數學

森棚教官數學題──蜿蜒曲折

文／游森棚 將 12 個單位小正方形組成一個 3 × 4 的矩形 1.若要畫一條轉折次數最少的折線通過 12 個小正方形的中心各一次, 轉折次數最少是多少？ 2.若要畫一條轉折次數最多的折線通過 12 個小正方形的中心各一次, 轉折次數最多是多少？ 3.有哪些可能的轉折次數？ 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授

森棚教官數學題──鳩佔鵲巢

文／游森棚 鳥窩裡有五隻小喜鵲，以及一隻混進來的小斑鳩。這六隻小鳥圍成一圈，小斑鳩編號是0，接著沿著圓周五隻喜鵲順時針座號為１,２,３,４,５。 視力不好的喜鵲媽媽帶著五份食物回來，她餵食的方法相當有趣： 首先她選一隻小鳥餵食，假設這隻小鳥的座號是k。下一隻被餵食的鳥是由這隻鳥開始，順時針接著沿著圓周數的第k 隻鳥。然後看這隻鳥的編號是多少（比如說是r），再由這隻鳥開始沿著圓周數的第r隻鳥就是下一隻被餵食的鳥，以此類推。但是如果餵食到斑鳩，食量大的斑鳩會馬上把所有食物吃光。 因此，如果一開始喜鵲媽媽選了０號斑鳩，那這樣所有小喜鵲都要餓肚子了。如果一開始喜鵲媽媽選了２號小鳥餵食，則會有兩隻小喜鵲吃到食物，餵食順序是 ２→４→２→４→２ 如果一開始喜鵲媽媽選了３號小鳥餵食，則只有這隻小喜鵲吃到食物，因為餵食順序是 ３→０ 喜鵲媽媽要從幾號小鳥開始餵，會讓最多小喜鵲吃到食物？ 承上題，吃最多份食物的小喜鵲吃了幾份食物？ 你能不能幫五隻小喜鵲的位置排一個順序，使得喜鵲媽媽從某一隻開始餵食時，會讓五隻小喜鵲都吃到食物，但是小斑鳩沒吃到？ 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授 本文引用格式：游森棚（2023）。森棚教官的數學題──鳩佔鵲巢。科學研習，62（2），81。

森棚教官數學題──換汽水

文∕游森棚 年假期間，小誼一家人與鄰居多人，浩浩蕩蕩組一個旅遊團到風景區玩耍，玩累了口渴，於是請小誼到商店買汽水。商店的門口寫著： 「過年大優待！『七個瓶蓋加上三個空瓶』或『三個瓶蓋加上五個空瓶』都可以再換一瓶！」 小誼身上剛好帶了可以買十七瓶汽水的錢，請問這個旅遊團最多可以喝到幾瓶汽水呢？ 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授 本文引用格式：游森棚（2023）。森鵬教官的數學題：蜂窩六邊形。科學研習，62（1），100。

退火（Annealing）是什麼？

文／舒宇宸 退火技術是什麼？是夏天火氣大要一起去買青草茶退火嗎？不是喔！不過倒是有那麼一點關係。退火這個名詞是冶金技術的一種方式，在金屬結構排列尚未穩定之前，把金屬加熱到高溫，然後再緩慢降溫，降溫就是退火。這時候金屬內部的排列就有可能冷卻到一個排列更整齊、能量更低，比之前更穩定的狀態。下圖一是將各種分子想像成不同顏色的像素，若顏色相似的像素在近距離會互相吸引，而在遠距離會互相排斥，透過模擬退火的方式，快速退火就會得到圖一左邊的樣式，而緩慢退火就會如圖一右圖。從圖一中就可以看出退火快慢的影響。而這種方式因為有機會得到最低能量，所以後來退火這個名詞也被衍生成最佳化的方法之一。 圖1. 快速退火（左圖）與緩慢退火（右圖）的範例，可以發現右圖的排列更整齊。 本圖片取自https://en.wikipedia.org/wiki/Simulated_annealing 退火技術怎麼對金屬以外的過程進行最佳化呢？舉例來說如果我們用退火法來解決倉儲問題：一個貨物倉庫，有大小不同的貨物要盡量放進去這個倉庫中，希望能夠把這個倉庫堆滿，目標就是讓倉庫剩餘空間最少。這就像上述冶金過程中，把每一個貨物想像成一個原子一樣。假設有 n=100 個貨物，放入與不放入倉庫兩種選擇，那麼就會有2n=2100≈1030種放置方法。一開始我們可以隨意放幾件貨物進倉庫，也就是設定一個初始的放置方法。在此我們設定一個能量函數，就是將貨物放置到倉庫之後剩下的倉庫空間。這個問題就是要問怎麼放貨物進倉庫，才能讓能量函數最小。「加熱到高溫」的這件事，當然不是在貨物上面加熱，而是想像有一個高溫讓分子移動，也就是貨物移動，如改變一下貨物擺放的方式，或是交換另一個不同的貨物進來倉庫。當然我們希望每次交換都能讓倉庫剩下的空間越少！但事實上交換可能會讓剩下的空間變多，例如移出一個大貨物交換一個小貨物進來。但誰知道最後是不是要把大貨物先搬出來，才有可能用小貨物把倉庫堆滿呢？所以在退火法中就設定了一個跟溫度有關的接受機率，溫度越高，就有高的機率允許倉庫內的設置往高能量的方向，也就是像剛剛所說的，允許搬出一個大貨物換一個小貨物進去；溫度越低，則讓設置往低能量的方向去，也就是希望每次交換貨物進來，都能讓倉庫剩下的空間變小。這個接受機率p的設定一般會用下列的指數函數： 來設定，其中T是假想的溫度，Δ是新舊設置之間能量函數的差異。若新設置的能量函數較舊設置小，就是找到了更低的能量，此時Δ1，則一定會接受新的設置。若新設置的能量函數較舊設置大，此時Δ>0，接受機率p 退火法還可以用在什麼地方？數獨大家有玩過嗎？就是在一個已經有填好一些數字的9x9的方格中，每一行、每一列、每個3x3的框框中填入不重複的1~9的數字。下圖二就是一個數獨的關卡。我們也可以利用退火法來找到這個數獨的答案。在這邊我們先用每個3x3的框框來思考，舉例來說，圖二的左上角框框中有2、4、6、3四個數字，因為這3x3的框框中要有1~9，所以5個空格中可以填入1、5、7、8、9等5個數字，所以不管填完之後在行或列上正不正確，總共有5!=120種填入方法。像這樣依序把9個框框中可能的填入方法算完，就會知道要解這個數獨是在5!⋅6!⋅6!⋅3!⋅8!⋅6!⋅4!⋅4!⋅6!≈4.5×1021種方法中找到一個答案。 首先我們得先數字化這個數獨遊戲的目標。也就是建立一個能量函數：「為每一種不同的填法，不管它填的正不正確，計算出離數獨遊戲完成還有多遠。」為了說明這一個能量函數，我們先隨便找一個方式填入，如圖三。這時候幾乎不會滿足數獨的規則。像它的第一列就是524 457 628這九個數字，當中沒有出現1、3、9這3個數字，這時我們就在它的右邊標記3，以說明這一列還有3個數字沒有填入。第二列679 319 379沒有出現2、4、5、8這4個數字，我們就在它的右邊標記4，依此類推可以寫出這9列還有多少數字沒有填入。而第一行由上而下是568 457 263，沒有出現1跟9這2個數字，我們就在它的下面標記2，以說明這一行還有2個數字沒有填入。依此類推也可以找到每一行還有幾個數字沒有填入。最後把每一行、每一列沒有出現的數字個數總和加起來，紀錄在它的右下角，以圖三的填法就是49。49就成圖三填法的能量，這個能量函數以數學式來表示如下： 其實就是這9行9列中尚未滿足數獨規則的數字個數有多少，這個紀錄方式如圖四。之後每填入一種不同的方式，就會對應到不同的能量值。如果這個值變成0，就代表了1到9在每一行、每一列都出現1次了，也就是解出了這一個數獨了。接著我們可以設置一個溫度T，讓它隨著每一次試驗下降，舉例來說，每次下降1%，也就是乘上0.99。然後每一次試驗隨機選一個框交換其中某幾個數字，並計算出能量值，透過接受機率看目前的能量值是否能被接受為下一個試驗的起始值。隨著溫度漸漸下降，退火，我們就有機會得到這個數獨的答案。完整的算法有興趣的讀者可以參考文獻1或2，有對應的python程式可以實作。 圖2. 數獨關卡 圖3. 在每個3x3的框框中 隨機填入剩餘的數字（以紅色表示） 圖4. 計算每行（綠色標示）每列（藍色標示） 尚未出現的1~9的個數及其總和（紫色標示） 退火技術可以用來解決很多問題，目前常用來解決的模型問題就是二次非限定的二元優化問題，Quadratic Unconstrained Binary Optimization，簡稱QUBO問題，它的能量函數設計如下 其中x𝑖是0或1，通常就是一個很長的二元向量，Q𝑖,𝑗是對應的權重。這個模型你可以想像成手中有許多神奇寶貝，上場時每一隻𝑋𝑖有它的攻擊力Q𝑖,𝑗（因為𝑋𝑖是0或1，所以𝑋𝑖2=𝑋𝑖）；而當兩隻神奇寶貝𝑋𝑖、𝑋𝑗同時上場時，它們會有攻擊加成Q𝑖,𝑗（不見得是正的喔，搞不好上場會互相干擾），而E()就是總攻擊力。退火技術就是在搜尋最低的攻擊力組合，若要找最高的攻擊力，則將所有的Q𝑖,𝑗加負號即可。QUBO可以對應到許多不同的生活問題，如售貨員問題、排班問題、封裝問題、交通問題等等，可以參考文獻3，這些問題都與生活息息相關。 上述的退火技術或QUBO問題，在計算每一種設置是可以平行處理的。在目前量子技術火熱的年代，它可以透過量子Qubic來同時模擬不同的設置情況。像D-Wave公司所推出的Quantum Annealing（量子退火），就可以很快將所有的情況模擬出來並得到解答，可以參考文獻4。若不是透過量子電腦，像Fujitsu公司推出的Digital Annealing Units，也是一種受量子計算法啟發的而改進的數位退火，可以達到同樣的效果。這些在2022年Science Reports中有關於量子退火及數位退火之間效能的比較，可以參考文獻5。目前數位退火在位元耦合上是比量子退火來得有效率的，實用的案例像KutxaBank透過數位退火器來計算投資的最佳分配（參考文獻6）；多倫多大學工程學院也透過數位退火進行分子設計來改進製氫的催化劑（參考文獻7）。或許在不久的將來，我們都能夠透過不管是量子、數位或是模擬的退火技術來享受更好的未來。在某個陽光午後，解不出數獨時，也不妨來杯青草茶退火一下，或許答案就出來了喔！ 舒宇宸 國立成功大學數學系副教授 參考文獻 [1] Metaheuristics can solve sudoku puzzles | SpringerLink [2] https://github.com/challengingLuck/youtube/blob/master/sudoku/sudoku.py [3] https://blog.xa0.de/post/List-of-QUBO-formulations/ [4] https://docs.dwavesys.com/docs/latest/c_gs_2.html [5] https://www.nature.com/articles/s41598-022-06070-5 [6] https://www.fujitsu.com/global/about/resources/news/press-releases/2022/1222-01.html [7] https://www.greencarcongress.com/2022/12/20221218-da.html 本文引用格式：舒宇宸（2023）。退火（Annealing）是什麼？科學研習，62（1），82-86。

