說起「黃金比例」，那絕對是數學科普界的搖滾巨星。

它不僅有著豐富與多元的數學意涵，更因為和「美」，甚至是「完美」連結在一起，頻繁地出現在不同領域。彷彿只要冠上了黃金比例，就是被認證、精算過的理想結果。幾年前台灣風行一時的手搖飲料，就曾經以黃金比例命名。數學愛好者必然對黃金比例不陌生，本篇文章嘗試整理一些相關知識，帶大家再訪黃金比例。

不只如此，當我們畫出正五邊形的所有對角線後，就會看到在許多魔法、奇幻故事中出現的五角星。仔細觀察五角星，五角星內裡恰好會形成一個比原本的五邊形還小一號的正五邊形，對角線也被彼此切割成好幾段。再拿出尺量量看，你會發現黃金比例幾乎無所不在，以下圖來說，

紅色線段：藍色線段

藍色線段：綠色線段

綠色線段：紫色線段

這三組比值都是黃金比例，再加上正五邊形邊長和對角線的黃金比例，一個正五邊形就有4組黃金比例！

而既然五角星裡面一樣有正五邊形，當然可以再連接小五邊形的對角線，畫出更小的五角星，像拿著鏡子對著鏡子般無限延伸，畫出越來越小的正五邊形和五角星。小小的五角星，彷彿藏著無限的力量！相傳，畢達哥拉斯學派對五角星有著充分了解，不只以「五角星」作為學派的象徵外，門徒在寫信給其他人時，也會以「五角星」祝願對方健康。

延續五角星的話題，知名的日本陰陽師安倍晴明也很喜歡五角星。如果有機會造訪京都的安倍晴明神社，門口就可以看見安倍晴明的「桔梗印」，恰恰就是一個五角星。安倍以桔梗的五片花瓣為象徵，呼應東方五行的金、木、水、火、土。而「五角」在日文恰好與「及格」的日文「合格」諧音，都念作「gokaku1」，因此日本有特殊的五邊形鉛筆，用以祈願考生考試及格，用五角星的魔法配上合格的諧音，讓考生發揮百分百的實力。當然，這些跟數學的距離都越來越遠了。可是從上面的討論，我們可以看見，因為五邊形、五芒星的樣貌與反覆出現，自古人們對其有特殊的想像，連帶也替黃金比例增添了神祕的色彩。

場景拉到大自然。相較於自然界常出現的六邊形，五邊形比較少見。可是，黃金比例很巧妙的以另一種連結關係，隱藏在如鸚鵡螺等生物形狀中，那就是另一個數學科普的巨星：費式數列。

費式數列以數學家費波納契命名，是描述「生長」的數列。費波納契以兔子的生長來類比： 1對兔子，一段時間後長大，生出另一對兔子，此時有2對兔子；過一段時間，小兔子長大，第1對兔子再生1對兔子，此時有3對兔子。過一段時間，2對成熟的兔子各自生下2對兔子，此時有5對兔子；過一段時間，上上一期出生的兔子也長大，3對兔子各自生下3對兔子，此時有8對兔子；過一段時間，上上一期出生的2對兔子也長大，5對兔子各自生下5對兔子，此時有13隻兔子；過一段時間，上上一期出生的5對兔子也長大，8對兔子各自生下8對兔子，此時有21隻兔子……

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

稍微觀察可知道，每個數字都是前兩個數字的和。接下來是

…, 34, 55, 89, 144, 233…

因為費式數列捕捉大自然生長的規律，我們便能在許多動植物中找到費式數列。松果或鳳梨就是相當經典的案例。鳳梨表皮上密密麻麻的果目，仔細看可以找到不同的螺旋式排列，不管是怎樣的螺旋排法，數出來的螺旋數量一定是8或13或21，都是費式數列。同樣的現象在松果上面也能發現。

費式數列跟黃金比例有什麼關係呢？

仔細觀察，費式數列的前後兩個數字的比值，2/1=2，3/2=1.5，5/3近似於1.67，8/5=1.6，好像跟黃金比例1.618越來越接近？再多試試看幾組

可以看見，真的越來越接近黃金比例。有興趣的人，可以試試看先推出費式數列一般表達式，再用代數算出前後項的比值，去證明費式數列與黃金比例的關係。

第一次知道黃金比例竟然隱藏在費式數列前後項的比值時，我非常驚喜，彷彿看見不同時期認識的兩位朋友，原來也是好朋友。再仔細思考後，發現這不僅僅可以透過前面所說的數學證明來確認，還存在這個一種直觀的解釋方法，而這就要回到歐基里德的黃金分割定義，不過我們換個角度，用「合成」的觀點來看：

