿以及活動後的省思回饋，以前述文獻所定義數學素養之數學歷程、脈絡、內容三個面向，呈現其在理財情境中的數學素養樣貌，分述如下：
一、數學素養之數學歷程面向
五位個案教師一開始對於理財資訊與相關議題大多僅能關注較為簡單的層面，例如會注意大賣場DM的貨品折價訊息，但是對於自身車險內容卻完全相信業務員的安排。
根據五位個案教師於2019/01/12「車險」的討論過程與省思心得，作者發現他們透過討論瞭解車險種類與理賠項目(表1)後，均能深入探究自身所購買車輛近幾年的車險金額與理賠內容，進而理解不同年度金額變化的原因(例如車輛的殘值)後，能夠重新評估自身用車的風險，並能規劃自己投保車險的項目，而不再如過往完全依賴保險業務員的建議。
表1. 各式車險相關資訊
以Tc老師為例，其於2019/01/12「車險」的討論後，根據自己兩個年度的保單(表2)進行了分析與比較。
表2. Tc老師兩個年度的車險保單
Tc老師表示：
1.汽車竊盜損失部分在剛買車時所占的比例比較重，車子買越多年越折舊，所以後期在竊盜損失部分比前期打了對折，少了整整一半。
2.因為兩張的保單中間也曾經發生過一次擦撞，有辦過出險，所以後期的第三人傷害責任險和第三人財損責任險都變得比較高，多出前期1,219元，後期的整體保費也比前期較貴。
上述內容顯示Tc老師能夠將車險估算的理財情境，轉為以數學情境思考，應用數學概念、事實進行推理，並能根據計算結果詮釋結果。
二、數學素養之脈絡面向
在2018/12/15「超商的咖啡優惠」活動中，Tu老師於一開始僅能注意到「2到30杯75折，50杯74折。」的優惠訊息，並表示「我覺得74折跟75折差距蠻小的，差距20杯但是折扣很少。」。
在後續討論的過程中，大家針對不同便利商店的累積點數兌換，以及不同銀行的信用卡優惠，搭配app的回饋點數多寡，甚至是促銷活動期限等等，都進行了深入的討論，其中就充分運用了如折數、比與比值等數學知識，進行各種考量。
作者於2018/12/15的討論結束後，請五位個案教師針對在全家便利商店購買咖啡的優惠方式，提出自己的購買方式。Tu老師的購買策略如下：
買10杯刷台新卡→每杯：(451-50)/10=40.1，約40元
買30杯刷國泰卡→每杯：(1287-100)/30=39.56，約40元
買50杯刷國泰卡→每杯：(2035-200)/50=36.7元，約37元
Tu老師並表示：「以上述算式來看，買10跟買30每杯單價都差不多40元，所以買10杯就好啦，買50杯才便宜3元。」。
上述內容顯示Tu老師能在同時考量信用卡與便利商店所提供優惠的前提下，運用比與比值的數學概念，產出符合自身需求的一套計算方式。除了Tu老師之外，其他幾位個案教師亦能夠在考量自身需求的前提下，運用適當的數學知識(計算購買杯數多寡與節省的費用)，分析評估後找出一套適合自己購買咖啡的消費方式。
另外，Ts老師於2019/01/12「車險」的討論過程中表示：「……如果車子已經出廠超過四、五年以上，因折舊已經到了相當低的程度，這時再投保車體險、竊盜險已經沒有太大的意義。車輛殘餘價值通常以前一年的75%遞減，如100萬的新車，第一年後保額只剩下75萬，第二年後保額只剩下75萬*75%=56.25萬。」，顯示Ts老師此時已能夠針對自己的生活條件，考量相關理財資訊，運用適當的數學知識(百分率計算)，分析評估所需車險內容。
上述分析顯示，五位個案教師能在個人的理財情境脈絡中，具有辨識、做及運用數學的能力，以及藉由適當的數學知識建構一套符合自己需求的模式。
三、數學素養之內容面向
根據上述數學歷程面向、脈絡面向的分析，可以發現個案教師在進行理財決策的考量(分析理財資訊、辨識理財資訊)時，瞭解到除了針對某些理財知識(如信用卡優惠方式、車險種類)進行瞭解（評估理財議題）外，還需應用適當的數學知識，例如百分率、比與比值、折數等等數學內容，進行分析評估。
結語
透過理財情境活動的引入，個案教師會各自選擇適當的數學知識，進行理財決策，例如計算購買超商咖啡杯數多寡與節省的費用，或者是運用百分率的數學概念評估所需車險內容等等。顯示個案教師會在理財情境中，展現其數學素養。
未來可於國小引入理財情境下發展數學素養的課程設計，藉以促進國小數學素養導向教學的實踐。
參考文獻
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溫世展
國立臺北教育大學課程與教學傳播科技研究所博士
如何從小培養數學創造力
文/溫世展
前言
教育部(2003)在「創造力教育白皮書」中開宗明義提到「廿一世紀是劇變的時代，……，不論是創新思考、批判思考或解決問題之能力，皆是未來世界公民的重要基礎能力。……創造力教育也就成為未來教育工作之推動重點。」台灣施行的十二年國民基本教育課程綱要總綱(2014)，亦於所要培育核心素養三大面向之「自主行動」內涵，強調學習者應能選擇適當學習方式，進行系統思考以解決問題，並具備創造力與行動力。由此可知創造力教育在現今教育的重要性。
歐美國家也同樣重視創造力。例如：歐盟執委會(Commission of the European Communities/CEC, 2005)認為學生必須具備能夠擁抱改變、勇於創新的企業家精神；美國勞動力能力新委員會(New Commission on the Skills of the American Workforce, 2006)認為要讓美國學生未來具有在「全世界移動的競爭力」方法之一是，必須讓學生增加思考的彈性能力。
創造力可以分一般創造力(general creativity)和特定創造力(specific creativity) (Piirto, 1999)。所謂的特定創造力是指在特定領域，例如數學領域展現的創造力。由於數學是科學之母，數學不論在學生的學習或國家的發展中都占有重要的地位，因此數學創造力是一個值得發展的領域。
教育部(2003)除了強調創造力的重要之外，也提到推動創造力教學的困境，其中之一是「創造力教材不夠充足。教師工作負荷過重，無力從事教學創新與行動研究，只能沿用傳統之教材」。因此，培養國小學生數學創造力的教學活動設計與實踐極具重要性。
數學創造力相關理論與研究
Sriraman (2005)針對幼稚園至12年級學生，提出發展數學創造力的五大原理(principle)，如圖1。
圖1. 發展數學創造力的五大原理
1. 完形原理(Gertalt Principle)：完形原理認為數學創造力的產生有幾個階段，當人們在醞釀（incubation）數學解題方法期間，可能因某些靈感(insight)而發出「Aha！」獲得頓悟(illumiation)。完形原理的啟示是教師應提供挑戰性的問題給學生，並鼓勵學生嘗試挑戰以獲得「Aha！」的經驗。