跑馬拉松算數學！

文／李祐宗 2022年9月25日號稱世界六大馬拉松之一的德國柏林馬拉松開跑了，冠軍由素有馬拉松之神的Eliud Kipchoge 最終以2小時01分09秒完成賽事！打破世界馬拉松的紀錄。消息一出，各大媒體無不爭先報導此新聞，也讓愛好路跑的跑友們聞之熱血沸騰。在媒體報導中，指出Eliud Kipchoge平均每公里配速為2分52.27秒，換算大約為平均每一百公尺17秒的速度。一般民眾一百公尺只花17秒已經有難度了，更何況Eliud Kipchoge是以此速度連續跑了將近兩個小時！ 馬拉松運動來自公元前490年古希臘時代雅典與波斯之間的馬拉松戰役。據傳希臘在這場戰役中擊敗波斯軍隊，雅典士兵菲迪皮德斯為了傳達獲勝訊息，由馬拉松平原跑回雅典報捷，隨後力竭而死。後世為了紀念這位士兵，遂將馬拉松平原至雅典的距離（約40公里）變成為一項賽事活動。而經常有人會問：為何全程馬拉松的距離會是42.195公里？後面的195公尺是如來的呢！？其實最初4屆奧運的馬拉松賽，距離都由主辦單位隨意制定。西元896年雅典奧運會，馬拉松的距離不足40公里，西元1900年巴黎奧運會，距離大約是40公里，直到1908年倫敦奧運會，馬拉松的起點設在溫莎城堡，終點設在白城運動場內，賽道全長42.195公里，此後奧運馬拉松賽事均以此長度為標準。 柏林馬拉松自西元1974年開始舉辦，舉辦時間在每年9月的最後一個星期日，為獲得國際田徑總會（IAAF）金牌等級認證的全程馬拉松。馬拉松的賽道全長為42.195公里。 筆者近年來有慢跑習慣，因此逐漸了解關於跑步的相關資訊，其中對於長跑界的專有名詞」配速」相當的專注。常聽到跑友互相分享「您跑幾分速？」，跑者各有不同的配速：「6分速」、「5分速」、「4分速」等。舉例來說，何謂6分速呢？意即每公里所花的時間為6分鐘；5分速為每公里所花的時間為5分鐘；3分速為每公里所花的時間為3分鐘等，依此類推。故以速度來說，5分速的速度較6分速為快；4分速的速度較5分速為快，依此類推。馬拉松之神Eliud Kipchoge此次的配速約3分速。 3分速有多快呢？ 5分速又有多快呢？ 筆者在教學現場常給學生一道題目：假設人跑步速度的極限為10m/s，則時速大約幾公里？沒有想到每個班級能夠計算出來的同學很少，讓我不禁想起是否因同學平常欠缺換算的訓練所致，所幸經過一番講解後，大部分的同學都能理解，此題的解為36km/hr（讀者可自行換算）。筆者會提出此問題是讓學生了解人類的跑步極限時速，當然，這樣的速度人體極限也頂多只能維持到跑400公尺而已，即使是世界頂尖選手也無法以此速度跑42公里。若以3分速跑完全程馬拉松42km（實際是42.195km，為了便於計算取整數），所需的時間為42×3=126分鐘=2小時零6分。這距離世界紀錄不到5分鐘的差距，也幾乎是人體的極限了！反之，這樣的速度如何換算成每百公尺的速度呢？42公里=42000公尺=420個一百公尺，126分鐘=7560秒，7560秒÷420百公尺=18秒/百公尺。以筆者的速度來說，個人全力衝刺一百公尺尚需20秒左右，且只能衝刺一趟，實在很難想像頂尖跑者可以以此速度跑完全程馬拉松（俗稱全馬）。 以6分速跑完42公里則需42×6=252分鐘，等於4小時又12分鐘。常聽到跑友想在全馬破4，破4的意思是全馬要在4小時內完成。那請問該選手該如何配速呢（用幾分速）？4小時=240分鐘=14400秒，14400s/42km≒343s/km，等於每公里要在5分43秒內完成，這樣的配速在跑界簡稱為543。因此以半馬約21公里來說（實際是21.0975公里，即42.195公里的一半），想要在破2也是至少需543的配速。 再假設半馬約21公里跑了一小時35分，則配速是幾分速呢？一小時35分=95分鐘=5700秒，5700/21≒271s/km，等於每公里4分31秒的配速，大約是4分半。在國內外馬拉松比賽時，主辦單位會安排不同跑速的配速員（俗稱列車長）。有6分速、5分半、5分速、4分半、4分速、3分半及3分速等。配速員的功能是他們全程會以所指定的速度以等速度跑完全程，跑者只要跟著該配速員，跑速就等同該配速員的速度，這樣可以讓跑者知道自己目前的速度為何。隨著科技的發達，坊間有許多專為運動設計的電子錶，透過GPS可以隨時監測運動的各項數據，如跑速、心率及里程數等，很是方便。 提到長跑習慣，有些人喜歡在戶外跑，有些偏好在學校操場。在戶外慢跑的優點是有風景可以欣賞，跑操場則必須重複繞圈圈（跑界俗稱叫做吃甜甜圈），跑起來不免有些無聊感，但安全性比起戶外高很多。 根據國際田聯田徑場地設施標準手冊的規定，標準的體育跑道內圈周長400米，其中彎道半徑應為36.5米，直道要沿南北方向避免太陽位置低時的炫目影響。應有8條跑道，直道可有10條，每條跑道寬為1.22米，跑道內側安全區域不少於1米，外側最好也有1米的安全區，起跑區最少3米，衝刺緩衝段至少17米。跑道左右傾斜度最大不得超過1：100，跑的方向上的向下傾斜度不得超過1：1000。 提到跑道的形狀，筆者問過不少任教學生操場形狀的解析，絕大多數的同學都能說出跑道面積是由兩個半圓加上一個矩形的組合，而兩個半圓組成一個圓。故最內圈400公尺等於一個圓周加上兩個矩形的長。圓周長為36.5×2×π≒230m，故跑道兩側的直線線段長度約為（400-230）÷2=85m（如圖）。 圖1. 操場面積分解圖 接著探討各圈跑道的長度，理論上內圈的400公尺應在圖2中的第一線道上，但跑步往往不是跑在線上，假設是跑在線道之間（1.22公尺）的中間，因此實際的長度應為[85×2+（36.5+0.61）×2×π≒403公尺] 圖2. 國際標準田徑場 現在我們以第一線道為400公尺來推算第二線道至第八線道的長度，以表格呈現數據如下： 表1. 國際標準400公尺各線道一圈長度（M） 因此，假設要在第八線道跑5000公尺，則需跑11圈又17公尺（453×11=4983公尺）；若要在第五線道跑5000公尺需跑11圈又270公尺（430×11=4730公尺）。若要在第一線道跑半馬約21公里，則需跑52圈又200公尺，等於52圈半（52×400=20800公尺=20.8公里） 估測是一種能力，筆者經常利用數學課堂實施教室面積、高度與操場跑道長度的估測，想藉由此活動來讓學生學習如何估測，以及比較各組的數據看誰最準。既然是估測，代表除了學習單、筆以外，規定學生不得使用尺，其他工具則放寬使用。其中在跑道長度估測任務，許多學生會想到使用腳步來估測，但步伐的長度如何估測呢？筆者曾比較普通班學生和資優班學生，資優班學生很快就可以想出利用學校一百公尺的直線道除以步伐數得到每一步伐的長度。普通班孩子就難想到此方法，往往得經過教師提示後才恍然大悟。其實此問題可再延伸，若用一百公尺除以步伐數和用四百公尺除以步伐數，哪一種得到的估計值會較準確呢？讀者可以思考一下。 此外，有些同學利用鞋子長度來進行估測，通常鞋子都有標示各國的尺寸號碼，其中日本是採用公分來標示。以27.5公分的鞋號來估測也會有誤差，原因是27.5公分指的是鞋內長度，而非外緣長度，因此每一步至少都會產生1~2公分的誤差，累積的誤差會很可觀。也有的學生步伐長度是用猜測的，這樣的誤差會更大。但無論如何，可以讓學生嘗試不同的方式來學習生活中的各項問題，此經驗是難能可貴的。 當學生估測完一個步伐的長度之後，便可按照比例去推算其他跑道的長度，多數同學的答案與實際值很接近，少數與實際值有不小的誤差。執行此活動主要是讓同學發現學校操場的跑道就是天然的長尺。 在進行200M、400M及800M競賽時，我們時常可以發現在第二道至第八道的跑者起跑位置在前方的位置，也就是跑道上方前伸數的標線位置。除了第一線道跑一圈為400M以外，其餘跑道經過彎道時，跑道半徑隨著第二道至第八道而遞增，因此每一個跑道的彎道長度會增加。為了保持每一跑道跑者所跑的距離皆相同，因此第二道至第八道的起跑點皆須應不同距離的賽事需求而內移，此內移的長度即為前伸數。 由於表一所指的各線道長度指的是跑道上的白線上的長度，而實際上跑者必須跑在跑道中間，而跑道是有寬度的（1.22M），若跑者正好跑在跑道正中間的位置，則實際上第一至第八跑道每個跑道的半徑還要再增加0.61M，但跑者只要在不能搶跑道的過程中不踩到白線就不算犯規，因此設想跑者為了縮短跑步距離，跑者會再靠內一些。根據田徑規則，第一跑道跑者的試想線（又稱實跑線，後皆以實跑線稱之）為距離第一線道0.3M的位置；其餘跑道的實跑線距離前一線道的實跑線為0.2M（如圖）。 圖3. 各跑道實跑線位置 在個人賽制中，200M與400M的競賽規則是分道跑完全程，不得搶跑道；800M在過第一個彎道的搶道線始可向內切進搶跑道，但三者的終點位置皆相同。我們接著談談各跑道的前伸數計算規則，並加入各跑道前伸數與跑道寬度的比值，以增強兩者間的倍數關係。 一、200M的前伸數計算公式 200M跑道為一個彎道+直線段，因此第二道至第八道的前伸數為Ln=π [r+(n-1)d+0.2]-π(r+0.3)=π[(n-1)d-0.1]，n為2、3、4、5、6、7、8，r為第一線道彎道部分的半徑36.5M，d為跑道寬度1.22M。 表2. 200M第二至第八跑道前伸數（以上數據取到小數點第二位） 二、400M的前伸數計算公式 400M跑道為二個彎道+直線段，因此第二道至第八道的前伸數為Ln=2π [r+（n-1） d+0.2]-2π（r+0.3）=2π[（n-1）d-0.1]，n為2、3、4、5、6、7、8，r為第一線道彎道部分的半徑36.5M，d為跑道寬度1.22M。 表3. 400M第二至第八跑道前伸數（以上數據取到小數點第二位） 三、800M的前伸數計算公式 800M個人賽規則是跑者過第一個彎道的搶道線(如圖4)始可向內側切入第一跑道搶跑道，搶跑道的路線是由圖5中的B點直線跑至第一個跑道200M第一個跑道的起始點(A點至終點正好為200M)。若不設立搶道線，假設第八跑道的跑者欲從原本就有標示線的D點直線向A前進的話，由於AD為直角△ADE的斜邊，因此AD>AE=85M，故設計成AB=85公尺，這樣一來，則多出的BD稱為切入差。由於第二跑道至第八跑道的跑者過第一個彎道即可搶跑道，因此第二道至第八道的前伸數為Ln=π [r+(n-1) d+0.2]-π(r+0.3)+切入差=π[(n-1)d-0.1]+切入差，n為2、3、4、5、6、7、8，r為第一線道彎道部分的半徑36.5M，d為跑道寬度1.22M。 我們舉例介紹第八跑道的切入差如何計算。根據畢氏定理，AB²+BC²=AC²，AB²=85M；BC=(1.22×7-0.1)=8.44M，故得AC=84.58M。所以切入差BD=85-84.58=0.42M。表4列出第二跑道至第八跑道的切入差。 表4. 800M第二至第八跑道切入差(以上數據取到小數點第二位) 圖4. 800M搶道線位置（圖中藍色部分） 圖5. 800M搶道線及搶跑道示意圖 全台有跑步習慣的人為數不少，散步更是老少咸宜的活動，一來散步所需的空間更廣、較無限制，二來安全性高，因為散步運動而受傷的人微乎其微。每個人散步的速度不一，近年來更流行競走，也就是以較快的速度走路，通常競走的速度介於散步和跑步之間，但正式場合的競走成績有時會比一般跑者的跑步速度來得快。走的竟然比跑得快！？也因此成為媒體討論的焦點。 以平均值而言，一般跑者的跑步速度會是走路速度的兩倍左右。以一位六分速跑者而言，5000公尺正好30分鐘可以跑完，若改用走路的方式，可能需要一個小時左右。假設某人一小時走了4公里（4000公尺），則他的步速（步伐速度）為何？60分鐘/4公里=15分鐘/公里，也就是15分速。 通常，操場上有跑者也有步行者。筆者跑步時，經常每過兩圈就會與某步行者於固定地點相遇，假設我為甲，步行者為乙，求甲、乙的速度比為何?此問題很容易解答，在相同的時間內，甲跑了2圈，乙跑了一圈。速度=距離÷時間，因此甲和乙的速度比為2:1。筆者的慢跑速度約5分半至6分，是一般跑者的平均值，而此也應驗了散步的速度大約是跑步的一半。因此，同樣的距離之下，散步完成的時間約為跑步時間的2倍。 再者，有些跑者習慣跑第一線道，更多跑者喜愛跑第八線道。假設兩位跑者在同樣時間皆完成了一圈，則兩人速度相同嗎?由於兩人所花的時間相同，因此速度比等於距離比=453:400≒1.13，第八圈跑者速度約為第一圈的1.13倍。換個問題，假設甲乙兩人的速度相同，甲跑第一線道，乙跑第八線道，假設甲乙同時從起點出發，則甲跑了幾圈才會再度追上乙呢?假設甲跑了n圈會再度追上乙，代表乙所跑的圈數為（n-1），因為兩人跑的速度相同，所以同時間內所跑的距離也相同，故得400×=453×（n-1），n≒ 8.5圈。類似的數學問題在過去屢見不鮮，但鮮少有同學算得出來，筆者歸納原因並非學生程度差，而是平常欠缺實際經驗，難以想像題目的情境。就如同換算一樣，平常欠缺這方面的計算練習，遇到問題便容易陷入其中，不知所措。 運動可以強身，動腦思考能使大腦細胞更活躍。數學是方便又好用的工具，能處理日常生活中各項問題。跑步可以學習到額外知識，一魚兩吃，何樂而不為呢！？ 李祐宗 澎湖縣文光國中 本文引用格式：李祐宗（2023）。跑馬拉松算數學！科學研習，62（1），74-79。