如果今天有兩條符合黃金比例的線段Ａ、Ｂ，Ｂ比Ａ長。他們可以組合成另一條更長的線段C=A+B，而線段C與線段B的長度比值同樣符合黃金比例。既然符合比例，如果把C跟B組合起來的線段D=B+C，一樣會存在線段D與線段C的長度符合黃金比例。合成的步驟，不就是費式數列中的「前兩組數字之和」嗎？

換句話說，黃金分割與費式數列的描述過程，其實可以視為同一件事的不同角度詮釋。發明經典益智遊戲「河內塔」的數學家愛德華·盧卡斯曾經嘗試過另一種數列，前兩項是2,1，後面遵循費式數列的規則。這套盧卡斯數列可以寫作

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199…

還有一些與黃金比例相關的數學名詞，如黃金矩形、黃金螺旋。前者是一個長與寬比例剛好符合黃金比例的長方形。此長方形有一個特性，如果移除一塊邊長與寬度相同的正方形，剩下來的長方形之長與寬，依然符合黃金比例，依然是一個黃金矩形。這不難理解，當長與寬的比值符合黃金比例時，長、寬、長扣寬，這三條線有著合成與黃金比例的關係，自然「寬」與「長扣寬」也符合黃金比例。

也就是說，我們是用黃金分割，把黃金矩形拆解成一個正方形與小的黃金矩形。而這件事可以反覆無窮無盡的做下去，將會得到越來越小的黃金矩形(突如其來的思考題：每次分割後的小黃金矩形，跟原先黃金矩形的面積比例會是多少呢？)。當我們分割到很小很小的形狀後，再從最小的正方形開始，每個正方形畫1/4個圓，這些圓會彼此銜接，從中心到外側越來越大，形成了一個螺旋，這就是所謂的「黃金螺旋」。常見的例子就是鸚鵡螺的殼，即符合黃金螺旋。

數學上，這樣的螺旋因為從中心出發的直線與任何一圈的螺旋線相交的角都相等，我們稱之為「等角螺旋」。颱風時從颱風眼繞出來的雲層，宇宙星系的懸臂，都是等角螺線。對此有一件相關的逸聞趣事：數學家雅各布·白努利非常喜歡等角螺旋，留下遺言要將此形狀刻在墓碑上。後人遵照他的想法，但雕刻師數學沒那麼好，刻成了阿基米德所發明的「等速螺旋」。外人看起來可能相差不遠的螺旋，但如果雅各布·白努利地下有知，應該會氣得冒出等角螺旋的煙吧。

從前面的討論，我們可以看見許多黃金比例的奇妙性質，以及它和費式數列的緊密關係，進而某種程度詮釋了，為什麼大自然中可以看到那麼多黃金比例。隨著時代演進，後來黃金比例逐漸被賦予「美」的特質，許多藝術作品中，例如希臘帕德嫩神殿、達文西〈蒙娜麗莎的微笑〉，達利〈最後的晚餐〉，甚至近年來一些影集如《瑯琊榜》，都被認為是運用了黃金比例進行構圖，讓畫面有獨一無二的美感。支持這個論點的人，在上述作品中畫了很多黃金矩形，或是黃金螺旋，彷彿這是隱藏在作品底下的輔助線，當初畫家或導演創作時，有仔細的運用數學計算過。

這是很浪漫的說法，然而卻不一定經得起數學的考驗。由知名科學家李維奧所著的經典同名科普書《黃金比例：1.61803...的祕密》中，即有大量的相關討論。李維奧指出，多數跟藝術有關的黃金比例，可能只是穿鑿附會之說。例如蒙德里安擅長用線條、色塊來創作，很多人就說他的作品有用到黃金比例，但翻遍蒙德里安相關的傳記、紀錄，他都不曾提及此數學。又或者許多藝術作品裡的黃金矩形其實都沒有那麼精準，更別提建築物照片對上黃金矩形，只要是拍照的角度稍微改變，原本看起來很吻合的比例就會有全然不同的結果。甚至曾有心理學的研究，為了確認大家是否公認黃金矩形是最美的長方形，設計了許多種長寬比不同的矩形。而最多人選擇的，並非是黃金矩形。