文∕陳宏賓
2020年開始，新冠病毒改變了全世界，各國人民不分種族皆深受新冠肺炎之苦，許多人失去性命，病毒在很多層面徹底地影響了我們的生活，以及政府的政策，例如疫苗供給優先順序、快篩試劑如何分配、紓困振興方案等等，引發許多討論。在類似的行政資源分配議題中，都牽涉到如何有效率的執行並且大致上維持『公平性』。
何謂「公平」？
在《教育部國語辭典》裡的釋義是「不偏私」。《管子．形勢》：「天公平而無私，故美惡莫不覆，地公平而無私，故大小莫不載。」古人認為公平是指天、地無私的對待世界萬物。人之間存在嗎？ 人有辦法像天地那樣無私嗎？ 恐怕連聖人都有困難吧。現代人認為的公平，則在於給予機會、權利、資源或待遇方面，不存在偏袒或歧視的做法。所以，公平通常指對『每一個人』都公正地處理，而不僅僅是對某些特定的人或群體。
那麼怎樣可稱為「對每一個人不存在偏袒或歧視」？
從數學上來說，公平是一種屬於資源分配問題的共同目標。通常指的是將一個整體均分成若干個部分，並使得每個人得到的每個部分的大小相同。例如，如果有五個人和一個蛋糕，將這個蛋糕切成五等份，那麼公平分配就是每個人分到一等份的蛋糕，不多不少。
上述說法是一種第三方觀點的客觀陳述，也是多數人心中第一時間想到的「公平」樣貌。事實上，公平可以有許多不同的形式，而且大部分是相當「主觀的」。可能發生某個人主觀地認定自己拿到的蛋糕就是比別人的都小，即使是拿到了一樣多、一樣大的蛋糕，別人的蛋糕上面的水果或巧克力看起來比較好吃，像這樣的事件也會引發是否公平的疑慮。
如何克服這種涉及到主觀感受和客觀事實的矛盾？ 首要之務是眾人對「公平」追求的不同意義有明確的認知。而數學作為一種語言，可以有效地、精準地提供更進一步對於公平分配的描述。首先，假設我們要分配某資源𝑋(例如蛋糕、披薩)給 n 個人，每個人有自己的價值函數 V𝑖，𝑖=1,2,…,n。假設讓第𝑖個人最後分配到的部分記為𝑋𝑖。利用這些參數和主觀價值函數，我們就可以更清楚的定義何謂『公平的分配』：
同樣滿足的公平
『從客觀來看，每個人對於自己獲得的份額給予同樣價值。』寫成數學就是
V𝑖(𝑋𝑖)=V𝑗 (𝑋𝑗) for all 𝑖=1,2,…,n ——(1)
由於人們很難得知其他人對於特定物件的評價如何，從數學式透露出這種分配追求的公平如果缺乏事先對彼此價值的了解，其實不容易達成。不過，對於熟悉這些參與分配者的人來說或許不是太困難。
例如這位擁有三位小孩的粗心三寶爸，將買來的一個蛋糕分配後，三位孩子所產生的相對應評價如下表（表1）：
表1.
可以看出三個孩子對於自己所得到的部分，都認為值得1分（或者整塊蛋糕價值的1/6），粗心的爸爸看著三位孩子擁有同樣的滿足感，對自己公平地完成了分配臉上不禁揚起幸福的笑容…。等等，你可能已經發現三位孩子的表情似乎怪怪的，這個分配雖然看起來符合公平原則【大家都感到同樣的快樂】，然而效益顯然很差，一整塊蛋糕分配後竟然只產生了3/6的效益，是不是應該要去找老闆要求退還一半的費用，又或者，尋找更令人滿意的分配方式？
比例公平
『每個人都能按照自己的價值函數至少得到他應有的份額。』寫成數學就是
V𝑖(𝑋𝑖)≥V𝑖 (𝑋)/n for all 𝑖=1,2,…,n ——(2)
這句話或許不同人有不同的解讀，但如果用數學寫下來，立刻就會清清楚楚地感受到每個人都拿到至少全體的 n 分之一，是種相當直觀的公平分配。而且在這種分配之下，整體的效益肯定不低於一整份原有的價值。
正當孩子們表情怪異的拿著蛋糕時，貼心的媽媽出來打圓場，將分配稍微調整一下，讓第一位拿到 𝑋3、第二位拿到 𝑋1、第三位拿到 𝑋2，重新分配後如（表2）的結果就會符合(2)的要求。
表2.
