2022年9月25日號稱世界六大馬拉松之一的德國柏林馬拉松開跑了，冠軍由素有馬拉松之神的Eliud Kipchoge 最終以2小時01分09秒完成賽事！打破世界馬拉松的紀錄。消息一出，各大媒體無不爭先報導此新聞，也讓愛好路跑的跑友們聞之熱血沸騰。在媒體報導中，指出Eliud Kipchoge平均每公里配速為2分52.27秒，換算大約為平均每一百公尺17秒的速度。一般民眾一百公尺只花17秒已經有難度了，更何況Eliud Kipchoge是以此速度連續跑了將近兩個小時！

馬拉松運動來自公元前490年古希臘時代雅典與波斯之間的馬拉松戰役。據傳希臘在這場戰役中擊敗波斯軍隊，雅典士兵菲迪皮德斯為了傳達獲勝訊息，由馬拉松平原跑回雅典報捷，隨後力竭而死。後世為了紀念這位士兵，遂將馬拉松平原至雅典的距離（約40公里）變成為一項賽事活動。而經常有人會問：為何全程馬拉松的距離會是42.195公里？後面的195公尺是如來的呢！？其實最初4屆奧運的馬拉松賽，距離都由主辦單位隨意制定。西元896年雅典奧運會，馬拉松的距離不足40公里，西元1900年巴黎奧運會，距離大約是40公里，直到1908年倫敦奧運會，馬拉松的起點設在溫莎城堡，終點設在白城運動場內，賽道全長42.195公里，此後奧運馬拉松賽事均以此長度為標準。

柏林馬拉松自西元1974年開始舉辦，舉辦時間在每年9月的最後一個星期日，為獲得國際田徑總會（IAAF）金牌等級認證的全程馬拉松。馬拉松的賽道全長為42.195公里。

筆者近年來有慢跑習慣，因此逐漸了解關於跑步的相關資訊，其中對於長跑界的專有名詞」配速」相當的專注。常聽到跑友互相分享「您跑幾分速？」，跑者各有不同的配速：「6分速」、「5分速」、「4分速」等。舉例來說，何謂6分速呢？意即每公里所花的時間為6分鐘；5分速為每公里所花的時間為5分鐘；3分速為每公里所花的時間為3分鐘等，依此類推。故以速度來說，5分速的速度較6分速為快；4分速的速度較5分速為快，依此類推。馬拉松之神Eliud Kipchoge此次的配速約3分速。

3分速有多快呢？ 5分速又有多快呢？ 筆者在教學現場常給學生一道題目：假設人跑步速度的極限為10m/s，則時速大約幾公里？沒有想到每個班級能夠計算出來的同學很少，讓我不禁想起是否因同學平常欠缺換算的訓練所致，所幸經過一番講解後，大部分的同學都能理解，此題的解為36km/hr（讀者可自行換算）。筆者會提出此問題是讓學生了解人類的跑步極限時速，當然，這樣的速度人體極限也頂多只能維持到跑400公尺而已，即使是世界頂尖選手也無法以此速度跑42公里。若以3分速跑完全程馬拉松42km（實際是42.195km，為了便於計算取整數），所需的時間為42×3=126分鐘=2小時零6分。這距離世界紀錄不到5分鐘的差距，也幾乎是人體的極限了！反之，這樣的速度如何換算成每百公尺的速度呢？42公里=42000公尺=420個一百公尺，126分鐘=7560秒，7560秒÷420百公尺=18秒/百公尺。以筆者的速度來說，個人全力衝刺一百公尺尚需20秒左右，且只能衝刺一趟，實在很難想像頂尖跑者可以以此速度跑完全程馬拉松（俗稱全馬）。

以6分速跑完42公里則需42×6=252分鐘，等於4小時又12分鐘。常聽到跑友想在全馬破4，破4的意思是全馬要在4小時內完成。那請問該選手該如何配速呢（用幾分速）？4小時=240分鐘=14400秒，14400s/42km≒343s/km，等於每公里要在5分43秒內完成，這樣的配速在跑界簡稱為543。因此以半馬約21公里來說（實際是21.0975公里，即42.195公里的一半），想要在破2也是至少需543的配速。

