數學

森棚教官數學題——你儂我儂

文∕游森棚 1.有兩個容量很大的大水瓶，甲瓶中有 A 液體一公升，乙瓶中有 B 液體一公升。已知兩種液體可完全互溶。從甲瓶倒半公升的液體到乙瓶中。乙瓶充分攪拌後再倒半公升的水回甲瓶中。試問現在甲瓶中的 B 液體和乙瓶中的 A 液體哪個比較多？ 2.有三個容量很大的大水瓶，甲、乙、丙瓶中分別有液體 A、B、C 各一公升，已知三種液體可完全互溶。從甲瓶到半公升的液體到乙瓶中，乙瓶充分攪拌後再倒半公升的水到丙瓶中，丙瓶充分攪拌後再倒半公升的水到甲瓶中。試問現在三個瓶中的三種液體各占多少？ 3.將上面甲 → 乙 → 丙 → 甲的動作稱為一輪。反覆做以上的動作，你能夠很快算出十輪後甲瓶中各有多少A、B、C液體嗎？ 游森棚 國立臺灣師範大學數學系教授

玩碳奈米材料遊戲─以辦理國小奈米寒假

文、圖/ 林志明 國立清華大學物理學系教授兼 跨領域科學教育中心副主任 李紫原 國立清華大學材料科學工程學系教授兼 清華學院學士班班主任 唐文華 國立清華大學學習科學與科技研究所教授 張美玉 國立清華大學教育與學習科技學系退休教授 以玩碳奈米材料遊戲為主題，發展可適用於辦理奈米寒假營活動之科學遊戲教學模組，能使國小學童認識此一新興科技。遊戲教學模組包含奈米觀念之簡介，碳六十、碳八十、奈米碳管、碳奈米探針尖錐模型等。並以張昭鼎文教基金會辦理國小奈米寒假營活動為例，帶領學童認識自然界中的碳奈米現象，體現以玩碳奈米材料遊戲之教學模組。 背景與目的 生活中碳組成的材料有鑽石、石墨、活性碳、碳纖維等，從中得知巴克球（富勒烯）、奈米碳管、石墨烯及奈米尖錐之結構與應用，進而了解碳奈米材料家族的結構與鍵結。 富勒烯（fullerene）是一種完全由碳組成的中空分子，形狀呈球型、橢球型、柱型或管狀。富勒烯在結構上與石墨很相似，石墨是由六元環組成的石墨烯層堆積而成，而富勒烯不僅含有六元環還有五元環，偶爾還有七元環。碳奈米管是由層層結構近似於石墨的蜂巢狀碳原子薄層，緊密包裹而成的中空長形圓柱體，其兩端為柱形的未飽和石墨，並扣上五邊形的環狀蓋帽，其圓柱直徑只有數奈米寬，而柱身卻有千分之一米長，因此長寬的比例很大。在肉眼可見的儀器設備中，這種尺寸的分子設備是史無前例的，因此在奈米管的專業應用上，正呈現大規模的成長。 碳奈米管是1991年由日本NEC公司的飯島澄男所發現（Iijima, 1980），當時的他正在研究多碳化合物電弧蒸發合成在陰極的沈積物。他發現陰極沈積物的中心位置有各式各樣閉合的石墨結構，包括之前從未被觀察到的結構類型－奈米粒子和奈米管。不久之後，科學家便陸續發現，他們只需改變電弧蒸汽的條件便能製造出大量的奈米管，於是世界各地的實驗室便開始爭先恐後地投入奈米管物理和化學性質的研究工作。巴克球和碳奈米管都是在碳氣化成單個原子後，在真空中或惰性氣體中凝聚而自然形成的，這些碳原子凝聚結合時會組合成各種幾何圖形。巴克球是五邊形和六邊形的混合組合，而不同的混合產生不同的形狀。典型的奈米管完全是由六邊形組成的，每一圈由10個六邊形組成，當然也有其它的結構。巴克球與巴克管具有多種性質，科研人員積極研發它們在雷射、超導領域以及醫藥領域的應用前景，並取得了不少成果。 以下介紹相關的遊戲教學模組設計，包含奈米觀念之簡介、碳六十、碳八十、奈米碳管、碳奈米探針尖錐模型等遊戲教學模組，以張昭鼎文教基金會辦理國小奈米寒假營活動為例，體現以玩碳奈米材料遊戲教學模組。 學習目標 遊戲教學模組的學習目標在讓學童： 1. 了解物質大小尺寸有別，甚而物質的尺寸數量相同，但是排列不同其性質亦有差異，進而能了解奈米尺寸的相對大小。 2. 認知物質大小尺寸變成奈米尺寸時，特性會改變。 3. 拉近與碳奈米現象的距離，認識自然界中已存在的奈米現象。 4. 了解現在社會中碳奈米科技的應用，明瞭碳奈米的應用潛力。 遊戲教學模組內容設計與學習目標之關係 遊戲模組一：初探奈米科學─奈米尺度的相對大小 學習目標：了解奈米尺度的相對大小。 器材：棉繩、剪刀、尺 1. 各組分發一公尺長的棉繩，將其對半剪開後，請學童剪成10公分長的棉繩，再由10公分長的棉繩剪成1公分長的棉繩。並以1公分的棉繩，請學童剪成最細的繩條，並以分組競賽的方法鼓勵，此時最細的棉繩約0.1公分。將1公尺、10公分、1公分及1公厘的棉繩排列一起比較其大小。 2. 特別將1公尺與1公厘比較說明千分之一的大小，引導出奈米即為3次的千分之一，因此是很小的長度單位。 3. 請學童利用不同的方法將現有的棉繩排列出10公分的長度。學童應有(a)以100公分的長棉繩剪成10公分，(b)直接以一條10公分棉繩排出，(c)另以10個1公分排出10公分長度等三種方式。 小活動大樂趣： 1. 8公分平均分成八等分，一等分就是 公分。 2. 毫米是米的千分之一，寫成 米，微米是毫米的千分之一，寫成 米，奈米是微米的千分之一，寫成 米。 遊戲模組二：初探奈米科學─表面效應 學習目標： 相同質量的材料，顆粒越小，接觸表面積就會越多，活性就越大，表面效應就越強。 器材：軟磁鐵片、彩色圖版 1. 將1個10cm立方體外包的軟磁鐵片拆下，平貼在彩色圖版上。 2. 將相同體積，8個5cm立方體外包軟磁鐵片拆下，平貼在彩色圖版上。 3. 比較相同體積、不同大小立方體所形成的表面積大小的異同（後者的表面積是前者的二倍）。 遊戲模組三：碳奈米材料─碳六十（C60）分子（巴克球）模型組裝 學習目標： 了解C60是由60個碳所組成的，知道頂點的數目和是60，要發揮推理及組裝能力來推算出有32個面，可以由12個五邊形加上20個六邊形所組成。 器材：巴克球組；組裝過程如表1。 小活動大樂趣：（單選題） 1. 為什麼叫做巴克球？ (1) 發現者名字叫巴克。 (2) 巴克球會發出巴克巴克的聲音。 (3) 巴克球是巴斯光年做出來的。 (4) 巴克球是在巴西發現的。 2. 一個巴克球含有幾個五邊形？ (1) 10。 (2) 11。 (3) 12。 (4) 13。 3. 一個巴克球含有幾個六邊形？ (1) 19。 (2) 20。 (3) 21。 (4) 22。 遊戲模組四：碳奈米材料─碳奈米探針尖錐磁珠模型組裝 學習目標： 了解碳原子形成碳奈米探針尖錐組成的形狀及結構。 器材：磁珠；組裝過程如表2。 小活動大樂趣：（單選題） 1. 當二、三、四、五個碳原子形成碳奈米探針尖錐模型時，尖錐形狀為何？ (1)向內凹狀。 (2)向外凸狀。 (3)平面狀。 (4)散形狀。 2. 當六個碳原子形成碳奈米探針尖錐模型時，尖錐形狀為何？ (1)向內凹狀。 (2)向外凸狀。 (3)平面狀。 (4)散形狀。 3. 當七、八、九、十、十一個碳原子形成碳奈米探針尖錐模型時，尖錐形狀為何？ (1)向內凹狀。 (2)向外凸狀。 (3)平面狀。 (4)散形狀。 遊戲模組五：碳奈米材料─奈米碳管模型組裝 學習目標：了解奈米碳管組成的形狀及結構。 器材：巴克球組；組裝過程如表3。 小活動大樂趣：（單選題） 1. 當組裝出一直條形奈米碳管模型時，是以幾邊形碳原子排列為主？ (1)四。 (2)五。 (3)六。 (4)七。 2. 當組裝出一彎曲形奈米碳管模型時，可以加入幾邊形碳原子排列？（複選） (1)四。 (2)五。 (3)六。 (4)七。 張昭鼎文教基金會辦理國小奈米寒假營活動情形 圖1～4展現以張昭鼎文教基金會辦理國小奈米寒假營活動為例，帶領學童認識自然界中的碳奈米現象，體現玩碳奈米材料遊戲教學模組情形。 1. 巴克球教學活動過程 圖1. 學童踴躍參與活動 圖2. 學童細心組裝模型 2. 奈米尖錐教學活動過程 圖3. 利用衛生紙捲壓塑成膠囊形狀，內部放入彈珠，就是個有趣的翻滾玩具 圖4. 製紙捲表面的摩擦力較小，孩子選擇可以增加摩擦力與喜歡的顏色布料進行剪貼 結論 （一）學童常會有細菌是最小尺寸物質的迷思 可以在遊戲模組一時特別強調各種物質的相對大小關係，一般細菌大小約在750至1250奈米之間，常較通常的奈米粒子大許多。而且奈米粒子亦非最小尺寸大小的物質，還有比奈米粒子更小的粒子。 （二）對學童接觸科普活動而言，應該是首次接受遊戲模組四「碳奈米材料─碳奈米探針尖錐磁珠模型組裝」 建議在進行教學前，可以先進行手指柔軟的暖身操動作，以利碳奈米探針尖錐磁珠模型組裝。 （三）學童也較少接觸遊戲模組五「碳奈米材料─奈米碳管模型組裝」 建議放慢教學進度，漸進地導引組裝出一彎曲形奈米碳管。 巴克

森棚教官的數學題-公園跑切線

如圖1，正三角形的公園中有一個邊長為公園邊長的小正三角形綠地，公園和綠地兩者方向相同，而且中心重合。兩三角形之間為開放空間，民眾可自由活動。 小志從公園邊上的A點出發，每次都朝著綠地的頂點跑「切線」，跑到公園的另一邊的一點。然後再從這個點出發，反覆一直跑下去。如圖1紅線為跑了五趟之後的結果。 觀察這個結構並做一些實驗。請問聰明的讀者，你能得到什麼結論？