在這個情況下，從每個人的角度來看，都符合公平原則【拿到了自己認為應得的份額】，也就是自己認定的全部價值6的三分之一，也就是 6/3=2，此時蛋糕店的老闆也全身而退了，一塊蛋糕確實也產出不低於一塊蛋糕的價值。
不過，即使自己拿到了至少全體的 n 分之一，這情況還是會多少令人感到不悅吧，因為「別人手上的蛋糕看起來比我的還要好吃呢」。這個時候，我們或許需要另一種觀點的「公平」登場救援。
無羨慕公平
『每個人覺得自己拿到的份都不比其他人拿到的少。』用數學可以表示成
V𝑖 (𝑋𝑖)≥V𝑖 (𝑋𝑗) for all 𝑖, 𝑗=1,2,…,n ——(3)
顯然，(表二)的分配結果符合數學式(2)卻不符合(3)的要求。事實上，我們不難以數學證明：符合(3)的分配必然也符合(2)的條件。讀者可以試試看。
正當孩子們勉強要張口吃手上蛋糕的時候，善解「人意」和「數學」的阿公從門口進來眉頭一皺，趕緊又將(表二)的分配再調整一下，讓第一位拿到 𝑋3、第二位拿到 𝑋1、第三位拿到 𝑋2，重新分配後如(表三)的結果就會符合(3)，一塊蛋糕發揮了1.5倍的價值，皆大歡喜。
表3.
無羨慕分配不只獲得了比例上應得的部分，同時自己也都不比別人少，真是令人滿意的一種結果，雖然有點占了便宜的感覺，但是只要自己好就好了。不過，道德感比較強的你可能會因為占了便宜在心裡隱隱感覺到不公平吧。現實中也有一些情境，不允許每個人都以自己的利益為優先考量，而是必須達成團體的默契和共識，例如國際談判中往往屬於這種情況，大國比小國擁有更大的話語權。大小團體各自分配到大小不一的資源，但個別團體對每一份額的價值都有共識，也願意接受分配結果。
共識公平
『所有人都對分配好的每一部份有一致的評價，從第一份一致到最後一份也一致。』用數學寫清楚就是，令 w_i 為第 i 份大家認為應得的比例，則共識公平滿足
V𝑖(𝑋𝑗 )=w𝑗 for all 𝑖, 𝑗=1,2,…,n ——(4)
下表（表4）就是一種符合(4)的分配結果：
表4.
『從結果來看，可以發現如果每一個人對價值達成一定共識的話，那麼事情就容易多了。例如，進行事前的溝通和協商，以確保所有相關方都理解並且同意遵守並依據某一原則來分配。一種方法是同意採取具體的客觀證據來評估每一份的價值，這樣做將會使價值觀有統一的度量標準。如果是分蛋糕，可以使用視覺證據，如秤重或使用一把尺來測量每個部分的大小。如果是分配資源或金額，則可以使用數字證據，如提供每個人所分到的份額的明確數字。你看，無論如何，數學總是派得上用場…。
公平切蛋糕問題主要涉及對於「非等質」資源的分配，例如上頭有許多種配料分布不均勻的蛋糕，要分配給對蛋糕的不同部分有不同偏好的眾人，有人喜歡巧克力，有人喜歡布丁，有些人則想要吃大塊一點，原則是達成一致公平，讓【每個人都得到他認為公平的一塊】。
千萬不要以為只有數學家喜歡切蛋糕，切蛋糕或披薩只是一種比喻，發展出來的方法也可以用來劃分土地和廣告時段、分攤房租和分配輪班時段或財產…等各種現實資源分配，現在，公平切蛋糕問題已成為數學、計算機科學、經濟學和政治學領域的研究範疇。
公平切蛋糕的研究始於1940年代第二次世界大戰期間。第一個研究的公平標準是採取【比例公平】，也很快的就找到了一個符合 n 個人分蛋糕的方法。過了將近十年，喬治加莫(George Gamow)和馬文斯坦(Marvin Stern)將更強的【無羨慕公平】標準引進了切蛋糕問題。直到1960年，一種針對三個人的無羨慕公平切蛋糕演算法被提出來，現在稱為賽爾弗里奇－康威程序(Selfridge-Conway procedure)。數學家賽爾弗里奇(John Selfridge)於1960年開發了這套離散型程序，有人拿到的蛋糕可能是不連續的(兩片拼起來)，但整個程序最多只要切五刀。約翰康威(John Horton Conway)於1993年獨立發現了同樣的結果，兩人都沒有公開發表這項成果，不過，理查蓋伊(Richard Guy)在1960年代將好友賽爾弗里奇的解法告訴了許多人，因此，即使賽爾弗里奇和康威的想法不曾存在於公開的文獻中，許多書籍和文章中都將此結果歸功於兩人。後續還有針對更一般的問題研究和連續型程序被提出來，例如數學家華特史通基斯特(Walter Stromquist)在1980年提出的移動刀子程序(Moving knives procedure)。對切蛋糕問題有興趣的讀者，可參考[1]找到更完整深入的相關資料。