六年級學生數學詩學習之分析

文／孫國光 前言 本文旨在報導國小六年級學生學習數學詩的過程中，上課內容以及學生書寫內容的分析，透過分析學生的學習過程有助於研究者理解學生的數學詩學習、創作情況，以及未來教學的改進依據。因為學生是第一次接觸到數學詩課程，因此課程一開始以四則運算相關數學詩進行教學，同時也不強迫學生發表，以學生自願為主，於課後收回學生書寫筆記。 課程以兒童文學家林良所翻譯Betsy Franco的《數學詩》一書中的數學詩來進行教學。此處的數學詩是將生活中的情境與四則運算符號結合，用運算符號來搭配詩的文學性。課程內容以簡報方式呈現，一開始先呈現書的封面，如下圖1，讓學生看到有運算符號。在呈現每一首數學詩時，先呈現不含運算符號和答案的文字讓學生思考，並請他們將想法寫下來再分享他們的想法，之後提供學生書中所用的運算符號，請學生思考、寫下答案並分享他們的想法，最後提供詩的答案供學生討論作者的創作。研究者這樣做的目的是不希望侷限學生的思考方向，讓學生自由找尋適當的運算符號進行創作。 研究者嘗試以數學加、減法語意結構的方式來分析詩的隱性意涵，看看學生在創作時是否有符合加減法的內涵；同時也嘗試從文學寫作修辭技巧來詮釋學生的創作。 圖1. 《數學詩》一書封面（翻拍自原書） 數學詩－秋天的信號 一開始研究者提供文字「清新的空氣、長長的影子、貓兒的一身厚毛」給學生，起初學生的反應是「是否有標準答案」，等研究者說明沒有標準答案時，學生似乎是從猜謎語的方向提出熊的回答，同時他的理由似乎是使用交集的概念。 S：老師，有標準答案嗎？ S：我覺得是一隻熊。 T：為什麼你會覺得是一隻熊呢？ S：因為清新的空氣是在山裡面，長長的影子代表很大隻，又有一身厚毛，所以是熊。 課後整理、分析學生書寫回饋如下圖2。搭配上述學生的說明，可以看出回答熊及獅子的學生也是在找尋交集的部分。其中有一位學生回答：「我在山上和龍貓一起唱歌」，研究者認為學生也是以相同的方式得到龍貓，並運用擬人法的同時把自己融入詩中，想像自己與龍貓一起唱歌。 圖2. 數學詩－秋天的信號部分學生書寫回饋整理 當告知學生書中使用的是加法之後，整理學生的創作發現有使用數學符號（空氣+影子+厚毛=冬天的來臨）進行書寫的只有1位學生，7位學生有書寫相關內容但仍沒有使用數學符號（例如：熊、獅子、龍貓）來呈現想法。這一位學生回答如圖3，研究者認為學生的回答合理。雖然臺灣由於季風及地形影響，通常夏天的空氣品質較冬天要好（參考行政院環境保護署-空品說明），但是夏天通常較令人感到悶熱，冬天的空氣較冷，因此感覺比較清新。同時冬天的影子的確較長，冬天也需要更加保暖的厚毛。因此從文學的角度將空氣、影子、厚毛「借代」為冬天。研究發現僅有一位學生從加法創造新的內容，可能是剛開始接觸數學詩並不熟悉該如何書寫的緣故。 圖3. 數學詩－秋天的信號學生加法回答 接著提供書中的畫面（原書中第2、3頁，文字內容如圖4）讓學生欣賞並與學生討論。學生一開始對於書中所寫「秋天的信號」無法連結想像，因此有以下討論。 圖4. 數學詩－秋天的信號 T：大家想一下，一年當中哪些時候影子會比較長呢？ S：秋天跟冬天。 T：那為什麼會有貓兒的一身厚毛呢？ S：變冷了，所以需要保暖。 T：那清新的空氣又是為什麼呢？ S：因為看起來（書中畫面）像是在山裡面。 T：所以作者認為當我們發現影子變長了，而且天氣開始轉涼，那就代表秋天來了，所以是秋天的信號。 研究者認為書中內容並未特意以加法的概念進行創作，而是以加法作為創作的載體，將加法概念當作尋找交集，透過「借代」呈現出秋天的信號。理由是作者居住地夏季溼熱、冬季濕冷（參考維基百科-克里夫蘭），春天又屬於冰雪消融的時期，因此秋天的空氣相較其它季節是感覺較為清新的。以北半球正午來說，夏天影長最短，春天、秋天大致相同，冬天影長最長，而秋天的影子開始變長；貓在秋天時也會開始換毛準備過冬，因此取其交集的部分嗅到秋天的信號。 以臺灣的情況來說，研究者認為清新的空氣除了像是山裡、森林裡等地方，也能夠想到清晨，而且以一日來說影子最長的會是在清晨以及傍晚，此一部分也較能夠結合每日生活，再搭配上一身厚毛，研究者想到的是冬天的時候，不論是要蓋著厚棉被或者是穿著保暖，都會有一身厚毛的感覺，所以研究者認為也可以是冬日裡的清晨時光。 研究者反思認為在教學中只引導學生理解書中創作，而忽略結合學生的日常經驗，因此未來在此處的教學可以進行延伸，與學生討論在臺灣是否也是如此，或者哪些情況會更符合臺灣的生活，並再讓學生進行創作，相信會讓學生學習的更有感覺。 數學詩－只剩下繩頭、羽毛、嫩枝、樹葉 研究者出示「鳥窩、鳥兒」給學生看，請學生思考並將想法寫下來（圖5）。由於有前面數學詩的經驗，有學生使用第一首的季節概念來進行思考創作，也有學生開始以數學符號來書寫想法。學生描述鳥兒在秋天蓋上自己的家，學生將鳥窩、鳥兒搭配上秋天創作了一個小故事。回答「孵蛋的鳥媽媽」的學生描述鳥窩裡的鳥兒正在孵蛋，代表原來的鳥窩裡有蛋，鳥兒回到鳥窩後開始孵蛋，是合併型的加法概念，將兩個部分量（鳥窩、鳥兒）合併成全部的量，以鳥兒在做的事情來呈現畫面。回答「溫馨的家園」，學生也是使用合併型的加法概念，將兩個部分量（鳥窩、鳥兒）合併成全部的量（溫馨的家園）。 圖5. 數學詩－只剩下繩頭、羽毛、嫩枝、樹葉部分學生書寫回饋（前半） 在研究者提供減法讓學生思考之後，又有幾位學生開始能夠想像，學生的創作如圖6。有一位學生書寫鳥窩減去鳥兒會等於「颱風的到來」，寫的並不是鳥窩減去鳥兒的結果，而是在表達當颱風來臨時鳥兒會飛離鳥窩，藉由數學為載體表現出文學的內涵，運用「示現」的手法，將過去發生的事情，透過想像力描繪出來；它的數學內涵是屬於改變型的減法概念，從所有量（鳥窩）中拿走部分的量（鳥兒）。回答「孤獨的空巢」學生使用了合併型的減法概念，從所有量（有鳥兒的鳥窩）中拿走部分的量（鳥兒）以後剩下部分的量（孤獨的空巢），運用「擬人法」賦予鳥窩孤獨的感覺。有一位學生寫「流浪動物之家」，研究者推測學生可能的想法是當鳥兒離開鳥窩，剩下來的鳥窩可以做為流浪動物（其他鳥類）的家，屬於改變型的減法概念，原本的鳥窩扣掉鳥兒變成空的鳥窩，而空的鳥窩又成了流浪動物的家，運用「示現」的手法賦予空鳥窩不一樣的意義，將未來的事情描述出來。課後整理有7位學生在書寫時以數學符號（橫式、直式）來呈現想法，7位學生有相關內容但無使用數學符號呈現（單詞、一段話），較前一首學生明顯有更多想法，也有更多學生能夠運用數學符號來進行創作。 圖6. 數學詩－只剩下繩頭、羽毛、嫩枝、樹葉部分學生書寫回饋（後半） 在分享時，有學生說：「空的鳥窩，因為鳥兒飛走了。」學生回答空的鳥窩，代表原本是鳥在鳥窩裡，因為鳥兒飛走了，只剩下空的鳥窩。這是屬於從所有量（有鳥兒的鳥窩）中拿走部分的量（鳥兒）以後剩下部分的量（空的鳥窩），學生的回答是屬於合併型的減法概念。也有學生的回答是樹，對話如下： S：我覺得是樹。 T：為什麼是樹呢？ S：因為鳥窩在樹上，但是鳥兒飛走了，所以只剩下樹。 回答樹的學生，他的想法也是屬於合併型的減法概念，然而鳥兒飛走了，剩下的是樹，但原本的鳥窩卻在這裡跟著不見了。研究者課後反思認為在上課當下應該繼續詢問學生，以便知曉他回答樹的完整想法。 接著研究者提供數學詩的結果（下圖7）讓學生欣賞並與學生討論。 圖7. 數學詩－只剩繩頭、羽毛、嫩枝、樹葉 T：有人要說說看為什麼鳥窩減去鳥兒會剩下這些東西呢？ S：因為鳥窩是用那些東西建造的，所以只剩下那些。 從學生的回答可以看出，學生是理解作者此一部分的創作意涵的，也有學生是以同樣的想法來創作（上圖6，羽毛、小樹枝），作者從所有量（鳥窩）中拿走部分量（鳥兒）以後剩下部分的量（繩頭、羽毛、嫩枝、樹葉），是合併型的減法概念，不過在回答剩餘量時，是將鳥窩的組成要素分別寫下，透過這樣的手法增加作品的文學內涵。 數學詩－冬天的食糧 出示「松鼠、冬天的食糧」給學生看，請學生寫下想法（圖8）。此時多數學生已不需仰賴提示，即可進行思考，並將想法寫下。學生回答「松鼠的家」，是回答松鼠會將冬天的食糧藏在哪裡，將松鼠與冬天的食糧結合，想到松鼠的家。 S：我覺得是松鼠的家。 T：為什麼？ S：因為松鼠會把冬天的食糧藏在家裡。 分析發現有6位學生以數學符號（橫式、直式）來呈現想法，7位學生未使用數學符號（單詞、一段話）來表達想法。回答「松果藏在樹洞裡」的學生認為冬天的食糧是松果，因此松鼠將松果藏在樹洞裡，是合併型的加法概念，兩個部分量（松鼠、冬天的食糧）同時併存於語意之中，要求全部的量（松果藏在樹洞裡）；學生不直接回答樹洞，而是以松果藏在樹洞裡來代表松鼠的家，運用「示現」將松鼠找到冬天食糧後的未來描寫出來。回答「溫暖的窩」是松鼠有了冬天的食糧後，就會有溫暖的窩，是合併型的加法概念，兩個部分量（松鼠、冬天的食糧）同時併存於語意之中，要求全部的量（溫暖的窩）。回答「填飽的肚子」描述的是松鼠吃了冬天的食糧，就會有填飽的肚子，屬於加法的改變型概念，原來有部分量（松鼠），再加入另一部分量（冬天的食糧）而成全部量（填飽肚子的松鼠）。回答「弱小的身軀」是當松鼠沒有冬天的食糧就會挨餓，而變瘦弱，屬於減法改變型概念，從所有量（松鼠原有的冬天食糧）拿走部分量（冬天的食糧）後剩下部分的量（松鼠弱小的身軀）。加與減、填飽肚子與弱小身軀互相對比，透過這兩首作品的比較，更完整的呈現出學生的創作想法。 圖8. 數學詩－冬天的食糧部分學生書寫回饋 接著提供書中的畫面（原書中第5頁，文字內容如下圖9）讓學生欣賞，因作者使用了加數未知的概念來寫詩，因此學生馬上反應「可以這樣子寫喔？」研究者課後反思認為此處應與學生討論，連結到數學題目的運算結構（被加數或加數未知的問題）命題方式，讓學生了解老師在出題時可能的想法。 S：可以這樣子寫喔？ T：其實在思考的時候，不一定是要想成什麼配上什麼會等於什麼，也可以反過來想，就像書中這樣子也可以。 圖9. 數學詩－冬天的食糧 作者的想法像是指松鼠將橡果當成是冬天的糧食（松鼠常將吃剩的橡果儲存在地下作為越冬的食物，參考維基百科-橡實），將松鼠與橡果連結，聯想到冬天的食糧，描述的是橡果對於松鼠的意義。 結語 雖然一開始學生看到《數學詩》封面有加法和等號，但學生在看第一首詩的文字部分時，並沒有聯想到可以用數學符號來回答問題，而是類似用交集的概念來猜謎語。等看到詩的加號時，學生才發現可以用加法的形式來表達想法，到了第二、三首詩時就有許多位學生有好的想法。一開始在課堂上學生不敢發表自己的想法，希望在之後的課程，學生能夠更勇於表達想法，讓研究者能夠更貼切的了解學生的想法。 學生對於作者的想法，第一首詩與學生經驗太遠，需要簡單的討論才能理解，後兩首詩學生對作者的創作是可以理解的，同時學生也發現原來可以把一個物品拆開來表達，以及原來可以將加數挖空來進行書寫，拓展了學生寫數學詩的經驗。 學生學習的過程中可以看出學生從一開始的不熟悉，慢慢的能夠發展出多元的想像力，也可以看出學生數學概念的一些想法，看到當中可能的迷思概念，由於未讓學生明確表達書寫想法，如果能再讓學生更加完整的表達想法，將更能夠幫助研究者進行分析，同時數學詩相關內容的想法書寫或許有助於幫助診斷學生的迷思概念。研究者將持續進行數學詩相關的研究，以期能更好的發展數學詩的教與學，希望學生的數學詩創作能夠更符合數學概念，同時兼具文學內涵。 孫國光 臺北市立大學數學系碩士生 本文引用格式：孫國光（2023）。六年級學生數學詩學習之分析。科學研習，62（1），56-62。