單車與我

文／黃敏晃 台大數學系退休教授 攝影／陳淳廉、任明芬 1.對稱不對稱 有些朋友知道筆者左腳踝受過傷，行動不便。即使拄著拐杖，還是不利遠行（走路超過半小時，腳踝就會痛）。 故在台大校區附近，我總是騎著單車活動。估計每天在單車上的時間，約有兩小時之久，這當然包含我刻意騎單車運 動的時間。其實，台大校園裡各條主要 道路騎一趟，就要花45分鐘以上，更不用說許多偏僻小徑尚可一遊。長期練習，使我騎車技巧精熟。有次在台大校園裡，來個轉彎急煞車，停在老友黃榮村教授（台大心理系，曾任 教育部長，現任中國醫藥大學校長）面 前跟他打招呼。第二天到國科會開會，他見到我拄著拐杖蹣跚走路的模樣，根本不相信，直呼我騙人，乘公車、搭捷運時騙年輕人讓座。事實上，騎單車動到的是膝蓋，腳踝完全不受影響。 我左腳踝的傷勢，還是有妨害到 我騎單車，特別是上、下車的時候。因 為一般人騎車的習慣，都是用左腳做為上、下車的支點（單車的設計是左、右 不對稱的），而我的左腳踝常支撐不住我的體重（很不幸的，超過80公斤，且 有越來越胖的趨勢）。於是我只好調整 上、下車的方式。我下單車的方式如下：在單車輪子停止滾動後，右腳著地，左腳跨過車頂，在單車右邊立定後，把單車牽到可以倚靠的地方如牆邊、樹幹旁等，手放 開車把手小心走到車左邊去停車（單車的停車支架設在車左邊）。上車時則先用握住車把手的雙手，支撐部分的體重，把右腳跨到車右邊地面（我的單車屬舊式的淑女車，座墊前 方沒有直槓向前連結單車把手軸），右腳用力把屁股撐上座墊，左腳踩踏板使車前進。 我想過，人是左、右對稱的，習慣使用左手右手，或左腳右腳，應是人進入社會後受到部分影響而形成的（當然有人是天生慣用左手的）。若加以訓練，我未嘗不可以模仿從左邊滑行上車 的方式，從右邊上車。於是，我在腦中運用想像力，形成我從右邊上車的腦圖（mental map， 是連續動作的動畫）。然後，人到單車右邊，右腳去踩踏板（想用左腳蹬地使車滑行），但在地上的左腳踝立刻感受 到體重的壓力，使我無法站立而摔倒在地。這次並沒受傷（小小的皮膚擦傷不算），但沒第二次的嘗試。這次失敗並未推翻我認為人體結構 （一般而言）是左、右對稱的信念。我記得小時候為了學騎單車，摔過Ｎ次後 終於成功。故我只要肯再接再勵，是會成功的。但據說，老人多有骨質疏鬆的症候，怕摔，故想了又想，沒敢繼續練 下去。這恐怕是老人最大的毛病，想的 太多，做的又太少。 2.鄰域的概念 數學裡有門學問，叫做點集拓撲 （Ponit Set Topology）。高等微積分裡 會講一些入門，在大學數學系的三、四年級也常開一門專課（3學分）。它的主旨在定義一個更寬廣的理論架構，使 我們可以將連續（continuity，以及之後 的微分…，故研究所可以開differential Topology的課）這個概念延伸到歐幾里 得空間Rn（這是數學裡習慣用來表示n 維歐氏空間的符號）之外的空間去。 這門課中有個概念叫做鄰域 （neighborhood─函數連續的初淺意思 就是，其值在任何的鄰域中變動不會太 大），我騎單車時常體驗到鄰域在日常 生活的意義。我的鄰域就是居家附近， 常去的場所，輕易方便就可到達的地 方，我喜歡拜訪的區域。 這樣的鄰域會隨著你所使用的行 動方式而改變。比如說內人，她是步行 的，故她的鄰域就是台大校園（我們住 的宿舍在台大校園的邊陲地帶），和周 圍二、三條街以內的區域。我的交通工 具是單車，鄰域就擴充到二二八紀念公 園旁的台大醫院（看病），市北師（上 課）和植物園（建中），以及在市民大 道東端盡頭的漢聲出版社（開會），單 程約為半小時。 在台大校園內、外騎單車的最大 差異是，校外我常騎到人行道上，避免 跟汽、機車爭道，以策安全。最近聽 說，台北市有要通令「禁止單車騎上人 行道」的意圖。若然，我是寧願挨罰， 也要騎上人行道的。我撞行人，他最多 輕傷；我被汽、機車撞到，起碼重傷收場。 目前，全世界都公認騎單車是最符 合節能減碳的環保交通方式，歐洲大多 數的都市，為了鼓勵騎單車上、下班， 做了許多方便單車族的措施。台北市不 但不積極籌謀這方面的方案，反過來要 通過對單車族不友善的法令，是會被選 民認為行政不力（跟不上時代潮流） 的。 在沒有單車專用道的狀況下，把道 路分成汽車道和人行道，機車和單車需 要被定位，屬於哪類？若認為自然的人 體之外的道具，就不屬於人行道，則拄 枴杖，坐輪椅者該到汽車道去，絕對不 合理。另一種方式是用速度分類（不等 級的速度容易產生車禍），則可先參考 下列事實： 1. 人的步行速度約每小時3～5公里。 2. 單車的速度約每小時 12～20公里。 3. 機車的速度約每小時 40～60公里。 4. 汽車的速度約每小時 50公里以上。 顯然，機車和汽車的速度是相當的，故它 們使用相同車道是合理的。單車的速度是人步行的3到5倍，而汽、機車的速度又是單車的3 到5倍，所以單車的歸 屬是較尷尬的。故歐洲人特別設立單車道，有其道理。若無單車專用道，又該如何？ 通常我騎單車上人行道時，都故意放慢速度（時速低於10公里），因此 不易發生撞人事件。也許這就是一種解法，騎上人行道的單車，速度不准超過 時速10公里。 3.一般狀況 在校園內騎單車，因汽車速度慢 （限速30公里每小時），又禁止機車入校（只有校警的機車可在校園內行 駛），故我覺得應該用最高的標準（道德？）要求自己，即不騎上人行道。身為學校的老師，行為最好不要有任何瑕疵，讓人非議。但如此的結果是常產生 「三點共線」危機如下，如圖1所示： 圖1 汽車與單車三點共線示意圖 若兩部汽車相閃而過的剎那，你騎著單車剛好在邊上，即兩部汽車和你的單車形成一直線，而且此直線恰巧垂直於道路的邊線（保證空間最擁擠）。 這種場景若發生在寬濶的椰林大道，一點問題都沒有。偏偏台大有許多路，比一般的兩線道還窄，兩部汽車相閃都要很小心（減速），你還要騎單車跟他們擠在一起。每次，我都恨不得是 騎在人行道上。幾次經驗後，我的解法是不讓這種事件發生，即我察覺到它有 可能發生時，會故意騎快或騎慢，避免「三點共線」的現象。「三點共線」和「三線共點」是 國中幾何教材裡必見的教材。這些教材的要點是，當此特殊狀況（或很強烈的條件）發生時，表示相關的幾何物件之間的相對位置關係，形成緊密結合的結構體（比如說，三角形是最堅固的幾何形，故其三條內角平分線會交於一點，叫做內心，以及外心、重心、垂心等都是三線共點的特例（見圖2））。問題在於交通事務中，產生關係的物件一定包含人和車輛在內，這樣的物件要互相間，或和其他硬體如橋樑、圍欄之類的物件產生緊密的相互位置關係時，大概就有點危險了。故道路的設計當然避免三條道路交於一點的狀況（以前喜歡用圓環處理，但效果不佳，現多廢除），而希望它們在一般的狀況下。 圖2 內心、外心、重心和垂心