2. 美學原理(Aesthetic Principle)：主張讓學生欣賞一個複雜數學問題卻有簡單解法的美。
3. 自由市場原理( Free market principle)：數學家發表一個長期未被解出問題的證明時，要接受學術社群的批判。自由市場原理的啟示是教師應該鼓勵學生發表解題策略，允許他們同儕之間能夠互相辯證。
4. 學者原理(Scholarly Principle)：鼓勵學生和老師或其它同學互相討論問題解法、互相質問，鼓勵學生將問題或解題策略一般化，以及提供學生擬題的機會。
5. 不確定原理(Uncertainty Principle)：創造需要讓學生暴露在不確定性跟解決困難問題時的挫敗感之中，而這樣的能力需要教師提供情意的支持(affective support)。
此外，Stillman 等人(2009)提出圖2的模型：
圖2. 創造性數學解題思考模型
圖2模型指出，學生在進行創造性的數學解題活動時會思考:(1)連結(relate)：和以前解過的問題有無關係，是否解過相關的問題。(2)探究(investigate)：深入思考與提問有什麼相關的問題，和該問題相關的資訊。(3)評鑑(evaluate)：評估他們經過探究後的發現。(4)溝通(communicate)：將所得結果和人溝通。(5)創造(create)：創造新的問題，再探索。
Epstein和Phan(2012)則認為有四個關鍵能力會影響學生的創造力表現：
1. 留存(capturing)：能保存所產生的新想法。
2. 挑戰(challenging)：從事困難且具開放性目標的課題，能有效管理面對失敗的壓力。
3.擴展(broadening)：擴充技巧與知識。
4.環境(surrounding)：改變平常所處的環境並找到不常見的動機刺激。
Deal和 Wismer (2010)提出一些進行數學創造力教學的方法：
1.提供開放性的問題，與學生討論並建構不同的解題方法。
2.從常見或答案明顯易見的題目，延伸到討論題目中各因素間的關係或結構的問題。
3.提供學生資料，讓學生練習建構問題。
Silver (1997)認為透過探究導向的數學教學來讓學生解題和擬題，可促進學生的數學創造力，此處的數學創造力包括陶倫斯創造思考測驗(Torrance Tests of Creative Thinking, TTCT)的流暢力、變通力和新奇力(即獨創力)，如表1。
表1. 創造力核心要素中數學解題與學生擬題活動的關係(Silver, 1997)
培養國小學生數學創造力的教材及教學策略
作者以先前培養國小資優生數學創造力教材及教學策略之規畫與實踐為例，具體說明可行的國小學生數學創造力教材與教學策略。
Sriraman (2005)提出發展數學創造力的五大原理，Stillman 等人(2009)的模型，以及Epstein 和Phan(2012)所提四個會影響學生創造力表現的關鍵能力，可作為設計國小數學創造力教材與教學策略的主要理論依據，分述如下：
一、教材
(一)具挑戰性的問題：設計教學活動時可以提供學生具有挑戰性、不明確性的問題。
(二)擴展學生學習經驗的開放性問題：所提供的開放性問題，要能夠延伸探究學習題目中各個因素間的關係或結構的問題，連結曾經解答過的問題，以增進學生的數學知識。
二、 教學策略
(一)鼓勵學生嘗試接受挑戰：鼓勵學生面對具挑戰性、開放性的困難問題且思考至精疲力竭以獲得“Aha！”的頓悟經驗。
(二)讓學生進行小組討論，發表和溝通彼此的解題過程，深入探究、提問與辯證各組的解題策略。
(三)擬題活動：鼓勵學生針對上課所學概念提出類似的問題，或創造找到新且可探究的問題，並互相交換所擬問題，擴充彼此的技巧與知識。
(四)將問題或解題方法一般化：鼓勵學生針對教材內容中的各個問題進行歸納與分析後，將相同類型的問題一般化；或於解題後，針對不同樣貌但類似的解法進行歸納與分析，將解題策略一般化。
(五)互評：同組成員針對彼此的解題記錄進行互評，小組針對不同組的解題記錄進行互評，擴充彼此的技巧與知識。
(六)適時給予學生情意方面的支持：當學生解一個數學問題解不出來的時候，教師會適時提供情意的支持，協助學生能有效管理面對失敗的壓力。
教學實踐
本次數學創造力課程的教學對象為16位國小五年級資優生，每週上課一次，每次2堂課，共進行10次的教學。教材包括有：「有趣的數陣」、「神奇的五連塊」、「巨人的腳」、「魔幻七巧板」、「豆豆圓舞曲」、「我們不一樣」等等。
因篇幅關係，以下舉「我們不一樣」的學生表現為例，呈現國小學生數學創造力教學的成效。教師布題如下：
各組學生的解題表現如下：
從圖3至圖5可以發現學生具有良好的發散思考能力，每一組都可以找到約10個答案，思考流暢，亦即Silver（1997）所指流暢力的數學創造力表現。其答案涵括「奇/偶數概念」、「分數/質數概念」、「位值概念」、「比較大小」等，思考面向多元。
緊接著下一次的課程，我們請學生將這些編組及內容，以小組討論的方式進行分類，能夠進行許多解法的討論，亦即Silver（1997）所指變通力的數學創造力表現，各組表現如下。
各組發表內容擷取如下。
從圖6至圖8可以發現第三組的分類最具結構性，該組學生根據所有答案的異同進行比較與歸類，類別是以數學內涵為依據，例如：1-1、1-3都和因數有關，並將所有的類別的關係以適當的結構來呈現，具優秀的分類、一般化能力。第一組學生雖然認為他們將答案分成三類，但所謂的「“一樣」”是指有不同的組別提出類似的答案，而不是不同的答案但是具類似數學內涵。如第三組將1-1、1-3分在同類。第二組雖然將答案分成四類，但卻是以四個數字作為分類依據，亦缺乏依數學內涵來分類。
此外，在第三組分享他們的分類策略時，育育（第二組）曾提問「你們為什麼不用樹狀圖或魚骨圖那一類圖形表現出來？」，顯示育育可以很快的將第三組的分類方式和他學過的分類方式（樹狀圖、魚骨圖）相連結，可惜第二組在分類時沒有想到這個方法。以上分析顯示第一、二組學生較不具分類、一般化能力，而將問題或解法一般化是Sriraman（2005）提出發展數學創造力的五大原理的部分內涵。
作者在這次的課程結束後，請學生嘗試自行設計四個數字擬題，並針對自己的擬題盡儘量找出不同的答案，擷取學生擬題表現如下。
上述學生針對其擬定的題目，各提出5至10個答案，茲舉皓皓的擬答如下。
從上述內容可以發現部分學生，能夠於課後擬出與原上課教材不同的題目，並能產出多種答案，亦即Silver (1997)所指新奇力、流暢力的數學創造力表現。
結論與建議
一、結論
(一)國小數學創造力教學活動的具體內涵
本次數學創造力的教材主要包括開放性問題(Deal與& Wismer，2010)及挑戰性問題(Sriraman，2005)，教法主要根據Sriraman (2005)所提的培養數學創造力的五大原則來設計，具體教法包括鼓勵學生嘗試接受挑戰並給予適時的情意支持，讓資優生進行小組討論、發表等等。