賽爾弗里奇－康威程序的操作如下：
假設我們有三個人P1、P2和P3。
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第一步：P1將蛋糕分成三個他認為大小相等的部分（稱A, B, C）。如果P2認為最大的兩塊相等，那麼直接以P3, P2, P1 依序從三塊中選擇自己最想要的，結束程序。否則，進行第二步。
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第二步：P2將其中最大的一塊（不失一般性假設是A）切掉一部分（稱A2），讓剩下的（稱A1）跟第二大塊蛋糕大小相等（P2自己認為的），先把A2放在一旁。
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第三步：P3從A1, B, C中選出一塊自己認為最大的。
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第四步：如果P3沒有選A1的話，則P2必須選A1；否則的話P2可以選其他的。
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第五步：P1選擇三塊中剩下的那塊。
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接下來處理A2的分配。
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第一步：由P2和P3兩人中沒有選擇A1的人將A2切成三塊大小相等的部分。
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第二步：兩人的另一人先選，接下來換P1選，最後一塊留給最後一位。結束整個分配。
賽爾弗里奇－康威程序為什麼符合無羨慕公平的要求呢？就留給讀者自行動動腦囉～
賽爾弗里奇（逝於2010年）是著名的數論學家和計算機科學家，他是數論基金會的創始人之一，數論基金會已經以他為名頒發《賽爾弗里奇獎（Selfridge prize）》。同為數論學家理查蓋伊逝於2020年初，享嵩壽104歲，雖然在1982年就退休，在過世前幾年仍然相當活躍，熱衷參加數學活動，直到100歲還是頭腦清楚的每週工作五天，是人類紀錄中年紀最大還在公開場合（紐約數學博物館MoMath）演講的數學家，想要打破這項世界紀錄恐怕有點難度，因為首先你要活得夠久才行。最後，任職於普林斯頓大學的約翰康威，在許多領域展現數學才華，開創不少重要的研究成果，晚年身體健康狀況不太理想，於2020年4月因感染新冠病毒離世，死時82歲。
「天公平而無私，故美惡莫不覆，地公平而無私，故大小莫不載，數公平而無私，故宇宙莫不從。」
※註※ 本文的分配範例中，每個人對於整體𝑋給予一致的價值6只是為了方便在不同條件下使用同一個架構來敘事，事實上，個別情況也不難舉出三人對總體評價不一致的公平分配結果。
陳宏賓
國立中興大學應用數學系副教授 andanchen@gmail.com
參考文獻
Ariel Procaccia, "Cake Cutting Algorithms". Chapter 13 in: Brandt, Felix; Conitzer, Vincent; Endriss, Ulle; Lang, Jérôme; Procaccia, Ariel D. (2016). Handbook of Computational Social Choice. Cambridge University Press.
本文引用格式：陳宏賓（2023）。用數學論公平。科學研習，62（1），20-24。