隨筆寫幾何

文／黃敏晃 台大數學系退休教授 圖／李菁萍 本刊特約撰述 圖1 單車與傘及柺杖 圖2 台大雙層單車停車格 1.相互位置關係 上篇文章「單車與我」中，描述我 腳傷以後，處處依賴腳踏車的實況。雖然可利用腳踏車代步，但下了單車，我還是需要拐杖助行。況且 我體胖（80公斤，每位醫 生都叫我減肥，說我的體重使我的左腳踝傷勢不容易好，但減肥這件事談何 容易），用兩根拐杖比較容易平衡身體。但當我騎 單車時，兩根拐杖要擱哪 裡呢？ 答案請見圖１，我的單車上除了兩根拐杖外， 我還掛了把破傘備用。 如此物件間之相對位置關係，並不會妨害我騎單車的運作，許多 朋友都稱讚我掛得巧妙，但此非我原創，不敢掠美。換句話說，我也是看到別人做才學來的。 古典幾何學的定義說，幾何學是研究幾何物件的大小、形狀以及它們之間的相對位置關係的學問。可見上述我把枴杖和雨傘在單車上的行為，是幾何 學裡講究的事項。若此認定沒錯，我們 就可以沿著此案例，再去尋求相近的事 物，體驗生活中的幾何素材。我立即聯想到下列幾項，並逐項說明之： 1 .台大校園附近單車的停放。 2. 搬家時，如何把很多家具放上一 輛貨車。 3. 如何把長、寬都超過門寬的家具 如書桌搬進房間。 4. 房間內的家具如何擺置，以求取 空間的最佳利用。 台大校園廣闊，兩點（上、下兩節 課的教室）間距離可能超過一公里。走 路一公里要12～15分鐘，而兩節課之間 的休息時間只有10分鐘，沒單車是很難 在台大存活的，連帶產生單車的停放問 題，此問題並非今天才有，早在筆者還 是大學生時候的1960年左右就發生了。 記得當時的錢思亮校長，在某次早會時 （當時每週一次早會，各系派一、二年 級學生輪流參加），向學生透露了下面 的故事。 不久前他去美國參加大學校長 會議，校長們都認為 parking problem （park 是公園，福特剛發明汽車時， 美國城鄉的道路都沒大到可以停汽車， 汽車多停在公園，故parking遂由此衍生成停車的專用字。香港人用「泊車」 翻譯，沿用我國「泊舟」的專字，不但 發音對，且酷！）很棘手。時值二次大 戰後休養生息了十年，世界各地經濟蓬 勃發展的年代，美國汽車生產和銷售創 下新高（男生買車更是泡妞的必要工 具），故各大學校園附近都車滿為患， 難於處理。 當錢校長說，台大也有 parking problem 時，與會的人都大吃一驚，當 時全台灣的汽車數量，應該還不多（都 是向美國人買的），怎麼會發生停車問 題。錢校長向他們解釋是 bicycles（bi 是雙的意思，如數學裡的 bi-nomial 是 二項式；cycle 輪轉是由圓輪 circle 而 來；合起來是雙圓輪交通工具，即單 車），而非 cars 的停車問題，其他校長 都羨慕極了。 錢校長說，他並非故作幽默，問題 確實存在。因為當時台灣社會還很窮， 公務員薪水每月不到千元，而一部單車 價過百元，竊車事件因此頻聞。台大遂 建車棚、加頂，且派專人看管（進棚領 木牌，出棚交還。管理員兼保養、修理 賺外快）。建棚要地要錢，管理要人， 因此產生問題。 現在社會條件丕變，學生騎的二 手車不到千元，公務員薪水平均四萬以 上，沒什麼人要偷單車（高級如小摺類 的單車還是會失竊），毋需建棚看管。 但是，台大師生、員工人數增多（合起 來約有五萬人），幾乎人各一車，所謂 「量變產生質變」，問題不小。有些如 新生大樓那樣專排一般課程（各系的專 業課都在自己系館）的樓館外面，停車 格不夠用，單車亂停已到連人都難以進 出的地步。放學後學生把單車停在各出 入口附近，改搭別種交通工具離校。尤 其是公館捷運站旁，停車格更是一格難 求。 若不按規矩停車，如硬擠進兩格 之間，以致單車後輪露在規範停車區域 之白線外等，台大的行政單位（保管組 吧），會將這類單車一律拖吊到水源校 區（永福橋旁，原國防醫學院用地）放 置。雖不罰款，但由公館捷運站走到該 地，也需要20分鐘以上，對像筆者（單 車被拖吊過一次，之後不敢再犯）這樣 不良於行的人而言，算是很重的處罰。 把違規停放的單車拖走，並非問題 的正解。沒有人會故意違規，問題在於 停車格不夠。如何在有限的面積上，創 造出更多的停車格呢？ 台大和捷運局的解法，是造出兩層 的停車裝置，如圖2所示。相對位置的 設計要點，在錯開單車把手寬度會占據 的空間。讀者若有興趣，可以測量計算 出節省的效率；原來一層停放多少部單 車的長度（1維空間），而兩層又可以 多停幾部車？（圖3） 圖3 公館捷運站單層單車停車格 2.房間的擺設 想像一輛搬家貨車，裝滿家具的樣子。我一直很佩服這些工人，能將這麼多東西裝進有限的空間，他們對幾 何裡講的物件之間的相對位置關係，研 究的真是透徹。再想像將一張書桌， 穿過一道門時的最佳狀況。書桌和門 的相對位置關係，常只有一個特別位 置，才能穿越成功。這些，我都講不出更多的道理，請讀者自行體會。 去年兒媳倆邀我一起到日本度 假，目的地是箱根。但是第一晚和最 後一晚，都住在東京都內上野公園附 近的一家小旅舍。由於房間緊張，三 人同住一間約5坪左右的小房間。不但 有衛浴，一張雙人床，一張架在空中 的單人床，沙發打開還可睡一個人，有 張很淺的桌子可擺電視等（垃圾桶還兩 個，一個廢物，另一個回收），一應俱 全（圖4）。充分發揮了東京人（箱根 就不如此）珍惜、善用空間的能耐，這 點值得我們台北人（空間正在嚴重縮減 中）學習。 類似圖4這種四人房，每晚僅收一 萬日幣（相當於三千三百元台幣），在 東京都內算是很便宜了。親愛的讀者， 你自己房間的擺設如何？有效率嗎？ （空餘的地方連成一塊，到每個位置 的動線明確，且距離短，毋須彎來彎 去）；若要重新佈置，建議先測量房間 各處以及各家具尺寸，畫出比例清楚的 草圖，形式地擺置一下，可行的話，再 動手搬移。 此行還見識到一些東西可與讀者分 享。其中一樣是上山電車的設計，另一 樣是會上轉彎樓梯的老殘座椅，都是在 特別招攬老人遊客的箱根。 由上野車站搭電車（ 要轉車二 次，20＋70＋30＝120分鐘），兩小時 可抵達。箱根有點像台北市附近的陽 明山，有溫泉，也是日本有錢人退休後 喜歡居住的地方。因此設有多達十個以 上的博物館、藝術 館（從畢卡索專館 到收藏莫內睡蓮真 品的都有，更不用 說收藏日籍名家的 美術館），令人驚 艷。加上山水風景 迷人，還有不少千 年以上大樹等，讓 我流連忘返，還想 再去。 圖4 日式房間配置圖（繪圖：高文麒） 圖5 可搭載輪椅又會轉彎的樓梯 圖5照出一位女生連同他的輪椅 一起坐在會上、下轉彎樓梯的專用座 椅之英姿。這種設備是把椅子裝上齒 輪，扣上有齒孔的固定如鐵軌鏈條，機 器轉動（電動）時逐孔咬合，使椅子慢 慢上升。有點像筆者以前在瑞士搭乘過 的上山火車，輪子有齒輪，鐵軌上有齒 孔，故車子不會因地心引力而下滑。 箱根乘坐的登山電車，位於強羅 （山下）和早雲（山上）之間，本以為 也是類似的裝置，其實不然；因我們住 的旅舍剛好介於兩站之間，幾乎每天搭 乘，故能仔細觀察。它的裝置和大樓電 梯一樣，是用一條很粗的鋼纜拉動兩個 車廂上、下。由於這兩站之間的鐵路是 條直線，斜率完全一樣（人工製造）， 故鋼纜不會碰到地面而產生摩擦力（若 然，鋼纜的磨損會很嚴重）註1。 這條線上居然還有兩班車，一班 上時另一班下，共用一條鐵路，只在我 們旅舍所在的站（強羅公園）上面一點 有會車用的兩條分岔鐵軌。由於整條路 線與斜率一致，而車內坐椅以及窗戶的 矩形又是以水平方向設置（人的感覺才 順），所以形成蠻有趣的視覺景觀，非常另類。 註1 強羅登山電車參考網頁 http://www. hakone-tozan.co.jp/whats/index.html

果園步道

文／黃敏晃 台大數學系退休教教授 圖／高文麒 圖1 杏花（左）、桃花組合圖 1.植物特性 每年暑假期間，筆者都會到昆山 小住一段時間。昆山市位於上海和蘇州 兩市之間（幾年前，我曾坐過一班火 車，從上海到蘇州，上海到昆山需時35 分鐘，昆山到蘇州需時30分鐘，故差 不多是中點），是台商企業最多的中 國城市（平地居民79萬，外來人口98 萬，含台灣人30多萬）。 我兒子的公司在昆山市的張浦鎮有 個果園，主要是種梨子，但是蘋果、柿 子、桃子、杏子、葡萄等也都有栽種， 產量較少。有些讀者可能知道，農業不 但看老天爺臉色（大風大雨就會樹倒果 滿地，保證沒收成；還好江南水鄉，到 處池塘溝渠，掘地兩公尺深就見水，故 不缺水），水果價又不能太高，生意不 好做。 為了招來顧客，我們會辦些如認 養（親子一起授粉、疏花、疏果、除 草、灌溉）、採摘、烤肉（大多在中秋 節左右）、釣魚（園裡大池塘，最近有 人釣起六、七斤大魚）等活動。只要有 人來就會有生意。除賣當季出產的新鮮 水果外，也提供各種飲料，如咖啡、各 類茶飲和果汁等。 江南的水果產季，從六月起的杏 子、桃子（七月大出），梨子和葡萄 （八到九月）， 柿子（九到十月）， 蘋果（十月底起）到十二月初全部落果 為止，約為半年。到農曆新年後，連冷 凍的果子都賣光，就沒生意啦。其他時 間，果園的資源（如綠樹、草地、芬多 精和新鮮空氣）是否有可利用的商機？ 由認養衍生出來的親子疏花、授粉、疏 果活動，我們想到了自然和數學步道活動。 果園內除各種果樹外，還有許多 植物和動物。我們養了雞、鴨、鵝、 狗（看園）外，野兔、田鼠、果子狸、 有漂亮羽毛的雉雞，青蛙、蛇和各式 昆蟲（園內不噴藥殺蟲，只用捕蟲燈及 費洛蒙誘捕雄蟲）也不時出現。但不 能設置動物步道，因為沒人能保證必要 時，找得到這些動物。因此，只能設置 植物和數學步道。 果園內除各種果樹外，還有其他 植物，如樟樹（遮蔭，蚊、蠅類昆蟲不 喜歡它 的味道），和野生的各種花、 草、權木、爬藤等，可以讓來客（親子 或兒童體驗營）辨認各種植物以及它們 的特性。這些我們布置了二十個站，數 學題目也有一些。希望借此有點教育意 義的活動，幫忙塑造企業形像。 由於本文是篇談數學教育的文 章，不想撈過界討論太多跟植物有關 的題材。所 以，只在下面提供兩小道 題目，讓讀者小窺我們植物步道的樣 貌，下文就不再多講。 題一 三、四月，各種果樹與花盛 開時節，你能認出那些是杏花，那些是 桃花？各是什麼顏色呢？形狀又各有什 麼特色？請在下面空白處概略畫一下。 題二 每人摘下一段葎草（見圖 2），連藤帶葉，約15公分。利用它勾 起一條手帕，每人跑10公尺。每組四人 接力，使用自己的葎草藤條，看那組先 到。 圖2 葎草 題二中的葎草，它並不是用卷鬚 （是種變形葉）爬升，而是葉背和藤 條上長有倒鈎，且朝同一方向生長。所 以，一個方向可勾起手帕，另一方向則 不行。活動後，用放大鏡檢視，順便講 解此草特色。 2.教育改革 教育改革，最近在大陸火紅。原 因單純，是升學考試壓垮了教育的本 質。許多老師認為，要在形式化的考試 中取得高分，比較有效率的方式是形式 教學，然後練習到滾瓜爛熟。如此的結 果是學生常沒看到實際旳事物，學到的 知識無法與實務連接。比如說，有孩子 以為雞有四隻腳，西瓜長在樹上等。許 多有心人已經體認到，這樣下去是不行 的，社會終究會崩潰。 去（2010）年四月，蘇州有一班初 中生寫了封信給溫家寶總理，說他們活 得很苦：升學壓力大，學習不落實。溫 家寶因此訪問了北京附近的中、小學， 確認了這個問題的嚴重性後，講了重 話，要求全面落實教改。電視新聞上 看到，他們開了許多會，但能夠具體 執行的措施，未見半條。老實說，教育 界是很保守的，任何的改變都不容易進 行。 果園裡的植物步道和數學步道，切 中了上述教改的部分缺失。我們最起碼 提供了實物，讓學到的知識有具體的連 結。當張浦鎮負責教育的副鎮長知道， 我有設置步道的構想後，立即要求我讓 鎮上七所中、小學適合的年級，每年給 他們有機會到我們的果園，做一次校外 教學，希望能幫助他們學習。 步道讓學生體驗到， 他們生活 周遭存在著許多學問， 跟自然科學 及數學相關的素材。走入步道離開了 教室，鼓勵師生、學生之間做更有效 的互動討論，形成新的學習方式。好 了，大道理不用講太多，讓我們看一看 果園內數學步道的一些題目吧。 題三 圖3A是果園裡常見的垃圾 箱外殼，是空心的。若它是實心的， 它的體積Ｖ要如何計算？用什麼公式 ？又要先測量那些邊的長度呢？請討 論。 解此題的關鍵，是要調整你對此 幾何物件的看法。把它翻倒成如圖3B （圖3A中的a、b或d、e邊所在的面著 地），如此才能看出，它原來是個柱 體，底為直角梯形。認出柱體後，學生 就可以連結他學過的柱體體積公式，求 算其體積。題三還設了個小陷阱，要求 他多量了一個無用的邊之長度a。看他 是否能在計算柱體底面積，使用梯形面 積公式時，排除這個多餘的資訊。 大陸的毛澤東語錄，曾主張「活學活用」。現在看來，他們的數學教育 （不敢越界講其他科目的學習），反而 像是「學死」了知識，題目只要換個不 同方式問（比如本文題三，多了個資 訊，許多學生就會以為是新題目）。 數學出題的方式， 可以說是千變萬 化，如此的學習方式，反倒學不到數學 真諦。

