摺紙是大家孩童時代的休閒活動，我們會摺出紙飛機，甚至摺出不同的飛機模型，然後比賽誰的紙飛機可以飛得最遠。也有人會摺出青蛙或者紙鶴，摺得漂漂亮亮地送給別人，也有人會摺出小紙盒，過年時可以放瓜子殼或是其他雜物，摺出來的花樣繁多，各按自己的創意。我們一般常看到的摺紙作品，通常是一些立體的幾何模型，如果掌握摺出一些模組的單元(modular origami)，拼湊起來可以產生五花八門的藝術作品。然而，摺紙也可以是一個學習工具，尤其是學習幾何的概念。本文目的是想介紹摺紙是一個很好學習平面幾何的工具，雖然國中的數學課本中也會略為看到一些摺紙的題目，甚至國中會考的題目也有從摺紙的角度來設計，但這樣的處理方式並沒有系統地善用摺紙所隱藏的龐大學習功能。本文嘗試先介紹四個摺紙的基本技巧，希望能夠透過動手操作，引起讀者學習幾何的興趣，尤其是如何進行幾何的推理。

利用摺紙作為幾何思考的工具，其實已行之有年，20世紀60年代甚至就已經有專門用摺紙進行幾何解題的專著，在日本方面，摺紙相關的著作也十分蓬勃。在學術界，有很多學者會採用日裔義大利人藤田(Huzita)所提出的摺紙系統，一般稱之為Huzita的摺紙公理系統，總共有六個摺紙公理，我們可以把它們視為是六個摺紙的基本動作，這六個摺紙動作都是環繞在紙張上進行的活動，如果能夠靈活運用這些動作做不同的組合，可以解決很多平面幾何問題。後來還有一位日本的學者再提出了一個摺紙公理，這七個摺紙公理一般稱之為藤田－羽鳥(Huzita-Hatori)的摺紙公理系統。此外，還有一位法國學者Justin提出了一套等價的摺紙公理系統，但較不為人所知。有鑑於篇幅，本文只介紹前四個Huzita摺紙公理，待日後有機會再介紹後面三個公理。

在介紹這些基本動作前，我們假設摺紙是在一張平坦的紙上進行，而且我們在紙張上進行了一個摺紙動作後，攤開就會出現一條摺痕，我們假設該摺痕就是一條直線，當然摺的時候要小心，紙張不能夠偏移。在Huzita的系統當中，並不牽涉其他工具，例如尺、甚至是筆等工具，意思是說不能用筆標示出點的位置，也不能用尺與筆畫出直線。如果不能用筆取點的話，那怎麼能夠在紙上產生一個點呢？這就要靠適當的摺紙動作了，在摺紙的範疇中，兩條摺痕相交的地方就視為是點的位置。除此之外，本文所介紹的摺紙方式，並不容許重摺，意思是進行了一個摺紙動作之後，就要立刻將紙張攤開，每一個摺紙步驟只能出現一道摺痕，然後才可以進行其他的摺紙動作，這代表第一個動作摺完後，不能夠順勢利用摺出來的結果再摺第二個動作，這個要求是頗有挑戰性的。

以下我們就開始介紹Huzita前四個摺紙動作，運用這四個摺紙動作就可以解決好一些基本的平面幾何問題。

 Huzita公理一：摺出通過兩點的直線

如圖1，給定兩點A、B 在一張紙上，僅存在一種摺法可以摺出一條摺線通過此兩點。


圖1. Huzita公理一：摺出通過兩點的直線

Huzita的摺紙動作稱為摺紙公理的原因，若以第一個摺紙動作為例，它基本上是假設紙上給定兩個點(A與B)，必定能摺出一條通過這兩點的直線(M)，而且僅能摺出一條直線通過這兩點，不會同時再有另一條摺線通過這兩點。如果我們摺紙一開始就提出這個假設，而且大家都接受，以後大家就按照這樣子約定俗成的規定去解題，就成為一個公眾接受的原則，這就是公理的精神。

 Huzita公理二：兩點重合

如圖2，給定兩點，在一張紙上，僅存在一種摺法將點摺到點。


圖2. Huzita公理二：兩點重合

至於第二個摺紙動作的主要意涵，是指在紙上給定任意兩個點(A與B)，總能夠將其中一點(例如B)摺過去與另一個點(A)重疊，反之亦然。

 Huzita公理三：兩線重合

如圖3，假設在一張紙上有兩條相交的直線，存在一種摺法，可將對摺。


圖3. Huzita公理三：兩線重合

第三個公理最主要的意涵是指給定紙上任意兩條直線，總是可以透過摺紙將其中一條線(例如)摺過去與另外一條線()重合，反之亦然。如果這兩條線本來就有相交於一點，它們會產生四個夾角，公理三的摺紙動作相當於摺出其中一對對頂角的角平分線，平分該夾角。

請參考上圖3，給定紙上任意兩條直線，你會如何摺出另一對對頂角的角平分線？

 Huzita公理四：線外一點作垂線

如圖4，在一張紙上有一條直線L和線外有一點A，僅存在單一摺法可以摺出通過A點且垂直於L的摺線。


圖4. Huzita公理四：線外一點作垂線

公理四是假設紙上給定一點(A)與一條直線(L)，A點不在直線L上，如果我們將直線L的一部份摺過去與另一部分重合，則只有一種摺法，可以摺出過A點且垂直於L的直線。

一般摺紙的活動比較喜歡選用摺紙專用的紙，它是一張正方型的紙，正反兩面是不同顏色的，可以摺出很多不同形狀與不同顏色的作品，但由於本文的目的是想透過摺紙學習幾何推理，因此採用任何紙張都可以進行，包括使用信箱裡面的廣告傳單來進行摺紙活動。但為了要知道自己摺得準不準確，以下的說明是假設用一張描圖紙來進行的。

首先我們示範如何摺出45°角，我們就拿一張長方形的紙，假設其頂點都是直角，利用公理三就可以摺出45°，請參考圖5。


圖5. 摺出45°角的步驟

上述例子相對簡單，接下來請讀者運用你的創造力摺出60°的角，然後請你更進一步摺出一個正三角形，但記得每個步驟都要攤開後才能再摺下一個步驟，不能夠重摺，如果容許重摺的話，方法比較簡單。當加上不能夠重摺的條件，就是增加了一個限制，我們就需要做更多的幾何推理，去克服這個限制。遇到需要克服限制的時候，這將會是一個很好激發創造力的機會。

當然摺出正三角形有很多方法，但有鑑於在歐基里德所著的幾何原本第一冊第一個定理中，就有說明如何用尺規作圖的方式繪製出一個正三角形，他只需要利用尺與圓規共四個步驟，即可從一條給定的線段繪製出一個正三角形。如果改用摺紙的方法，請問可以利用那些Huzita的摺紙公理來摺出一個正三角形？請問需要多少步驟才能完成？

雖然方法很多，但有些方法的步驟會不會是不必要的？因此鼓勵你嘗試並改良你想到的方法，看看最少幾步即可摺出一個正三角形，並說明每一個步驟是使用Huzita的那一個公理。有興趣的讀者可以將你的檔案寄到電子信箱hptam208@gmail.com。