再假設半馬約21公里跑了一小時35分，則配速是幾分速呢？一小時35分=95分鐘=5700秒，5700/21≒271s/km，等於每公里4分31秒的配速，大約是4分半。在國內外馬拉松比賽時，主辦單位會安排不同跑速的配速員（俗稱列車長）。有6分速、5分半、5分速、4分半、4分速、3分半及3分速等。配速員的功能是他們全程會以所指定的速度以等速度跑完全程，跑者只要跟著該配速員，跑速就等同該配速員的速度，這樣可以讓跑者知道自己目前的速度為何。隨著科技的發達，坊間有許多專為運動設計的電子錶，透過GPS可以隨時監測運動的各項數據，如跑速、心率及里程數等，很是方便。

提到長跑習慣，有些人喜歡在戶外跑，有些偏好在學校操場。在戶外慢跑的優點是有風景可以欣賞，跑操場則必須重複繞圈圈（跑界俗稱叫做吃甜甜圈），跑起來不免有些無聊感，但安全性比起戶外高很多。

根據國際田聯田徑場地設施標準手冊的規定，標準的體育跑道內圈周長400米，其中彎道半徑應為36.5米，直道要沿南北方向避免太陽位置低時的炫目影響。應有8條跑道，直道可有10條，每條跑道寬為1.22米，跑道內側安全區域不少於1米，外側最好也有1米的安全區，起跑區最少3米，衝刺緩衝段至少17米。跑道左右傾斜度最大不得超過1：100，跑的方向上的向下傾斜度不得超過1：1000。

提到跑道的形狀，筆者問過不少任教學生操場形狀的解析，絕大多數的同學都能說出跑道面積是由兩個半圓加上一個矩形的組合，而兩個半圓組成一個圓。故最內圈400公尺等於一個圓周加上兩個矩形的長。圓周長為36.5×2×π≒230m，故跑道兩側的直線線段長度約為（400-230）÷2=85m（如圖）。

因此，假設要在第八線道跑5000公尺，則需跑11圈又17公尺（453×11=4983公尺）；若要在第五線道跑5000公尺需跑11圈又270公尺（430×11=4730公尺）。若要在第一線道跑半馬約21公里，則需跑52圈又200公尺，等於52圈半（52×400=20800公尺=20.8公里）

估測是一種能力，筆者經常利用數學課堂實施教室面積、高度與操場跑道長度的估測，想藉由此活動來讓學生學習如何估測，以及比較各組的數據看誰最準。既然是估測，代表除了學習單、筆以外，規定學生不得使用尺，其他工具則放寬使用。其中在跑道長度估測任務，許多學生會想到使用腳步來估測，但步伐的長度如何估測呢？筆者曾比較普通班學生和資優班學生，資優班學生很快就可以想出利用學校一百公尺的直線道除以步伐數得到每一步伐的長度。普通班孩子就難想到此方法，往往得經過教師提示後才恍然大悟。其實此問題可再延伸，若用一百公尺除以步伐數和用四百公尺除以步伐數，哪一種得到的估計值會較準確呢？讀者可以思考一下。

此外，有些同學利用鞋子長度來進行估測，通常鞋子都有標示各國的尺寸號碼，其中日本是採用公分來標示。以27.5公分的鞋號來估測也會有誤差，原因是27.5公分指的是鞋內長度，而非外緣長度，因此每一步至少都會產生1~2公分的誤差，累積的誤差會很可觀。也有的學生步伐長度是用猜測的，這樣的誤差會更大。但無論如何，可以讓學生嘗試不同的方式來學習生活中的各項問題，此經驗是難能可貴的。

當學生估測完一個步伐的長度之後，便可按照比例去推算其他跑道的長度，多數同學的答案與實際值很接近，少數與實際值有不小的誤差。執行此活動主要是讓同學發現學校操場的跑道就是天然的長尺。

在進行200M、400M及800M競賽時，我們時常可以發現在第二道至第八道的跑者起跑位置在前方的位置，也就是跑道上方前伸數的標線位置。除了第一線道跑一圈為400M以外，其餘跑道經過彎道時，跑道半徑隨著第二道至第八道而遞增，因此每一個跑道的彎道長度會增加。為了保持每一跑道跑者所跑的距離皆相同，因此第二道至第八道的起跑點皆須應不同距離的賽事需求而內移，此內移的長度即為前伸數。

由於表一所指的各線道長度指的是跑道上的白線上的長度，而實際上跑者必須跑在跑道中間，而跑道是有寬度的（1.22M），若跑者正好跑在跑道正中間的位置，則實際上第一至第八跑道每個跑道的半徑還要再增加0.61M，但跑者只要在不能搶跑道的過程中不踩到白線就不算犯規，因此設想跑者為了縮短跑步距離，跑者會再靠內一些。根據田徑規則，第一跑道跑者的試想線（又稱實跑線，後皆以實跑線稱之）為距離第一線道0.3M的位置；其餘跑道的實跑線距離前一線道的實跑線為0.2M（如圖）。