一塊花布

文／黃敏晃 台大數學系退休教授 圖／曾秋芬 台北市文昌國小教師 1.圖形的複製 筆者是那群從南部北上，來考大台 北高中聯考的學生，很早的一個。1956 年15歲就隻身到台北，過著獨立的高中 生活。我很幸運，在學校附近的南昌街 巷子裡，向一對新婚（也許不那麼新， 最起碼還未生小孩）夫婦分租到一個小 房間。我叫他們沈大哥、大嫂，大嫂多 收了一點錢，管我三餐，並洗衣服床 單。 沈大哥是個畫家，有成為大畫師 的美夢。但暫時還無法實現，因為他需 要賺錢養家，沒時間專心作畫（他最後 都沒成功）。當時他除了在兩所中學兼 任數節美勞課外，還向幾家織布工廠， 承攬了花布設計的工作。前者提供了固 定，卻不夠多的收入，後者不固定，但 有時很大一筆（收到後，大哥會叫大嫂 晚餐加菜，並小喝兩杯）。 像我這樣的中學生，當然天天卡 其布的制服。即使星期天偶而穿的非制 服，也是白襯衫、黑長褲，沈大哥的衣 著也差不多是如此單純。然而，沈大嫂 就喜歡花布的衣服。大哥設計的每種花 布，她都有衣物（布應該是工廠送的， 她自己裁剪、縫製）。那時台北市的 年青女人，都喜歡穿顏色繽紛的衣服， 大大增添了台北街路的景致（有本書名 叫「台北街頭多麗人」，就是當時的出 版品）。 沈大哥說：「藝術講究創作，唯 一，不能重複。花布不是藝術品，故其 花色可以重複。事實上，應該大量複 製才划算。一匹布四、五十丈，若是 圖案都不重複，豈不成了像「清明上河圖」那樣的國寶級藝術 品嗎？」話雖這麼說，他 還是個胸懷藝術大夢的花 布設計師。 這是什麼意思 呢？我們得從當時印製花 布的方式說起。 照沈大哥的說法， 花布上印的是二方連續的 圖案，有個蠻大的印製單 元，寬度和花布一樣（三 呎或多一些），長度則比寬度長些， 是個長方形（也可以是個正方形）。 沈大哥的主要工作就是設計此單元內的 圖案（通常先有草稿，其次畫在一張大 畫紙上，再上色），最後將此圖畫描在 玻璃片上，分紅、黃、藍三元色（據說 當時一塊花布是印三次不同顏色的）描 繪。前者需要藝術修養，後者則可以說 是工匠層級的工作。 沈大哥非常在意單元內的圖畫， 他努力構思，細心繪製，簡直把它當成 是要參展（或賽；我跟他在一起時，他 有參賽一次，但作品未入圍）的畫作。 雖然他也會微為挪動畫中有些物件的位 置，使人無法掌握到花布上連續圖案 中的單元切割方式（下面會有具體說 明），但他確實是有創作藝術品的意 圖。下圖中的花布，並非沈大哥的作品 （可惜當時的花布已不存在），是我特 意到布店去找的，比較接近沈大哥作品 的風格。 圖一 花布 2.單元的設計 沈大哥認真工作的結果是，他的 作品很受歡迎。喜新厭舊，是人類天 性，女人對花布的愛好也沒兩樣。故製 布工廠要求沈大哥多多設計作品，以滿 足市場需求。 此時正值台灣政府開始執行第二個 （振興經濟的）五年計劃，重點就是紡 織工業上、下游。布匹和成衣對美國市 場的銷售配額大量增加外，第一個五年 計劃的初期成果，也使不少家庭富裕起 來，內需市場也因此活絡。所以，花布 產品火紅。 大哥花較多時間在構思圖案後， 描繪到玻璃上及著色等的工匠工作，就 靠大嫂幫忙。緊急關頭（大哥承諾的交 貨時刻前），我也免不了要上陣。有段 時間，這種工作全放在大嫂和我身上， 忙到大家都睡眠不足。後來大嫂講了 重話，說這樣下去她會生不出小孩（雙 方長輩都在催），大哥才把這方面的工 作交給他的學生（高職美工設計科）承 包。 少了這方面的工作，大哥反而更忙 了（我猜他狠下心多接單，補足工匠部 分的工錢損失）。有天半夜看到他還在 客廳的工作桌上繪圖，走過去跟他講話 時，發現他眼球上佈滿紅絲。他說已經 三天沒合眼了，但一星期後要交的貨， 他一點想法都沒有。我很想幫忙，但我 是那種沒有半點藝術細胞的人，完全使 不上力。 第二天是月考後的星期天，中飯後 我習慣到重慶南路的書店去看書。這是 當時許多學生的休閒方式，沒錢看電影 （後來南海路藝術館和仁愛路空軍新生 社，才有一張學生票看兩部舊片的周末 優惠活動）就看小說。圖書館內你想看 的書總是不在，書店卻是要開門的。 重慶南路上共有十來家書局，周末滿 滿的學生，他們不買書（沒錢），只 在看小說。 書店也會趕人。每次我挑好一本 書，站在那裡看上半小時以上，就會有 店員跑來跟我說：「小弟，你已經看 了半小時了，到底要不要買？」我小心 地記住看到那一頁第幾行後，把書合起 來，放回架上說：「不買。」掉頭走到 下一家書店，拿起同一本小說，翻到 我們剛才看的那頁，繼續讀下去。基 督山恩仇記這本四大冊的小說，我就 是用這種方式，好幾個月才讀完的。 那天我無心讀小說，翻了幾本書 都提不起勁，乾脆走到鄰近的新公園去 散步。才進公園，就見到有位媽媽帶著 三個小孩迎面走來。媽媽固然是穿花布 （還是大哥設計的花色）衣服，三個小 孩的衣服也是顏色多樣，但不是花布做 的，而是用各種單色的布料，剪裁縫製 的。例如小女生的裙子是一色，口袋是 另一色的格子布，還剪了隻紅色蜻蜓的 外形，貼在胸口下方。 我突然有個念頭：不只女人喜歡 花衣裳，媽媽也想把小孩打扮得漂漂亮 亮。為什麼不特別為小孩設計花布呢？ 這樣的想法行得通嗎？我急忙跑回家去 告訴大哥。他剛好午覺起來在喝茶，聽 到我的想法後，人跳了起來，還弄翻 了茶，抓住我說：「小弟，你可救了我 了。我先去跟廠長商量。」急忙穿上衣 服就出門了。晚飯前回來時，他露出好 高興的樣子，帶大嫂和我（第一次）上 館子慶祝。 3.平移和翻轉 沈大哥決定設計適合童裝的花布 後，就拿出兩本他教畫所用的彩色圖案 辭典，由大嫂和我幫忙挑選我們認為小 孩會喜愛的花、草、昆蟲、動物圖案， 把它們編織到單元圖面上去。由於這系 列花布款式新穎，受到熱烈歡迎，沈大 哥被要求做更多的設計，更忙了。 大嫂想到一個幫忙的點子，就是把 我們喜歡的圖案先描到透明紙上，剪下 輪廓貼在厚紙板上再剪下，再將此紙板 的圖案輪廓描在不同顏色的紙板上，剪 下來變成可以具體操弄的圖案。大哥只 要選用各色的不同圖案，排在和單元長 方形等比例的長方形內（比如說，邊長 二分之一或四分之一大小），設計工作 就更簡單，更容易操作了，大哥將它們 擺到滿意位置後，用圖針定位，大嫂和 我再用漿糊黏好，一個設計（草）圖就 定案了。大哥再按此草圖去繪製放大尺 寸的單元圖案，的確方便許多。 有天，大哥又忙到沒空畫放大圖 單元，叫我幫忙，但我怎樣都畫不好， 他嘆口氣說：「看你畫的放大圖，活 的青蛙雖沒畫死， 也被你畫成奄奄 一息了。」我說：「抱歉，我實在沒 用。」他拍拍我肩膀說：「沒事，這不 是你的錯，你的長處在頭腦靈活，我的 事你已經幫上大忙了，我應該好好謝你 才對。剛才嫌你畫不好的話，你就忘了 吧！」當晚，他又帶大家出去吃晚飯。 此時，他口袋寬裕，我們吃的算是高檔 價位的日本料理，還點了生魚片、鰻魚 飯和炸蝦，大飽口福。 吃過飯走路回家時，我說：「大 哥，布匹上的圖案本來就是用平移單元 圖案的方式製造出來的二方連續圖案。 平移 線對稱（翻轉） 旋轉90。 圖2 花布圖案示意圖 你也說過有些豪華旅館的牆面和天花皮，常弄成四方連續圖案。為什麼布匹不能是四方連續圖案呢？這樣你就不用 再畫放大圖了。而且，若你嫌花色重複太呆板，則除了用平移外，我們也可以用線對稱的方式呀！這樣，一個小單元，就可以造出兩種不同的大單元 了。」 他立定了腳步，想了想後大聲笑了起來：「哈！哈！老婆，我今晚要喝酒。等下到轉角的雜貨店，買幾瓶 啤酒，一大包花生。小弟，你也陪我 喝。明天反正是星期天，醉了也沒關係。」那是我平生第一次喝酒，兩杯就醉了，花生也沒吃到多少顆。 上圖中的每一個小方塊，假設就 是沈大哥設計好的小單元，以英文大 寫字母F代表。左圖是用平移而中圖則 是用線對稱（以兩塊正方形的共同邊為 對稱軸，此種運作又叫翻轉）做成的大 單元；這兩種運作，即使小單元是長 方形也可以。右圖則是我們後來研究後 想到的，是用正方形的小單元，以大正 方形的中心點為旋轉中心，每次旋轉 90∘而形成的。雖然小單元相同，但這 三個大單元卻是不同的。