(二)國小數學創造力教材與教學策略的實施成效
本次國小數學創造力的教材與教學策略能增進學生的數學創造力，其學習表現具體說明如下：
1.每一組學生在開放性問題都展現良好的流暢力、變通力和新奇力。
2.學生對不同類型開放性問題的反應並不一致。有些學生擅長沒有固定答案的開放性問題，有些學生則喜歡有固定答案的開放性問題。
3.無論是要求學生於解題後「將開放性問題的答案進行一般化分類」，或者是「擬開放性問題」的教學策略，部份學生均有不錯的表現。
4.教師的情意支持有助於學生繼續思考解決挑戰性問題。
二、建議
(一)由教學實踐結果可知，除了適當的教材之外，教師的教學方法，適時的情意支持等都會影響國小學數學創造力的表現。師資培育機構的職前或在職進修，除了提供適當的教材與教學策略之外，也要培養職前教師或在職教師對資優生情意的敏感度，以及良好的情意支持技巧。
(二)本研究以開放性問題及挑戰性問題來增進國小學生的數學創造力，成效不錯。文獻顯示數學建模問題亦能促進數學創造力的發展(Wessels，2014)，然而國內缺乏國小數學建模的教學活動與教學實驗，未來培養數學創造力的教學實驗除了開放性問題、挑戰性問題之外，亦可考慮納入數學建模問題，以瞭解了解其增進數學創造力的成效。
參考文獻
教育部(2003)。創造力教育白皮書。台北：教育部。
教育部（2014）。十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北：教育部。
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溫世展 國立臺北教育大學課程與教學傳播科技研究所博士
買房裡的數—貸款的數學
文/鄧家駿
買房子需要一筆龐大的費用，除了自己原先準備的「自備款」外，剩下的錢都需要跟銀行「貸款」，也就是跟銀行「借錢」，借錢後，如何「還錢」的方式，正是我們在這邊想要用數學來討論的。 一般來說，我們借的錢稱為「本金」，因此還錢也是還本金。如果借了一大筆錢，又隔了一段時間才還錢，銀行沒有任何獲利，那銀行如何會願意讓你貸款呢？因此跟銀行貸款，是需要繳付「利息」。
單利與複利
存錢到銀行和向銀行借錢這兩個行為其實是一樣，只是兩個對象相反。如果是小量存錢（本金）到銀行，銀行依據本金計算利息來讓小量獲利。若是小量跟銀行借錢（本金），依據本金計算利息來跟小量收取，以讓銀行獲利。由於本文以借錢為標，因此我們來看看銀行如何收取利息。
為了後面討論的方便，因此我們先將本金訂為3,600元，年利率為12％（一年後計算利息一次），跟銀行借錢期間3年（借錢期間計利3次）。以方便我們計算與討論。
一般來說，利息的計算有兩種，單利與複利。
單利是不論付息期間是多久，得到的利息均不會加入本金再循環計算利息，也就是說計算利息的本金從一開始到最後都是一樣的。
複利是每次計算利息時，要將之前產生的利息加入原先的本金作為下期的計算利息的新本金。可以說利息變成新的借錢。
以小量為例，如果每次計算利息時，他都將利息還掉，本金沒有增加，就是單利；若他選擇先不還，自然累積到新的本金計算，成為複利。
單利與複利在實際狀況時，差別如下。
單利：
複利：（在此時，我們會需要用到指數記法與等比數列）
問題1：單利計算還是複利計算，所需還款的總額較高？
同樣小量借款3,600元，由於每次先還利息，單利最後共還給銀行4,896元；但如果借款3,600元，利息不還繼續累積到新本金，複利最後共需還5,057.7408元。因此如果經濟允許之下，應該每月至少將利息還掉，才是務實的還款方式。
從上面的分析可以看到，當本金P，利率i，借錢期間計利n次。
因此以數學來看，如果每次計算利息時不還，就會造成新本金的累積，計算的利息當然比原本金高，因此還款的總額也會增加，這也正是等比數列的威力。
問題2：本金P，利率i，借錢期間計利n次，那個因素影響最大呢？我們可以將前面的數據分別放大兩倍。
可以發現本金增加，的確會影響利息，但是比起利率的增加，其實也還好，至於借錢期間的加倍，造成的影響更是可怕，尤其後兩者借到的本金並沒有增加，只是因為利息或其間的加倍。同學們可試想每個因素分別調成原本10倍，會如何？
可以繪製圖表關於不同因素的增加（三個圖），對利息的影響。
問題3：現在銀行雖然公布的是年利率，但是通常是每月計息一次，請同學想想每月計息得到的結果與原先每年計息是否不同？
同樣的借錢期間3年，因為每月計息一次，所以年利率12%需更改成月利率12%÷12＝1%，借錢期間每月計利共36次。
你發現什麼？比起原本每年計息一次，依年利率12%的計算得到的5,057.7408元，還需多繳93.28元。計利次數n對於利息的影響遠大於利率 。
同樣的借錢期間3年，調整成每日計息一次，所以年利率12%需更改成日利率12%÷365＝0.033%，借錢期間每日計利共365×3=1,095次。
從這邊可以發現銀行如何獲利了嗎？一般我們存錢在銀行得到的利率比我們跟銀行借錢的利率低一些，而且我們存款時的計利方式通常是半年一次或一年一次，但是當我們貸款時的計利方式卻是每月一次。在利率的差異以及計利次數的增加，銀行就能賺取其中的差價。
本金平均攤還與本息平均攤還
歸根究底，借了錢就需要還錢，除了利息，本金也是要還的，尤其利息是利用「本金×利率」得到，既然利率無法降低，只能從減少每次計息的本金做起。因此目前銀行除了本金到期一次償還的方式，還有本金平均攤還、本息平均攤還兩個方式。我們再透過數學來討論兩個方法的想法與「眉角」(即竅門)。
「本金平均攤還」，就是本金平均在借錢期間償還，利息則按貸款餘額逐期計算。因此每期償還的本金都一樣，而應繳利息則隨著尚未攤還的本金逐漸減少。
「本息平均攤還」，將借錢期間的「全部本金與利息」，平均分攤到每一期償還。
兩個方式的不同處在於，每月還的本金前者固定，後者不固定；而每月還的錢，前者會隨著本金而減少，後者則是以每月還一樣多的錢。
根據前面的條件，本金訂為3,600元，年利率為12％，跟銀行借錢期間3年。考量每個月還一部分錢，因此每月計算利息一次（以月利率1％），共計算利息36次。我們來比較以下兩種還錢方式：
一、本金平均攤還
每個月還的本金相同，3,600÷36＝100，利息每個月依據剩餘的本金計算。
1個月後， 還100＋3,600×1％＝136元。 2個月後， 還100＋3,500×1％＝135元。 3個月後， 還100＋3,400×1％＝134元。 36個月後，還100＋100×1％＝101元。
隨著每個月還本金，每個月利息會逐漸下降，因此每月的還款金額也會逐漸減少。
二、本息平均攤還
每個月固定還C元，很抱歉，現在我也還不知道，要怎麼得到C值。
鄧家駿 臺北市立景興國中數學領域教師
數學奠基活動「矩形拼板」在國中數學課堂的實施與回饋