200M跑道為一個彎道+直線段，因此第二道至第八道的前伸數為Ln=π [r+(n-1)d+0.2]-π(r+0.3)=π[(n-1)d-0.1]，n為2、3、4、5、6、7、8，r為第一線道彎道部分的半徑36.5M，d為跑道寬度1.22M。

400M跑道為二個彎道+直線段，因此第二道至第八道的前伸數為Ln=2π [r+（n-1） d+0.2]-2π（r+0.3）=2π[（n-1）d-0.1]，n為2、3、4、5、6、7、8，r為第一線道彎道部分的半徑36.5M，d為跑道寬度1.22M。

800M個人賽規則是跑者過第一個彎道的搶道線(如圖4)始可向內側切入第一跑道搶跑道，搶跑道的路線是由圖5中的B點直線跑至第一個跑道200M第一個跑道的起始點(A點至終點正好為200M)。若不設立搶道線，假設第八跑道的跑者欲從原本就有標示線的D點直線向A前進的話，由於AD為直角△ADE的斜邊，因此AD>AE=85M，故設計成AB=85公尺，這樣一來，則多出的BD稱為切入差。由於第二跑道至第八跑道的跑者過第一個彎道即可搶跑道，因此第二道至第八道的前伸數為Ln=π [r+(n-1) d+0.2]-π(r+0.3)+切入差=π[(n-1)d-0.1]+切入差，n為2、3、4、5、6、7、8，r為第一線道彎道部分的半徑36.5M，d為跑道寬度1.22M。

我們舉例介紹第八跑道的切入差如何計算。根據畢氏定理，AB²+BC²=AC²，AB²=85M；BC=(1.22×7-0.1)=8.44M，故得AC=84.58M。所以切入差BD=85-84.58=0.42M。表4列出第二跑道至第八跑道的切入差。

全台有跑步習慣的人為數不少，散步更是老少咸宜的活動，一來散步所需的空間更廣、較無限制，二來安全性高，因為散步運動而受傷的人微乎其微。每個人散步的速度不一，近年來更流行競走，也就是以較快的速度走路，通常競走的速度介於散步和跑步之間，但正式場合的競走成績有時會比一般跑者的跑步速度來得快。走的竟然比跑得快！？也因此成為媒體討論的焦點。

以平均值而言，一般跑者的跑步速度會是走路速度的兩倍左右。以一位六分速跑者而言，5000公尺正好30分鐘可以跑完，若改用走路的方式，可能需要一個小時左右。假設某人一小時走了4公里（4000公尺），則他的步速（步伐速度）為何？60分鐘/4公里=15分鐘/公里，也就是15分速。

通常，操場上有跑者也有步行者。筆者跑步時，經常每過兩圈就會與某步行者於固定地點相遇，假設我為甲，步行者為乙，求甲、乙的速度比為何?此問題很容易解答，在相同的時間內，甲跑了2圈，乙跑了一圈。速度=距離÷時間，因此甲和乙的速度比為2:1。筆者的慢跑速度約5分半至6分，是一般跑者的平均值，而此也應驗了散步的速度大約是跑步的一半。因此，同樣的距離之下，散步完成的時間約為跑步時間的2倍。

再者，有些跑者習慣跑第一線道，更多跑者喜愛跑第八線道。假設兩位跑者在同樣時間皆完成了一圈，則兩人速度相同嗎?由於兩人所花的時間相同，因此速度比等於距離比=453:400≒1.13，第八圈跑者速度約為第一圈的1.13倍。換個問題，假設甲乙兩人的速度相同，甲跑第一線道，乙跑第八線道，假設甲乙同時從起點出發，則甲跑了幾圈才會再度追上乙呢?假設甲跑了n圈會再度追上乙，代表乙所跑的圈數為（n-1），因為兩人跑的速度相同，所以同時間內所跑的距離也相同，故得400×=453×（n-1），n≒ 8.5圈。類似的數學問題在過去屢見不鮮，但鮮少有同學算得出來，筆者歸納原因並非學生程度差，而是平常欠缺實際經驗，難以想像題目的情境。就如同換算一樣，平常欠缺這方面的計算練習，遇到問題便容易陷入其中，不知所措。

運動可以強身，動腦思考能使大腦細胞更活躍。數學是方便又好用的工具，能處理日常生活中各項問題。跑步可以學習到額外知識，一魚兩吃，何樂而不為呢！？