動手做做看─另類的數學學習方式

文/陳鳳如 一、如何讓數學變得好玩些？ 數學，真的非讓人頭痛不可嗎？ 答案當然是否定的。 其實數學的學習可以像遊戲、可以是一個又一個充滿探險、驚奇的故事，或是一張圖片、一幅漫畫、 一個活動，也可以是一次再一次的操作或嘗試性的實驗，萬至是可以戲劇方式來「演」算的。 因此，學習數學的方式及介入的媒材，可以是靈活運用生活中的各種素材。就以撲克牌為例，從小孩到成人，沒有人不喜歡玩各類撲克牌遊戲的，而數學的學習正可以撲克牌進行啟蒙的活動。如：抓鬼牌遊戲，得先將成對的牌找出，餘下不成對的牌和鬼牌後，才開始互相抽牌，這個遊戲的過程可以學習數學的整理和分類；撿紅點的遊戲，可以自然的熟練多少和多少合成十，且在算自己得分的過程中，精熟加法的運算；「九十九」的遊戲，讓加減混合運算，尤其要快捷計算才能跟上同伴的遊戲步調，參與遊戲者會自然的發展出一些快捷運算的心算法則；「釣魚」的遊戲，是將所有的撲克牌面朝下（看不見撲克牌的數字）、隨意的排列，而後贏家可以以先任意翻開兩張牌，苦數字一樣，可以繼續翻牌，直到翻出的牌不成對時，則換另一人翻牌，最後得到成對牌組最多者獲時；此遊戲一者訓練記憶，一者培養方法及座標位置的觀念。此外，利用數張撲克牌，試做各種可能的排列，可以學習排列組合的基本既念，而「拱豬」及各種橋牌的遊戲，則可訓練邏輯推理的思考能力。 除此之外，在撲克牌的遊戲規則中，常有以某張撲克牌代表多少或何種意義，某張撲克牌又如何使用等規則的約定，這種對應取替的方式，和數學的代數之概念頗有異曲同工之妙。因此，利用撲克牌玩數學，是一種激發數學學習樂趣，增進數學學習效果的活動。 二、邀你一起動手玩數學 接著，就邀你一起動手來玩撲克牌的數學遊戲嘍！現在請你拿出數字為「1」到「5」的撲克牌，設法將其排成一疊，面朝下，而後將第一張牌翻開，一定得是「1」，放在新的一疊；第二張牌面朝下，不翻開，直接插入原疊牌的最下方；第二張牌翻開，得是「2」 ，放至新的一疊撲克牌「1」的上方；第四張牌面朝下，亦不翻開，直接放至原疊牌的最下方；第五張牌翻開，一定得是「3」，放在新的一疊撲克牌「2」的上方；依此類推，單數數張牌翻開，置新的一疊，偶數張牌面朝下，不翻開，直到插入原疊牌的最下方，直到所有的牌都翻出，且順序由上而下，依序為「5」在上而「1」在下。如果這個活動你已經學會了，可以將其反過來操作，讓最後新的一疊撲克牌排列順序是由「1」到「5」；之後再練習由「1」到「10」或到「13」的排法。此種撲克牌的數字排列，可以培養邏輯推理及逆向的思考能力。 利用多條對稱軸摺疊出一個由四個愛心圖形組成的幸運草葉瓣。牛刀小試後，再手利用一條或數條對稱軸 ，將紙片摺疊出英文字母、國字字形，以及一些更複雜的美麗圖形，展現一下你的剪紙手藝。如果你還願意接受挑戰，下一頁的「喀嚓一聲」，邀你來接受更多難題的挑戰哦！認肖你準備好數張正方形紙片及打洞器，利用對稱軸的原理，將紙片摺疊後，打洞器只能「喀嚓一聲」的打一下（記得只能打一下，如果打兩下就告失敗），而後展開紙片，看看是否和附件上的打洞情形一模一樣。從圖形"A"開始，依字母順序，圖形漸次複雜，請你耐心的逐一破解，挑戰自己智慧的極限。 三、挑戰難題、牽動你的智慧 「挑戰密碼大作戰」，邀你一起探索符號的奧秘，享受解碼的樂趣。 以下的系列符號有其規則性，如：「工、古、王、ㄓ、 、？、T、田」，你能猜出「？」處的符號應該是什麼嗎？運用一點想像力，加上一點創造力，回顧一下剛練習的對稱原理，就不難解出了。提醒你，它可是重複、規律及對稱圖形的運用哦！ （答案：） 喀嚓一聲(一) 用一張正方形紙片，摺疊之後打個洞，以達下列效果 喀嚓一聲(二) 用一張正方形紙片，摺疊之後打個洞，以達下列效果

頭腦體操

蔡文景 一、奇妙的數 底下的算式都具有規律性，請利用這個規律寫出答案： 二、問題出在哪裡？ 甲、64=65？ 甲圖是一個8X8的正方形，面積為64平方單位，我們將它分割成如下的四塊，兩塊全等的直角三角形，兩股長分為別3和8；兩塊全等的梯形，兩底長分別為3和5，高為5。再重新將這四塊拼成一個長方形（乙圖），結果面積變成65平方單位，為什麼原來正方形的面積和重新拼合後的長方形面積會不相同呢？多出來的這1平方單位到底是怎麼一回事呢？ 甲圖 一個8X8的正方形 乙圖 由甲圖重新拼湊出的長方形 乙、季諾的詭辯： 假設一隻烏龜和一隻兔子在同一條直線上賽跑，兔子每秒鐘跑10公尺，而烏龜每秒鐘可爬行1公尺，若一開始時，兔子先讓烏龜爬行100公尺後再開始起跑，由於兔子每秒鐘可以追上烏龜 10 - 1 = 9 （公尺） 因此只需 100 ÷ 9 = 11 1/9（秒） 即可追上烏龜。 可是古希臘時代有位哲學家季諾（Zeno, 496-430B.C）曾提出類似於下列的說法：「當兔子跑了100公尺時，花了10秒鐘，而在這10秒鐘裏，烏龜往前爬行了10公尺，當兔子再跑到10公尺時，又用去了1秒鐘，此段時間內，烏龜又爬行了1公尺，當兔子再往前跑1公尺時，又花費了1/10秒鐘，於是烏龜又爬行了0.1公尺……，如此循環下去，則兔子永遠不可能追上烏龜。」 顯然季諾的說法和我們的認知有很大的差距，但是他的推論也看不出有什麼漏洞，那麼問題究竟出在哪裡呢？ 丙、還有一元呢？ 三位客人來到一間冰果店，叫了3杯西瓜汁後，便問服務生要收多少錢？服務生說30元，於是三人各付10元給服務生，當服務生拿錢交給櫃台時才發現店裡面正要做促銷活動，3杯西瓜汁只收25元，於是就走回去要退錢給客人，這時服務生邊走邊想：「三個人分五元不是很難分嗎？不如我拿2元當小費，再退還給每個人1元，這不是皆大歡喜。」正當服務生高興的退完錢後卻發現到有點不大對勁，因為三位客人各自付了9元，也就是總共付了27元，而他自己拿走2元，這樣子總共是29元，但是這三個客人最初明明付了30元，那還有1元跑到哪裡去了呢？ 丁、少了7000元： 某茶商批進上等和中等兩種茶葉各30斤，該茶商因為有事要外出，特地交代夥計上等茶葉兩斤賣7000元，中等茶葉三斤賣7000元。 夥計心想，這樣子多麼麻煩，倒不如我將兩種茶葉混合出售，每5斤賣14000元，這樣子不是省事多了。由於這批茶葉物美價廉，因此很快地就銷售一空，夥計算一算總共賣了 （30 + 30）÷ 5 × 14000 = 168000（元） 傍晚茶商回來結帳，算一算總共應該是 30 ÷ 2 × 7000 + 30 ÷ 3 × 7000 = 175000（元） 和夥計賣的錢數相差了 175000 - 168000 = 7000（元） 到底這7000元跑到哪裡去了呢？ 三、一筆劃問題 你能筆尖不離紙，一筆劃出下面的圖形嗎（不能重複走過的線路）？