文/鄧家駿
照片/范慧蘭
數學奠基活動模組
2019年十二年國民教育的數學課程開始實施，數學領域課程綱呼應《總綱》的理念與願景，從數學是一種語言、一種實用的規律科學、一種人文素養出發，落實在課程設計提供每名學生有感的學習機會，培養學生正確使用工具的素養。 目前國立臺灣師範大學數學系林福來講座教授推動以數學教育中心，結合中央數學輔導教師團隊群的合作，發展與設計一系列的數學奠基活動，並且透過活動師培訓介紹這些數學奠基活動，引導老師們如何操作，鼓勵與協助地方教師在週末、寒暑假辦理數學好好玩活動營，將效益擴展到學生身上。希望藉由參與的現場教師願意在數學營隊活動與課堂教學中使用奠基活動來幫助孩子學習，提升學生學習數學的興趣與能力。 數學奠基模組的課程是素養教學嗎？林福來教授指出，因為數學奠基模組加入了操作性活動教具，數學在操作模組遊戲的歷程中產生，讓學生用自己的語言說出想法並轉化吸收，與傳統數學課堂中仿作老師思維的學習方式不同。尤其在遊戲中自己從做中學，覺察實用的規律，體現數學的人文之美，產生有感的學習，這樣的課堂風景除了提升了孩子的數學素養，也讓老師能在課堂中展現數學素養。 本文介紹第一期數學奠基活動國中組中，由作者設計的「矩形拼板」桌遊活動，希望透過在國中現場讓孩子進行這樣的學習活動，幫助學生發展出相關的數學概念，使學生對學習的數學有感。透過動手操作的方式，結合形與數的關連性，進而理解概念間的多元表徵。讓學生從具體到抽象透過實作發展，培養對概念討論的習慣，以符合未來十二年國教所重視的素養教學。
教學活動
奠基活動的學習目標並不一定是為了學習某一完整的學習內容，而是希望在學習該完整的學習內容之前，幫助學生透過具體操作經驗或發現此學習內容所需的重要概念來奠定基礎，以利後續正式課程內容的進行，這也是「奠基」的由來。 一、對應學習表現 a-IV-6 理解一元二次方程式及其解的意義，能以因式分解和配方法求解和驗算，並能運用到日常生活的情境解決問題。 二、對應學習內容 A-8-4 因式分解：因式的意義（限制在二次多項式的一次因式）；二次多項式的因式分解意義。 A-8-5 因式分解的方法：提公因式法；利用乘法公式與十字交乘法因式分解。 三、學習目標 透過以「形」表徵「數」的「矩形拼板」操作，發展「一元二次式的十字交乘因式分解」的先備具體心像，以利相關正式課程之進行。 四、適用時機 在「利用十字交乘法做因式分解」的正式課程之前，目前的學習內容是在國中八年級實施。 五、教具
六、活動流程
1、認識拼板
讓學生說說看這些拼板的邊長與面積。如果學生說大正方形的邊長是小正方形邊長的三倍，可以請學生放放看（如圖），讓學生透過實際操作來瞭解猜測不正確。
參考提問：「請同學將長方形與大小兩個正方形排排看（如下表中三圖），說說看發現什麼?」 配合操作活動：讓學生比較長方形的長、寬和大小兩個正方形的邊長關係。
2、認識任務卡
說明任務卡的意義。為了後續的討論，任務卡以（大正方形拼板數,長方形拼板數,小正方形拼板數）的形式記錄。舉例：（下面的這張任務卡，教師可以寫在黑板跟學生說明。）
透過例子說明，任務卡上的拼板數量要全部用完，而且矩形裡面不能空心。
3、熱身活動1
舉例：使用下面的任務卡拼出一個矩形。
這張任務卡(1,2,1)在遊戲中有兩張，因為拼板數不多，不算困難的任務，讓學生有操作的經驗，並且可以討論學生的某種迷思「正方形算是矩形嗎？」。
參考提問：「拼出來是矩形嗎？」
正方形具有矩形四個內角為直角的性質，因此拼出來是正方形符合要求。
4、熱身活動2
舉例：使用下面的任務卡拼出一個矩形。
這張任務卡(1,3,2)在遊戲中有兩張，因為拼板數不多，不算困難的任務。但是學生可拼出排法不一樣但是正確的多種矩形，因此可以藉此讓學生討論「拼法只有這一種嗎? 」。
參考提問：「下面三位同學拼出來的矩形一樣嗎？」 配合操作活動：檢查一下三個矩形的長、寬與面積。
教師結論：上方矩形的長、寬與面積都是一樣，只是拼法順序不同。
5. 遊戲規則
2~4人輪流抽任務卡，在指定時間（通常是1到2分鐘）內將指定的數個拼板拼成矩形，完成可以取得任務卡，未完成插回卡堆，換下一人。
如同一場桌遊，24張任務卡，若全部完成約半小時。
6、教學實施
經過一至兩輪的遊戲後，引導學生將任務卡(1,3,2)與拼成的矩形記錄下來，例如下表所呈現：
由上，學生分別記錄多個完成的任務卡後，可以發現面積有兩種記錄方式，一種是將各種拼板面積加總的和；或是觀察拼出來的矩形，利用長乘以寬得到面積。 以下是我們24張任務卡所得到的可能記錄（其中有幾張任務卡是重複）
放直或放橫的長方形拼板數依學生的排法，可能會相反，但是並不影響後續討論。 (1,2,1)、(1,3,2)、(1,4,3)、(1,4,4)、(1,5,4)的任務卡各有兩張，因為這幾張任務卡不難，夾雜期間可以讓學生在進行遊戲時增進參與的信心。例如幾次的活動進行中，學生完成任務時，教師詢問學生怎麼做出來的，學生的回答：「(1,2,1)在熱身活動老師示範過。」、「(1,4,3)前一輪同學有做過。」
先讓學生填完前五欄，並交替檢查，並詢問第四欄「拼板面積和」與第五欄「長寬乘積紀錄」的關係。提醒學生從拼成的圖像中分別點數放直與放橫的長方形拼板數，並記錄在第六欄與第七欄。 7. 學生的討論與回饋
最後依照學習單，請學生論以下幾個問題：
觀察你的整理，若擺成「直」的長方形地毯個數為P、擺成「橫」的長方形地毯個數為Q。
(1) P＋Q會和整理表格中哪一欄(甲、乙、丙)的值相同？
參考答案：P＋Q＝乙欄。 (2) P×Q 會和整理表格中哪一欄(甲、乙、丙)的值相同？
參考答案：P×Q＝丙欄。 關鍵提問：「觀察剛剛操作的圖卡，請小組討論為什麼會有 P+Q=乙、P*Q=丙。」 配合操作活動：檢查圖卡的位置。
數學奠基活動希望學生將它當成遊戲，尤其對象是對數學學習興趣低或數學表現成就低的學生，因此鼓勵他們遊戲可以多玩幾次，並且只需要他們記錄、討論，並歸納出如上的結果。實施時間只要是在十字交乘因式分解的課程之前，即使是七年級或是暑假期間，都可以將這個遊戲視為一個有趣的桌遊來發現其中的關係。
學生能在遊戲的過程中，學習到面積的不同表示方式，以探討如何從面積找出長與寬，進而發現「若p、q為兩整數，知道p×q、p＋q的值，如何求p與q的值。」是找長、寬的關鍵，那這個奠基活動就達到原先的學習目標。
8. 學習回饋
在活動結束後，我們會讓學生填寫回饋單，不是硬梆梆的知識學習檢視，而是想知道學生們在活動結束後情意面向的改變，以下是三個問題及學生的回應。
(1)我的感覺是什麼？
由學生的回饋可以發現，學生普遍認為這個奠基活動模組很好玩，而且完成其中的任務是讓學生感到愉快，甚至改變學生對於數學的觀感。其實每一個任務都是一個數學問題，學生能投入其中進而解決，這正是將數學具體化操作的意義。 (2)我覺得最有趣的是什麼?