貓是液體！鑲嵌與解剖的幾何魔數

文／張惟淳 前言 「貓是液體」，這句話對有養貓的人而言一定不陌生，意思是貓咪絕佳的柔軟性讓牠的身體幾乎可以像液體一般塞滿各種容器，用網路搜尋可以找到許多的可愛圖片。 試想看看，我們有辦法在紙上畫出一隻貓，將牠剪成幾塊，然後塞進一個正方形裡嗎？答案是可以的！ 圖1. 貓咪變身為正方形 看的出來怎麼組裝的嗎？將左圖貓咪的「前腳」順時針旋轉 蓋到臉上，接著將「屁股」逆時針旋轉 貼住後腦勺，最後將下面的「肚子」向上平移到耳朵上面就完成了！雖然可憐的貓咪被分成了四塊，但牠真的剛好能夠重新組合成一個正方形。 本文的主旨即是在探討如何設計出一個這麼特殊的圖形，又如何將貓咪剪開重新拼成正方形，甚至拼成五邊形、六邊形以及不規則的幾何圖案，最後還可以無限地鋪滿整個平面。 為了瞭解這隻貓咪是怎麼畫的，我們要先準備四個預備知識： 預備知識一：裁縫師問題 這裡請您先思考一個問題：如何將一個正三角形切成幾片，重新組合成一個正方形呢？ 這個問題是由美國數學家──亨利．杜德尼（Henry Dudeney）所提出的，又稱為裁縫師問題（haberdasher’s Problem）。其解法如下： 圖2. 裁縫師問題之解法 圖2(1)，令正三角形ABC的邊長為2，取AB及AC邊上的中點P、Q。 自Q點作一長度為∜3的線段交BC於S。（註1） 作PE⊥QS於E。 在QS上取一點F使得SE=QF。 以F為垂足，作FR⊥QS於F，交BC於R。 沿線切開組成圖2(2)，完畢。 裁縫師問題的切痕有許多不同的等價作法，以上僅列出其中一種。這個作法也可以用尺規作圖完成。 這種將圖形切開後再組裝為新圖形的方法，在數學上稱為「幾何解剖」（Geometric Dissection），是計算幾何學（Computational Geometry）下的一個分支。筆者相當中意這個命名法，所謂「解剖」泛指研究、拆解並分析生物器官的學問。這種問題不也像是讓三角形、正方形像是有了生命一樣，可以去分析它們的構造嗎？ 另外，如果我們將P、Q、R、S這四點中的其中三點固定，就可以像樞紐一樣旋轉，這種每塊拼圖都可以一塊一塊旋轉的構造，又稱為樞紐解剖（Hinged Dissection）。見下頁圖： 圖3. 樞紐解剖示例 看過上面的裁縫師問題的解答後，您可以思考看看，要「如何想到」這樣的解法呢？ 預備知識二：鑲嵌 「鑲嵌」（tessellation），或是「密鋪」（tiling）指的是用同樣的圖形，不斷重複、不相交疊且毫無空隙地舖滿整個平面。在許多的美術、建築以及科技的設計中都可以見到它的蹤跡。僅重複使用一種正多邊形所形成的鑲嵌，稱為正鑲嵌（regular tessellation / regular tiling）。正鑲嵌只有三種：正三角形、正方形以及正六邊形，理由是只有這三個正多邊形的內角是 的因數。 圖4. 三種正鑲嵌 筆者在這裡邊追加一個定義：使用同樣的圖形鋪滿一個定寬，但長度無限大的長方形時，這種圖形筆者稱之為「鑲嵌帶」。以正鑲嵌為例，可以發現正三角形和正方形的鑲嵌其實是可以看成數條鑲嵌帶所形成，所以可以讓每條鑲嵌帶進行錯動（錯位），但依然可以舖滿整個平面。 圖5. 鑲嵌帶 至於正鑲嵌和幾何解剖有什麼關聯性呢？關鍵在於鑲嵌帶的疊合。以裁縫師問題為例，正三角形和正方形恰好都是正鑲嵌的一種，我們就取同樣面積的正三角形和正方形組出鑲嵌帶，並且疊合，如下： 圖6. 鑲嵌帶解裁縫師問題 仔細觀察交疊處的正方形，恰好被切成了四塊。您發現了嗎？原來只要將兩條鑲嵌帶「適度地」疊合，就可以找出裁縫師問題的解法！這邊請您暫停閱讀，拿杯茶或者是咖啡，稍微思考一下。 不知道您是否會想提問以下這幾個問題： 什麼叫「適度地」疊合？ 非正多邊形的鑲嵌都可以做到嗎？ 無法形成鑲嵌的圖形（例如正五邊形），也可以藉由鑲嵌轉化為解剖嗎？ 由於這並非本文的主旨，筆者不在這多進行說明，您可以在參考資料[6]的網站裡面找到非常豐富的結果。我們這裡先繼續延伸鑲嵌帶的結果。 將圖6.的正三角形和正方形的鑲嵌帶不斷重複，形成下圖： 圖7. 錯位的鑲嵌帶形成平面鑲嵌 裁縫師問題的切痕有許多不同的等價作法，以上僅列出其中一種。這個作法也可以用尺規作圖完成。 這種將圖形切開後再組裝為新圖形的方法，在數學上稱為「幾何解剖」（Geometric Dissection），是計算幾何學（Computational Geometry）下的一個分支。筆者相當中意這個命名法，所謂「解剖」泛指研究、拆解並分析生物器官的學問。這種問題不也像是讓三角形、正方形像是有了生命一樣，可以去分析它們的構造嗎？ 另外，如果我們將P、Q、R、S這四點中的其中三點固定，就可以像樞紐一樣旋轉，這種每塊拼圖都可以一塊一塊旋轉的構造，又稱為樞紐解剖（Hinged Dissection）。見下頁圖： 看啊！這不就變成了使用裁縫師問題的四塊拼圖所形成的新鑲嵌了嗎？由兩種鑲嵌帶疊合出的雙重鑲嵌，這也是裁縫師問題在幾何解剖學中之所以基本但特別的原因！ 有趣的是，如果將四片拼圖染色，可以做出更有震撼力的鑲嵌。現在將裁縫師問題的四片拼圖各取四個顏色，並依照下圖的方式用樞紐連接的方式組合成四套拼圖： 圖8. 四套拼圖（編號以最大塊的顏色命名） 接著，我們就有了兩種玩法，將四套拼圖全部組合成正三角形或是正方形的同一種，並且選取一個顏色，將四套拼圖同色的色塊全部靠在一起。會驚人地發現：當四片拼圖的「形」為正三角形時，將同色的色塊靠近會成為正方形；而當「形」為正方形時，將同色的色塊靠近會成為正三角形！ 詳見下頁圖： 圖9. 裁縫師問題的「形」與「色」 至於每種鑲嵌都有這麼精彩的結果嗎？答案是否定的，這又更加一層地深化了裁縫師問題的特別之處。筆者認為，正如三角形在幾何學中擁有最多的特性，最基本的圖形反而有最奧妙的變化，裁縫師問題正是這句話的體現。 接下來，我們要將這兩種鑲嵌加入線性變換（linear transformation）的調味料，並且以另一個角度理解裁縫師問題。 預備知識三：康威生成子 我們重新觀察裁縫師問題的解。下圖中，不論是正三角形或是正方形的狀態，用來當作樞紐的四個點恰好可以構成一個非常近似於長方形的平行四邊形（銳角內角約為 ）。我們將圖7鑲嵌中的每個平行四邊形都連接起來，會發現這些平行四邊形恰好生成一組鑲嵌！（註2） 圖10. 切出平行四邊形 觀察上圖，這兩種平行四邊形如同西洋棋盤的上色法般交錯覆蓋在裁縫師鑲嵌上，這跟我們要討論的議題有關嗎？ 這邊舉個實作的例子： 圖11. 任意的四片拼圖製作法 將綠色長方形的四個頂點互相用線連接，規定每個頂點恰好被碰到一次，並且這些線不能夠碰到長方形的邊，也不可以圍出不包含長方形邊界的區域。接著將綠色長方形沿線剪開成四片，往上、下、左、右翻面後貼合在黃色的長方形邊緣。最後將黃色長方形的四個頂點連接並剪開，抹去貼合邊，四片拼圖就完成了。 這四片拼圖剛好可以對應一組類似於裁縫師問題的幾何解剖問題。如何將下圖的「恐龍」切成四片拼成「飛碟」？ 圖12. 「恐龍」和「飛碟」的幾何解剖問題 您看，如果我們不知道這兩張圖其實是由同一個長方形所產生的，就會變成一個極度困難的幾何解剖問題。 另外，如果我們像圖11一樣維持切痕，並且將圖形複製無數次，就可以形成下圖的鑲嵌。 圖13. 「恐龍」和「飛碟」的鑲嵌 我們將以上的知識進行整理：用兩個長方形製作成的拼圖，既是樞紐解剖，又是鑲嵌圖形，這不是跟我們的裁縫師問題有一樣的性質嗎？這樣子的長方形稱為康威生成子（Conway generator，コンウェイ．ジェネレイター）。重點是，康威生成子不一定是要長方形，平行四邊形也有一樣的性質。 請您與圖10的鑲嵌比較看看，可以發現，原來裁縫師問題的原理就是以兩個平行四邊形做為康威生成子，以特定的方式剪開形成的！ 文章到此，我們以各種不同的面相解析了裁縫師問題的原理，剩下一個問題：這跟貓咪到底有什麼關係？請您回到前面，觀察一下圖1和圖2的切痕，不覺得兩者是一致的嗎？是的！筆者的貓咪圖案正是以裁縫師問題為本體，改造切痕完成的。 那要如何改造切痕才可以造成貓咪的效果呢？或是說，如何設計一個有意義的圖案？這就要進行到我們最後的預備知識，鑲嵌藝術大師──艾雪的技巧。 預備知識四：艾雪的鑲嵌藝術化 荷蘭的藝術家艾雪，將幾何鑲嵌的結構，結合「平移」、「旋轉」、「鏡射」以及「縮放」等等的技巧，將之融入藝術中構造出一幅又一幅的精采構圖。 圖14. 艾雪的鑲嵌作品示例 筆者以自己理解的方式，將其中一種技巧模組化，介紹如下： 圖15. 藝術化碎片的製作過程 在兩片正三角形ABC、DBC的共用邊BC上，取其中點M。畫出向量MB、MC ，注意這裡的箭頭兩側的形狀是不一致的，這是用來強調MB、MC 互為點對稱圖形。接著，如圖15(2)，沿著 隨意劃出一個切痕，接著將該切痕以MB為中心旋轉 ，沿著MC 畫出該切痕的點對稱圖案。此時可以發現，這兩個三角形同時被切成上下兩片形如圖15(3)的形狀。這代表的意思是，我只要將圖15(3)的形狀放置在正三角形格網上，就可以形成一套密鋪圖形。 圖16. 簡易的藝術化鑲嵌 大部分在網路上或是書籍上查尋到的技巧，都是以一個多邊形為基礎，將其中的一邊平移、旋轉、翻轉改造而來。但筆者認為這樣做有幾個缺點：第一，無法確定最後會拼成什麼樣的鑲嵌，或是到底能不能夠形成鑲嵌，特別是如果同時使用到「平移」、「翻轉」等兩種以上的技巧就會更容易出錯。第二，即便圖形是可以完成鑲嵌的，將圖形大量複製後有時會無法確認哪一邊要對齊哪一邊，就會造成製作的困難或是讓規則亂掉。第三，製造鑲嵌的這個動作，對於沒有經驗者非常不友善，特別是旋轉這個動作很容易造成挫折。 筆者為了避免以上情形，決定一次處理兩個以上的圖形，在鑲嵌的狀況下直接改造，一旦動了其中一個三角形，另一個的變化就會同時產生，讓製作的過程有了「藍圖」，這樣一來就可以直接看出最後會形成怎麼樣的圖案。綜上所述，本技巧的精神是：將正三角形的正鑲嵌網格沿著邊緣去改造，將一個正三角形的一部份剪下，沿中點旋轉拼貼後形成新的圖形。 最後，「正三角形」、「鑲嵌」、「旋轉」、「拼貼」，這些關鍵字不就是裁縫師問題的核心概念嗎？我們的預備知識已經齊全，「貓」即將要誕生了！ 貓 在正三角形格網上，選定一個正三角形，並且標註出三個邊上康威生成子的四個頂點，也就是裁縫師問題的樞紐位置。以這四個點為中心，向三個頂點畫出四個顏色的箭頭以及對應的點對稱箭頭，這裡的四色箭頭就代表著要改造成貓咪的四個位置。 圖17. 製造貓咪的「藍圖」 接著，依序將紅色的部分改造成貓頭，綠色的部分改造成貓屁股，黃色的部分改造成貓腳，藍色的部分改造成貓肚，就完成了！ 圖18. 貓咪完成圖 藝術化的步驟需要大量的累積錯誤來完成，筆者在研究各種改造方法時恰好發現了，貓的側臉旋轉 後和前腳很合拍，貓的後頸旋轉形成的背部很自然，腳部和肚子則是順勢調整完成，可惜很遺憾地沒有辦法做出個圓滾滾的貓屁股，這跟曲線的凹凸性有關，最後不得不妥協讓牠變成「屁股尖尖坐不住」。 好的，我們已經知道了這隻貓其實就是由裁縫師問題改造來的，我們就來看看牠有多千變萬化吧！ 貓即是箱，箱即是貓 我們將圖18的貓咪沿著外框剪下，並且依照裁縫師問題的解答剪成四塊拼圖。這裡複習一下做法：將右上和左下的兩點連出線段，接著將左上和右下的兩點各自對該線段作垂線，即告完成。 圖19. 貓咪樞紐解剖 回應文章一開始的問題，可以將一隻貓咪切開並重組為正方形嗎？可以！還可以做成樞紐解剖呢！另外，這裡選用的旋轉樞紐跟文章一開始的裁縫師問題是不同的，除了固定貓頭比較清楚之外，也是想讓您知道，其實以康威生成子四個頂點中的任三點當作樞紐都可以完成這個樞紐解剖。 回應文章一開始的問題，可以將一隻貓咪切開並重組為正方形嗎？可以！還可以做成樞紐解剖呢！另外，這裡選用的旋轉樞紐跟文章一開始的裁縫師問題是不同的，除了固定貓頭比較清楚之外，也是想讓您知道，其實以康威生成子四個頂點中的任三點當作樞紐都可以完成這個樞紐解剖。 貓中有箱，箱中有貓 用四個顏色將貓咪的拼圖染成紅、黃、藍、綠四色並且拼接，如果拼圖組成貓的形狀，則這時候四隻貓圍出的中心就會出現一個四色的正方形；如果拼圖組成正方形的形狀，則四個正方形的中心就會出現一隻四色的貓。 圖20. 貓咪與正方形的「形」與「色」 這裡和圖9的染色法不太一樣，除了是想告訴您不論將拼圖塗成四色或單色都可以玩四色鑲嵌，另外是筆者個人覺得貓咪染成單色比較有整體感。 結語 筆者是在幾年前因為一些契機，開始愛上解剖與鑲嵌的。 筆者為了設計遊戲，自己給自己出了一道題目：如何將一個正六邊形切成幾塊，並且重新組合成一個正六角星？當年完全無法破解這個題目，因為兩者的邊常比是無理數，怎麼想都不可能。後來接觸到裁縫師問題，一見驚為天人，這世界上竟然存在這麼美妙的作法！而且這也是筆者第一次接觸到一個數學問題，連怎麼開始第一步都不知道。 在研究的過程中，接觸到了美國數學家Frederickson的一系列解剖幾何書籍，讓自己感覺像是找到了失樂園，這是個幾乎沒有人涉足的領域。 後來，在2018年的數學年會上，有幸與日本的秋山仁老師有了一面之緣，聊天之餘得知了他也是解剖幾何的大師。買了他的書後，更深入地理解到解剖與鑲嵌的重要關聯性。書中就有將康威生成子組合成魚和蜘蛛的作法，筆者就很好奇，到底要怎麼創作出一個有意義的解剖圖案。後來經過百般鑽研，才終於生出了這隻貓咪，也才有了這篇文章。 筆者非常希望這個領域的數學可以在台灣拓展開來，讓每個人都可以嘗試做出屬於自己的解剖與鑲嵌作品。 致謝 本文的完成要特別感謝Facebook「藝數摺學寫作社團」的夥伴們給予的指教與建議，特別是楠梓國中顏敏姿老師、鳳山高中連崇馨老師以及林口國中李政憲老師（依時間序），感謝提供許多不同的觀點以及協助校正文章。 張惟淳 臺南市後甲國中教師 【備註】 1. 這裡取的∛4即為正方形的邊長，簡單計算如下： 正三角形的面積為，與正方形的面積相同，故邊長為∛4。 2. 這裡的89.4°相當接近直角，十分有趣，補上簡單的計算： 將邊長2正三角形ABC置於坐標平面上，，兩邊中點。以Q為圓心，∜3作圓： 交 𝑋軸於，得，即可推出與的夾角為 參考資料 [1] 藤田伸（2017）。圖解圖樣設計。易博士。 [2] Greg N. Frederickson(2017), Dissections: Plane & Fancy. CAMBRIDGE. [3] Greg N. Frederickson(2010), Hinged Dissections: Swinging & Twisting. CAMBRIDGE. [4] 秋山仁（2020）。離散幾何学フロンティア: タイル・メーカー定理と分解回転合同（離散幾何學開拓：鑲嵌生成定理與分解回轉全等）。近代科学社。 [5] Robert Fathauer(2021), Tessellations. CRC Press. [6] Gavin Theobald(2021), Geometric Dissections. 檢自http://www.gavin-theobald.uk/ (Feb 19, 2021) [7] 艾雪的鑲嵌圖片取自網路： 飛馬：https://tinyurl.com/2p9sym8m 蜥蜴：https://tinyurl.com/2af3ybp3 本文引用格式：張惟淳（2023）。貓是液體！鑲嵌與解剖的幾何魔數。科學研習，62（1），38-55。