數字方塊

文/蔡淑英 壹 前言 「數字方塊」的問題源起於民國八十二年六月中國時報中所介紹到的一則數學益智遊戲，問題的本身它所需要的能力只要會「減法」即可。當筆者看到這個問題時，發現「數字方塊」的問題本身隱藏著許多的祕密，它像謎題一般的耐人尋味。 這個問題對於「樂於深入探討問題」、「喜歡追根究柢」、「喜歡問為什麼」的兒童而言，問題本身所隱藏的樂趣更是無窮。例如筆者所指導的第34屆全國數學科初小組第一名的作品「數字方塊」以及全國第35屆數學科初小組第二名的作品「從數字方塊到數字八卦」。這兩件作品都是筆者在市立師院附小對全校小朋友介紹完這個遊戲規則後，中年級的小朋友經由實作，並應用科學的基本方法去控制變因、操縱變因，因而找到隱藏在「數字方塊」中的規律，進而進行「數字方塊」問題的推廣研究。 這些年來，筆者每年都將這個遊戲，利用各種研習的機會將它介紹給台北市的小學老師以及自己的學生。「數字方塊」的問題，它像謎題一樣的吸引著每一個人，至今沒有改變。只要接觸到它，每一個人都將陶醉於數學解題的快樂情境中，每一個人都將會有自己的創意與新發現，彷彿自己是數學天才一般。 貳 「數字方塊」的運算規則 美麗的幾何圖形，與數字的運算，這之問居然有著奇妙的關係！你相信嗎？只要在一個正方形的四個頂點處各寫下一個正數，如1，2，3，4……，然後算出相鄰兩角數字的差，寫在四條邊線的中點，再以四個中點畫一個新的正方形，繼續重複這個程序，最後一定會出現一個四個角數宇都相同的正方形。你相信嗎？請動手畫畫看！ 下列這個方塊，四個頂點處所寫下的正數分別是1，2，3，4。這個「數字方塊」的問題，它需要再畫四個新方塊後，才會出現四個角都是相同數字的正方形。你相信嗎？請動手畫畫看！ 為了方便計數運算層所產生的新方塊個數，建議你可以用不同顏色的色筆來進行畫新正方形的活動作。每一個新正方形給一種顏色。 請將你計算的結果，和下面的解答核對一下！除了問題層以外，經由你運算過後所產生的新正方形，找們統稱為運算層。每一個新方塊上的頂點數字與下列各運算層所呈現的數字一樣嗎？是否到第四個運算層才會出現四個角數字都相同的正方形？如果是，我們就可以說這個數字方塊的問題，需要再畫四個新方塊後，才會出現四個角都是相同數字的正方形。下圖是上面問題的答案。 改變問題層四個頂點處的數字分別是1，4，2，8。這個「數字方塊」的問題，它只需要再畫三個新方塊後，就會出現四個角都是相同數字的正方形。你相信嗎？請動手畫畫看。 請將你計算的結果，和下面的解答核對一下！除了問題層以外，各運算層所出現的每一個新方塊上的頂點數字與下列各運算層所呈現的數字一樣嗎？是否到第三個運算層才會出現四個角數字都相同的正方形？如果是，我們就可以說這個數字方塊的問題，需要再畫三個新方塊後，才會出現四個角都是相同數字的正方形。 參 建造一個多層的「數字方塊」問題 任選1，2，3，4……20中的四個數字，寫在數字方塊的四個角，請你算一算，並畫一畫，看誰能設計問題層的四個數字，使運算層方塊結束的個數最多，加油喔！ 請驗證一下以上兩個範例的運算層個數，並從奇數和偶數的觀點，來觀察各運算層數字的變化。請自己動手建造一個多層的「數字方塊」問題，並計算運算層新方塊的個數，並觀察各運算層奇數和偶數的數字的變化。 若從奇數和偶數的觀點，來觀察數字方塊問題各運算層數字的奇偶變化。它必遵守下列順序。你同意嗎？三奇一偶或三偶一奇 → 奇奇偶偶 → 奇偶奇偶 → 四奇數 → 四偶數 → 四偶數…… 肆 「數字方塊」問題層中的四個數字 用不同的安排方式把1，2，4，8寫在「數字方塊」問題層中的四個角。各數字方塊問題，運算層的方塊個數會相同嗎？請你算一算並畫一畫，看看哪一種安排方式，運算層的方塊個數會最多？哪一種安排方式，運算層的方塊個數會最少？加油喔！ 一、將1，2，4，8寫在「數字方塊」問題層中的四個角。共有24種不同的安排方式，請動手寫寫看。 二、將1，2，4，8寫在「數字方塊」問題層中的四個角。共有24種不同的安排方式，若把這24種不同的安排方式的「數字方塊」問題逐一計算，從運算層的個數又可分成三個類型，請動手寫寫看！1，2，4，8要如何安排？運算層的方塊數才會是六個。哪一種安排方式，運算層的方塊數為五個。哪一種安排方式，運算層的方塊數最少，它只會有三個。 伍 「數字方塊」問題的規劃、組織與實踐 用一張正方形紙片，摺疊之後打個洞，以達下列效果 二、「數字方塊」的問題字運算結束的前一個方塊，四個頂點上的數字上會有什麼特徵？ 三、把差相等的四個不相同的數，由小到大用順時鐘的方向排在「數字方塊」的四個頂點上，運算層的個數會一樣嗎？ 例如：【1、2、3、4】；【12、13、14、15】；都是加1的數。 例如：【1、3、5、7】；【9、11、13、15】；都是加2的數。 四、把具倍數關係的四個不相同的數，由小到大用順時鐘的方向排在「數字方塊」的四個頂點上，運算層的個數會一樣嗎？ 例如：【1、2、4、8】；【2、4、8、16】；都是乘2的數。 例如：【1、3、9、27】；【3、9、27、81】；都是乘3的數。 例如：【1、4、16、64】；【4、16、64、256】；都是乘4的數。 五、如何建造一個多層的「數字方塊」問題？由四個頂點都相同的四個奇數或四個偶數往外重建運算層，應把握哪些原則才可以建造一個多層的「數字方塊」問題。 六、一個多層的「數字方塊」問題，當問題層的數字各減去一個相同的數字，運算層的個數會改變嗎？ 七、一個多層的「數字方塊」問題，當問題層的數字各乘以一個相同的數字，運算層的個數會改變嗎？ 八、「數字方塊」問題，當運算層的數字出現相同數時，會有幾種不同的型態，各種型態的運算層個數會有幾種不同的變化？

裡面與外面-圖形另類觀點

文/謝新傳 （I）Simple Closed Curve 簡單封閉曲線 一條曲線如果自身不相交而且是封閉的我們稱作簡單封閉曲線（Simple Closed Curve）如（圖一）、（圖二）及（圖三）。 在（圖一）、（圖二）及（圖三）中，A點我們稱它在這條簡單封閉曲線的「裹面」，而B點我們稱它在這條封閉曲線的「外面」，而「裹面」和「外面」就被這條簡單封閉曲線嚴格區分，A點和B點的連線一定和這條封閉曲線相交。 基於這樣的基本觀念，現在我請問讀者，有一條繩子繞成（圖四）的曲線，那麼你能否很快的說出紅點和藍點是在這條封閉曲線的「裹面」或「外面」？ 以下提供兩個方法讓讀者知道紅點和藍點是在這條封閉曲線的「裹面」或「外而」？第一個方法就是「著色」，從紅點的所在處著色延伸下去，我們發現成為下面的圖示： （圖五）中的著色部分面積是有限的，因此我們斷定紅色點的位置是在曲線「裹面」，而藍色點的位置是在曲線外面。 第二個方法是從這個封閉曲線的外面一點P開始數「＋」、「－」「＋」、「－」「＋」、「－」……、每越過一個邊界就改號。 如（圖六）從綠點P開始數正、負、正、負、數到紅點Q是負，因此紅點Q的位置是在此封閉曲線的內部，再往上數數到R點是正，因此可以斷定R點的位置是在此封閉曲線的外部。為什麼會這樣呢？讀者一定很好奇，其實這是一個簡單又有趣的問題，因為它既然是一條簡單封閉曲線，那麼它就可以拉成如（圖七）的橢圓形閉曲線。當P點穿過（圖六）的邊界的某一點，就相當於（圖七）的P點穿過邊界的某一點，因此動點P就等於是在橢圓裹外作進出的動作。 （II）Complex Closed Curve 交錯封閉曲線 有了以上這個簡單又獨特的方法檢驗裏面和外面之後，我們就可以處理下面較複雜的圖形，例如（圖八）所示的A部分、B部分究竟是該算是裏面還是外面就很清楚了，A部分算是裏面，B部分算是外面。對於（圖八）的裏外，讀者如果理解有困難，何妨準備一條橡皮圈先弄成（圖八）的樣子，然後將它翻成（圖九）就可發現B部分跑到C部分了。 我們再來看看（圖十）的情形： A是屬於外部，那麼B、C是屬於內部 其次我們再來看下面這個更複雜的圖： 由「正負數判別法」我們可以知道A部分及D部分屬於外面，B部分、C部分及E部分都屬於裏面。至此讀者有無發現：B部分、C部分及E部分兩兩分別只有點的接觸？A部分及D部分也只有點的接觸？而這兩群相互之間的接觸部分是一條線？ 由「正負數判別法」我們可以知道A部分及D部分屬於外面，B部分、C部分及E部分都屬於裏面。至此讀者有無發現：B部分、C部分及E部分兩兩分別只有點的接觸？A部分及D部分也只有點的接觸？而這兩群相互之間的接觸部分是一條線？ 讀者何妨利用電腦在Word上任意繪圖（封閉曲線）然後著色（按填滿色彩），看看結果如何。我們任舉一例：在Word上按「快取圖案」的「手繪多邊形」，任意畫一個「交錯封閉曲線」（如圖十二），最後再按（按填滿色彩）。 讀者有無發現同色間區域的接觸都只是一個點？而異色間區域的接觸都是一條線？它的填色原則正如上文所述。

