前言

筆者於國小任教多年，常聽到：「『比和比值』這個單元，只要套『前項÷後項=比值』的公式計算就可以了，需要上到8節課嗎?」、「我以為『比和比值』這個單元，學生應該很容易就學會，沒想到考試還是有一堆人錯!」、「『比和比值』要怎麼教，學生才不會跟加減法搞混？」。，以上都是國小現場老師們詢問筆者的問題，也引發筆者產生探究「比和比值」教學實踐歷程·以找出上述問題答案的想法。

「比」是用來描述兩個數量A與B存在某一種特定倍數關係的一種表示法（國立編譯館，2000）。若兩數量的關係不具任何意義，其比值無法意義化，則不適合以比來表示；所以兩個數量能用比來表示，其前提是這兩個數量已存在著固定的倍數關係(林碧珍，2010)。NCTM(2000)則建議：比例推理這個主題在六至八年級時，應該具有「強烈的直覺基礎」，若是貿然去建立規則將會是一個嚴重的錯誤。

12年國教數學領綱中提到「數學課程的設計，應提供每位學生『有感』的學習機會」。李源順(2018)提出「數學感理論」，強調從「讓學生說」的起動機制，結合鼓勵學生「舉例、簡化、畫圖、問為什麼、讓學生回想」等五個核心教學策略，來營造學生的數學感，此想法與12年國教數學領綱之精神不謀而合。

本文為筆者以筆者自行設計的「比和比值」教學活動為例，結合數學感理論的教學內涵，呈現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌，藉以作為十二年12年國教素養導向的數學教學之參考。

 核心素養與數學感理論內涵的簡介

一、核心素養

素養同時涵蓋competence及literacy的概念(蔡清田，2014)，是指一個人接受教育後學習獲得知識（knowledge）、能力（ability）與態度（attitude），而能積極地回應個人或社會生活需求的綜合狀態，素養中擇其關鍵的、必要的、重要的，乃為核心素養。核心素養是12年國教課綱的發展關鍵，歸結其重點如下(教育部，2014)：

1.把知識、技能、態度整合在一起，強調學習是完整的，不應只偏廢在知識上面。

2.強調情境化、脈絡化的學習，就是更朝向學習意義的感知（making sense）以及真正的理解（understanding）。真正的理解，得把學習內容和過程與經驗、事件、情境、脈絡做適切結合，意義才會在其中彰顯出來。

3.強調學習歷程、策略及方法。課程規劃及教學設計須把學習內容與探究歷程結合在一起，不只是給孩子魚吃，更要教孩子釣魚的方法，才得以陶養學生擁有自學能力，成為終身學習者。

4.強調提供實踐力行表現的空間，讓學生可以整合所學，不只能把所學遷移到其他例子進行應用，或是實際活用在生活裡，更可對其所知所行進行外顯化的思考，而有再持續精進的可能。
 

二、數學感理論

李源順與林福來（1998）擴展NCTM（1989）和Sowder（1992）對數感的定義，定義「數學感」(mathematics sense)就是「人們能從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」。李源順(2018)定義「營造數學感」( making mathematics sense, MMS)，就是「在利用表徵進行溝通的脈絡中，學生對所學的數學有概念性的了解，再內化為程序性知識，使程序性知識變得有意義，之後進行解題、連結、推理、以及後設認知的學習，最後達到從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」，並提出一個起動機制和五個核心內涵的教學策略如下：

1.一個起動機制：讓學生說。讓學生說出他的困難、他學會的內容。

2.五個核心內涵

(1)舉例：學生對任何概念、運算、性質，我們都希望學生心中有具體的實例。

(2)簡化：利用簡化數字來了解題意或解答問題。

(3)畫圖：利用畫圖來了解題意或解答問題。

(4)問「為什麼」：讓學生能概念性的了解所學的知識，而不是用背的。

(5)讓學生回想：這個單元的內容和……一樣，只是……不一樣。讓學生有機會把所學的知識進行統整，形成數學感。

 教材設計與教學實踐

一、教材設計

（一）「比和比值」概念的重要性
Inhelder和Piaget (1958)的研究指出：「比例推理能力是具體運思期和形式運思期之間的特徵」。Lesh (1987)表示：比例推理是代數(線性函數、方程式)的基石。林碧珍(2010)亦表示：對於學習更高層次的數學概念來說，比例推理是一項基礎能力，更是有著承先啟後的關鍵。也因此，要學習比與比值之前，學生必須先具備數量關係、因倍數、等值分數、擴約分的概念。

（二） 教學設計思考
由於學生容易受到中低年級加減法學習經驗的影響，對於兩數的比較，都是一種絕對差量，屬於加減法的思維；但「比」的概念，則是倍數關係，是一種相對差量，屬於乘除法的思維。

從數學學習觀點而言，建立「比與比值」初始概念的教學宜從正例著手，不宜由非例子來建立，所以，從球賽引入雖符合學生的生活經驗，但不符合數學學習的觀點，生活中球賽常用的比不是數學上的比，所以它是屬於比的非例子，因此球賽的情境並不適合用來建立比的初始概念(李源順，2018；林碧珍，2010)。

NCTM (2000)建議：比例推理的學習應該具有「強烈的直覺基礎」。Lesh, Post, & Behr (1988)與Lamon (1995)均指出：「提供各種情境的比和比例作業，例如：測量、價格、幾何和視覺圖形以及任何類型的比率」，都可以幫助孩童發展比例方面的概念。