在此可以發現學生覺得活動的趣味是在拼矩形的過程，與同學一起參與，既競爭卻也合作，而且遊戲中夾著抽任務卡的緊張氣氛，每個人所抽到任務卡的難易度是隨機決定，也增加許多趣味，甚至玩到忘記時間與彼此的競爭，只想解決任務。 (3)我還想要知道的是什麼？
數學奠基活動的目的，在於學習前先讓數學觀念透過遊戲，奠基在腦海中，也許活動僅止於圖像的拼合與多項式的關係呈現，但已經先引起學生對於數學學習的興趣，「有更好、更快的方法嗎？」、「這個圖形以後會用到嗎？」、「換了數字的任務卡都拼得出來嗎？」，這些學生的話語正是教學者最希望學習者在課堂裡提出的，進而發展後面課堂中的十字交乘法，甚至以後還會發現因式分解解方程式的限制，才學習配方法。
「還會不會有類似有趣的活動？」、「這個遊戲誰發明的，怎麼這麼好玩？」、「希望以後的數學課可以用這樣的方式上課。」這些言語給予設計與教學的老師非常正向的回饋，也是數學奠基活動引進數學課堂的目的。 七、後續的課堂教學
由於每位老師帶這個遊戲引入教室的時機不同，通常是八年級上學期第三章因式分解的第三小節，十字交乘做因式分解這個單元之前。若學生已經先學過因式分解的意義，這時候以下兩題會是很適合檢測他們遊戲活動後，是否準備好進入課堂學習。
從前面兩個問題的引導，就是為了將矩形拼板記錄的結果，逐漸拉回到正式課堂中的十字交乘因式分解。在具體操作上，只能用正整數例子，但是實際的數學運用是在各種數字下進行運算推理。所以將前面的圖像經驗整理出來，其實就可以學會最基本二次項係數為1的一元二次式因式分解。
結語
從矩形拼板這個活動，在進行過程中給了學生充分參與的有感機會，原本只是教師操作或是某一兩位同學示範，但是透過桌遊，每一個孩子都可以在數學課堂中充分參與。
從數學學習態度的面向來看，學生除了對數學活動有了興趣，在解題與答題變得較有自信，討論時不會因為同學的質疑而受到影響。即使花費多一點時間去嘗試，也願意慢慢找出規律；即使失敗，也僅視為遊戲中的運氣，而面對挫折的容忍度提高了。同學間互相幫忙完成任務卡，為了是否拼出正確的結果，彼此討論與分享自己的想法。這些可以都從學生在活動進行間的互動與回饋單的答覆看出來。 參考資料
單維彰和鄭章華主編（2018）。十二年國教數學素養導向課程設計與教學案例。新北市：國家教育研究院。
教育部（2018）。十二年國民基本教育課程綱要：國民中小學暨普通型高級等校－數學領域。台北市：教育部。
鄧家駿（2018）。數學奠基活動「矩形拼板」。台北市：臺灣師範大學數學教育中心。 鄧家駿 臺北市立景興國中數學領域教師
火星探究的新任務：人類登陸火星的超前部署
文/吳育雅
尋找地球之外的太空生命是人類終極的好奇，也是太空生物學的烈火熱情。在地球之外尋找生命，首選目標即是火星。火星的探測計畫眼前著重的問題是：火星曾經有生命嗎？火星有支撐生命的條件嗎？從地質分析可了解多少火星的環境與氣候變遷？即使火星未找到生命痕跡，人類也想知道去火星選擇在哪裡降落？我們有機會在那裡生存嗎？火星表面是否可找到「適居」地點？人類上火星之後當如何就地取材？
火星任務太空接力賽
在所有天文太空的研究中，火星是人類挹注資金最高額的項目，因為火星環境與地球最相似，過去60年來人類對於火星的認識與太空技術已經相當成熟，況且每兩年就有一次「發射窗口」的機會，想參與太空科技能力評比的國家都要先通過去火星的初賽。人類自從1960年代登月成功之後就開始探測火星的計畫，成功實現機率僅為半數。最大贏家是美國太空總署(NASA)，1964-2018年間共執行火星計畫21次，15次圓滿成功。前蘇聯最慘，從1960-1988年共計發射17次火星任務，僅有一次成功紀錄。
行星探測計畫有不同的進程：最容易的是飛越（flyby），只要能從地球軌道進入火星軌道，在近距離通過時速取得火星觀測資料。有了這個能力之後，第二階段是發展火星的軌道太空船（orbiter），換軌到火星後要降速到低於火星的脫離速度5公里/ 秒，被火星的重力束縛，成為繞火星運轉的人造衛星。之後繼續挑戰困難的任務--降落在火星表面（lander），因為火星大氣太過稀薄，地形崎嶇表面又布滿坑洞碎石，保障太空船安全登陸不至於墜毀或撞擊，需要創新的減速技術。登陸成功之後，更企圖在火星上開漫遊車（rover）四處移動，最好也在漫遊車安裝可伸縮的自拍器、配備可鑽探的長手臂和更多先進的分析儀器。
1960年最早的蘇聯「火星一、二號」（Ｍars 1, 2）， 1962-1964 美國的「水手號3, 4, 5, 8」先以「飛越」為任務目標可惜大多失敗，人類首次成功飛越是1964發射的水手四號，在通過火星高空（最接近火星表面時高度為9,844公里）取得22張影像傳回。此後蘇聯與美國又經歷數次失敗，1971年美國的水手九號成為火星的第一個軌道衛星，水手九號進入火星軌道之後，火星卻以鋪天蓋地長達一個半月之久的沙塵暴迎接這個外來的衛星，水手九號計畫耐心等候，終於成功達標獲得空前的勝利，在它圍繞著火星轉的十個多月期間，研究了火星的大氣壓、密度，火星表面的組成物質、重力場、地表起伏等，燃料用罄之前共完美傳回7,329張火星影像（參考資料1)。
除了美國與前蘇聯的太空較勁之外，日本於1998年也嘗試發射「希望號」（Nozomi）可惜任務失敗。到了21世紀，火星任務更是美國太空總署贏者全拿的局面，歐洲太空總署（ESA） 2003年首次計畫是雙重任務，包含火星快車 (Mars Express) 軌道太空船和登陸小艇「小獵犬2號」（Beagles2），可是小獵犬2號降落後渺無音訊，這項計畫僅能算一半成功。歐洲太空總署(ESA) 與俄羅斯2016年的「火星生物探測器」（ExoMars）也是軌道器成功、但登陸小艇再次失敗。俄羅斯與中國2011年的合作計畫失敗，最特別的是印度在2013年發射的火星軌道衛星(Mars Orbiter Mission) 軌道太空船，軌道十分特殊，距離火星最近時387公里，最遠則在8萬公里高，呈相當扁平的橢圓軌道。總結至今全球前後共有44次火星任務，成功的任務加起來18次。