制式課程外的另類數學活動

文/黃敏晃 臺大數學系退休教授 呂玉英 臺北市芝山國小退休教師 許文化 臺北市石碑國小退休教師 前言 從小學高年級往上，數學是中小學各年級眾多學科中最被厭惡的科目之一。原因有點複雜，本文的目的不在分析此現象產生的原因，而想和讀者分享我們在臺灣看到的一些有趣的數學活動。所謂有趣，並非從筆者的角度，而是從學生的觀點 ─ 我們看到他們參與這些活動時，真是興高采烈，而且積極主動。我們認為學習任何事物，舉凡科學、文學、音樂、藝術，甚至體育運動如球類等，若沒有這種態度，實在很難學到手，數學當然不例外。 為什麼參與這些數學活動的學生會如此喜歡？這點等到本文的最後面，再來檢討吧！下面，就請先看各種活動的簡介。 【一、數學燈謎】 這本雜誌本期的另一篇數學文章「數學與生活語言的另類連接」，介紹的就是數學燈謎的活動。讀者若能停下這裡的閱讀，先去讀下篇文章，也許對本文討論的事物，會有更強烈的感覺。數學燈謎和我們熟悉的，通常於元宵節在廟宇打（或射）的燈謎並沒兩樣。不過，既然掛上「數學」做為形容詞，其謎而或是謎底就得與數學物件掛鉤，譬如說，謎面是「員，打一數學名詞」，其謎底是「圓心」；又如謎而是不等式「2≦X≦3」，打一句我國的四字成語」，其謎底是「接二連三」。 數學物件與數學之外的事物的連接，結數學學習的重要部分，至少可以說與數學對外界的應用楚相關的，故可以補充制式數學課程應用案例之不足。但是，數學燈謎中的連接有些另頹，比較像是「腦筋急轉彎」的步數。有些數學老師被不欣賞。 但是，這種需要打破既定的思考框架，才能解題成功的活動，也許是許多學生喜歡參與的原因之一。而且解題成功頗有創意的味道，令學生感到格外興奮。另外，猜對燈謎通常都有獎賞，雖不很貴重，也值得紀念。由於中、小學每學年的第二學期開學日，總在元宵節前後不久，故許多中、小學於開學日或第一個學校日（家長到學校），舉辦數學燈謎的活動，一方面熱鬧一下，另方面也可達到讓學生收心的效果。 【二、數學步道】 1991 年，本文的第一位筆者夥同朱建正、林福來兩位教授一起到加拿大的魁北克市，參加四年一次的國際數學教育大會（International Congress of Mathematics Education ）時，看到一位來自澳洲的數學教育工作者，利用該市碼頭地區的硬體設施，設計了一系列的數學問題（每道問題都針對某一個特定的硬體），而這些問題串成了一條動線明確的步道。當你走過這條步道，解答了問題之後，你對該地區的狀況，會有進一步的瞭解。故這樣的功能，最適合國中、高中和大學的新生訓練（小一生當然不行）；步道手冊（毋需豪華，自己手繪、打字，影印裝訂成 A5 大小的幾頁小冊子即可）通常附有該地簡圖，指出各問題所在地。 回到臺灣後，我們努力推廣，先後推出了「臺大椰林大道數學步道」、「台北火車站數學步道」、「中正紀念堂數學步道」等，也幫忙許多中、小學設置了該校的「校園數學步道」，例如台北市東園國小、民生國小、立農國小、天母國中、建國高中、新雅國中，基隆市武崙國小等，都有自己的校園數學步道。 事實上，每所學校因其地理環境之不同，故其數學步道各有特色，有些題目是其他學校無法出現的。譬如說，天母國中的校園數學步道中有一道題目如下： 操場的跑道是全校最低的地方，找出全校最高的樓層地板，並且量量看，它比操場跑道高出多少公尺？ 請說明你是如何測量的。 這道題目看起來沒什麼稀奇之處，好像別的學校之校園數學步道也可以出類似的題目，但他們學生的解題內容跟天母國中的學生就天差地遠了。因為當一所學校蓋在一個水平的地而上時，操場的跑道固然是全校最低的地而，每棟樓層的基底也在同一水平面上，故選定最高的樓層地板後，它高出操場跑道的距離，變成簡單無趣的乘法計算，有兩種方式如下： (1) 每階樓梯高度 × 樓層數 (2) 每層樓高度 × 樓層數 每層樓高度＝每階樓梯高度 × 一層樓數 上述兩種算法都假設，同一棟樓房的各階樓梯都等高（根據我們在幾間學校的抽樣估測，小學的樓梯每階約 15 公分，中學則約 18 至20公分）；第二種算法則進一步假設，每層樓一樣高（學生檢驗的方式，常只算每層是否同樣多階梯）。 但是，天母國中楚建築在山坡上的，如下圖： 所以學生在計算落差時，需要利用連接橋把幾個不同棟的大樓連在一起才能計算，故使這道題在天母國中產生了特殊的味道。 像這樣的獨特問題，並不是純靠地形。例如台北市的東園國小，進入大門的左側立有一塊石碑，指出該校的建校日期楚日治時代「大正」 xx 年。因此，其校園數學步道有一道題口如下： 本校創設於日治時代大正 xx 年，請問本校的校齡是多少年？ 當然，每所學校都有它的創設年代，可以問其校齡，但東園的學生解本題時比較曲折，不能光就民國幾年到幾年來計算，而需要額外的資訊，即大正某年相當於西元○○年，而民國元年又相當於西元△△年。這種題目需要轉化的情形，其解題情形非常有助於數學的學習，而且，與人文相關的題目，也使數學對外的連接更加豐富、多元化。 因為台灣的學校硬體結構，某種程度很相似，故有些題目是各校共通的，譬如說在每校某建築的殘障斜坡旁，都可提出如下的數學問題： 這條殘障斜坡的斜率，是否合乎政府的規定（≦15°） ? 如何測量呢？ 本校其他的殘障斜坡的斜率，是否也和這條一樣？有一致性嗎？ 有趣的是，有人真的搬來輪椅，讓學生親身領驗殘陣朋友把自己推上斜坡的困難與辛苦。其實，不習慣坐輪椅的人手臂力道是比較差的，這項具禮考驗對大多數的中、小學生都以失敗收場，但大家都非常高興。這樣的人道關懷則是筆者認為最棒的地方，因為數學並非如名數學家 Herman Wyel 所說的「數學的美在其冷而酷(sharp and cool )」 那樣冷冰冰，也可以是很溫暖的。 法國的名數學教育家Vergnaud 曾對數學的概念提出如下的公式： C =(S , I , R ) 其中， C 就是概念concept， S是情境situations，I是不變性 invariants , R 楚表徵 representations 。此公式的意思是說，數學的一個概念會在許多不同的情境中出現，而且在不同情境中出現時的樣子，及解題的方式都很不一樣的，但它們都有共同的不變性，這種不變性的掌握才是真正的數學概念。 以上述案例中的斜率來說，除了殘障斜坡的斜度外，樓梯（包含螺旋梯和電影「海角七號」中阿嘉房間的窄梯）的陡度，地下停車場（許多城市的學校操場下而都有）出口的斜坡，橋樑（如大直橋），山坡（我國的建築法令規定，≧30°的山坡不能開發為建築用地），屋頂(北歐建築的屋頂為什麼都比較陡？）等都出現了斜率的概念。在上述各情境中，斜率呈現出來的樣子被不盡相同，測量的方式也相異。學生能從不同情境，不同表微中抽出同樣的數學物件，在在的體驗了數學「抽象」的精神，是數學學習中非常重要的一件事。 另一件可以在數學步道中，學生可以龍驗到的楚，理論與實際的落差。譬如說，在下面這道數學問題中： (1) 量量看，一部汽車的停車格(通常是個長方形)，長和寬需要多少公尺？而積是多少平方公尺？ (2) 量量看，一座籃球場的長方形之長和寬各是多少公尺？其而積是多少平方公尺？ (3) 若臨時把一座戶外籃球場當作停車場（心中畫出虛擬的停車格），可停多少部汽車？ (1)和(2)都只是單純的實測（各學校都有停車格和籃球場），和應用長方形面積公式的乘法，但在解決(3)時，學生常將問題自動簡化成除法，例如：若停車格是長 3 . 5 公尺、寬 2 公尺，面積是 7 平方公尺，而籃球場的面積是a平方公尺，則學生的答案常楚 a÷7 = b部車；大家都知道，此答案是不對的，因為我們無法真的在一座籃球場畫出b個 3 . 5 × 2 的停車格，如果更進一步，把問題特化 ( specialization ）成如下： (4) 設籃球場的周邊被無多餘的空地，故將籃球場權充停車場時，要闢出車輛進出的走道「請問，如何設計才能得到最多的停車格？請證明你的答案是最佳解答。 如此的布題，更能使學生從制式數學課程中，經常將問題理想化（或簡化）處理的夢境，拉回到現實的殘酷塵世。 有些讀者會覺得，到目前為止，數學步道所描述的問題都太過簡單，沒有數學的深度（西方的數學界常用「數學軟飯」soft mathematics來形容）但是，太有深度的數學問題常把學生嚇跑。台灣學生對數學的厭惡程度，不容許再加駱駝背上的最後一根稻草，故在讓他學習數學在外界環境的應用時，實不宜採用較深的數學問題。雖然如此，數學步道還是有些有點難度的題目，如下： ( 1 )在 400 公尺接力賽時，為什麼在外圈的起跑選手會比在內圈的選手站在更前而？這樣公平嗎？ ( 2 )操場跑道直最內圈和最外圈，一整圈各是多少公尺？量量看。為什麼會有這樣大的差異？ 為了探討這個問題的原因，我們需要研究跑道（見下圖）其內圈一般都楚由一個長方形在其較短的兩端，拼上像帽子那樣的兩個全等之曲線弧形而成的。 ( 3)跑道的內圈是一個橢圓形（去掉中間的虛線）嗎？請證明你的答案（此答案是否定的，我們想聽的楚學生對它不是橢圓的論證）。 (4)長方形兩端的帽子是全等妳嗎？你能加以證明嗎？它是一個半圓嗎？請說明你的答案。 學生對問題(3)的否定論證中，即使是高中生，很少提到橢圓曲線中不含直線段的事實。問題(4)的答案，一般而言是錯的，而證明的要點是用反證法：若它是半圓，則其圓心應在虛線的中點；以此點為圓心，此點到虛線端點的距離為半徑，拿長繩子畫圓，很容易看到其軌跡與跑道的曲線不符。那麼，跑道的曲線到底是怎樣的曲線呢？謂看下題： (5)帽子部分是由三段不同的圓弧組成的，圓心都不一樣，如右圖所示，左右兩邊的圓弧半徑相等，但圓心都在虛線上，中問圓弧的半徑則較長，請找出這三個 圓心及半徑長度。 數學步道的最大功能，是師生離關了數學課室、黑板和桌椅等他們平常習慣依賴的工具，剩下的只是腦海中的數學概念及操弄數學物件的形式運思，整個的「教」與「學」的運作都得重新調整，概念是否正確，有否理解，會不會估測變得很重要，解題時和同伴、老師一起討論有無效果，這些變成你的重要工具。這樣的體驗，對學習數學而言，會有新的啟發。 【三、數學遊戲】 當老師覺得制式的數學課大沉悶，許多學生開始打瞌睡的時候，若想重新激起學生對數學的熱情，最有效的一帖藥就是跟他們玩一場數學遊戲，保證他們 H igh 翻天。數學遊戲就是跟數學扯得上邊的遊戲，典型的楚找出致勝的數學規律，以便贏得勝利。