藝數摺學－一個可以從小玩到大的活動：哥倫布方塊

文／李政憲、李慧玲 筆者成立「藝數摺學」社團以來，發展過不少的摺紙數學相關活動，廣受教師、學生與一般民眾喜愛。「哥倫布方塊」正是一個可以從小玩到大，從最簡單的摺製與堆疊（如圖1），到最困難的體積與兩面角計算、不同凹角數的討論（如圖2），都是一個可以很容易上手，並且與數學作連結的好活動。之所以稱為「哥倫布方塊」的原因，是一個蠻有趣的軼事。本文將從其名稱開始介紹起，接著討論其摺製方式與哥倫布方塊球的組裝與摺製方式，同時帶各位讀者思考所需要的數學知識，以及最後延伸作品的展示，希望可以讓大家對於這個作品的相關知識有更深入的了解。 圖1. 圖2. 哥倫布方塊由來 話說於1492年發現美洲新大陸的哥倫布（Christopher Columbus，1451一1506）回到西班牙後，辦理了一場慶功餐會。在慶功宴上有人就很不以為然的說道：「我看這件事不值得這樣慶祝。哥倫布不過是坐著船往西走，再往西走，碰上了一塊大陸而已。任何一個人只要坐船一直向西行，都會有這個發現。」這時會場的氣氛尷尬極了，大家頓時鴉雀無聲，面面相覷，不知道如何回應。 只見這時哥倫布不慌不忙的站了起來，拿起宴會上一顆煮熟的雞蛋，慢慢說道：「請各位試試看，誰能使熟雞蛋的小頭朝下，在桌上站住？」很明顯無論大家如何嘗試，總是會滾來滾去，引起哄堂大笑，無法將其尖頭朝下，立於桌面上。 眼見大家無法挑戰成功，接著哥倫布便拿起這顆雞蛋，把尖頭往桌上輕輕一敲，那稍微碎了一點殼的蛋就穩穩地立在桌上了。這時剛剛講話的人不禁大叫：「這不能算，他把蛋殼摔破，當然可以站住。」只見哥倫布正色說道：「是的！你和我的差別就在這裡，你不敢敲，而我敢敲。世界上的一切發現和發明，在一些人看來都是簡單不過的；然而他們總是在別人指出應該怎樣做以後才會說出來。」最後贏得宴會上每位賓客的喝彩。 很有趣且勵志的一個故事是不是？在還沒開始活動之前，就可以先跟學生勉勵一下，一個任務是否成功的重點在做與不做，接下來的每個活動，如果你正猶豫要不要做，或是不知道如何下手，不妨回想這個故事，說不定就可以鼓勵自己持續完成挑戰，往下一個任務邁進【註1】。 我們要摺製的作品為什麼跟這個故事有關呢？請各位讀者不妨看一下圖3左圖，很明顯的是一個正方體，若將此正方體內凹一個角為中圖，你會發現內凹的部份將形成一個三角錐，其底部將形成一個正三角形。若我們將此正三角形底部朝下放於桌上，就可以形成右圖正方體斜放於桌面上的效果，與故事中提到的雞蛋尖頭朝下有類似的效果。 圖3. 接著下個部份，我們將逐步說明這個作品的摺製方式，並接著討論其相關的數學知識內容。 哥倫布方塊摺製【註2】 基本元件1.0版摺法 利用1.0版摺法所組合出來的哥倫布方塊，因為有3個面沒有凹摺互相卡住，較容易有鬆脫的情形出現，為了修正這個缺點，經由「藝數摺學寫作共備群組」相關老師們討論，我們發展出以下2.0版的摺法。 基本元件2.0版摺法 比較1.0版摺法與2.0版摺法有什麼不同？1.0版的摺法組合結構不穩定︰2.0版和1.0版最大的差別，是在於我們對摺之後，可以把開口從中間移到旁邊（如右圖24）。 所以每一個元件都有一邊有開口，此開口可以讓相鄰面元件的摺疊部分，插入放進兩夾縫中，每個元件只有一個開口，6個元件每個元件都有一個摺疊部份可以塞入夾縫中，這樣互相牽制之下讓結構不容易鬆脫，形狀更為穩定。所以如果要進行堆疊的活動，建議可使用2.0的摺製方式，在方塊倒下後比較不會散掉。如果教師要進行教學，建議先進行1.0的教法，再作2.0的教學，除了讓學生比較其差異性，學生也比較容易產生學習遷移與上手。 2.0版因為有一面是開口，在組合時就會擔心開口的位置不同，元件是不是會無法維持每個元件都互卡？結果發現，前三個元件在互卡組合時，開口方向可以自行任意決定，剩下三個元件組合的開口位置會唯一，可以依序組合好。 圖24 哥倫布方塊凹角討論與哥倫布方塊球製作 接下來我們要討論哥倫布方塊的凹角方式，接著完成20個哥倫布方塊所組成的哥倫布方塊球（如下圖25）。我們發現每一個方塊與其他方塊恰有三個頂點相連接，其連接方式正與凹角相對位置是相關的。 圖25. 圖26. 我們先探討以下幾種立方體凹角的數量與所在頂點位置： 表1. 立方體凹角的位置與數量如上表1。 假設我們製作第1個凹角的位置在頂點1，如果在與1相鄰的三個頂點2、4、5做凹角，我們發現若要將立方體黏合成環（如上圖26，因要黏合成環才能依此概念結合成球，詳見註3），兩個立方體將會互相碰撞（如右圖27），無法組合。如果在對角頂點7，兩個立方體則會形成直線關係，亦無法形成環狀，而且這兩種接法與上圖所示哥倫布方塊球的接合點也不符。於是我們剩下頂點3、6、8的位置可供選擇，若選擇頂點3為第二個凹角，剩下來的頂點6和頂點8任一個納入後，都會符合選擇三個截角處的凹洞不會相互碰撞的特性，因此這兩個頂點擇一即可。結論是1、3、6、8四個頂點若我們任選三個作為立方體的凹角，共有4種（1、3、6）、（1、3、8）、（1、6、8）與（3、6、8）的不同選法。 圖27. 因此若我們要製作一顆哥倫布方塊球，根據上述討論的凹角位置，不妨從一個立方體的一個頂點出發，在表面畫正方形的對角線三次，三條對角線將回到原頂點，且這三條對角線所經過的3個頂點恰為三個凹角的位置，三個頂點將形成一個正三角形。 我們不妨觀察一下底下圖28的正十二面體結構，五個單一凹角立方體所連接成的環(如前頁圖26)，五個立方體可以視為正五邊形的五個頂點(如右圖28)，因為製作一個哥倫布方塊球共需20個立方體，與正十二面體的頂點數相同；且每個立方體均有三個頂點與其他立方體互相連接；每兩個相鄰方塊的共用頂點會產生一個凹角（一凸一凹），我們不妨將這一凸一凹連接處視為以正十二面體的邊作連結，故頂點連接處共30個，亦即共需30個凹角。 由此得知哥倫布方塊球的結構恰與正十二面體是同構的，因此若我們將各立方體的凹角相連接，可視為每個立方體放入正十二面體的20個頂點，且正十二面體的邊，將對應每個方塊三個連接點與相鄰的方塊相連接，且一個凹角恰會搭配一個未凹陷的頂點進行組合。 圖28. 我們接下來將透過正十二面體的透視投影結合方塊的凹角數，繼續討論其不同的連接方式。 我們發現組合的方式很多，其中以五個一層的方式較易觀察，因為總共有四層，以下表2的簡圖示意。我們列舉了正十二面體頂點搭配方塊凹角數的其中四種組合，圓點代表立方體的位置，綠色圓點代表方塊無凹角、黃色圓點代表一個凹角、橘色圓點代表兩個凹角，藍色圓點代表三個凹角。有興趣讀者不妨可延伸探討，各種組合搭配不同凹角數，與立方體數量的增減關係。 我們發現凹角立方體至少需要兩種，如下表2(1)即為10個一個凹角的立方體，另外10個是兩個凹角的立方體；而表2(4)每層都是同一種凹角數量的立方體，四種凹角的立方體數量均為5個。以下我們將接著說明兩個凹角的立方體的摺製方式，請讀者們不妨可依圖29(1)~29(4)摺製1、3、0、2個凹角的方塊各五顆，依表2(4)中的組合方式黏合成一組哥倫布方塊球（底下將接著示範兩個凹角的方塊摺製方式），並試想其他組合應該如何摺製與黏合？ 兩凹角哥倫布方塊摺製說明 最後我們再示範如何以色紙進行兩凹角的哥倫布方塊摺製。為了加強各位讀者完成方塊的強度，我們這裏採取本篇文章所提2.0方式摺製同一平面上的兩個凹角，如果忽略開口夾住元件，即為1.0的方式摺製。請各位讀者依圖30(1)-30(6)，先摺製六個零件，再依圖31-圖36組合為最後成品即可。有興趣的讀者們不妨可以仿照兩凹角的摺製方式，接著挑戰三個凹角的方塊摺法(可參考表1不同凹角數所摺的相對位置)，即可搭配不同連接方式進行組裝黏合。 其他延伸討論 除了本文所進行哥倫布方塊凹角與哥倫布方塊球的討論與實作，在中學教學時，哥倫布方塊的實作還可以進一步討論其堆疊的高度、單顆的體積與圍繞成環的兩面角計算，從等差數列、相似形、錐體與柱體體積計算與兩面角的討論，著實能以這個課程將中學的幾何課程作個綜合性的統整。在此建議若孩子僅國小程度，不妨先比較1.0與2.0的摺製方式差異，並進行堆疊高度的挑戰；若為中學以上，則視其先備知識，陸續將其他可供討論的數學知識放入課程或教學之中。【註2】 如果還有興趣延伸摺紙課程的朋友，不妨可以再接著挑戰以下的幾個作品： 圖37. 圖38. 圖39. 以三條紙編方式完成一個凹角、兩個凹角與三個凹角不同凹角數的哥倫布方塊【註4】； 哥倫布方塊鑲嵌球（如圖37，引自藝數摺學社團，游曉琦老師提供，建議完成正方體邊長減半的哥倫布方塊環12個，再直接黏合於已完成的哥倫布方塊球上即可完成） 哥倫布方塊三角錐製作與堆垛問題討論（如圖38，建議先以色紙拼組或紙編完成六個等腰直角三角形面的六面體如圖39，一般在摺紙裏稱為fox cube，才能理解其結構並以黏貼方式完成方塊金字塔作品）。 惟以上部份作品的概念提來又將是不少篇幅，或許待日後有機會再跟各位讀者細談要如何完成以及其中的數學性了。另本文承蒙師大附中彭良禎老師與楠梓國中顏敏姿老師斧正勘誤，特此致謝。 備註 【註1】原始資料引自維基百科。然而哥倫布發現新大陸的同時，也產生了不少殖民地的衝突，甚至造成不少地方的腥風血雨。若學生的年紀較長，也不妨從負面的角度跟他們談一下新大陸的發現，其優缺點各為何，這就是另外一種課堂的操作方式。 【註2】摺法參考自科教月刊第432期「哥倫布方塊與費氏花」，游曉琦、吳惠美。另相關摺製簡報繪製由楠梓國中顏敏姿老師製作提供，特此致謝。 【註3】關於哥倫布方塊環的製作，實際計算的兩面角為cos-1(-1/3)≈109°，與認知中正五邊形的每個內角108度略有差異，不過因為摺紙時的彈性，可以用將就的方式予以黏合。有興趣探討的讀者們不妨自行研究，或是參考【註2】理解其結果。 【註4】有興趣研究的讀者們，可直接至「藝數摺學」臉書社團參考相關資料先行完成一個凹角的紙編哥倫布方塊，再思考如何完成兩個凹角以上的紙編方塊。 李政憲 新北市林口國中教師 李慧玲 桃園市中興國中教師 本文引用格式：李政憲、李慧玲（2023）。藝數摺學‧一個可以從小玩到大的活動：哥倫布方塊。科學研習，62（1），26-37。