火星軌道太空船就如同地球上空的觀測衛星，能全面性連續地收集火星表面的各種資料。在水手九號之後，1997年起NASA的火星全球探勘衛星（Mars Global Surveyor , MGO）取得廣角、解析度達6公尺的影像，且非常順利地運轉直到2006年為止，它搜遍了火星全球表面，對於火星的氣象模式特別是「沙塵暴」的發生季節與頻率建立了很好的觀測數據，它配備的雷射測高計的資料描繪出北極區冰帽的立體樣貌。而火星表面很多「山溝」的景象透露出火星有偶發「液態水」流出地表。火星漫遊號( Mars Odyssey) 自2001年出發後至今已工作將近20年，它的伽馬射線分光儀測出火星極區、阿拉伯地盤( Arabia Terra )、亞馬遜平原、艾里申等大片區域存在地下冰，也測出火星地表受到的輻射威脅比預期高出兩、三倍，同時也擔負傳遞火星漫遊車機會號和好奇號的訊息。ESA 火星快車軌道探測器，攜帶著OMEGA 分光儀、NASA的火星探勘軌道衛星 （Mars Reconnaissance Orbiter, MRO ) 分別都在火星上發現大區域黏土礦物，MRO軌道衛星在火星表面大約300公里的高空，配備的高解析度相機達30公分的清晰度，甚至比大家常用的地球地圖google map還要精細。另有兩個軌道衛星分屬ESA太空船（ExoMars Trace Gas Orbiter） 以及NASA的火星大氣與揮發性物質演化（MAVEN）主要針對火星大氣的微量氣體與高層電離的特徵。從火星軌道太空船收集到的數據截至目前實在太豐富了，然而這些數據需要更多適當理論才能建構出合理解釋。
根據我們對於生物的認識，以往認為生命的三要素是：陽光、空氣和水，20世紀晚期卻在地球上暗無天日的深海、火山熱泉與深入地底，發現依舊充滿活蹦亂跳的生命之後，才懂了不管高溫、高壓、高鹽等等極端環境，生命幾乎無所不在。人類深刻檢討生命的基本要素，原來「水」是生命最核心的需求。21世紀的火星探測即以「跟著水走（follow the water ）為目標，選擇登陸火星的位置依工程的考量則是：(1)比較低的海拔，以利在登陸時有較大的空氣阻力來減速；(2) 介於南北緯30度之間，以利太陽能發電，且終年溫度不至於過低至機械操作失靈。從科學的角度來說，選址考慮即是遵循「跟著水走」的目標，標定河谷、沖積扇、三角洲、濱海等環境優先。
火星登陸任務在地形、礦物、地層等的細微了解，是建立火星地表作用與氣候環境變遷理論的第一手資料。火星成功登陸任務至今共有八次（圖1 (a) )，全是由美國太空總署執行，1976年維京一號與維京二號分別在火星金色平原 （Chryse Planitia, 22.48°N, 49.97°W）, 烏托邦平原 (Utopia Planitia, 47.27°N, 225.99°W）兩地降落，1997年探路者號（Pathfinder）成功登陸後放出漫遊小車旅居者號（Sojourner）工作三個多月。本世紀以來，2004年到達火星的孿生兄弟精神號與機會號，以及2012年的好奇號，裝備齊全有如野外地質學家，都擊出了比漂亮全壘打更完美的驚人成果。登陸任務的選址除了2007年在北極附近著陸驗證地下水冰的「鳳凰號」（圖1 (b) )，2018年派出「洞察號」則監視「火星震」與火星地下物理現象。其他多次任務考量是尋找水和生命的蹤跡（圖1 (c) )，以地質調查為主，從2004年至今十餘年所發現的地質現象，讓我們對火星的過去環境與氣候非常豐富的收穫。
圖1. 火星登陸任務-- (a) 至今八次成功的任務，以及2020即將發射的毅力號選址（Mars 2020，黑粗方框標示) 。選址首先考量在南北緯30度（虛線）之內較溫暖的地表以利機械運作以及收集太陽能。(b)比較特殊的登陸位置為「鳳凰號」主要任務是為了探極區的地下水冰。(c) 登陸火星大多選在湖泊、海濱及河道終點等可能尋找水與生命蹤跡的環境(資料來源： NASA, google Mars)。
目前在火星上運轉的除了好奇號與洞察號，還有六個地球派去造訪的軌道衛星，日日夜夜為火星拍照、測量大氣、溫度、風（Ｍars Odyssey ＆MRO)、微量氣體與揮發物(MAVEN)，偵查那裡有沙塵暴、土石崩塌（MRO)，地球上的科學家因而可為火星預報天氣、發布火星震或雪崩、沙塵暴的消息。其中有些同時作為火星表面登陸小艇和地球聯繫的中繼站，為火星表面調查地質的好奇號、偵測火星震與火星內部結構的洞察號，傳遞他們所收集到的資訊（圖2）。
圖2. 21世紀在火星上的軌道衛星以及登陸任務，火星探測的目標從「跟著水走」、「探索適居居性」、「尋找生命蹤跡」到「為人類登陸火星部署」，2020年將出發的毅力號，可能在七月中旬到八月初的發射窗口啟程(資料來源： NASA)。
地質證據如何揭露火星的氣候環境變遷？
1965年水手四號從距離火星地表將近一萬公里高空飛越，沒有看到河流、海洋、或是綠意盎然的世界，傳回的影像盡是乾枯死寂的荒漠礫石 ，雖然感到挫折卻依舊滿懷盼望的人類，歸咎於可能是太空船飛得太高了吧！因而企圖就近到火星表面查看清楚。1976年美國的維京一號、二號分別降落，兩艘維京號太空小艇成功傳回1,400 張影像，也就地進行了三項生物實驗，最終宣告兩處都沒有生命蹤跡，尋找火星生命的熱情因此略為被澆熄了。
但1984年一塊南極找到來自火星的隕石ALH84001含有磁鐵礦和碳酸鹽，代表這隕石是在火星曾是汪洋大海的環境中形成，磁鐵礦在地球也常與微生物作用有關。有些科學家更認為隕石中的微構造看來像是奈米化石，這個發現激起人類思索在火星上要找的生命是什麼？1997年派出第一艘可以移動的小車「旅居者號」伴隨駐站登陸小艇「探路者」號抵達火星，在阿瑞斯古 (Ares Vallis, 19.33N/33.55W)附近巡邏拍照，提供岩石照片與天氣資料，沒有生命蹤跡。但既然能夠成功在火星表面開車漫遊，也開拓了遣派機器地質家去火星進行調查的企圖，後來的精神號、機會號以及好奇號三艘火星漫遊車。
目前火星表面氣壓低到無法保留「液態水」，從軌道太空船建立的火星地表可以看到各種河流雕塑的地形，河道、峽谷、支流、沖積扇與三角洲，甚至大片範圍的洩洪道，充分顯示出這是一個曾經與地球一樣有到處液態水漫流的行星（參考資料 2）。火星上曾經有大量的水，有「水」出現，符合生命的基本條件。問題是火星上大量的水到那裡去了？是深藏在地底的地下水？還是高緯度的永凍土中？目前為止這兩種隱藏版的火星水都曾現出蛛絲馬跡，從火星軌道探測器的分析有不少發現。因此進一步要探究的問題是火星的水曾經有多少？是長期存在的現象，還是偶發的？在火星表面消失之前存在了多久？是否有足夠潮濕的環境，是否夠溫暖？足以讓生命出現、演化並保留在地層中？這些問題就需要從地質學去參透火星環境變遷了。