當然，數學遊戲被不是只提供熱鬧的活動，有時它跟制式數學課程內容有密切的關係，譬如說「稅收遊戲」與質數、因數、倍數的概念有關；「搶 30」及其延伸遊戲與倍數、餘數的概念相關；「拈(nim)」與二進位記數系統相關；「河內塔 J 與數學遞迴模型的建構有關；「（平面及立體的）連塊遊戲」有助於平移、旋轉（平而及立體）、鏡射（平面的點鏡射、線鏡射，立體的點鏡射、線鏡射及面鏡射）等剛體運動（ rigidmotions ）的學習；「人面獅身與自我放大複製」與放大、縮小、相似形的學習相關；利用「百力智慧片」及相關產品進行五種正多面體，各種截角正多面體、足球？等的製作，也非常有助於學生學習立體的形體，培養空間能力，此活動甚至可用來展現滿有數學深度的立體的「對偶」（duality）概念；我們不必再繼續寫下去。不同種領的數學遊戲太多了，有興趣的讀者，可以自己再去找。下而，就以「河內塔」來說明，玩這個數學遊戲時會學到的數學。 如下圖，木板上有 A 、 B 、 C 三根柱仔，A柱套有 5 個大小不等的有洞圓盤，請將這些圓盤移到 C柱。但在過程中的任何狀態，在同根柱子上，較大的盤都不能放在較小盤子上。請問最少要多少步才能完成任務？ 當老師覺得制式的數學課大沉悶，許多學生開始打瞌睡的時候，若想重新激起學生對數學的熱情，最有效的一帖藥就是跟他們玩一場數學遊戲，保證他們 H igh 翻天。數學遊戲就是跟數學扯得上邊的遊戲，典型的楚找出致勝的數學規律，以便贏得勝利。當然，數學遊戲被不是只提供熱鬧的活動，有時它跟制式數學課程內容有密切的關係，譬如說「稅收遊戲」與質數、因數、倍數的概念有關；「搶 30」及其延伸遊戲與倍數、餘數的概念相關；「拈(nim)」與二進位記數系統相關；「河內塔 J 與數學遞迴模型的建構有關；「（平面及立體的）連塊遊戲」有助於平移、旋轉（平而及立體）、鏡射（平面的點鏡射、線鏡射，立體的點鏡射、線鏡射及面鏡射）等剛體運動（ rigidmotions ）的學習；「人面獅身與自我放大複製」與放大、縮小、相似形的學習相關；利用「百力智慧片」及相關產品進行五種正多面體，各種截角正多面體、足球？等的製作，也非常有助於學生學習立體的形體，培養空間能力，此活動甚至可用來展現滿有數學深度的立體的「對偶」（duality）概念；我們不必再繼續寫下去。不同種領的數學遊戲太多了，有興趣的讀者，可以自己再去找。下而，就以「河內塔」來說明，玩這個數學遊戲時會學到的數學。 如下圖，木板上有 A 、 B 、 C 三根柱仔，A柱套有 5 個大小不等的有洞圓盤，請將這些圓盤移到 C柱。但在過程中的任何狀態，在同根柱子上，較大的盤都不能放在較小盤子上。請問最少要多少步才能完成任務？ 原來的問題中盤子的數目通常是 7 個（有時是 9 個），盤數越多，解答越難。筆者認為，對國中、小學生而言， 5 個盤子就已經夠難了。一個人若會解 5 個盤子的河內塔問題，則 7個或9個盤子的問題，只在考驗他延伸成果的能力而已。 有些學生考慮太多，腦筋古板不靈通，說沒道具不能玩 • 你不會隨手拿身邊的代用品嗎？譬如說， 1 元、 5 元、 10 元和50元的銅板，就是四種大小不同的物件了，然後在紙上畫三個大圓圈代替柱子也可以。這樣你就可以玩此遊戲了，請開始玩吧！ 第一次玩沒玩過的遊戲，就像做數學中的非例行性問題(non-routine Problems)一樣，一定得用嘗試錯誤法 ( trial and error )。古老的青年十大守則中有一條說：「失敗為成功之母。」講的就是同一件事。嘗試後失敗，反省檢討重新調整再嘗試這樣的過程中，我們對這個題目，會養出某種感覺，這是對解題非常重要的一件事。 試想，我們若沒有感覺，如何學會游泳或騎單車？學數學其實是一樣的。但是，在制式數學總課堂中，老師卻恨不得每位學生都能立刻學到對每道題目的最有效解法。如此的下場是學生對數學內容毫無感覺，學習只是死記老師教的解法，較好的學生也不過是模仿成功而已。這樣如何培養出學生的數學能力？玩數學遊戲的最大好處就在於，大家毋須太認真講究效率，故學生可以在如此過程，好好歷練數學解題（mathematical problem solving）的完整程序。 嘗試錯誤的內涵包含改變題目，數學方法論中最常被用到的方法是簡化法，即把題目變簡單，簡單到我們解得動。這道題目的5個圓盤，若嫌太多，可以暫時減少到 4個，甚至於3 個。以我們的經驗， 3 個盤子的解題成功率高達 80%，而且大家都同意最少要 7 步才能搬成功。還未開始玩的讀者，現在請立刻先玩，成功後，再回來閱讀下文。 我們假設，現在正在讀這段文字的讀者，都有成功將大小不同的 3 個盤子從A柱（照大盤不壓小盤的規則）搬到 C 柱的經歷。好，你能將這個成功的經驗複製嗎？想想看，怎樣複製？ 懷疑你的成功經驗的存在性，故記錄變成很重要的一件事。事實上，若沒有記錄，我們也無從進行反省檢討的工作。現在你已經看到，數學的運作中，為什麼不能只有具禮操作，而要提升到形式運思的道理。想想看，怎樣記錄？ 若你無法複製，別人就有正常理由數學裡的有些記錄楚單純的將過程中的每一種狀態記下來，例如下面就是二種記錄的方式，你喜歡哪一種？ 你看得懂上面的記錄嗎？這個狀態到下個狀態之間又茫怎樣的運作呢？跟你自己的記錄比較一下，是否一樣呢？ 另一個問題是：你怎麼知道 7 步是最少的步數呢？你要不要先想想看如何回答，再繼續看下文？這裡給個提示，答案就在上而的圖示當中。 在數學裡證明最大或最小的時候常常都不很直接，更不可能說「我們全班試了很多次，這樣就是最少步了」這樣的理由是不夠的。即使你能說明，你已窮盡了所有可能的搬法，這樣的證明都會被數學界說成是蠻力法，不優雅。 怎樣從上述記錄中看出最少步呢？注意看上而圖示的狀態ⓞ~③，若在這些狀態中把3（即最大的盤子）忽略不看，顯然就楚把只有兩層的盤子由 A 柱移到 B 柱：同樣的，從狀態④~⑦中把最大的盤子 3 忽略不看，則可視為是將兩層的盤子，由 B 柱栘到 C 柱。這楚什麼意思呢？想想看！ 上面的圖示是摘自記錄，讀者不難看到，若沒有狀態③，最大的盤子 3 無法從 A 柱移到 C柱（狀態 ③ 到 ④ ：換句話說，若沒有狀態 ③ 和 ④× ，任務是無法完成的。所以，把三個盤子由 A 柱移到 C 柱的過程，可以分成三個階段，即 ⓞ 到 ③ , ③ 到 ④ , ④ 到 ⑦。 有了這樣的瞭解，最少步數的計算就單純了。ⓞ 到 ③ 以及 ④ 到 ⑦ 就是移好 2 層盤子的最少次數，設為A2（其實我們已經知道 A2=3) ，則栘完 3 層盤子的最少次數A3=A2×2+1 = 3 × 2 + 1 = 7 。這樣的計算可以接受嗎？ 上述的計算方式，可以推廣延伸到 4 層盤子、 5 層盤子 … 等的情形。下面，以 5 層盤子的案例作說明如下：讓我們模仿上述的說法，將此過程分成三段，如下圖所示： 上圖的最左邊是問題的原始狀態，而最右邊則是任務完成後的狀態。從最左邊的狀態到最右邊的狀態，一定得經中間左邊的狀態，最大的 5 號盤子才能從 A 柱移到 C 柱，變成中間右邊的狀態，讀者應該不難看到，從左圖到中左圖，若忽略5號盤子不看，則可視為是 4 層盤子的狀況；同理，由中右圖到右岡，若將 5 號盤子忽略，一樣可視為是 4 層盤子的狀況。設 4 層盤子的最少移動次數為 A4 ， 5 層盤子狀況成功移完的最少次數為 A5，則有下列關係： A5=A4×2+1 欲知A5是多少，須先求得A4；但A4又要依賴 A3，其相互閒的關係，讀者不妨自己想想，去釐清、求出。這項任務就當作回家功課，留給讀者去完成了。 【四、結語】 本文原先想介紹的另類數學活動，還有「科學普及之數學讀本（含小學的數學繪本）閱讀」活動；可補紙筆測驗無法考到的數學操作能力，兼含補救教學功能的「數學闖關」活動；模仿偵探故事來補制式數學課程中「推理」內容不足的「推理系列 J 活動；與科學展覽有關的「數學探索」活動；以及「奧林匹克式數學競賽的選手培訓」活動等。但因本文已經太長（本文已有六、七千字。照調查，長度超過四千字的科學文章之讀者，是長度短於三千字的同類文章之讀者數目的一半以下），故文章暫且就此打住。在離開之前忍不住倚老賣老，再嘮叨幾句話。學生學習數學的目的到底是什麼？我們是希望他知道許多數學知識（當數學老師？為考試？或者 … ）呢？還結培養將來會比較有用的數學能力？ 當然，好的數學教育結果總是能兩者兼備。但若無法兼顧，我們又該如何取捨？在教育的過程中，老師和家長的見解，對此目標的達成會有甚大差異。譬如以上面河內塔為例說明，偏重能力培養的話，我們會花比較多的時間，讓學生模索解題方向（將來他長大進入社會，若不是當第三流的公務員，專門處理雞毛蒜皮的例行小事時，總會碰到老師、長輩沒教過解題的非例行性問題，此時他就需要此項能力），和他們多討論建立計算模型時必需注意的事項，而不是只教他們如何用最有效率的方式算出答案。 我們有次在數學遊戲課碰到一個小男孩，當我們宣布要玩河內塔時，他很驕傲地說，他玩過此遊戲。問他從這個遊戲學到什麼時，他說，記得搬移七層盤子的最小步數是27-1=128-1=127次。於是請他移這127步，結果他不會，而且也說不清楚27-1是怎麼來的。那記住這種知識有什麼用呢？若考試會考到，那也就罷了！但像這種考試絕不會考到的某種數學遊戲之結果（所產生的公式），也要死背（因講不出道理），這是什麼學習心態？ 讀者也許會問，若要考他是否有養出能力，如何才能考出來？當然，用非例行性問題試試看。當一位學生用死背的方式學數學，而沒養出數學能力時，他面對一道從未見過的非例行性數學問題時，他會手足無措，不知如何是好；大多數就此放棄，小部分會胡亂湊個公式計算一些他自己都不知道意義的數字給你。 國際上最有名的笑話是有位法國的數學教育家，拜託他認識的一些四到八年級的數學老師，在他們的定期測驗中放入如下的題目： 一艘船上載有 25 隻牛和 75 隻羊，問船長幾歲？ 結果有許多人沒有回答（事後的面談，這些學生說看不懂題意），然而還是有人回答，最典型的解答是75-25=50 ，答船長 50 歲。事後的面談中，他們說出解題的想法：老師出在考卷上的題目是一定有解的；這個題目裡只有 2 個數目，故可以運用加、減、乘、除求答， 25 + 75 = 100 , 75 - 25 = 50 , 75 X 25 = 1875 , 75 ÷ 25 = 3 ，四個數字中， 50 歲是最可能的答案！ 加、減、乘、除的意義何在？他們是不管的。有趣的是，如此作答的學生比例， 倒是隨著年級的數目而增加，此事實只暴露了一件悲哀的事：我們把學生越教越笨。下面，給個河內塔範圍的非例行性問題，有興趣的讀者可自行研究探索：若要將下列狀況的五層盤子，全移到 C 柱，有可能嗎？若有，該如何移？最少需要幾步？