用數學論公平

文∕陳宏賓 2020年開始，新冠病毒改變了全世界，各國人民不分種族皆深受新冠肺炎之苦，許多人失去性命，病毒在很多層面徹底地影響了我們的生活，以及政府的政策，例如疫苗供給優先順序、快篩試劑如何分配、紓困振興方案等等，引發許多討論。在類似的行政資源分配議題中，都牽涉到如何有效率的執行並且大致上維持『公平性』。 何謂「公平」？ 在《教育部國語辭典》裡的釋義是「不偏私」。《管子．形勢》：「天公平而無私，故美惡莫不覆，地公平而無私，故大小莫不載。」古人認為公平是指天、地無私的對待世界萬物。人之間存在嗎？ 人有辦法像天地那樣無私嗎？ 恐怕連聖人都有困難吧。現代人認為的公平，則在於給予機會、權利、資源或待遇方面，不存在偏袒或歧視的做法。所以，公平通常指對『每一個人』都公正地處理，而不僅僅是對某些特定的人或群體。 那麼怎樣可稱為「對每一個人不存在偏袒或歧視」？ 從數學上來說，公平是一種屬於資源分配問題的共同目標。通常指的是將一個整體均分成若干個部分，並使得每個人得到的每個部分的大小相同。例如，如果有五個人和一個蛋糕，將這個蛋糕切成五等份，那麼公平分配就是每個人分到一等份的蛋糕，不多不少。 上述說法是一種第三方觀點的客觀陳述，也是多數人心中第一時間想到的「公平」樣貌。事實上，公平可以有許多不同的形式，而且大部分是相當「主觀的」。可能發生某個人主觀地認定自己拿到的蛋糕就是比別人的都小，即使是拿到了一樣多、一樣大的蛋糕，別人的蛋糕上面的水果或巧克力看起來比較好吃，像這樣的事件也會引發是否公平的疑慮。 如何克服這種涉及到主觀感受和客觀事實的矛盾？ 首要之務是眾人對「公平」追求的不同意義有明確的認知。而數學作為一種語言，可以有效地、精準地提供更進一步對於公平分配的描述。首先，假設我們要分配某資源𝑋(例如蛋糕、披薩)給 n 個人，每個人有自己的價值函數 V𝑖，𝑖=1,2,…,n。假設讓第𝑖個人最後分配到的部分記為𝑋𝑖。利用這些參數和主觀價值函數，我們就可以更清楚的定義何謂『公平的分配』： 同樣滿足的公平 『從客觀來看，每個人對於自己獲得的份額給予同樣價值。』寫成數學就是 V𝑖(𝑋𝑖)=V𝑗 (𝑋𝑗) for all 𝑖=1,2,…,n ——(1) 由於人們很難得知其他人對於特定物件的評價如何，從數學式透露出這種分配追求的公平如果缺乏事先對彼此價值的了解，其實不容易達成。不過，對於熟悉這些參與分配者的人來說或許不是太困難。 例如這位擁有三位小孩的粗心三寶爸，將買來的一個蛋糕分配後，三位孩子所產生的相對應評價如下表（表1）： 表1. 可以看出三個孩子對於自己所得到的部分，都認為值得1分（或者整塊蛋糕價值的1/6），粗心的爸爸看著三位孩子擁有同樣的滿足感，對自己公平地完成了分配臉上不禁揚起幸福的笑容…。等等，你可能已經發現三位孩子的表情似乎怪怪的，這個分配雖然看起來符合公平原則【大家都感到同樣的快樂】，然而效益顯然很差，一整塊蛋糕分配後竟然只產生了3/6的效益，是不是應該要去找老闆要求退還一半的費用，又或者，尋找更令人滿意的分配方式？ 比例公平 『每個人都能按照自己的價值函數至少得到他應有的份額。』寫成數學就是 V𝑖(𝑋𝑖)≥V𝑖 (𝑋)/n for all 𝑖=1,2,…,n ——(2) 這句話或許不同人有不同的解讀，但如果用數學寫下來，立刻就會清清楚楚地感受到每個人都拿到至少全體的 n 分之一，是種相當直觀的公平分配。而且在這種分配之下，整體的效益肯定不低於一整份原有的價值。 正當孩子們表情怪異的拿著蛋糕時，貼心的媽媽出來打圓場，將分配稍微調整一下，讓第一位拿到 𝑋3、第二位拿到 𝑋1、第三位拿到 𝑋2，重新分配後如（表2）的結果就會符合(2)的要求。 表2. 在這個情況下，從每個人的角度來看，都符合公平原則【拿到了自己認為應得的份額】，也就是自己認定的全部價值6的三分之一，也就是 6/3=2，此時蛋糕店的老闆也全身而退了，一塊蛋糕確實也產出不低於一塊蛋糕的價值。 不過，即使自己拿到了至少全體的 n 分之一，這情況還是會多少令人感到不悅吧，因為「別人手上的蛋糕看起來比我的還要好吃呢」。這個時候，我們或許需要另一種觀點的「公平」登場救援。 無羨慕公平 『每個人覺得自己拿到的份都不比其他人拿到的少。』用數學可以表示成 V𝑖 (𝑋𝑖)≥V𝑖 (𝑋𝑗) for all 𝑖, 𝑗=1,2,…,n ——(3) 顯然，(表二)的分配結果符合數學式(2)卻不符合(3)的要求。事實上，我們不難以數學證明：符合(3)的分配必然也符合(2)的條件。讀者可以試試看。 正當孩子們勉強要張口吃手上蛋糕的時候，善解「人意」和「數學」的阿公從門口進來眉頭一皺，趕緊又將(表二)的分配再調整一下，讓第一位拿到 𝑋3、第二位拿到 𝑋1、第三位拿到 𝑋2，重新分配後如(表三)的結果就會符合(3)，一塊蛋糕發揮了1.5倍的價值，皆大歡喜。 表3. 無羨慕分配不只獲得了比例上應得的部分，同時自己也都不比別人少，真是令人滿意的一種結果，雖然有點占了便宜的感覺，但是只要自己好就好了。不過，道德感比較強的你可能會因為占了便宜在心裡隱隱感覺到不公平吧。現實中也有一些情境，不允許每個人都以自己的利益為優先考量，而是必須達成團體的默契和共識，例如國際談判中往往屬於這種情況，大國比小國擁有更大的話語權。大小團體各自分配到大小不一的資源，但個別團體對每一份額的價值都有共識，也願意接受分配結果。 共識公平 『所有人都對分配好的每一部份有一致的評價，從第一份一致到最後一份也一致。』用數學寫清楚就是，令 w_i 為第 i 份大家認為應得的比例，則共識公平滿足 V𝑖(𝑋𝑗 )=w𝑗 for all 𝑖, 𝑗=1,2,…,n ——(4) 下表（表4）就是一種符合(4)的分配結果： 表4. 『從結果來看，可以發現如果每一個人對價值達成一定共識的話，那麼事情就容易多了。例如，進行事前的溝通和協商，以確保所有相關方都理解並且同意遵守並依據某一原則來分配。一種方法是同意採取具體的客觀證據來評估每一份的價值，這樣做將會使價值觀有統一的度量標準。如果是分蛋糕，可以使用視覺證據，如秤重或使用一把尺來測量每個部分的大小。如果是分配資源或金額，則可以使用數字證據，如提供每個人所分到的份額的明確數字。你看，無論如何，數學總是派得上用場…。 公平切蛋糕問題主要涉及對於「非等質」資源的分配，例如上頭有許多種配料分布不均勻的蛋糕，要分配給對蛋糕的不同部分有不同偏好的眾人，有人喜歡巧克力，有人喜歡布丁，有些人則想要吃大塊一點，原則是達成一致公平，讓【每個人都得到他認為公平的一塊】。 千萬不要以為只有數學家喜歡切蛋糕，切蛋糕或披薩只是一種比喻，發展出來的方法也可以用來劃分土地和廣告時段、分攤房租和分配輪班時段或財產…等各種現實資源分配，現在，公平切蛋糕問題已成為數學、計算機科學、經濟學和政治學領域的研究範疇。 公平切蛋糕的研究始於1940年代第二次世界大戰期間。第一個研究的公平標準是採取【比例公平】，也很快的就找到了一個符合 n 個人分蛋糕的方法。過了將近十年，喬治加莫(George Gamow)和馬文斯坦(Marvin Stern)將更強的【無羨慕公平】標準引進了切蛋糕問題。直到1960年，一種針對三個人的無羨慕公平切蛋糕演算法被提出來，現在稱為賽爾弗里奇－康威程序(Selfridge-Conway procedure)。數學家賽爾弗里奇(John Selfridge)於1960年開發了這套離散型程序，有人拿到的蛋糕可能是不連續的(兩片拼起來)，但整個程序最多只要切五刀。約翰康威(John Horton Conway)於1993年獨立發現了同樣的結果，兩人都沒有公開發表這項成果，不過，理查蓋伊(Richard Guy)在1960年代將好友賽爾弗里奇的解法告訴了許多人，因此，即使賽爾弗里奇和康威的想法不曾存在於公開的文獻中，許多書籍和文章中都將此結果歸功於兩人。後續還有針對更一般的問題研究和連續型程序被提出來，例如數學家華特史通基斯特(Walter Stromquist)在1980年提出的移動刀子程序(Moving knives procedure)。對切蛋糕問題有興趣的讀者，可參考[1]找到更完整深入的相關資料。 賽爾弗里奇－康威程序的操作如下： 假設我們有三個人P1、P2和P3。 第一步：P1將蛋糕分成三個他認為大小相等的部分（稱A, B, C）。如果P2認為最大的兩塊相等，那麼直接以P3, P2, P1 依序從三塊中選擇自己最想要的，結束程序。否則，進行第二步。 第二步：P2將其中最大的一塊（不失一般性假設是A）切掉一部分（稱A2），讓剩下的（稱A1）跟第二大塊蛋糕大小相等（P2自己認為的），先把A2放在一旁。 第三步：P3從A1, B, C中選出一塊自己認為最大的。 第四步：如果P3沒有選A1的話，則P2必須選A1；否則的話P2可以選其他的。 第五步：P1選擇三塊中剩下的那塊。 接下來處理A2的分配。 第一步：由P2和P3兩人中沒有選擇A1的人將A2切成三塊大小相等的部分。 第二步：兩人的另一人先選，接下來換P1選，最後一塊留給最後一位。結束整個分配。 賽爾弗里奇－康威程序為什麼符合無羨慕公平的要求呢？就留給讀者自行動動腦囉～ 賽爾弗里奇（逝於2010年）是著名的數論學家和計算機科學家，他是數論基金會的創始人之一，數論基金會已經以他為名頒發《賽爾弗里奇獎（Selfridge prize）》。同為數論學家理查蓋伊逝於2020年初，享嵩壽104歲，雖然在1982年就退休，在過世前幾年仍然相當活躍，熱衷參加數學活動，直到100歲還是頭腦清楚的每週工作五天，是人類紀錄中年紀最大還在公開場合（紐約數學博物館MoMath）演講的數學家，想要打破這項世界紀錄恐怕有點難度，因為首先你要活得夠久才行。最後，任職於普林斯頓大學的約翰康威，在許多領域展現數學才華，開創不少重要的研究成果，晚年身體健康狀況不太理想，於2020年4月因感染新冠病毒離世，死時82歲。 「天公平而無私，故美惡莫不覆，地公平而無私，故大小莫不載，數公平而無私，故宇宙莫不從。」 ※註※ 本文的分配範例中，每個人對於整體𝑋給予一致的價值6只是為了方便在不同條件下使用同一個架構來敘事，事實上，個別情況也不難舉出三人對總體評價不一致的公平分配結果。 陳宏賓 國立中興大學應用數學系副教授 andanchen@gmail.com 參考文獻 Ariel Procaccia, "Cake Cutting Algorithms". Chapter 13 in: Brandt, Felix; Conitzer, Vincent; Endriss, Ulle; Lang, Jérôme; Procaccia, Ariel D. (2016). Handbook of Computational Social Choice. Cambridge University Press. 本文引用格式：陳宏賓（2023）。用數學論公平。科學研習，62（1），20-24。