火星探勘軌道飛行器(MRO ) 在火星上發現了上千個位置有黏土礦物，大體可知火星上有過長期溫暖潮濕的氣候，因為黏土是長石經過水解轉變而成的，但究竟長石是在怎樣的環境下與水變化？是河岸、湖泊、海濱還是溫泉，確實情況還是需要派一部地質機器人小車登陸去找更多證據。登陸火星的漫遊車、實驗室，基本上都是地質探路先鋒。透過地質分析了解火星的環境與氣候變遷，在火星找到的礦物與地球上比對，是目前我們建立火星過去歷史的根據。
2004年兩艘孿生漫遊小車「精神號」「機會號」分別在火星赤道的兩端古瑟夫坑（Gusev crater at 14.5718°S, 175.4785° E.）及子午線高原 (Meridiani Planum at 354.4742°E, 1.9483°S），古瑟夫坑這個地點看起來像河道蜿蜒曲流進入的終點湖泊。但精神號開始探索之後，發現該地的地層被火山岩覆蓋。精神號且戰且走、遠眺附近尋找有價值的目標，爬上附近的哥倫比亞小丘(高度90公尺）在土壤中發現含有蛋白石（含水的二氧化矽），類似黃石公園的溫泉或噴泉活動的沈積物，這次發現讓科學團隊歡呼不已。火星另一端的機會號也在奮進坑(Endeavour Crater)發現蒸發而形成的石膏，暱稱「小藍莓」的赤鐵礦小球粒，還有黃鉀鐵礦(jarosite )，都是與水有關的礦物。這些含有「水」的礦物，說明火星確實到處都有水的遺跡。
2012年火星實驗室到達蓋爾隕石坑(Gale Crater)，從先前的軌道太空船知道這是一個厚達數公里黏土堆積的低窪坑洞，透過光譜分析得知有鐵鎂綠土（蒙脱石類，Fe/Mg smectite)和富鎂碳酸鹽等代表沖積河道中性環境的風化產物，說明黏土形成時這區域如同地球上的淡水湖一樣。從隕石坑邊緣流入的河水夾帶的細泥，是由附近岩石風化而來的黏土礦物，經年累月緩緩沉到湖底，一層又一層堆積，在火星的地表水消失後，現今蓋爾隕石坑是已經乾涸的古老河湖床沈積紀錄。在2015年之前好奇號在這一帶仔細鑽探、研究礦物組成，分析得出黏土礦物大多為含鐵皂石(Fe-saponite) ，這在地球大多是火成岩與熱水作用生成的，少量的三價鐵綠土代表較乾燥環境，發現氧化錳(MnO)，說明大氣曾有充足的氧氣，這些現象大致上與預期相去不遠。
意外的是2017年好奇號爬到隕石坑中的夏普山（圖3 ），看到一大片刻畫著「泥裂」的地表，像我們在水庫乾枯見底時，很容易看見底部泥巴曬乾後的裂痕。泥裂說明這些岩石形成時氣候開始變乾燥了，另一個支持的證據是在這150公尺厚的岩盤偵測高達將近有三分之一強到一半的重量百分比是硫酸鈣（石膏），石膏常出現在鹹水湖岸，因為溶解度低，在蒸發作用強烈時最容易從鹽水中析出，除了硫酸鈣，其他成分有硫酸鎂與氯酸鹽類（參考資料 3）。泥裂加上硫酸鹽類，可雙重確認這些岩層代表鹹水湖環境正經歷散失水、由潮濕發展為乾燥的氣候。那麼湖水是快速蒸發，還是經過很久才逐漸乾枯？從不同比例礦物的組合，能找出更多環境的指標。簡而言之，請想像曬鹽場在盛暑數週不見降雨，水中鹽類全結晶出來便能有純淨的曬鹽結晶。萬一天氣不夠晴朗，偶有陣雨，經過很多年才完全乾燥，這析出的鹽結晶中肯定夾雜了很多灰塵細沙。因此又能根據不同組合的礦物進一步了解，諸如欠缺硫酸鐵和碳酸鹽組成，代表是屬於酸鹼值中等的氧化環境等等，地質學家得以重建這個區域在不同年代經歷的變遷過程。
圖3. 夏普山上多呈水平層狀堆積的沈積岩，是河道進入湖泊的典型沈積岩層。其中不同薄層有差異比例的硫酸鹽礦物組合，更說明這個湖逐漸乾涸的變遷過程(資料來源： NASA)。
登陸漫遊車除了分辨組成岩層的成分，岩層的構造也能就近明察秋毫，沈積岩裡的細節透露出地層演化的時空，可分辨是海底沉積或是風搬運的堆積？是山麓的沖積扇、還是進入侵蝕基準面的三角洲？不同的作用就保留不同的構造。舉例來說，透過軌道衛星清晰影像來分析火星傑哲羅坑(Jezero, 18.9N, 77.5E)，從照片中整理出26層曝露的岩層都是向西側的傾斜，傾斜角度介於0.5～9度。終端沈積層傾斜低於休止角，代表懸浮物堆積，而不是由重力驅使的碎屑沈積，根據三角洲前緣斜坡的前積層(foreset)傾斜角較大，底層的底基層( bottomset)坡角較平緩。同時出現在高度越上方位置的岩層傾斜角越大，顯示該處是一個三角洲的堆積（圖4）(參考資料 4）。由於三角洲沉積物顆粒會比沖積扇細小，有較高的機會保存化石，目前這個地點已經被選為2020年火星毅力號選擇的登陸地點。
圖4. 從岩層不同層面的傾斜角推測火星的傑哲羅坑(Jezero)過去是三角洲堆積環境
21世紀的火星生命旅程
我們對於生物的認知全建立在對於地球生命的了解。最初人們幻想過最好火星上的小綠人願意現身、與我們交換想法。自從太空船到火星之後，這個願望降低到只求在火星的地層中發現微生物蛛絲馬跡，甚至只要確認火星是「可適居」的星球，都會讓人類感到安慰。這個願望從未消失，主要是太陽系可讓生命出現與繁衍的「適居帶」介於金星到火星之間，適居帶是依據恆星的表面溫度，以及行星與恆星的距離兩個條件決定，適居帶簡單來說就是適於「液態水」存在的範圍。我們已知金星表面濃厚的二氧化碳大氣籠罩，攝氏超過500度的高溫無法讓生命存活；地球生命豐富，因而我們好期望在火星找到生物伴侶，畢竟火星氣溫在攝氏零度上下，和地球有相似的四季變化，是符合生命適居的條件。
火星早期曾經有大量的水，從地表可以看到各種河流雕塑的地形，河道、峽谷、支流、沖積扇與三角洲，甚至大片範圍的洩洪道，充分顯示出這是一個曾經與地球一樣有到處液態水漫流的行星。 火星上的水到那裡去了？是深藏在地底的地下冰？還是高緯度的永凍土中？目前為止這兩種隱藏版的火星水都現出蛛絲馬跡，火星快車、火星探勘軌道衛星分析發現靠近極區，以及中緯度的地下可偵測到水冰，而且埋藏在一公尺深度以內。2008在北極區登陸的鳳凰號檢驗水冰是否存在於地下？用它的機械手臂挖出溝槽，有一處在抵達的第20個火星日(sol 20)到第 24個火星日(sol 24)的連續照片（圖5）中，可以看到照片中白色物變小或消失，說明這片白色物體是水冰，不是乾冰，因為乾冰昇華速率要快很多，四個火星日之後應完全消失無蹤。
圖5. 鳳凰號挖出的溝槽--左圖是在鳳凰號到達火星的第20日（一個火星日sol是24.6小時），請注意圖中溝槽的左下角，在陰影下有數塊將近兩公分(2/3”)的小冰塊。右側為第24個火星日照片，顯示左下角的小塊水冰已經蒸發，但是圖中上方較大的水冰尚能保留(資料來源： NASA)。