總括上述，筆者認為：(1)引導學生強烈直覺感受數量之間存在「倍數關係」，以及(2)提供學生「測量、價格、幾何視覺圖形」的教材，是「比和比值」教學活動可參考的元素。

此外，本次教學提供具故事情境的數學問題，並提供學生實作探究的空間，引導學生透過此一情境化、脈絡化的學習歷程，能將學習內容和過程與經驗、情境、脈絡做適切結合，以達致真正的理解。

二、教學實踐

本次教學以下列布題，引發學生直觀思考可能的解題策略。

昨天清晨，QQ村莊裡聚集了一群人，因為村莊裡唯一的玉米田被破壞了，不過沒人看到是誰做的，警方在場時能找到的線索就只有地上的鞋印(圖1)，如下圖所示。踩出這個鞋印的人似乎非常高大，若能推測其身高，將有助於我們找到此人。同學們的工作就是找出一個「能猜測出此人身高」的方法，此方法除了適用於下圖的人，也要適用在其他人。

圖1. 巨人的腳印

教師(即筆者)表示，發下的教具(皮尺2條/組)都可以使用，不過老師有三點任務要求：

1.解題策略越多種越好。

2.發表解題策略時，務必說明所依據的數學論點。

3.寫出合理的算式並算出答案，並清楚地說明。

筆者慣於以小組討論的方式進行教學活動(如圖2、3)，引發各組學生產生不同的解題表現。因篇幅關係，本文針對兩組學生各舉一個教學片段，詮釋本次教學所展現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌。


圖2. 小組討論樣貌一


圖3. 小組討論樣貌二

（一）第一組的學習表現 教學片段1（T表示教師，S23表示23號同學）

T：你們一開始是怎麼想的?
S23：一開始並不清楚要測量（每個同學的）鞋長(腳印長)還是步長，所以兩者都量。在測量的過程中，才發現每個人所走的步伐都不一樣，只有鞋長固定不變，所以我們確認只要用鞋長的數據即可(圖4)。


圖4. 第一組的解題策略

T：你們怎麼會想到要測量T老師?(圖5、6)
S23：因為我們的鞋印長幾乎都落在二十幾公分，但題目中的犯人卻有38公分，所以我們猜想這個犯人應該非常高大，現場最符合這個條件的只有T老師。


圖5. 測量同學


圖6. 測量T師

根據教學片段1，筆者以「你們一開始是怎麼想的?」、「你們怎麼會想到要測量T老師?」等問題，「起動」學生嘗試說出所產生測量方式的原因。

第一組能藉由實際測量的過程發現「每個人所走的步伐都不一樣，只有鞋長固定不變」，確立後續以身高與鞋長(腳印長)的比例做為預測身高的策略。

第一組能透過同學與犯人鞋長大小之比較，猜想犯人很高大，並根據現場情境蒐集更多數據以驗證猜想。

根據上述分析，筆者認為第一組學生能夠充分利用現有的各項訊息，進行合理的猜測、推論，並解決問題，例如猜測與推論巨人非常高大，尋找更適合人選進行測量。此充分顯示第一組的學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A2 具備基本的算術操作能力、並能指認基本的形體與相對關係，在日常生活情境中，用數學表述與解決問題。」的學習表現。

（二）第三組的學習表現
教學片段2
T：你們一開始是怎麼想的?
S16：一開始也是「鞋印長」和「一步的距離」都量，不過後來發現題目顯示「一步的距離大約是2個鞋印長」，所以最後只要量「鞋印長」，然後再把「鞋印長」乘以2就是「一步的距離」。
T：這三個算式算出來的結果都是3.18嗎?
S16：這三個式子算出來的結果是3.181、3.173、3.166，因為老師說算到小數點下二位，而且數學應該越精準越好，最後發現它們和3.18的差比3.17還小，所以選3.18(見圖7)。

圖7. 第三組的解題策略

根據教學片段2，筆者以「你們一開始是怎麼想的?」的問題，「起動」學生說明如何進行測量。

當筆者表示「這三個算式算出來的結果都是3.18嗎?」時，第三組學生能清楚說明如何校正數據以找到誤差最小的定值。

上述分析顯示第三組學生能夠在此次進行「比和比值」概念的教學過程中，去直覺感受兩個數量之間的「倍數關係」，並能往建立規則(尋找定值)的方向前進。且第三組學生在說明「尋找最小誤差」的解題過程中，能夠以「3.181、3.173、3.166和3.18的差比3.17還小」的發現，說明他們所進行的數學推論。此充分顯示第三組的學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-C1 具備從證據討論事情，以及和他人有條理溝通的態度」的學習表現。

 結論

根據上述分析，筆者認為本次教學能夠培養學生養成「數-E-A2」、「數-E-C1」的12年國教數學領域核心素養。

筆者認為雖然學生均有注意到題目所指巨人的步長大約是兩倍腳印長，但是學生均只考量走路的真實情境，而未探討另一可能真實情境：「跑步速度越快，步幅應該越大」，以及本問題的重點在估計身高，而不是精確身高，因此數據不需要到小位數（甚至估計到十位即可）；這是本教材施行時可以提醒學生注意的地方。

此次教學活動能夠引導學生強烈直覺感受數量之間存在「倍數關係」，以及具備「測量」概念的教材，是引出「比和比值」概念的優質前置教學設計。加以搭配運用數學感理論所提及的讓生說明為什麼的教學策略，則可培養學生產生12年國教數學領域核心素養的學習表現。