值得再三玩味的黃金比例

文／賴以威 說起「黃金比例」，那絕對是數學科普界的搖滾巨星。 它不僅有著豐富與多元的數學意涵，更因為和「美」，甚至是「完美」連結在一起，頻繁地出現在不同領域。彷彿只要冠上了黃金比例，就是被認證、精算過的理想結果。幾年前台灣風行一時的手搖飲料，就曾經以黃金比例命名。數學愛好者必然對黃金比例不陌生，本篇文章嘗試整理一些相關知識，帶大家再訪黃金比例。 數學的介紹 黃金比例的值為 通常習慣用希臘字母φ (phi)來表示，近似值為1.618。 早在西元前四世紀，古希臘數學家歐幾里德就曾於其經典數學著作《幾何原本》描述過黃金比例。當時尚未發展出根號，歐幾里德介紹黃金比例時，用了比較間接，但充分表示黃金比例特性的說法： 如果把一條線分成長段與短段，分出來的結果會有 全長：長段＝長段：短段 的特質，我們就稱此分割方式為「黃金分割」，分割得到的上述比值即是黃金比例。如下圖，有一條線段AB，我們依黃金比例切割這條線段，畫出點C，就會得到AB:AC=AC:CB。 圖1. 黃金比例切割 關於根號與黃金比例還一件趣事。儘管，歐幾里德之前的希帕索斯就曾發現，單位正方形的對角線長度是無理數，卻因為這個觀念不被當時主流接受，傳說，畢達哥拉斯學派將希帕索斯扔到海裡，一併將稍微浮出的根號知識，重新埋回深處。但也是畢達哥拉斯學派在歐幾里德之前，就發掘了黃金比例。他們發現，正五邊形蘊藏了很多黃金比例。你可以畫一個正五邊形，量量它的對角線與邊的長度比值，就很近似1.618。有興趣的朋友可以更進一步挑戰證明看看。 從五邊形到五角星 不只如此，當我們畫出正五邊形的所有對角線後，就會看到在許多魔法、奇幻故事中出現的五角星。仔細觀察五角星，五角星內裡恰好會形成一個比原本的五邊形還小一號的正五邊形，對角線也被彼此切割成好幾段。再拿出尺量量看，你會發現黃金比例幾乎無所不在，以下圖來說， 紅色線段：藍色線段 藍色線段：綠色線段 綠色線段：紫色線段 這三組比值都是黃金比例，再加上正五邊形邊長和對角線的黃金比例，一個正五邊形就有4組黃金比例！ 圖2. 五角星的黃金比例線段 而既然五角星裡面一樣有正五邊形，當然可以再連接小五邊形的對角線，畫出更小的五角星，像拿著鏡子對著鏡子般無限延伸，畫出越來越小的正五邊形和五角星。小小的五角星，彷彿藏著無限的力量！相傳，畢達哥拉斯學派對五角星有著充分了解，不只以「五角星」作為學派的象徵外，門徒在寫信給其他人時，也會以「五角星」祝願對方健康。 延續五角星的話題，知名的日本陰陽師安倍晴明也很喜歡五角星。如果有機會造訪京都的安倍晴明神社，門口就可以看見安倍晴明的「桔梗印」，恰恰就是一個五角星。安倍以桔梗的五片花瓣為象徵，呼應東方五行的金、木、水、火、土。而「五角」在日文恰好與「及格」的日文「合格」諧音，都念作「gokaku1」，因此日本有特殊的五邊形鉛筆，用以祈願考生考試及格，用五角星的魔法配上合格的諧音，讓考生發揮百分百的實力。當然，這些跟數學的距離都越來越遠了。可是從上面的討論，我們可以看見，因為五邊形、五芒星的樣貌與反覆出現，自古人們對其有特殊的想像，連帶也替黃金比例增添了神祕的色彩。 大自然裡的數學 場景拉到大自然。相較於自然界常出現的六邊形，五邊形比較少見。可是，黃金比例很巧妙的以另一種連結關係，隱藏在如鸚鵡螺等生物形狀中，那就是另一個數學科普的巨星：費式數列。 費式數列以數學家費波納契命名，是描述「生長」的數列。費波納契以兔子的生長來類比： 1對兔子，一段時間後長大，生出另一對兔子，此時有2對兔子；過一段時間，小兔子長大，第1對兔子再生1對兔子，此時有3對兔子。過一段時間，2對成熟的兔子各自生下2對兔子，此時有5對兔子；過一段時間，上上一期出生的兔子也長大，3對兔子各自生下3對兔子，此時有8對兔子；過一段時間，上上一期出生的2對兔子也長大，5對兔子各自生下5對兔子，此時有13隻兔子；過一段時間，上上一期出生的5對兔子也長大，8對兔子各自生下8對兔子，此時有21隻兔子…… 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… 稍微觀察可知道，每個數字都是前兩個數字的和。接下來是 …, 34, 55, 89, 144, 233… 因為費式數列捕捉大自然生長的規律，我們便能在許多動植物中找到費式數列。松果或鳳梨就是相當經典的案例。鳳梨表皮上密密麻麻的果目，仔細看可以找到不同的螺旋式排列，不管是怎樣的螺旋排法，數出來的螺旋數量一定是8或13或21，都是費式數列。同樣的現象在松果上面也能發現。 費式數列跟黃金比例有什麼關係呢？ 從費式數列到黃金比例 仔細觀察，費式數列的前後兩個數字的比值，2/1=2，3/2=1.5，5/3近似於1.67，8/5=1.6，好像跟黃金比例1.618越來越接近？再多試試看幾組 可以看見，真的越來越接近黃金比例。有興趣的人，可以試試看先推出費式數列一般表達式，再用代數算出前後項的比值，去證明費式數列與黃金比例的關係。 第一次知道黃金比例竟然隱藏在費式數列前後項的比值時，我非常驚喜，彷彿看見不同時期認識的兩位朋友，原來也是好朋友。再仔細思考後，發現這不僅僅可以透過前面所說的數學證明來確認，還存在這個一種直觀的解釋方法，而這就要回到歐基里德的黃金分割定義，不過我們換個角度，用「合成」的觀點來看： 如果今天有兩條符合黃金比例的線段Ａ、Ｂ，Ｂ比Ａ長。他們可以組合成另一條更長的線段C=A+B，而線段C與線段B的長度比值同樣符合黃金比例。既然符合比例，如果把C跟B組合起來的線段D=B+C，一樣會存在線段D與線段C的長度符合黃金比例。合成的步驟，不就是費式數列中的「前兩組數字之和」嗎？ 換句話說，黃金分割與費式數列的描述過程，其實可以視為同一件事的不同角度詮釋。發明經典益智遊戲「河內塔」的數學家愛德華·盧卡斯曾經嘗試過另一種數列，前兩項是2,1，後面遵循費式數列的規則。這套盧卡斯數列可以寫作 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199… 也是趨近於黃金比例。到此為止，你不能不讚嘆數學的巧妙，它不僅僅能捕捉表象底下的規律，規律背後的規律，同樣可以透過數學呈現。 再訪幾何圖案 還有一些與黃金比例相關的數學名詞，如黃金矩形、黃金螺旋。前者是一個長與寬比例剛好符合黃金比例的長方形。此長方形有一個特性，如果移除一塊邊長與寬度相同的正方形，剩下來的長方形之長與寬，依然符合黃金比例，依然是一個黃金矩形。這不難理解，當長與寬的比值符合黃金比例時，長、寬、長扣寬，這三條線有著合成與黃金比例的關係，自然「寬」與「長扣寬」也符合黃金比例。 也就是說，我們是用黃金分割，把黃金矩形拆解成一個正方形與小的黃金矩形。而這件事可以反覆無窮無盡的做下去，將會得到越來越小的黃金矩形(突如其來的思考題：每次分割後的小黃金矩形，跟原先黃金矩形的面積比例會是多少呢？)。當我們分割到很小很小的形狀後，再從最小的正方形開始，每個正方形畫1/4個圓，這些圓會彼此銜接，從中心到外側越來越大，形成了一個螺旋，這就是所謂的「黃金螺旋」。常見的例子就是鸚鵡螺的殼，即符合黃金螺旋。 數學上，這樣的螺旋因為從中心出發的直線與任何一圈的螺旋線相交的角都相等，我們稱之為「等角螺旋」。颱風時從颱風眼繞出來的雲層，宇宙星系的懸臂，都是等角螺線。對此有一件相關的逸聞趣事：數學家雅各布·白努利非常喜歡等角螺旋，留下遺言要將此形狀刻在墓碑上。後人遵照他的想法，但雕刻師數學沒那麼好，刻成了阿基米德所發明的「等速螺旋」。外人看起來可能相差不遠的螺旋，但如果雅各布·白努利地下有知，應該會氣得冒出等角螺旋的煙吧。 圖3. 等角螺旋 (photo source : wiki) 圖4. 等速螺旋（photo source: wiki） 既然黃金螺旋是從黃金矩形中畫出來，黃金比例跟費式數列又有關係，我們也可以用費式數列來「近似」黃金螺旋。具體方式如下：首先，畫出是兩組邊長為1的單位正方形，再來邊長為2、3、5、8、13的正方形。由於費式數列有著「前兩個數字和」的特性，他們能不斷形成長方形。持續用以費式數列為邊長的正方形拼接，會不斷形成越來越大的長方形，而這些長方形的特色是，長度與寬度剛好是連續兩個費式數列。 圖5. 費式數列形成的矩形（photo source: wiki） 行文至此，許多人應該已經發現這個「費式矩形」與「黃金矩形」的關聯性了：既然長與寬是費式數列的連續兩個數字，當長方形越來越大時，長與寬的比值就會越來越接近黃金比例。也就是說，這個費式矩形會越來越近似黃金矩形。而從邊長1的最小正方形開始畫起1/4圓，往外形成的螺旋，也就會很近似黃金螺旋。 不一定存在的黃金比例 從前面的討論，我們可以看見許多黃金比例的奇妙性質，以及它和費式數列的緊密關係，進而某種程度詮釋了，為什麼大自然中可以看到那麼多黃金比例。隨著時代演進，後來黃金比例逐漸被賦予「美」的特質，許多藝術作品中，例如希臘帕德嫩神殿、達文西〈蒙娜麗莎的微笑〉，達利〈最後的晚餐〉，甚至近年來一些影集如《瑯琊榜》，都被認為是運用了黃金比例進行構圖，讓畫面有獨一無二的美感。支持這個論點的人，在上述作品中畫了很多黃金矩形，或是黃金螺旋，彷彿這是隱藏在作品底下的輔助線，當初畫家或導演創作時，有仔細的運用數學計算過。 這是很浪漫的說法，然而卻不一定經得起數學的考驗。由知名科學家李維奧所著的經典同名科普書《黃金比例：1.61803...的祕密》中，即有大量的相關討論。李維奧指出，多數跟藝術有關的黃金比例，可能只是穿鑿附會之說。例如蒙德里安擅長用線條、色塊來創作，很多人就說他的作品有用到黃金比例，但翻遍蒙德里安相關的傳記、紀錄，他都不曾提及此數學。又或者許多藝術作品裡的黃金矩形其實都沒有那麼精準，更別提建築物照片對上黃金矩形，只要是拍照的角度稍微改變，原本看起來很吻合的比例就會有全然不同的結果。甚至曾有心理學的研究，為了確認大家是否公認黃金矩形是最美的長方形，設計了許多種長寬比不同的矩形。而最多人選擇的，並非是黃金矩形。 值得再三品味的黃金比例 總結來說，黃金比例雖然是數學科普裡最富盛名的概念，但或許廣為人知的部分，真實性有待商榷。不過，就算〈蒙娜麗莎的微笑〉裡沒有黃金比例，但黃金比例與費式數列的奇妙連結，黃金比例於大自然無所不在，潛藏在無窮循環的五邊形、五角星之中。依然很值得我們去探索。而且每一次重讀、彷彿都會把一些不同的知識更加串連，更認識黃金比例新的一面。 賴以威 國立臺灣師範大學電機工程學系副教授 數學教育中心傳播產製組組長 註：1.五角念作ごかく，合格念作ごうかく，其實不完全一樣，合格的go的o是長音。 本文引用格式：賴以威（2023）。值得再三玩味的黃金比例。科學研習，62（1），13-18。