NASA為此也製作了一張火星「水」的寶藏圖（圖6），紫色區域代表最淺處的地下冰，登陸火星的太空人有機會在地表往下挖 2-3公分就能找到水冰。同時考慮地表溫度不會太低與地形平緩等條件，圖中白線框出的範圍是最適合太空人就地找到水源的區域。
圖6. 火星上的水冰寶藏圖--右側的色標顯示這些色彩代表在地下不到一公尺之內蘊藏著水冰，越冷的顏色覆蓋區域水冰躍進地表。黑色範圍標示為厚層細沙區域，太空船在這些地區降落可能沉陷，特別在寶藏圖上以黑色警示(資料來源： NASA)
目前在火星進行高空繞轉的除了兩個忠實的衛星（火衛一、火衛二）之外，有六個地球派去造訪的軌道衛星，日日夜夜為火星拍照、測量大氣、溫度、風（Ｍars Odyssey, MRO)、微量氣體與揮發物(MAVEN)，偵查哪裡有沙塵暴、土石崩塌（HiRISE/MRO)，讓地球上的科學家可以為火星預報天氣、發布火星震或雪崩、沙塵暴的消息。其中有些同時作為火星表面登陸小艇和地球聯繫的中繼站，為火星表面調查地質的好奇號、偵測火星震與火星內部結構的洞察號，傳遞他們所收集到的資訊。
那裡有適合生命存在的條件？火星軌道衛星檢測出火星的高輻射量、高氯酸鹽對生命具有威脅，或許因此火星目前是死寂的，但早期溫暖潮濕的環境是很有機會醞釀生命的。生命曾在火星出現嗎？太空生物科學家規劃了火星可能找到化石的地點，通常碳酸鹽保存化石的機會大，這也是2020年毅力號的登陸地點傑哲羅坑(Jezero) 為三角洲的水下沉積碳酸鹽，是尋找化石非常有希望的位置。這回火星任務還配給毅力號一架無人機，人類可能開啟在火星低層飛行的新旅程。
原定在今年七月接棒火星探測的不僅美國太空總署(NASA)的Mars 2020（Perseverance/毅力號）、歐洲太空總署(ESA)的 羅瑟玲·富蘭克林 （Roselind Frankline ），還有中國的火星一號。ESA的計畫近期因受新冠病毒COVID-19影響，已將火星任務延後到2022年。毅力號明年初抵達後會有什麼新的發現呢？讓我們拭目以待。
參考資料 李傑信 (2000) 。我們是火星人？ 台北：天下。
吳育雅(2012) 。尋找火星上的水。科學研習，51(9). 2-21。
Rapin, W. (2019). An interval of high salinity in ancient Gale crater lake on Mars. Nature Geoscience, 12, 889-895. DOI: 10.1038/s41561-019-0458-8.
Goudge, T., Ralph E. Milliken, R. E., Head, J., & Mustard, J. F. (2016). Sedimentological evidence for a deltaic origin of the western fan deposit in Jezero crater, Mars and implications for future exploration. Earth and Planetary Science Letters. 458, 357–365.
NASA Mars Program. Retrieved from https://science.nasa.gov/solar-system/programs/mars-exploration
吳育雅
國立臺灣大學師資培育中心支援教師
散步的費波那契
文/游森棚
費波那契(Fibonacci)先生想出去散散心。從位於原點的家門口出發，沿著數線共走五步，步長依次是 1, 1, 2, 3, 5 單位。每一步可以往數線的正方向走， 也可以往數線的負方向走。但是他不想離家太遠。所以希望在散步的過程中， 最遠的落腳處可以離家盡量近。
比如說, 如果他走 +1, -1, +2, -3, +5
則過程中最遠會離家四單位(在最後一步走完後)。但如果他走
+1, +1, -2, +3, -5
則過程中最遠會離家三單位 (在走完+3之後)。 因此，是比較好的走法。
事實上離家三單位不能再更好了，而且除了上面這一種方法之外，還有好幾種方法，你能幫費波那契先生全部找出來嗎?
請問如果他今天走了八步，步長依序是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 那麼, 「行走過程中，最遠的落腳處離家最近」的走法要怎麼走?
游森棚
國立臺灣師範大學數學系教授 检测语言世界语中文简体中文繁体丹麦语乌克兰语乌兹别克语乌尔都语亚美尼亚语伊博语俄语保加利亚语信德语修纳语僧伽罗语克罗地亚语冰岛语加利西亚语加泰罗尼亚语匈牙利语南非祖鲁语卡纳达语卢森堡语印地语印尼巽他语印尼爪哇语印尼语古吉拉特语吉尔吉斯语哈萨克语土耳其语塔吉克语塞尔维亚语塞索托语夏威夷语威尔士语孟加拉语宿务语尼泊尔语巴斯克语布尔语(南非荷兰语)希伯来语希腊语库尔德语弗里西语德语意大利语意第绪语拉丁语拉脱维亚语挪威语捷克语斯洛伐克语斯洛文尼亚语斯瓦希里语旁遮普语日语普什图语格鲁吉亚语毛利语法语波兰语波斯尼亚语波斯语泰卢固语泰米尔语泰语海地克里奥尔语爱尔兰语爱沙尼亚语瑞典语白俄罗斯语科萨科西嘉语立陶宛语索马里语约鲁巴语缅甸语罗马尼亚语老挝语芬兰语苏格兰盖尔语苗语英语荷兰语菲律宾语萨摩亚语葡萄牙语蒙古语西班牙语豪萨语越南语阿塞拜疆语阿姆哈拉语阿尔巴尼亚语阿拉伯语韩语马其顿语马尔加什语马拉地语马拉雅拉姆语马来语马耳他语高棉语齐切瓦语 世界语中文简体中文繁体丹麦语乌克兰语乌兹别克语乌尔都语亚美尼亚语伊博语俄语保加利亚语信德语修纳语僧伽罗语克罗地亚语冰岛语加利西亚语加泰罗尼亚语匈牙利语南非祖鲁语卡纳达语卢森堡语印地语印尼巽他语印尼爪哇语印尼语古吉拉特语吉尔吉斯语哈萨克语土耳其语塔吉克语塞尔维亚语塞索托语夏威夷语威尔士语孟加拉语宿务语尼泊尔语巴斯克语布尔语(南非荷兰语)希伯来语希腊语库尔德语弗里西语德语意大利语意第绪语拉丁语拉脱维亚语挪威语捷克语斯洛伐克语斯洛文尼亚语斯瓦希里语旁遮普语日语普什图语格鲁吉亚语毛利语法语波兰语波斯尼亚语波斯语泰卢固语泰米尔语泰语海地克里奥尔语爱尔兰语爱沙尼亚语瑞典语白俄罗斯语科萨科西嘉语立陶宛语索马里语约鲁巴语缅甸语罗马尼亚语老挝语芬兰语苏格兰盖尔语苗语英语荷兰语菲律宾语萨摩亚语葡萄牙语蒙古语西班牙语豪萨语越南语阿塞拜疆语阿姆哈拉语阿尔巴尼亚语阿拉伯语韩语马其顿语马尔加什语马拉地语马拉雅拉姆语马来语马耳他语高棉语齐切瓦语