漫談無限

文∕李源順 數學就是無限的科學。“Mathematics is the science of the infinite.” Hermann Weyl, 1930 在數學上，無限（infinite）或者無窮是一個重要的概念，但許多人對它的認識不是很清楚， 或者不認同，因此在數學的學習上變得比較困難。 生活上的無限 在生活上，我們可能聽到無期徒刑，它雖然是終身監禁的意思， 但是它不是一直都要執行永無停止的制度，最多只到犯人老死為止， 甚至被判處無期徒刑的犯人，在台灣，2005年以後在監獄中執行25年以上且達到一定的條件， 就可以啟動假釋制度。因此從數學的角度看，無期徒刑不是「無期—沒有期限」。 有人認為一個人的一生，頭髮的數量是無限的，因為它掉了還會再生長出來。 可是從數學的角度，頭髮的數量還是有限，只是很多或者不容易數而已。 因為當一個人離世以後，頭髮的數量便會終止生長，不會再增加。 因為無限是一種永遠無法停止的概念，在生活中幾乎看不到。即使是地球從生命的誔生到未來的毁滅，雖然要歷時非常非常久，但是還是一個有限的時間，因此人們在生活中很難感受到無限的概念。 數學上的無限 本文在此僅以0.9為例討論有極限（limit）的無限問題和數系的個數有無限多個為例討論無限大的問題。極限的概念是微積分的重要概念，不了解它，微積分便很難學得好。 一、0.9=1嗎？ 高中生都會學到0.3=，且相信它是對的。因為它可以用1除以3，一直除下去，永遠無法停止，因此它是一個循環的無限小數問題。但是許多學生不相信0.9=1。作者曾經問過28位數理系一年級大學生，發現只有一半的學生認為0.9=1；46位大學幼教系和特教系一、二年級學生，只有五位（11%）認為0.9=1。其他都認為0.99只是趨近於1，還比1小一點點。認為0.9=1的學生都說以前老師用下面的方法教他們證明過： 設x=0.9999...① 10x=9.999...② ②-①得 9x=9 所以x=1 從數學知識的角度剖析0.9=1的概念，發現它是一個極限的概念。我們可以造一個數列{an=0.99…9（有n個9）}，此時。當我們在解釋的極限問題時，也時常令x=0.9，0.99，0.999，…，來讓學生感受x愈接近1時，x+1會愈來愈趨近於2。因此0.9是極限的概念卻沒有極限的形式，所以它是一個很難理解的問題。在這邊也要注意的是：n→∞，an→1表示它們只是趨近，但永遠不會等於1，但是當我們用lim來寫的時候，表示它的極限值真的會等於1，也就是。 極限的概念是微積分的精神所在，卻是一個很難了解的概念。在歷史上，Zeno（西元前490~430）的悖論也困惑世人一段很長的時間。其中有關二分法悖論（Boyer，1949；Kline，1972；引自李肖梅，1993）是這樣子的： 某一跑步者做如下的推論。在跑步者到達終點之前必須先經過路程的中點。然後必須再跑到處，它剩下路程的一半。而跑步者在跑完最後的之前，必須跑到這段路的中點。因為這些中點是沒有止境的，因此，跑步者根本不能到達終點。 當時的數學家面對這個隱含無限概念的悖論無法釋疑，直到十六世紀，極限的概念才建立完成。 極限的概念在中國也曾經被提及過。古代莊周在《莊子》一書中提出：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」三國時代的劉徽利用「割圓術」計算圓面積時，也曾經說過：「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓無所失矣。」這都是無限的概念。 為了讓學生了解0.9的無限概念，作者用各種方法問學生。 1. 運用×3 假如學生相信0.3=，可以把它兩邊同時乘以3或者連加3次，此時0.3×3=×3，便會得到0.9=1的結果。 2. 運用1÷1的除法 假如我們稍微放寬計算除法時，餘數比除數小的規約，讓餘數可以等於除數，這時候會發現1=1÷1=0.9999…的結果。如下算式 3. 兩相異數之間有無限多個數 作者還問學生，我們都知道任何二個相異實數之間有無窮多個數，因為我可以把這二個數相加再除以2，就找出它們的中點。假如0.99和1之間的數就好。當學生發現他們找不到兩者之間的數時，有學生反而懷疑數學上說的「任何二個相異實數之間有無窮多個數」是不是對的。因為在日常生活當中兩個人或者兩顆珠子併排，其中再也擺不進去一個人或一顆珠子的經驗；我們把一條吐司用切一半的方式一直切下去，到後來會出現不能再切下去的直觀經驗。 4. 兩相異數相減 作者再問學生，我們解答兩數的大小問題時，時常利用兩數相減來處理，因此請學生計算1-0.9，學生會察覺答案是0.000…（0永遠寫不完），所以0.9=1，但有部份學生的答案會是0.000…1（=0.01），即小數點後面有「無限多個0」再一個1。但是「無限多個0」再一個1，與學生的事實認知「無限多個，就不可能有最後一個」相衝突。 在作者說明之後，大部份的學生相信0.9=1，但是仍然有一位學生說，「它是一個哲學的問題，信者恆信，不信者恆不信」。作者同意他的說法。 有一位學生在0.991是緊鄰0右邊的數，它們中間沒有其它的數了。 有興趣的讀者或許可以思考0.01的數是否真的存在？如何定義它的四則運算？運算的結果是否仍然符合數的體系？例如0.01+0.01=0.02。說不定反而可以創造出新的數學理論。 二、數系的個數一樣無限多嗎？ 相信大家都同意自然數（N）的個數有無限多個，因為它可以一直往左進位，永遠寫不完。相同的，整數（Z）、有無理（Q）、無理數（Q）、實數（R）的個數也都是無限多個。 在數學的發展史，有關無侷限的無限問題，希爾伯特的旅館悖論就是和自然數有無限多個有關的問題： 宇宙中有一個無限房間的旅館，每個房間都住滿了客人。現在又來了一位客人要住進旅館，這時候旅館的老闆請住在1號房的客人搬到2號房，住在2號房的客人搬到3號房，…，住在N號房的客人搬到N+1號房。再請新來的客人住到1號房。這時候每一個人都還是有房間住。 數學家為了了解無限個數的概念或性質，從A、B二個元素個數是有限集合的性質，發現假如二個有限集合的元素個數相等，若且唯若可以找到一個函數f: A→B，同時f為一對一且映成的函數（也就是二個集合內的元素，可以一個對一個而且每一個都被對應到）。因為f為一對一函數時，保證A集合的個數小於或等於B集合的個數；f為映成函數時保證B集合的每個元素都被對應到，所以A集合的個數大於或等於B集合的個數，如下圖一。兩者同時成立，便可以保證A集合和B集合的個數相等。因此概念推廣此一有限集合的性質，定義二個無限元素的集合，它們的個數相等若且唯若可以找到一個一對一且映成的函數。 圖1. 一對一和映成函數示意圖 運用上述無限集合的定義，希爾伯特的旅館悖論問題得以解釋，可以定義f : {0} ⋃ N→N，其中f（n）=n+1, n∈{0} ⋃ N。也就是0, 1, 2, 3, 4…分別對應到1, 2, 3, 4, 5…。此時很容易可以證得f為一對一且映成的函數。在微積分的概念上，這個問題可以想成是∞+1=∞。 同樣的問題，直觀來看，整數的個數比自然數的個數多了一倍（負整數）又多1個（0）。但是我們可以 定義f : Z→N，其中 也就是…-2,-1, 0, 1, 2…分別對到4, 2, 1, 3, 5。此時也可以證得f為一對一且映成的函數。這個問題在微積分上可以想成2×∞+1=∞。 許多人會感覺有理數的個數比整數多很多，因為分子和分母都是整數。但我們可以找到一個函數 f :Z→Q，且 f (0)=0 ，其中 m, n∈N, mn≠0 負整數對應負分數的概念相同。 m+n=2且n=1時，； m+n=3且n=1, 2時，； m+n=4且n=1, 2, 3時，； …； 表1. 正整數和正有理數的多對一方式 此時可能有多個整數都可以對到同一個有理數（等值分數），例如f (1)=f (5)=f (13)=1，但是每一個有理數都被整數對應到（映成函數），所以整數的個數比有理數的個數多或者相等。因此我們可以證得整數的個數和有理數一樣多。這個問題在微積分上可以想成∞×∞=∞。 很特別的是，雖然同樣有無限多個數，無理數的個數比整數的個數多太多了。它的證明需要使用到在數學上非常重要的矛盾證法。 假如存在一個一對一且映成的函數f :Z→Q，使得f (n)=Pn，其中Q={Pn |n∈Z} 現在令純小數P=0.a1 a2 a3 …， 其中a1 是第一位小數且異於P1 的第一位小數， a2 是第二位小數且異於P2 的第二位小數， a3 第三位小數且異於P3 的第三位小數， …。 此時，P是異於P1 ,P2 ,P3 ,…的無理數。所以假設不成立，也就是找不到一個一對一且映成的函數，因此無理數的個數比整數的個數多。 事實上，可以更直觀的看，P1 , P2 , P3 , …的數列，Pi 的第i位小數只是0到9的其中一個數，因此異於Pi 的第i位小數還有9個，把所有的9個相乘，發現無理數的個數比有理數的個數多太多了。 在數學上，有一門測度論的學問，它告訴我們，把閉區間[0,1]的所有有理數形成一個點集合，再計算它的長度，結果長度為0。把[0,1]的所有無理數形成一個點集合，再計算它的長度，結果長度是1。可見無理數的個數比有理的個數多太多了。 邊長為1的正方形面積，從積分的角度是可以把長度為1的線段（面積為0）從0積到1，變成面積為1的面積，也就是，它主要的關鍵點也就出現在無理數的個數上。也就是把長度為1的線段（面積為0）從0積到1的有理數時，它的面積仍然為0；把長度為1的線段（面積為0）從0積到1的無理數時，它的面積為1。 所以數學家把自然數、整數、有理數的無限稱為可數的無限，因為感覺上它是可以從1, 2, 3 , …一直數下去，而無理數、實數則為不可數的無限。 幾何學上的無限 我們都知道在座標平面上，是可以無限延伸的，因此坐標平面是無限的概念。當我們用動態軟體（例如GGB）畫雙曲線時，就會發現如下圖二，例如雙曲線的參數式，，當θ從0°走到90°時，雙曲線會從（2, 0）走到右上方的無限區域（圖二-1）；θ從90°走到180°時會從左下方的無限區域回到（-2, 0）（圖二-2；θ從180°走到270°時，會從（-2, 0）走到左上方的無限區域（圖二-3）；θ從270°走到360°時，再從右下方的無限區域走到（2, 0）（圖二-4）。如此一直循環下去。 圖2. 雙曲線的動態軌跡圖 物理學和天文學上的無限問題 從物理學的角度，標準模型假設無法再加以分割的物質粒子有兩種，分別是夸克和輕子（林肯，2018），因此任何一個物質經過分割到最後就會是夸克和輕子，不能再分割下去，不能像數學一樣，任何兩個相異數之間有無窮多個相異數。但是當我們能製造出很大的能量，足以把這個最小元素打破，就會形成更小的元素（歐洲核子研究組織CERN的大強子對撞機LHC正在加速運轉，或許可以完成這項任務）。如此一直這樣做下去，會不會出現數學上的無中生有？ 我們是生活在三度空間之中，大家都會問宇宙所在的空間到底是有限還是無限的？若是有限的空間，那麼有限的空間之外又是什麼？一個永遠無法跨越的銅牆鐵壁嗎？可能嗎？若是宇宙是無限的那又是什麼情況？還是宇宙其實是有限的，只是它像圖三的莫比烏斯環（張瑞棋，2015）之類的3D模型，走了一段時間以後又會回到原來的地方（孤單旅行者，2017）？可是3D的莫比烏斯環有多大？之外的空間又是什麼？或許整個宇宙就是一種無限的概念。 圖3. 莫比烏斯環 ▍ By David Benbennick, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons. 李源順 臺北市立大學數學系教授 參考文獻 Weyl, H. & Pesic, P. （1930）. Levels of Infinity: Selected Writings on Mathematics and Philosophy（Dover Books on Mathematics）. Zhao Zhong Chong（2021）。宇宙到底有邊嗎？財團法人國立自然科學博物館文教基金會。科普網路寫作平台。https://foundation.nmns.edu.tw/writing/hotnews2_detail.php？gid=11&id=1247 李肖梅（1993）：從微積分發展史看極限概念的演變（一）。科學教育月刊，第164期，pp.31-37。 林肯（2018）。夸克之內 別有洞天？科學人知識庫，932（12） https://sa.ylib.com/MagArticle.aspx？id=2112。 孤單旅行者（2017）。宇宙沒有邊際？怎麼可能，只是你不知道莫比烏斯環。每日頭條。https://kknews.cc/science/p66r3ge.html。 張瑞棋（2015）。無限循環的莫比烏斯環：莫比烏斯誕辰。科學史上的今天：11/17。泛科學，https://pansci.asia/archives/109598。 本文引用格式：李源順（2022）。漫談無限。科學研習，62（1），4-11。

森棚教官的數學題──蜂窩六邊形

文∕游森棚 如下為大家熟知的巴斯卡三角形：（同學如果不清楚，可以詢問老師） 巴斯卡三角形有一個奇妙的性質：隨便挑一個數, 然後看包圍住它的六個數，順時針記為A, B, C, D, E, F. 那麼一定有 A×C×E=B×D×F 例如包住21 的六個數是6, 15, 35, 56, 28, 7, 而且6×35×28 = 15×56×7。 高中數學可以學到，巴斯卡三角形由上到下第n列（n從0開始）的左邊數來第k的數（k從0開始）值是 （其中 k!=1×2×…×k，且規定0!=1）。例如 或 等等。 把這個稱為「六角形定理」，為什麼是對的？ 費波那契數是 （因此 ） 現在如果把第n列第k的數換成 因此從上到下，前幾列的數字分別為 (1),(1,1),(2,1,2),(3,2,2,3),(5,3,4,3,5),… 這個三角形有沒有六邊形定理？ 你可以找到八邊形定理嗎？或更多類似的結果？ 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授 本文引用格式：游森棚（2022）。森鵬教官的數學題：蜂窩六邊形。科學研習，61（6），111。